In der Quant-Mechanik ist Notation des Büstenhalters-ket eine Standardnotation, um Quant-Staaten zu beschreiben, die aus Winkelklammern und vertikalen Bars zusammengesetzt sind. Es kann auch verwendet werden, um abstrakte Vektoren und geradlinigen functionals in der Mathematik anzuzeigen. Es ist so genannt, weil das Skalarprodukt (oder Punktprodukt) zwei Staaten durch a angezeigt wird

:

das Bestehen aus einem linken Teil hat den Büstenhalter genannt, und ein richtiger Teil hat den ket genannt. Die Notation wurde 1939 von Paul Dirac eingeführt und ist auch bekannt als Notation von Dirac, obwohl die Notation Vorgänger im Gebrauch von Grassmann der Notation für seine Skalarprodukte fast 100 Jahre vorher hat.

Notation des Büstenhalters-ket ist in der Quant-Mechanik weit verbreitet: Fast jedes Phänomen, das mit der Quant-Mechanik — einschließlich eines großen Teils der modernen Physik erklärt wird — wird gewöhnlich mit der Hilfe der Notation des Büstenhalters-ket erklärt. Der Ausdruck wird normalerweise als der Wahrscheinlichkeitsumfang für den Staat ψ interpretiert, um in den Staat ϕ zusammenzubrechen.

Vektorräume

Hintergrund: Vektorräume

In der Physik erlauben Basisvektoren jedem Vektoren, geometrisch mit Winkeln und Längen, in verschiedenen Richtungen, d. h. in Bezug auf die Raumorientierungen vertreten zu werden. Es ist einfacher, die notational Gleichwertigkeiten zwischen gewöhnlicher Notation und Notation des Büstenhalters-ket, so für jetzt zu sehen; denken Sie einen Vektoren, wie ein Element des 3. Euklidischen Raums mit dem Feld von reellen Zahlen, symbolisch als festgestellt hat.

Der Vektor A kann mit jedem Satz von Basisvektoren und entsprechendem Koordinatensystem geschrieben werden. Informell sind Basisvektoren "Bausteinen eines Vektoren ähnlich" werden sie zusammen hinzugefügt, um einen Vektoren zu machen, und die Koordinaten die Zahl von Basisvektoren in jeder Richtung sind. Zwei nützliche Darstellungen eines Vektoren sind einfach eine geradlinige Kombination von Basisvektoren und Säule matrices. Mit der vertrauten kartesianischen Basis wird ein Vektor A geschrieben;

:

A_x \begin {pmatrix} 1 \\0 \\0 \end {pmatrix} +

A_y \begin {pmatrix} 0 \\1 \\0 \end {pmatrix} +

A_z \begin {pmatrix} 0 \\0 \\1 \end {pmatrix} =

\begin {pmatrix} A_x \\0 \\0 \end {pmatrix} +

\begin {pmatrix} 0 \\A_y \\0 \end {pmatrix} +

\begin {pmatrix} 0 \\0 \\A_z \end {pmatrix} =

\begin {pmatrix }\

A_x \\

A_y \\

A_z \\

\end {pmatrix} </Mathematik>

beziehungsweise, wo e, e, e die kartesianischen Basisvektoren anzeigt (alle sind orthogonale Einheitsvektoren), und A, A, sind A die entsprechenden Koordinaten, im x, y, z Richtungen. In einer allgemeineren Notation für jede Basis im 3. Raum schreiben wir;

:

A_1 \\

A_2 \\

A_3 \\

\end {pmatrix} </Mathematik>

Generalisierung weiter, denken Sie einen Vektoren in einem N dimensionalen Vektorraum über das Feld von komplexen Zahlen, symbolisch hat als festgesetzt. Der Vektor A wird noch durch eine geradlinige Kombination von Basisvektoren oder einer Säulenmatrix herkömmlich vertreten:

:A_1 \\A_2 \\

\vdots \\

A_N \\

\end {pmatrix} </Mathematik>

obwohl die Koordinaten und Vektoren jetzt alle Komplex-geschätzt werden.

Noch mehr allgemein kann A ein Vektor in einem komplizierten Raum von Hilbert sein. Einige Hilbert Räume, wie, haben begrenzte Dimension, während andere unendliche Dimension haben. In einem unendlich-dimensionalen Raum würde die Spaltenvektor-Darstellung von A eine Liste von ungeheuer vielen komplexen Zahlen sein.

Notation von Ket für Vektoren

Anstatt boldtype, over/under-arrows, unterstreicht usw. herkömmlich verwendet anderswohin; die Notation von Dirac für einen Vektoren verwendet vertikale Bars und winkelige Klammern;. wenn diese Notation verwendet wird, werden diese Vektoren ket genannt, lesen als "ket-A". Das gilt für alle Vektoren, den resultierenden Vektoren und die Basis. Die vorherigen Vektoren werden jetzt geschrieben

:

\begin {pmatrix} A_x \\A_y \\A_z \end {pmatrix}, </Mathematik>

oder in einer leichter verallgemeinerten Notation,

:

\begin {pmatrix} A_1 \\A_2 \\A_3 \end {pmatrix}, </Mathematik>

Der letzte kann für den kurzen durch geschrieben werden

:

Bemerken Sie, wie irgendwelche Symbole, Briefe, Zahlen oder sogar Wörter — was für Aufschläge als ein günstiges Etikett — als das Etikett innerhalb eines ket verwendet werden können. Mit anderen Worten hat das Symbol "" eine spezifische und universale mathematische Bedeutung, aber gerade tut allein nicht. Dennoch, für die Bequemlichkeit, gibt es gewöhnlich ein logisches Schema hinter den Etiketten innen kets wie die übliche Praxis, Energie eigenkets in der Quant-Mechanik mit einer Liste ihrer Quantenzahlen zu etikettieren.

Skalarprodukte und Büstenhalter

Ein Skalarprodukt ist eine Generalisation des Punktproduktes. Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist eine komplexe Zahl. Notation des Büstenhalters-ket verwendet eine spezifische Notation für Skalarprodukte:

:

Zum Beispiel, im dreidimensionalen komplizierten Euklidischen Raum,

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wo den Komplex anzeigt, der dessen verbunden ist.

Ein spezieller Fall ist das Skalarprodukt eines Vektoren mit sich, der Quadrat seiner Norm (Umfang) ist:

:

Notation des Büstenhalters-ket spaltet sich auf dieses Skalarprodukt (hat auch eine "Klammer" genannt) in zwei Stücke, den "Büstenhalter" und den "ket":

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wo einen Büstenhalter genannt wird, lesen Sie als "Büstenhalter-A", und ist ein ket als oben.

Der Zweck, das Skalarprodukt in einen Büstenhalter und einen ket "zu spalten", besteht darin, dass sowohl der Büstenhalter als auch der ket selbstständig bedeutungsvoll sind, und in anderen Zusammenhängen außerdem innerhalb eines Skalarprodukts verwendet werden können. Es gibt zwei Hauptweisen, an die Bedeutungen von getrennten Büstenhaltern und kets zu denken:

Büstenhalter und kets als Reihe und Spaltenvektoren

Für einen endlich-dimensionalen Vektorraum, mit einer festen orthonormalen Basis, kann das Skalarprodukt als eine Matrixmultiplikation eines Zeilenvektoren mit einem Spaltenvektor geschrieben werden:

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\begin {pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end {pmatrix }\

\begin {pmatrix} B_1 \\B_2 \\\vdots \\B_N \end {pmatrix} </Mathematik>

Gestützt darauf können die Büstenhalter und kets als definiert werden:

::

und dann wird es verstanden, dass ein Büstenhalter neben einem ket Matrixmultiplikation einbezieht.

Die verbundenen stellen um (auch hat gerufen Hermitian verbunden) eines Büstenhalters ist der entsprechende ket und umgekehrt:

:

weil, wenn Sie mit dem Büstenhalter anfangen

:

dann führen Sie eine komplizierte Konjugation durch, und dann leisten Sie eine Matrix stellen um, Sie enden mit dem ket

:

Büstenhalter als geradlinige Maschinenbediener auf kets

Eine abstraktere Definition, die gleichwertig, aber leichter zu unendlich-dimensionalen Räumen verallgemeinert ist, soll sagen, dass Büstenhalter geradliniger functionals auf kets, d. h. Maschinenbediener sind, die einen ket und Produktion eine komplexe Zahl eingeben. Die Büstenhalter-Maschinenbediener werden definiert, um mit dem Skalarprodukt im Einklang stehend zu sein.

In der Mathematik-Fachsprache ist der Vektorraum von Büstenhaltern der Doppelraum zum Vektorraum von kets, und entsprechende Büstenhalter und kets sind durch den Darstellungslehrsatz von Riesz verbunden.

Non-Normalizable setzt fest und non-Hilbert Räume

Notation des Büstenhalters-ket kann verwendet werden, selbst wenn der Vektorraum nicht ein Raum von Hilbert ist.

In der Quant-Mechanik ist es übliche Praxis, um kets niederzuschreiben, die unendliche Norm, d. h. non-normalisable wavefunctions haben. Beispiele schließen Staaten ein, deren wavefunctions Delta-Funktionen von Dirac oder unendliche Flugzeug-Wellen sind. Diese gehören technisch dem Raum von Hilbert selbst nicht. Jedoch kann die Definition des "Raums von Hilbert" verbreitert werden, um diese Staaten anzupassen (sieh den Gelfand-Naimark-Segal Aufbau, oder hat Räume von Hilbert ausgerüstet). Die Notation des Büstenhalters-ket setzt fort, auf eine analoge Weise in diesem breiteren Zusammenhang zu arbeiten.

Weil eine strenge Behandlung des Skalarprodukts von Dirac von Non-Normalizable-Staaten die Definition sieht, die von D. Carfì in gegeben ist und. Für eine strenge Definition der Basis mit einem dauernden Satz von Indizes und folglich für eine strenge Definition der Position und Schwung-Basis sieh. Für eine strenge Behauptung der Vergrößerung eines S-diagonalizable Maschinenbedieners - erkennbar - in seinem eigenbasis oder in einer anderen Basis sieh.

Banachräume sind eine verschiedene Generalisation von Räumen von Hilbert. In einem Banachraum B können die Vektoren durch kets und den dauernden geradlinigen functionals durch Büstenhalter in Notenschrift geschrieben werden. Über jeden Vektorraum ohne Topologie können wir auch die Vektoren durch kets und den geradlinigen functionals durch Büstenhalter in Notenschrift schreiben. In diesen allgemeineren Zusammenhängen hat die Klammer die Bedeutung eines Skalarprodukts nicht, weil der Darstellungslehrsatz von Riesz nicht gilt.

Gebrauch in der Quant-Mechanik

Die mathematische Struktur der Quant-Mechanik basiert im großen Teil auf der geradlinigen Algebra:

• Welle-Funktionen und andere Quant-Staaten können als Vektoren in einem komplizierten Raum von Hilbert vertreten werden. (Die genaue Struktur dieses Raums von Hilbert hängt von der Situation ab.) In der Notation des Büstenhalters-ket, zum Beispiel, könnte ein Elektron "im Staat" sein. (Technisch sind die Quant-Staaten Strahlen von Vektoren im Raum von Hilbert, wie demselben Staat für jede komplexe Nichtnullzahl c entspricht.)
• Quant-Überlagerungen können als Vektorsummen der konstituierenden Staaten beschrieben werden. Zum Beispiel ist ein Elektron im Staat in einer Quant-Überlagerung der Staaten und.
• Maße werden mit geradlinigen Maschinenbedienern vereinigt (hat observables genannt) auf dem Raum von Hilbert von Quant-Staaten.
• Dynamik wird auch von geradlinigen Maschinenbedienern auf dem Raum von Hilbert beschrieben. Zum Beispiel, im Bild von Schrödinger, gibt es einen geradlinigen operater U mit dem Eigentum dass, wenn ein Elektron im Staat in diesem Augenblick ist, dann in einer Minute wird es im Staat, demselben U für jeden möglichen sein.
• Welle-Funktionsnormalisierung erklettert eine Welle-Funktion, so dass seine Norm 1 ist.

Da eigentlich jede Berechnung in der Quant-Mechanik mit Vektoren und geradlinigen Maschinenbedienern verbunden ist, kann es einschließen, und schließt häufig, Notation des Büstenhalters-ket ein. Einige Beispiele folgen:

Mit der Positionraumwelle-Funktion

Der Hilbert Raum einer Drehung 0 Punkt-Partikel wird durch eine "Positionsbasis" abgemessen, wo sich das Etikett r über den Satz aller Punkte im Raum ausstreckt. Da es ungeheuer viele Vektoren in der Basis gibt, ist das ein unendlich-dimensionaler Raum von Hilbert.

Von jedem ket in diesem Raum von Hilbert anfangend, können wir eine komplizierte Skalarfunktion von r, bekannt als ein wavefunction definieren:

:

Auf der linken Seite, ist eine Funktion, die jeden Punkt im Raum zu einer komplexen Zahl kartografisch darstellt; rechts, ist ein ket.

Es ist dann üblich, um geradlinige Maschinenbediener zu definieren, die wavefunctions in Bezug auf geradlinige Maschinenbediener folgen, die kets durch folgen

:

Zum Beispiel hat der Schwung-Maschinenbediener p die folgende Form:

:

Man stößt gelegentlich auf einen Ausdruck wie

:

obwohl etwas eines (ziemlich allgemeinen) Missbrauchs der Notation ist. Wie man verstehen muss, ist der Differenzialoperator ein abstrakter Maschinenbediener, kets folgend, der die Wirkung hat, wavefunctions zu unterscheiden, sobald der Ausdruck in die Positionsbasis geplant wird:

:

Übergreifen von Staaten

In der Quant-Mechanik wird der Ausdruck normalerweise als der Wahrscheinlichkeitsumfang für den Staat interpretiert, um in den Staat zusammenzubrechen. Mathematisch bedeutet das den Koeffizienten für den Vorsprung darauf.

Das Ändern der Basis für spin-1/2 Partikel

Eine stationäre spin-½ Partikel hat einen zweidimensionalen Raum von Hilbert. Eine orthonormale Basis ist:

:

wo der Staat mit einem bestimmten Wert des Drehungsmaschinenbedieners S ist, der +1/2 gleich ist, und der Staat mit einem bestimmten Wert des-1/2 gleichen Drehungsmaschinenbedieners S ist.

Da das eine Basis ist, kann jeder Quant-Staat der Partikel als eine geradlinige Kombination (d. h., Quant-Überlagerung) von diesen zwei Staaten ausgedrückt werden:

:

wo komplexe Zahlen sind.

Eine verschiedene Basis für denselben Raum von Hilbert ist:

:

definiert in Bezug auf S aber nicht S.

Wieder kann jeder Staat der Partikel als eine geradlinige Kombination dieser zwei ausgedrückt werden:

:

In der Vektor-Form könnten Sie schreiben

:

abhängig von der Basis Sie verwenden. Mit anderen Worten hängen die "Koordinaten" eines Vektoren von der verwendeten Basis ab.

Es gibt eine mathematische Beziehung dazwischen; sieh Änderung der Basis.

Geradlinige Maschinenbediener

Geradlinige Maschinenbediener, die kets folgen

Ein geradliniger Maschinenbediener ist eine Karte, die einen ket und Produktionen ein ket eingibt. (Um "geradlinig" genannt zu werden, ist es erforderlich, bestimmte Eigenschaften zu haben.) Mit anderen Worten, wenn A ein geradliniger Maschinenbediener ist und ein ket dann ist, ist ein anderer ket.

In einem N-dimensional Hilbert Raum, kann geschrieben werden, weil ein N×1 Spaltenvektor, und dann A eine N×N Matrix mit komplizierten Einträgen ist. Der ket kann durch die normale Matrixmultiplikation geschätzt werden.

Geradlinige Maschinenbediener sind in der Theorie der Quant-Mechanik allgegenwärtig. Zum Beispiel werden erkennbare physische Mengen von selbst adjungierten Maschinenbedienern, wie Energie oder Schwung vertreten, wohingegen umgestaltende Prozesse von einheitlichen geradlinigen Maschinenbedienern wie Folge oder der Fortschritt der Zeit vertreten werden.

Geradlinige Maschinenbediener, die Büstenhaltern folgen

Maschinenbediener können auch als das Folgen Büstenhaltern von der rechten Seite angesehen werden. Spezifisch, wenn A ein geradliniger Maschinenbediener ist und ein Büstenhalter ist, dann ein anderer Büstenhalter ist, der durch die Regel definiert ist

:.

(mit anderen Worten, eine Funktionszusammensetzung). Dieser Ausdruck wird als (vgl Energieskalarprodukt) allgemein geschrieben

:

In einem N-dimensional Hilbert Raum, kann als 1×N geschrieben werden Zeilenvektor, und (als in der vorherigen Abteilung) ist eine N×N Matrix. Dann kann der Büstenhalter durch die normale Matrixmultiplikation geschätzt werden.

Wenn derselbe Zustandvektor sowohl auf dem Büstenhalter als auch auf der ket Seite, erscheint

:

dann gibt dieser Ausdruck den Erwartungswert oder bösartigen oder durchschnittlichen Wert vom erkennbaren, das vom Maschinenbediener für das physische System im Staat vertreten ist.

Außenprodukte

Eine günstige Weise, geradlinige Maschinenbediener auf H zu definieren, wird durch das Außenprodukt gegeben: Wenn ein Büstenhalter ist und ein ket, das Außenprodukt ist

:

zeigt die Reihe ein Maschinenbediener an, der den ket zum ket kartografisch darstellt (wo ein Skalar ist, der den Vektoren multipliziert).

Für einen endlich-dimensionalen Vektorraum kann das Außenprodukt als einfache Matrixmultiplikation verstanden werden:

:

\begin {pmatrix} \phi_1 \\\phi_2 \\\vdots \\\phi_N \end {pmatrix }\

\begin {pmatrix} \psi_1^* & \psi_2^* & \cdots & \psi_N^* \end {pmatrix }\

\begin {pmatrix }\

\phi_1 \psi_1^* & \phi_1 \psi_2^* & \cdots & \phi_1 \psi_N^* \\

\phi_2 \psi_1^* & \phi_2 \psi_2^* & \cdots & \phi_2 \psi_N^* \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

\phi_N \psi_1^* & \phi_N \psi_2^* & \cdots & \phi_N \psi_N^* \end {pmatrix }\

</Mathematik>

Das Außenprodukt ist eine N×N Matrix, wie erwartet, für einen geradlinigen Maschinenbediener.

Einer des Gebrauches des Außenproduktes soll Vorsprung-Maschinenbediener bauen. In Anbetracht eines ket der Norm 1 ist der orthogonale Vorsprung auf den Subraum, der dadurch abgemessen ist

:

Hermitian konjugieren Maschinenbediener

Da kets und Büstenhalter in einander umgestaltet werden kann (in machend), ist das Element vom Doppelraumentsprechen damit, wo A Hermitian verbunden (oder adjoint) vom Maschinenbediener A. anzeigt. Mit anderen Worten,

: wenn und nur wenn.

Wenn A als eine N×N Matrix ausgedrückt wird, dann ist A sein verbundenes stellen um.

Selbst adjungierte Maschinenbediener, wo A=A, spielen eine wichtige Rolle in der Quant-Mechanik; zum Beispiel wird ein erkennbarer immer von einem selbst adjungierten Maschinenbediener beschrieben. Wenn A ein selbst adjungierter Maschinenbediener ist, dann immer eine reelle Zahl (nicht kompliziert) ist. Das deutet an, dass Erwartungswerte von observables echt sind.

Eigenschaften

Notation des Büstenhalters-ket wurde entworfen, um die formelle Manipulation von geradlinig-algebraischen Ausdrücken zu erleichtern. Einige der Eigenschaften, die diese Manipulation erlauben, werden hierin verzeichnet. Worin, c folgt und c anzeigen, dass willkürliche komplexe Zahlen, c* den Komplex anzeigt, der von c, A verbunden ist, und B willkürliche geradlinige Maschinenbediener anzeigen, und diese Eigenschaften sind, für jede Wahl von Büstenhaltern und kets zu halten.

Linearität

• Da Büstenhalter geradliniger functionals, sind

::

• Durch die Definition der Hinzufügung und Skalarmultiplikation von geradlinigem functionals im Doppelraum,

::

Associativity

In Anbetracht jedes Ausdrucks, der komplexe Zahlen, Büstenhalter, kets, Skalarprodukte, Außenprodukte und/oder geradlinige Maschinenbediener (aber nicht Hinzufügung), geschrieben in der Notation des Büstenhalters-ket einschließt, sind die parenthetischen Gruppierungen nicht von Bedeutung (d. h. das assoziative Eigentum hält). Zum Beispiel:

::

und so weiter. Den Ausdrücken rechts (ohne Parenthesen überhaupt) wird erlaubt, eindeutig wegen der Gleichheiten links geschrieben zu werden. Bemerken Sie, dass das assoziative Eigentum für Ausdrücke nicht hält, die nichtlineare Maschinenbediener wie der antigeradlinige Zeitumkehrungsmaschinenbediener in der Physik einschließen.

Konjugation von Hermitian

Notation des Büstenhalters-ket macht es besonders leicht, Hermitian verbunden (auch genannt Dolch, und angezeigt +) von Ausdrücken zu schätzen. Die formellen Regeln sind:

• Der eines Büstenhalters verbundene Hermitian ist der entsprechende ket, und umgekehrt.
• Der einer komplexen Zahl verbundene Hermitian ist sein verbundener Komplex.
• Der Hermitian, der von Hermitian verbunden ist, der von irgendetwas (geradlinige Maschinenbediener, Büstenhalter, kets, Zahlen) verbunden ist, ist selbst — d. h.,

::.

• In Anbetracht jeder Kombination von komplexen Zahlen, Büstenhaltern, kets, Skalarprodukten, Außenprodukten und/oder geradlinigen Maschinenbedienern, die in der Notation des Büstenhalters-ket geschrieben sind, kann sein verbundener Hermitian durch das Umkehren der Ordnung der Bestandteile und die Einnahme von von jedem verbundenem Hermitian geschätzt werden.

Diese Regeln sind genügend, um jedes solchen Ausdrucks verbundenem Hermitian formell zu schreiben; einige Beispiele sind wie folgt:

• Kets:

::

\left (c_1 |\psi_1\rangle + c_2 |\psi_2\rangle\right) ^\\Dolch = C_1^* \langle\psi_1 | + C_2^* \langle\psi_2 |.

</Mathematik>

• Skalarprodukte:

::

• Matrixelemente:

::::

• Außenprodukte:

::

Zerlegbare Büstenhalter und kets

Zwei Hilbert Räume V und W können einen dritten Raum durch ein Tensor-Produkt bilden. In der Quant-Mechanik wird das verwendet, um zerlegbare Systeme zu beschreiben. Wenn ein System aus zwei Subsystemen zusammengesetzt wird, die in V und W beziehungsweise beschrieben sind, dann ist der Raum von Hilbert des kompletten Systems das Tensor-Produkt der zwei Räume. (Die Ausnahme dazu ist, wenn die Subsysteme wirklich identische Partikeln sind. In diesem Fall ist die Situation ein wenig mehr kompliziert.)

Wenn ein ket in V ist und ein ket in W ist, ist das direkte Produkt der zwei kets ein ket darin. Das wird verschiedenartig als geschrieben

: oder oder oder

Der Einheitsmaschinenbediener

Denken Sie ein ganzes orthonormales System (Basis), für einen Raum von Hilbert H in Bezug auf die Norm von einem Skalarprodukt. Von der grundlegenden Funktionsanalyse wissen wir, dass jeder ket als geschrieben werden kann

:

mit dem Skalarprodukt auf dem Raum von Hilbert. Vom commutativity von kets mit (komplizierten) Skalaren folgt jetzt dem

:

muss der Einheitsmaschinenbediener sein, der jeden Vektoren an sich sendet. Das kann in jeden Ausdruck eingefügt werden, ohne seinen Wert, zum Beispiel zu betreffen

:

wo in der letzten Identität Summierungstagung von Einstein verwendet worden ist.

In der Quant-Mechanik kommt es häufig vor, dass wenig oder keine Information über das Skalarprodukt von zwei willkürlichem (Staat) kets da ist, während es möglich ist, etwas über die Ausdehnungskoeffizienten und von jenen Vektoren in Bezug auf eine gewählte (orthonormalized) Basis zu sagen. In diesem Fall ist es besonders nützlich, den Einheitsmaschinenbediener in die Klammer eine Zeit einzufügen, oder mehr (für mehr Information sieh Entschlossenheit der Identität).

Notation von Mathematikern verwendet

Die Gegenstand-Physiker denken, wenn das Verwenden der Notation "des Büstenhalters-ket" ein Raum von Hilbert (ein ganzer Skalarprodukt-Raum) ist.

Lassen Sie, ein Raum von Hilbert zu sein, und ist ein Vektor darin. Was Physiker anzeigen würden, wie der Vektor selbst ist. Das ist

:.

Lassen Sie, der Doppelraum dessen zu sein. Das ist der Raum von geradlinigem functionals darauf. Der Isomorphismus wird dadurch definiert, wo für alles wir haben

:

Wo

:

sind gerade verschiedene Notationen, für ein Skalarprodukt zwischen zwei Elementen in einem Raum von Hilbert (oder für die ersten drei, in jedem Skalarprodukt-Raum) auszudrücken. Verwirrung von Notational entsteht, wenn sie sich identifiziert und mit und beziehungsweise. Das ist wegen wörtlicher symbolischer Ersetzungen. Lassen Sie und lassen Sie. Das gibt

:

|g\rangle). </Mathematik>

Man ignoriert die Parenthesen und entfernt die doppelten Bars. Einige Eigenschaften dieser Notation sind günstig, da wir uns mit geradlinigen Maschinenbedienern und Zusammensetzungstaten wie eine Ringmultiplikation befassen.

Außerdem (und mehr peinlich, obwohl das im Wesentlichen trivial ist) schreiben die Mathematiker gewöhnlich die Doppelentität nicht am ersten Platz, wie die Physiker tun, aber am zweiten, und sie *-symbol, aber ein Überstrich nicht verwenden (den die Physiker zu Durchschnitten vorbestellen) anzuzeigen, dass verbundene komplexe Zahlen, d. h. für Skalarprodukt-Mathematiker gewöhnlich schreiben

:

wohingegen Physiker für dieselbe Menge schreiben würden

:

Verweisungen und Zeichen

Weiterführende Literatur

Links

• Richard Fitzpatrick, "Quant-Mechanik: Ein Absolventenniveau-Kurs", Die Universität Texas an Austin.
• 1. Raum von Ket
• 2. Büstenhalter-Raum
• 3. Maschinenbediener
• 4. Das Außenprodukt
• 5. Eigenvalues und Eigenvektoren
• Robert Littlejohn, Vortrag bemerkt auf "Dem Mathematischen Formalismus der Quant-Mechanik" einschließlich der Notation des Büstenhalters-ket.