In der Mathematik ist der Einheitszwischenraum der geschlossene Zwischenraum, d. h. der Satz aller reellen Zahlen, die größer oder gleich 0 und weniger sind als oder gleich 1. Es wird häufig (Großbuchstabe) angezeigt.

Zusätzlich zu seiner Rolle in der echten Analyse wird der Einheitszwischenraum verwendet, um homotopy Theorie im Feld der Topologie zu studieren.

In der Literatur wird der Begriff "Einheits-Zwischenraum" manchmal auf die anderen Gestalten angewandt, die ein Zwischenraum von 0 bis 1 nehmen konnte: und Jedoch wird die Notation meistens für den geschlossenen Zwischenraum vorbestellt.

Eigenschaften

Der Einheitszwischenraum ist ein ganzer metrischer Raum, homeomorphic zur verlängerten Linie der reellen Zahl. Als ein topologischer Raum ist es, contractible, Pfad verbunden und lokal verbundener Pfad kompakt. Der Hilbert Würfel wird durch die Einnahme eines topologischen Produktes von zählbar vielen Kopien des Einheitszwischenraums erhalten.

In der mathematischen Analyse ist der Einheitszwischenraum eine eindimensionale analytische Sammelleitung, deren Grenze aus den zwei Punkten 0 und 1 besteht. Seine Standardorientierung geht von 0 bis 1.

Der Einheitszwischenraum ist ein völlig bestellter Satz, und ein ganzes Gitter (hat jede Teilmenge des Einheitszwischenraums ein Supremum und einen infimum).

Cardinality

Die Größe oder cardinality eines Satzes sind die Zahl der Elemente, die es enthält.

Der Einheitszwischenraum ist eine Teilmenge der reellen Zahlen. Jedoch hat es dieselbe Größe wie der ganze Satz: der cardinality des Kontinuums. Da die reellen Zahlen verwendet werden können, um Punkte entlang einer ungeheuer langen Linie zu vertreten, deutet das an, dass ein Liniensegment der Länge 1, der ein Teil dieser Linie ist, dieselbe Zahl von Punkten wie die ganze Linie hat. Außerdem hat es dieselbe Zahl von Punkten wie ein Quadrat des Gebiets 1, als ein Würfel des Bands 1, und gerade als ein unbegrenzter n-dimensional Euklidischer Raum (sieh Raum Kurve füllen).

Die Zahl der Elemente (entweder reelle Zahlen oder Punkte) in allen oben erwähnten Sätzen ist unzählbar, weil es ausschließlich größer ist als die Zahl von natürlichen Zahlen.

Generalisationen

Der Zwischenraum [−1,1], mit der Länge zwei, abgegrenzt durch die positiven und negativen Einheiten, kommt oft, solcher als im Rahmen des trigonometrischen Funktionssinus und Kosinus und der Hyperbelfunktion tanh vor. Dieser Zwischenraum kann für das Gebiet von umgekehrten Funktionen verwendet werden. Zum Beispiel, wenn θ auf [−/2 eingeschränkt wird, π/2] sündigen dann (θ) ist in diesem Zwischenraum, und arcsine wird dort definiert.

Manchmal wird der Begriff "Einheits-Zwischenraum" gebraucht, um sich auf Gegenstände zu beziehen, die eine Rolle in verschiedenen Zweigen der der Rolle analogen Mathematik dass [0,1] Spiele in der homotopy Theorie spielen. Zum Beispiel, in der Theorie von Zittern, (Entsprechung) ist Einheitszwischenraum der Graph, dessen Scheitelpunkt-Satz {0,1} ist, und der einen einzelnen Rand e enthält, dessen Quelle 0 ist, und dessen Ziel 1 ist. Man kann dann einen Begriff von homotopy zwischen dem Zittern-Homomorphismus definieren, der dem Begriff von homotopy zwischen dauernden Karten analog ist.

Fuzzy-Logik

In der Logik kann der Einheitszwischenraum [0,1] als eine Generalisation des Gebiets von Boolean {0,1} interpretiert werden, in welchem Fall aber nicht nur nehmende Werte 0 oder 1, jeder Wert zwischen und einschließlich 0 und 1 angenommen werden können. Algebraisch wird Ablehnung (NICHT) durch die Verbindung ersetzt (UND) wird durch die Multiplikation , und Trennung ersetzt (ODER) wird über das Gesetz von De Morgan definiert.

Die Interpretation dieser Werte als logische Wahrheitswerte gibt eine mehrgeschätzte Logik nach, die die Basis für die Fuzzy-Logik und probabilistic Logik bildet. In diesen Interpretationen wird ein Wert als der "Grad" der Wahrheit interpretiert - inwieweit ein Vorschlag, oder die Wahrscheinlichkeit wahr ist, dass der Vorschlag wahr ist.

Siehe auch

• Zwischenraum-Notation
• Der Unit Square
• Robert G. Bartle, 1964, Die Elemente der Echten Analyse, John Wiley & Sons.