In der Kategorie-Theorie ist ein epimorphism (hat auch ein Epos morphism oder, umgangssprachlich, ein epi genannt), ein morphism f: X  Y, der im Sinn dass, für den ganzen morphisms, richtig-cancellative

Epimorphisms sind Entsprechungen von Surjective-Funktionen, aber sie sind nicht genau dasselbe. Der Doppel-von einem epimorphism ist ein monomorphism (d. h. ein epimorphism in einer Kategorie ist C ein monomorphism in der Doppelkategorie C).

Viele Autoren in der abstrakten Algebra und universalen Algebra definieren einen epimorphism einfach als auf oder surjective Homomorphismus. Jeder epimorphism in diesem algebraischen Sinn ist ein epimorphism im Sinne der Kategorie-Theorie, aber das gegenteilige ist in allen Kategorien nicht wahr. In diesem Artikel wird der Begriff "epimorphism" im Sinne der Kategorie-Theorie gebraucht, die oben gegeben ist. Für mehr darauf, sieh die Abteilung auf der Fachsprache unten.

Beispiele

Jeder morphism in einer konkreten Kategorie, deren zu Grunde liegende Funktion surjective ist, ist ein epimorphism. In vielen konkreten Kategorien von Interesse ist das gegenteilige auch wahr. Zum Beispiel, in den folgenden Kategorien, sind die epimorphisms genau jene morphisms, die surjective auf den zu Grunde liegenden Sätzen sind:

• Satz, Sätze und Funktionen. Dass jeder epimorphism f zu beweisen: X  Y im Satz sind surjective, wir setzen es mit beiden die charakteristische Funktion g zusammen: Y  {0,1} des Images f (X) und der Karte g: Y  {0,1}, der 1 unveränderlich ist.
• Rel, Sätze mit binären Beziehungen und Beziehungsbewahrungsfunktionen. Hier können wir denselben Beweis bezüglich des Satzes verwenden, {0,1} mit der vollen Beziehung {0,1} &times ausstattend; {0,1}.
• Pos, teilweise bestellte Sätze und Eintönigkeitsfunktionen. Wenn f: (X, )  (Y, ) ist nicht surjective, picken Sie y in Y \f (X) auf und lassen Sie g: Y  {0,1}, die charakteristische Funktion {y y  y} und g sein: Y  {0,1} die charakteristische Funktion {y y: Y  Y/f (X) und die Nullkarte g: Y  Y/f (X).
• Oberste, topologische Räume und dauernde Funktionen. Um zu beweisen, dass jeder epimorphism in der Spitze surjective ist, gehen wir genau als im Satz weiter, {0,1} die homogene Topologie gebend, die sicherstellt, dass alle überlegten Karten dauernd sind.
• HComp, Kompakträume von Hausdorff und dauernde Funktionen. Wenn f: X  Y sind nicht surjective, lassen Sie y in Y-fX. Da fX geschlossen wird, durch das Lemma von Urysohn gibt es eine dauernde Funktion g:Y  [0,1] solch, dass g 0 auf fX und 1 auf y ist. Wir setzen f sowohl mit g als auch mit der Nullfunktion g zusammen: Y  [0,1].

Jedoch gibt es auch viele konkrete Kategorien von Interesse, wo epimorphisms scheitern, surjective zu sein. Einige Beispiele sind:

• In der Kategorie von monoids, Montag, ist die Einschließungskarte N  Z ein non-surjective epimorphism. Um das zu sehen, nehmen Sie an, dass g und g zwei verschiedene Karten von Z bis eine monoid M sind. Dann für einen n in Z, g (n)  g (n), so g (-n)  g (-n). Entweder n oder-n sind in N, so sind die Beschränkungen von g und g zu N ungleich.
• In der Kategorie von Algebra über den Ersatzring R, nehmen Sie R [N]  R [Z], wo R [G] der Gruppenring der Gruppe G ist und der morphism durch die Einschließung N  Z als im vorherigen Beispiel veranlasst wird. Das folgt aus der Beobachtung, die 1 die Algebra R [Z] erzeugt (bemerken Sie, dass die Einheit in R [Z] durch 0 von Z) gegeben wird, und das Gegenteil des Elements, das durch n in Z vertreten ist, gerade das durch-n vertretene Element ist. So wird jeder Homomorphismus von R [Z] durch seinen Wert auf dem durch 1 von Z vertretenen Element einzigartig bestimmt.
• In der Kategorie von Ringen, Ring, ist die Einschließungskarte Z  Q ein non-surjective epimorphism; um das zu sehen, bemerken Sie, dass jeder Ringhomomorphismus auf Q völlig durch seine Handlung auf Z bestimmt, zum vorherigen Beispiel ähnlich wird. Ein ähnliches Argument zeigt, dass der natürliche Ringhomomorphismus von jedem Ersatzring R zu irgendwelchen seiner Lokalisierungen ein epimorphism ist.
• In der Kategorie von Ersatzringen, einem begrenzt erzeugten Homomorphismus von Ringen f: R  ist S ein epimorphism, wenn, und nur wenn für alle Hauptideale P R das Ideal Q erzeugt durch f (P) entweder S ist oder erst ist, und wenn Q nicht S, die veranlasste Karte ist, Frac (R/P)  Frac (S/Q) ein Isomorphismus (EGA IV 17.2.6) ist.
• In der Kategorie von Räumen von Hausdorff, Haus, sind die epimorphisms genau die dauernden Funktionen mit dichten Images. Zum Beispiel, die Einschließungskarte Q  R, ist ein non-surjective epimorphism.

Der obengenannte unterscheidet sich vom Fall von monomorphisms, wo es öfter wahr ist, dass monomorphisms genau diejenigen sind, deren zu Grunde liegende Funktionen injective sind.

Betreffs Beispiele von epimorphisms in nichtkonkreten Kategorien:

• Wenn ein monoid oder Ring als eine Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand betrachtet werden (Zusammensetzung von morphisms, der durch die Multiplikation gegeben ist), dann sind die epimorphisms genau die richtigen-cancellable Elemente.
• Wenn ein geleiteter Graph als eine Kategorie betrachtet wird (Gegenstände sind die Scheitelpunkte, morphisms sind die Pfade, die Zusammensetzung von morphisms ist die Verkettung von Pfaden), dann ist jeder morphism ein epimorphism.

Eigenschaften

Jeder Isomorphismus ist ein epimorphism; tatsächlich ist nur ein Recht-seitige Gegenteil erforderlich: Wenn dort ein morphism j besteht: Y  X solch, dass, wie man leicht sieht, fj = id, dann f ein epimorphism ist. Eine Karte mit solch einem Recht-seitigen Gegenteil wird einen Spalt epi genannt. In einem topos ist eine Karte, die sowohl ein monic morphism als auch ein epimorphism ist, ein Isomorphismus.

Die Zusammensetzung von zwei epimorphisms ist wieder ein epimorphism. Wenn die Zusammensetzung fg zwei morphisms ein epimorphism ist, dann muss f ein epimorphism sein.

Als etwas von der obengenannten Beispiel-Show wird das Eigentum, ein epimorphism zu sein, durch das morphism allein, sondern auch durch die Kategorie des Zusammenhangs nicht bestimmt. Wenn D eine Unterkategorie von C ist, dann ist jeder morphism in D, der ein epimorphism, wenn betrachtet, als ein morphism in C ist, auch ein epimorphism in D; das gegenteilige braucht jedoch nicht zu halten; die kleinere Kategorie kann (und häufig wird), mehr epimorphisms haben.

Bezüglich der meisten Konzepte in der Kategorie-Theorie werden epimorphisms unter Gleichwertigkeiten von Kategorien bewahrt: in Anbetracht einer Gleichwertigkeit F: C  D dann ist ein morphism f ein epimorphism in der Kategorie C, wenn, und nur wenn F (f) ein epimorphism in D ist. Eine Dualität zwischen zwei Kategorien verwandelt epimorphisms in monomorphisms, und umgekehrt.

Die Definition von epimorphism kann wiederformuliert werden, um dass f festzustellen: X  Y sind ein epimorphism wenn und nur wenn die veranlassten Karten

g &\\mapsto& gf\end {Matrix} </Mathematik>

sind injective für jede Wahl von Z. Das ist der Reihe nach zur veranlassten natürlichen Transformation gleichwertig

ein monomorphism im functor Kategorie-Satz seiend.

Jeder coequalizer ist ein epimorphism, eine Folge der Einzigartigkeitsvoraussetzung in der Definition von coequalizers. Es folgt insbesondere, dass jeder cokernel ein epimorphism ist. Das gegenteilige, nämlich dass jeder epimorphism, ein coequalizer sein, ist in allen Kategorien nicht wahr.

In vielen Kategorien ist es möglich, jeden morphism als die Zusammensetzung eines von einem epimorphism gefolgten monomorphism zu schreiben. Zum Beispiel, in Anbetracht eines Gruppenhomomorphismus f: G  H können wir die Gruppe K = im (f) = f (G) definieren und dann f als die Zusammensetzung des surjective Homomorphismus G  K schreiben, der wie f definiert wird, der vom injective Homomorphismus K  H gefolgt ist, der jedes Element an sich sendet. Solch ein factorization eines willkürlichen morphism in einen von einem monomorphism gefolgten epimorphism kann in allen abelian Kategorien und auch in allen konkreten Kategorien ausgeführt werden, die oben in der Beispiel-Abteilung (obwohl nicht in allen konkreten Kategorien) erwähnt sind.

Zusammenhängende Konzepte

Unter anderen nützlichen Konzepten sind regelmäßiger epimorphism, extremal epimorphism, starker epimorphism und Spalt epimorphism. Ein regelmäßiger epimorphism coequalizes ein paralleles Paar von morphisms. Ein extremal epimorphism ist ein epimorphism, der keinen monomorphism als ein zweiter Faktor hat, wenn das monomorphism kein Isomorphismus ist. Ein starker epimorphism befriedigt ein bestimmtes sich hebendes Eigentum in Bezug auf Ersatzquadrate, die einen monomorphism einschließen.

Ein Spalt epimorphism ist ein morphism, der ein Recht-seitiges Gegenteil hat.

Ein morphism, der sowohl ein monomorphism als auch ein epimorphism ist, wird einen bimorphism genannt. Jeder Isomorphismus ist ein bimorphism, aber das gegenteilige ist im Allgemeinen nicht wahr. Zum Beispiel, die Karte vom halb offenen Zwischenraum [0,1) zum Einheitskreis S (Gedanke als ein Subraum des komplizierten Flugzeugs), der x an exp (2πix) sendet (sieh die Formel von Euler), ist dauernd und bijektiv, aber nicht ein homeomorphism, da die umgekehrte Karte an 1 nicht dauernd ist, so ist es ein Beispiel eines bimorphism, der nicht ein Isomorphismus in der Kategorie-Spitze ist. Ein anderes Beispiel ist das Einbetten Q  R in der Kategorie Haus; wie bemerkt, oben ist es ein bimorphism, aber es ist nicht bijektiv und deshalb nicht ein Isomorphismus. Ähnlich in der Kategorie von Ringen sind die Karten Z  Q und Q  R bimorphisms, aber nicht Isomorphismus.

Epimorphisms werden verwendet, um abstrakte Quotient-Gegenstände in allgemeinen Kategorien zu definieren: zwei epimorphisms f: X  Y und f: Wie man sagt, sind X  Y gleichwertig, wenn dort ein Isomorphismus j besteht: Y  Y mit j f = f. Das ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung, und die Gleichwertigkeitsklassen werden definiert, um die Quotient-Gegenstände X zu sein.

Fachsprache

Der Begleiter nennt epimorphism, und monomorphism wurden zuerst von Bourbaki eingeführt. Bourbaki verwendet epimorphism als Schnellschrift für eine Surjective-Funktion. Frühe Kategorie-Theoretiker haben geglaubt, dass epimorphisms die richtige Entsprechung von Surjektionen in einer willkürlichen Kategorie waren, die dem ähnlich ist, wie monomorphisms sehr fast eine genaue Entsprechung von Einspritzungen sind. Leider ist das falsch; starke oder regelmäßige epimorphisms benehmen sich viel näher zu Surjektionen als gewöhnlicher epimorphisms. Saunders Mac Lane hat versucht, eine Unterscheidung zwischen epimorphisms zu schaffen, die Karten in einer konkreten Kategorie waren, deren zu Grunde liegende Satz-Karten surjective und Epos morphisms waren, die epimorphisms im modernen Sinn sind. Jedoch hat diese Unterscheidung nie Anklang gefunden.

Es ist ein häufiger Fehler zu glauben, dass epimorphisms zu Surjektionen entweder identisch sind, oder dass sie ein besseres Konzept sind. Leider ist das selten der Fall; epimorphisms können sehr mysteriös sein und unerwartetes Verhalten haben. Es ist zum Beispiel sehr schwierig, den ganzen epimorphisms von Ringen zu klassifizieren. Im Allgemeinen sind epimorphisms ihr eigenes einzigartiges Konzept, das mit Surjektionen verbunden ist, aber im Wesentlichen verschieden ist.

Siehe auch

• Liste von Kategorie-Theorie-Themen
• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstrakte und Konkrete Kategorien (4.2 Mb PDF). Ursprünglich publ. John Wiley & Sons. Internationale Standardbuchnummer 0-471-60922-6. (jetzt freie Online-Ausgabe)
• Bergman, George M. (1998), Eine Einladung zu Allgemeiner Algebra und Universalen Aufbauten, Herausgeber von Harry Helson, Berkeley. Internationale Standardbuchnummer 0-9655211-4-1.
• Linderholm, Carl (1970). Eine Gruppe Epimorphism ist Surjective. Amerikanische Mathematische Monatliche 77, Seiten 176-177. Beweis, der von Arturo Magidin in http://groups.google.com/group/sci.math/msg/6d4023d93a2b4300. zusammengefasst ist
• Lawvere & Rosebrugh: Sätze für die Mathematik, Universitätspresse von Cambridge, 2003. Internationale Standardbuchnummer 0-521-80444-2.