In der Optimierungstheorie stellt der Max-Fluss-Lehrsatz des Minute-geschnittenen fest, dass in einem Fluss-Netz der maximale Betrag des Flusses, der von der Quelle zum Becken geht, der minimalen Kapazität gleich ist, die, wenn entfernt, auf eine spezifische Weise vom Netz die Situation verursacht, die kein Fluss von der Quelle zum Becken passieren kann.

Der Max-Fluss-Lehrsatz des Minute-geschnittenen ist ein spezieller Fall des Dualitätslehrsatzes für geradlinige Programme und kann verwendet werden, um den Lehrsatz von Menger und den König-Egerváry Lehrsatz abzuleiten.

Definition

Lassen Sie, ein Netz (geleiteter Graph) zu sein mit und die Quelle und das Becken beziehungsweise zu sein.

: Die Kapazität eines Randes ist ein kartografisch darstellender c: ER, der durch c oder c (u, v) angezeigt ist. Es vertritt den maximalen Betrag des Flusses, der einen Rand durchführen kann.

: Ein Fluss ist ein kartografisch darstellender f: ER, der durch f oder f (u, v), Thema den folgenden zwei Einschränkungen angezeigt ist:

:# für jeden (Höchsteinschränkung)

:# für jeden (Bewahrung von Flüssen).

: Der Wert des Flusses wird dadurch definiert, wo s die Quelle von N ist. Es vertritt den Betrag des Flusses, der von der Quelle zum Becken geht.

Das maximale Fluss-Problem ist, | f |, d. h. zum Weg so viel Fluss wie möglich von s bis t zu maximieren.

: Ein s-t hat C = geschnitten (S, T) ist eine Teilung V solch dass sS und tT. Die Schnittmenge von C ist der Satz {(u, v) E | uS, vT}. Bemerken Sie das, wenn die Ränder in der Schnittmenge von C, | f | = 0 entfernt werden.

: Die Kapazität einer S-T-Kürzung wird dadurch definiert.

Das minimale Kürzungsproblem minimiert d. h., um S und solchen T zu bestimmen, dass die Kapazität der S-T-Kürzung minimal ist.

Behauptung

Der Max-Fluss-Lehrsatz des Minute-geschnittenen setzt fest

: Der maximale Wert eines S-T-Flusses ist der minimalen Kapazität einer S-T-Kürzung gleich.

Geradlinige Programm-Formulierung

Das Max-Fluss-Problem und Problem des Minute-geschnittenen können als zwei geradlinige Ursprünglich-Doppelprogramme formuliert werden.

Die Gleichheit im Max-Fluss-Lehrsatz des Minute-geschnittenen folgt aus dem starken Dualitätslehrsatz in der geradlinigen Programmierung, die dass feststellt, wenn das ursprüngliche Programm eine optimale Lösung, x * hat, dann hat das Doppelprogramm auch eine optimale Lösung, y *, solch, dass die optimalen durch die zwei Lösungen gebildeten Werte gleich sind.

Beispiel

Die Zahl ist rechts ein Netz, das einen Wert des Flusses 7 hat. Der Scheitelpunkt im Weiß und die Scheitelpunkte in der grauen Form, die die Teilmengen S und T eines s-t schneiden, wessen Schnittmenge die verflixten Ränder enthält. Da die Kapazität der S-T-Kürzung 7 ist, der zum Wert des Flusses gleich ist, sagt der Max-Fluss-Lehrsatz des Minute-geschnittenen uns, dass der Wert des Flusses und die Kapazität der S-T-Kürzung beide in diesem Netz optimal sind.

Anwendung

Verallgemeinerter Max-Fluss-Lehrsatz des Minute-geschnittenen

Zusätzlich zur Rand-Kapazität, denken Sie, dass es Kapazität an jedem Scheitelpunkt, d. h. einem kartografisch darstellenden c gibt: VR, der durch c (v) angezeigt ist, solch, dass der Fluss f nicht nur die Höchsteinschränkung und die Bewahrung von Flüssen, sondern auch die Scheitelpunkt-Höchsteinschränkung befriedigen

: für jeden

Mit anderen Worten kann der Betrag des Flusses, der einen Scheitelpunkt durchführt, nicht seine Kapazität überschreiten. Definieren Sie eine S-T-Kürzung, um der Satz von Scheitelpunkten zu sein, und drängt sich solch, dass für jeden Pfad von s bis t der Pfad ein Mitglied der Kürzung enthält. In diesem Fall ist die Kapazität der Kürzung die Summe die Kapazität jedes Randes und Scheitelpunkts darin.

In dieser neuen Definition stellt der verallgemeinerte Max-Fluss-Lehrsatz des Minute-geschnittenen fest, dass der maximale Wert eines S-T-Flusses der minimalen Kapazität einer S-T-Kürzung im neuen Sinn gleich ist.

Der Lehrsatz von Menger

Im ungeleiteten mit dem Rand zusammenhanglosen Pfad-Problem wird uns ein ungeleiteter Graph G = (V, E) und zwei Scheitelpunkte s und t gegeben, und wir müssen die maximale Zahl von mit dem Rand zusammenhanglosen s-t Pfaden in G finden.

Der Lehrsatz von Menger stellt fest, dass die maximale Zahl von mit dem Rand zusammenhanglosen s-t Pfaden in einem ungeleiteten Graphen der minimalen Zahl von Rändern in einer s-t Schnittmenge gleich ist.

Projektauswahl-Problem

Im Projektauswahl-Problem gibt es Projekte und Ausrüstung. Jede Projektertrag-Einnahmen und jede Ausrüstung kosten für den Kauf. Jedes Projekt verlangt mehrere Ausrüstung, und jede Ausrüstung kann durch mehrere Projekte geteilt werden. Das Problem ist zu bestimmen, welche Projekte und Ausrüstung ausgewählt und beziehungsweise gekauft werden sollten, so dass der Gewinn maximiert wird.

Lassen Sie, der Satz von Projekten nicht ausgewählt zu sein und der Satz der gekauften Ausrüstung zu sein, dann kann das Problem als, formuliert werden

Seitdem und sind positiv, dieses Maximierungsproblem kann als ein Minimierungsproblem statt dessen formuliert werden, das, ist

Das obengenannte Minimierungsproblem kann dann als ein Problem des Minimum-geschnittenen durch das Konstruieren eines Netzes formuliert werden, wo die Quelle mit den Projekten mit der Kapazität verbunden wird, und das Becken durch die Ausrüstung mit der Kapazität verbunden wird. Ein Rand mit der unendlichen Kapazität wird hinzugefügt, wenn Projekt Ausrüstung verlangt. Die s-t Schnittmenge vertritt die Projekte und Ausrüstung in und beziehungsweise. Durch den Max-Fluss-Lehrsatz des Minute-geschnittenen kann man das Problem als ein maximales Fluss-Problem beheben.

Die Zahl gibt rechts eine Netzformulierung des folgenden Projektauswahl-Problems:

Die minimale Kapazität einer S-T-Kürzung ist 250, und die Summe der Einnahmen jedes Projektes ist 450; deshalb ist der maximale Gewinn g 450  250 = 200, durch das Auswählen von Projekten und.

Geschichte

Der Max-Fluss-Lehrsatz des Minute-geschnittenen wurde von P. Elias, A. Feinstein und C.E. Shannon 1956, und unabhängig auch von L.R. Ford dem Jüngeren bewiesen. und D.R. Fulkerson in demselben Jahr.

Siehe auch

• Geradlinige Programmierung
• Maximaler Fluss
• Minimum hat geschnitten
• Fluss-Netz
• Algorithmus von Edmonds-Karp