In der Logik, und besonders in seinen Anwendungen auf die Mathematik und Philosophie ist ein Gegenbeispiel eine Ausnahme zu einer vorgeschlagenen allgemeinen Regel. Denken Sie zum Beispiel, dass der Vorschlag "alle Studenten faul ist".

Weil diese Behauptung den Anspruch erhebt, den ein bestimmtes Eigentum (Indolenz) für alle Studenten hält, wird sogar ein einzelnes Beispiel eines fleißigen Studenten es falsch beweisen.

So ist jeder fleißige Student ein Gegenbeispiel "allen Studenten sind faul".

Genauer ist ein Gegenbeispiel ein spezifisches Beispiel der Unehrlichkeit einer universalen Quantifizierung ("für die ganze" Behauptung).

In der Mathematik ist dieser Begriff (durch einen geringen Missbrauch) auch manchmal verwendet für Beispiele, die die Notwendigkeit der vollen Hypothese eines Lehrsatzes illustrieren, indem er einen Fall in Betracht gezogen wird, wo ein Teil der Hypothese nicht nachgeprüft wird, und wo man zeigen kann, dass der Beschluss nicht hält. Ein Gegenbeispiel kann lokal oder in einem Argument global sein.

In der Mathematik

In der Mathematik werden Gegenbeispiele häufig verwendet, um die Grenzen von möglichen Lehrsätzen zu beweisen. Indem sie Gegenbeispiele verwenden, um zu zeigen, dass bestimmte Vermutungen falsch sind, mathematische Forscher vermeiden, Sackgassen herunterzukommen, und erfahren, wie man Vermutungen modifiziert, um nachweisbare Lehrsätze zu erzeugen.

Rechteck-Beispiel

Nehmen Sie an, dass ein Mathematiker Geometrie und Gestalten studiert, und sie bestimmte Lehrsätze über sie beweisen möchte. Sie vermutet, dass "Alle Rechtecke Quadrate sind". Sie kann entweder versuchen, die Wahrheit dieser Behauptung mit dem deduktiven Denken zu beweisen, oder wenn sie vermutet, dass ihre Vermutung falsch ist, könnte sie versuchen, ein Gegenbeispiel zu finden. In diesem Fall würde ein Gegenbeispiel ein Rechteck sein, das nicht ein Quadrat, wie ein Rechteck mit zwei Seiten der Länge 5 und zwei Seiten der Länge 7 ist. Jedoch, trotz Rechtecke gefunden zu haben, die nicht Quadrate, alle Rechtecke waren, die sie wirklich gefunden hat, hatte vier Seiten. Sie macht dann die neue Vermutung "Alle Rechtecke haben vier Seiten". Das ist schwächer als ihre ursprüngliche Vermutung, da jedes Quadrat vier Seiten hat, wenn auch nicht jede vierseitige Gestalt ein Quadrat ist.

Der vorherige Paragraf hat erklärt, wie ein Mathematiker ihre Vermutung angesichts Gegenbeispiele schwächen könnte, aber Gegenbeispiele können auch verwendet werden, um zu zeigen, dass die Annahmen und Hypothese erforderlich sind. Nehmen Sie an, dass nach einer Weile der fragliche Mathematiker auf die neue Vermutung "Alle Gestalten gesetzt hat, die Rechtecke sind und vier Seiten der gleichen Länge haben, sind Quadrate". Diese Vermutung hat zwei Teile zur Hypothese: Die Gestalt muss 'ein Rechteck' sein, und 'haben vier Seiten der gleichen Länge', und der Mathematiker würde gern wissen, ob sie jede Annahme entfernen und noch die Wahrheit ihrer Vermutung aufrechterhalten kann. So muss sie die Wahrheit der Behauptungen überprüfen: (1) "Sind alle Gestalten, die Rechtecke sind, Quadrate" und (2) "Alle Gestalten, die vier Seiten der gleichen Länge haben, sind Quadrate". Ein Gegenbeispiel zu (1) wurde bereits gegeben, und ein Gegenbeispiel zu (2) ist ein Parallelogramm oder ein Diamant. So sieht der Mathematiker, dass beide Annahmen notwendig waren.

Andere mathematische Beispiele

Ein Gegenbeispiel zur Behauptung "alle Primzahlen ist ungerade Zahlen" ist die Nummer 2, wie es eine Primzahl ist, aber nicht eine ungerade Zahl ist. Keine der Nummern 7 oder 10 ist ein Gegenbeispiel, weil keiner der Behauptung widerspricht. In diesem Beispiel, 2 ist das einzige mögliche Gegenbeispiel zur Behauptung, aber nur ein einzelne Beispiel ist erforderlich, um "Allen Primzahlen zu widersprechen, sind ungerade Zahlen". Ähnlich ist die Behauptung "Alle natürlichen Zahlen entweder erst oder zerlegbar" hat die Nummer 1 als ein Gegenbeispiel, weil 1 weder erst noch zerlegbar ist.

In der Philosophie

In der Philosophie werden Gegenbeispiele gewöhnlich verwendet, um zu behaupten, dass eine bestimmte philosophische Position durch die Vertretung falsch ist, dass es in bestimmten Fällen nicht gilt. Verschieden von Mathematikern können Philosophen ihre Ansprüche außer keinen Zweifeln beweisen, so sind andere Philosophen frei, nicht übereinzustimmen und zu versuchen, Gegenbeispiele als Antwort zu finden. Natürlich jetzt kann der erste Philosoph behaupten, dass das angebliche Gegenbeispiel nicht wirklich gilt.

Wechselweise kann der erste Philosoph ihren Anspruch modifizieren, so dass das Gegenbeispiel nicht mehr gilt; das ist dem analog, wenn ein Mathematiker eine Vermutung wegen eines Gegenbeispiels modifiziert.

Zum Beispiel, im Gorgias von Plato, behauptet Callicles, versuchend zu definieren, was es bedeutet zu sagen, dass einige Menschen "besser" sind als andere, dass diejenigen, die stärker sind, besser sind.

Aber Sokrates antwortet, dass, wegen ihrer Kraft von Zahlen, die Klasse der allgemeinen Menge stärker ist als die besitzende Klasse von Edelmännern, wenn auch die Massen Anschein nach des schlechteren Charakters sind. So hat Sokrates ein Gegenbeispiel dem Anspruch von Callicles vorgeschlagen, indem er in einem Gebiet schaut, das Callicles vielleicht — Gruppen von Leuten aber nicht individuellen Personen nicht erwartet hat.

Callicles könnte das Gegenbeispiel von Sokrates herausfordern, vielleicht behauptend, dass die allgemeine Menge wirklich besser ist als die Edelmänner, oder dass sogar in ihrer großen Anzahl sie noch nicht stärker sind. Aber wenn Callicles das Gegenbeispiel akzeptiert, dann muss er entweder seinen Anspruch zurückziehen oder ihn modifizieren, so dass das Gegenbeispiel nicht mehr gilt. Zum Beispiel könnte er seinen Anspruch modifizieren, sich nur auf individuelle Personen zu beziehen, er verlangend, an das Volk als eine Sammlung von Personen aber nicht als eine Menge zu denken.

Wie es geschieht, modifiziert er seinen Anspruch, "klüger" statt "des stärkeren" zu sagen, behauptend, dass kein Betrag der numerischen Überlegenheit Leute klüger machen kann.

Weiterführende Literatur

Das Verwenden von Gegenbeispielen hat sich auf diese Weise erwiesen, so nützlich zu sein, dass es mehrere Bücher gibt, die sie sammeln:

• Lynn Arthur Steen und J. Arthur Seebach der Jüngere.: Gegenbeispiele in der Topologie, dem Springer, New York 1978, internationale Standardbuchnummer 0 486 68735 X.
• Joseph P. Romano und Andrew F. Siegel: Gegenbeispiele in Wahrscheinlichkeit und Statistik, Hausierer & Saal, New York, London 1986, internationale Standardbuchnummer 0-412-98901-8.
• Gary L. Wise und Eric B. Hall: Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeit und Echten Analyse. Presse der Universität Oxford, New York 1993. Internationale Standardbuchnummer 0-19-507068-2.
• Bernard R. Gelbaum, John M. H. Olmsted: Gegenbeispiele in der Analyse. Korrigierter Nachdruck des zweiten (1965) Ausgabe, Veröffentlichungen von Dover, Mineola, New York 2003, internationale Standardbuchnummer 0-486-42875-3.
• Jordan M. Stoyanov: Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeit. Die zweite Ausgabe, Wiley, Chichester 1997, internationale Standardbuchnummer 0-471-96538-3.

Siehe auch

• Ausnahme, die die Regel beweist