Folgender ist eine Liste der oft vorkommenden Gleichungen in der Theorie der speziellen Relativität.

Liste von Gleichungen

Lorentz Transformation

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Die Lorentz Transformation:

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Zeitausdehnung:

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Länge-Zusammenziehung:

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Geschwindigkeitssubtraktion:

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Vier Vektoren und matrices

Die Lorentz Transformation in der Matrixform:

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Der metrische Tensor:

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Der Raum-Zeit-Zwischenraum:

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Vier Geschwindigkeit:

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Vier-Schwünge-:

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Energie in der Relativität

Energie und der Vier-Schwünge-Zeitbegriff:

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Kinetische Energie:

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: Rest-Energie

Andere nützliche Energieschwung-Beziehungen:

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Vier-Kräfte-:

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Doppler Verschiebung

Verschiebung von General Doppler:

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Doppler wechseln für den Emitter und Beobachter bewegendes Recht zu einander (oder direkt weg) aus:

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Doppler bewegen sich für den Emitter und Beobachter, der sich in einer Richtungssenkrechte zur Linie bewegt, die sie verbindet:

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Abstammung der Gleichungen der Speziellen Relativität

Um die Gleichungen der speziellen Relativität abzuleiten, muss man mit zwei Postulaten anfangen:

1. Die Gesetze der Physik sind invariant unter Transformationen zwischen Trägheitsrahmen. Grundsätzlich werden die Gesetze der Physik dasselbe sein, ob Sie sie in einem Rahmen 'ruhig' oder einem Rahmen prüfen, der sich mit einer unveränderlichen Geschwindigkeit hinsichtlich des 'Rest'-Rahmens bewegt.
2. Die Geschwindigkeit des Lichtes in einem Vakuum wird gemessen, um dasselbe durch alle Beobachter in Trägheitsrahmen zu sein. Also, wenn ich einen Lichtstrahl poliere und messe, wie schnell er geht, und dann fangen Sie an, sich wirklich schnell zu bewegen, und dann messen Sie die Geschwindigkeit des leichten Balkens wieder, werden beide Maße dasselbe Ergebnis erzeugen.

Aus diesen zwei Postulaten folgt die ganze spezielle Relativität.

Zeitausdehnung

Jetzt, mit den obengenannten Postulaten im Sinn, stellen Sie sich vor, dass Sie in einem Zug, einem Auto, einem Bus oder jedem anderen Fahrzeug sind, sich mit einer Geschwindigkeit in Bezug auf jemanden Stehen auf dem Boden bewegend, als Ihr Fahrzeug vorbeigeht. Innerhalb Ihres Fahrzeugs polieren Sie ein Licht aufwärts zu einem Spiegel auf der Decke, wo die leichten Schläge zurücktreten. Wenn die Höhe des Spiegels, und die Geschwindigkeit des Lichtes ist, dann ist die Zeit, die man für das Licht braucht, um zu steigen und unten zurückzukommen:

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Jedoch, dem Beobachter auf dem Boden, ist die Situation sehr verschieden. Weil sich der Zug durch den Beobachter auf dem Boden bewegt, scheint der leichte Balken, sich diagonal statt gerade oben und unten zu bewegen. Um sich das zu vergegenwärtigen, stellen Sie das Licht dar, das einmal dann wird ausstrahlt, die Fahrzeugbewegung habend, bis das Licht den Spiegel an der Oberseite vom Fahrzeug schlägt, und dann die Zugbewegung noch mehr habend, bis der leichte Balken zum Boden des Fahrzeugs zurückkehrt. Der leichte Balken wird geschienen sein, sich diagonal aufwärts mit dem Zug, und dann diagonal nach unten bewegt zu haben. Dieser Pfad wird helfen, seitige Zwei-Rechte-Dreiecke, mit der Höhe als eine der Seiten und die zwei folgenden Teile des Pfads zu bilden, der die jeweiligen Hypotenusen ist:

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Umordnen, um zu kommen:

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Einen Faktor wegnehmend, und dann für einsteckend, findet man:

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Das ist die Formel für die Zeitausdehnung. Insbesondere die folgenden Notationen werden sehr häufig in der speziellen Relativität verwendet:

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Das macht die Formel für die Zeitausdehnung:

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Es gibt einige Dinge, auf die sich es lohnt, hier vor dem Weitergehen hinzuweisen. Erstens, ist ein für zwei Rahmen ruhig, und wird progressiv größer das nähere an der Geschwindigkeit des Lichtes, das die Geschwindigkeit zwischen den zwei Rahmen wird. Mit der Geschwindigkeit des Lichtes, ist effektiv unendlich. Zweit ist, dass in diesem Beispiel die Zeit, die im Rahmen auf dem Fahrzeug gemessen ist, als die richtige Zeit bekannt ist. Die richtige Zeit zwischen zwei Ereignissen - wie das Ereignis des Lichtes, das auf dem Fahrzeug und dem Ereignis des Lichtes wird ausstrahlt, das auf dem Fahrzeug wird erhält - ist die Zeit zwischen den zwei Ereignissen in einem Rahmen, wo die Ereignisse an derselben Position vorkommen. Also, oben die Emission und der Empfang des Lichtes haben beide im Rahmen des Fahrzeugs stattgefunden, die Zeit findend, dass ein Beobachter im Rahmen des Fahrzeugs die richtige Zeit messen würde.

Länge-Zusammenziehung und die Transformation von Lorentz

Denken Sie einen langen Zug, sich mit der Geschwindigkeit in Bezug auf den Boden und einem Beobachter auf dem Zug und ein auf dem Boden, Stehen neben einem Posten bewegend. Der Beobachter auf dem Zug sieht, dass die Vorderseite des Zugs, den Posten zu passieren, und dann nach einer Weile das Ende des Zugs sieht um denselben Posten zu um passieren. Er berechnet dann die Länge des Zugs wie folgt:

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Jedoch kommt der Beobachter auf dem Boden, dasselbe Maß machend, zu einem verschiedenen Beschluss. Dieser Beobachter findet, dass Zeit zwischen der Vorderseite des Zugs gegangen ist, der den Posten und dem Rücken des Zugs passiert, der den Posten passiert. Weil die zwei Ereignisse - der Übergang jedes Endes des Zugs durch den Posten - in demselben Platz im Boden-Beobachter-Rahmen, die Zeit vorgekommen ist, ist dieser gemessene Beobachter die richtige Zeit. So:

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Das ist die Formel für die Länge-Zusammenziehung. Als dort hat eine richtige Zeit für die Zeitausdehnung bestanden, dort besteht eine richtige Länge für die Länge-Zusammenziehung, die in diesem Fall ist. Die richtige Länge eines Gegenstands ist die Länge des Gegenstands im Rahmen, in dem der Gegenstand beruhigt ist. Außerdem betrifft diese Zusammenziehung nur die Dimensionen des Gegenstands, die zur Verhältnisgeschwindigkeit zwischen dem Gegenstand und Beobachter parallel sind. So, Dimensionssenkrechte zur Richtung der Bewegung sind durch die Länge-Zusammenziehung ungekünstelt.

Wenn Sie jetzt dieses Ergebnis in die galiläische Transformation einstecken, 's für 's vertretend, und annehmend, dass die Geschwindigkeit ganz in - Richtung ist, kommen Sie:

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Oder:

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Und das Gehen vom primed entwickelt sich zum Unprimed-Rahmen:

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Das Gehen vom Primed-Rahmen bis den Unprimed-Rahmen wurde durch das Bilden in der ersten Gleichung negativ, und dann das Austauschen primed Variablen gegen unprimed, und umgekehrt vollbracht. Außerdem, da Länge-Zusammenziehung die rechtwinkligen Dimensionen eines Gegenstands nicht betrifft, der folgende bleiben dasselbe als in der galiläischen Transformation:

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Schließlich, um sich wie zu belaufen und sich zu verwandeln, müssen Sie die Transformation "zu" in seine Rückseite zustopfen:

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Das Einstecken des Werts für:

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Schließlich, das Teilen durch durch:

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Oder allgemeiner:

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Und das gegenteilige kann wieder durch das Ändern des Zeichens und das Austauschen der unprimed Variablen gegen ihre primed Kollegen, und umgekehrt bekommen werden. Diese Transformationen sind zusammen die Transformation von Lorentz:

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Geschwindigkeit in der Relativität

Die Lorentz Transformationen gelten auch für Differenziale, so:

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Jetzt ist Geschwindigkeit, so

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Jetzt, in stellend, und, bekommen Sie die Geschwindigkeitshinzufügung - wirklich, die Formeln sind unten Subtraktion, aber Hinzufügung schnipst gerade die verschiedenen Zeichen ringsherum - Formel der speziellen Relativität:

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Außerdem werden die Geschwindigkeiten in der Richtungssenkrechte zu den Rahmenänderungen, wie gezeigt, oben betroffen. Das ist wegen der Zeitausdehnung, wie kurz zusammengefasst, in / Transformation. Und Gleichungen wurden beide durch das Teilen des passenden Raumdifferenzials (z.B oder) als Differenzial erreicht.

Das metrische und der vier-Vektoren-

Es ist möglich, die obengenannte Koordinatentransformation über eine Matrix auszudrücken. Um Dinge zu vereinfachen, kann es am besten sein, und mit zu ersetzen, und, der Zeit die Dimensionen einer Entfernung gibt. So:

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Und, schließlich, in der Matrixform:

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Die Vektoren in der obengenannten Transformationsgleichung sind als vier Vektoren bekannt, in diesem Fall sind sie spezifisch die Positionsvier Vektoren. Im Allgemeinen, in der speziellen Relativität, können vier Vektoren von einem Bezugsrahmen bis einen anderen wie folgt umgestaltet werden:

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Im obengenannten, und sind der vier-Vektoren- und der umgestaltete vier-Vektoren-beziehungsweise, und ist die Transformationsmatrix, die, für eine gegebene Transformation dasselbe für alle vier Vektoren ist, die man könnte umgestalten wollen. So kann eine Vier-Vektoren-Darstellen-Position, Geschwindigkeit oder Schwung sein, und dasselbe kann verwendet werden, wenn man sich zwischen denselben zwei Rahmen verwandelt.

Als mit vier Vektoren gibt es ein Konzept des Punktproduktes oder das Skalarprodukt. Die Form davon ist:

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ist als der metrische Tensor bekannt. In der speziellen Relativität ist der metrische Tensor wie folgt:

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Im obengenannten, ist als der Raum-Zeit-Zwischenraum bekannt. Ein anderes Ding, das sich es lohnt zu bemerken, besteht darin, dass dieses Skalarprodukt invariant unter der Transformation von Lorentz ist. Das Skalarprodukt zu haben, invariant sein, bedeutet den folgenden:

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Auf einem Endzeichen über die Matrix- und Vier-Vektoren-Formulierung der speziellen Relativität können sich das Zeichen des metrischen und das Stellen, und zeitbasierte Begriffe mit verschiedenen Leuten ändern, die in verschiedenen Standards arbeiten. Zum Beispiel oft werden die zeitbasierten Begriffe zuerst in den vier Vektoren mit den Raumbegriffen im Anschluss an gelegt. Außerdem manchmal wird ersetzt durch, die Spacial-Begriffe lassend, negative Beiträge zum Punktprodukt oder Raum-Zeit-Zwischenraum erzeugen, während der Zeitbegriff einen positiven Beitrag leistet. Diese Unterschiede können in jeder Kombination verwendet werden, so lange der Wahl von Standards völlig während der durchgeführten Berechnung gefolgt wird.

Geschwindigkeit und Schwung

Der relativistische vier-Geschwindigkeiten-, der die Vier-Vektoren-Darstellen-Geschwindigkeit in der Relativität ist, wird wie folgt definiert:

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Im obengenannten, ist die richtige Zeit des Pfads durch die Raum-Zeit, genannt die Weltlinie, die von der Gegenstand-Geschwindigkeit gefolgt ist, die der obengenannte vertritt. Wie oben angegeben in der Abstammung der Zeitausdehnung ist die richtige Zeit die Zeit zwischen zwei Ereignissen in einem Bezugssystem, wo sie an derselben Position stattfinden. Mit dem Beispiel der Zeitausdehnung im Sinn kann man die Formel dafür wie folgt verwenden:

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Die ersten drei Begriffe, ausgenommen des Faktors dessen, sind die Geschwindigkeit, wie gesehen, durch den Beobachter in ihrem eigenen Bezugsrahmen. Entschlossen durch die Geschwindigkeit zwischen der Verweisung des Beobachters zu sein, entwickelt sich und der Rahmen des Gegenstands, der der Rahmen ist, in dem seine richtige Zeit gemessen wird. Diese Menge ist invariant unter der Transformation von Lorentz, um so zu überprüfen, um zu sehen, was ein Beobachter in einem verschiedenen Bezugsrahmen sieht, multipliziert man einfach die Geschwindigkeit, die mit der Transformationsmatrix von Lorentz zwischen den zwei Bezugsrahmen vier-Vektoren-ist.

Der vier-Schwünge-von einem Gegenstand ist relativ aufrichtig:

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Diese Definition ist in der Form zur Beziehung zum klassischen Schwung und der klassischen Geschwindigkeit identisch. Die Masse, ist auch sein übliches selbst. Weil der Raumteil des vier-Schwünge-kommt:

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Im obengenannten kommt der Faktor dessen aus der Definition des vier-Geschwindigkeiten-, der oben beschrieben ist. Diese Formulierung hat auch eine alternative Weise, festgesetzt zu werden:

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Diese Formulierung macht die neue Beziehung zwischen der Raumgeschwindigkeit, und der Raumschwung sehen praktisch identisch aus. Jedoch kann das irreführend sein, weil es in der speziellen Relativität in allen Verhältnissen nicht passend ist. Zum Beispiel können kinetische Energie und Kraft in der speziellen Relativität nicht genau wie ihre klassischen Entsprechungen geschrieben werden, indem sie nur die Masse mit der relativistischen Masse ersetzt wird. Außerdem, unter Transformationen von Lorentz, ist diese relativistische Masse nicht invariant, während die regelmäßige Masse ist. Deshalb finden viele Menschen es leichter, gerade mit der regelmäßigen Masse zu stecken, und die relativistische Masse zu verwerfen.

Energie

Es gibt eine letzte Eigenschaft des Vier-Schwünge-werten zu besprechen, und das ist die Rolle des zeitbasierten Begriffes, der genannt wird, weil über der Zeit der Begriff der vierte Bestandteil eines vier-Vektoren-gewesen ist. Dieser Begriff läuft gut, um zu sein:

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Da es sich erweist, ist das direkt mit der Energie in der speziellen Relativität wie folgt verbunden:

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Das ist der Grund, dass der vier-Vektoren-Schwung manchmal die vier-Vektoren-Schwung-Energie genannt wird. Jedoch ist es nicht klar, dass diese Definition der Definition der Energie einer freien Partikel klassisch entspricht, die gerade die kinetische Energie der Partikel ist. Jedoch, wenn Sie die binomische Reihenentwicklung für kleine Geschwindigkeiten verwenden, sehen Sie den folgenden:

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Der zweite Begriff ist oben die klassische kinetische Energie. Der erste Begriff ist etwas Neues völlig, und nimmt zur berühmten Gleichung von Einstein ab, wenn sich der Gegenstand nicht bewegt. Dieser Begriff wird die Rest-Masse genannt. Zusätzlich zum klassischen Begriff und dem Rest-Massenbegriff gibt es mehr Begriffe, die zur Vergrößerung hinzugefügt werden konnten, aber sie alle schließen Faktoren mindestens ein, die, für die Annäherung, dass die Geschwindigkeit viel weniger ist als die Geschwindigkeit des Lichtes, bedeuten, dass sie unwesentlich und nicht leicht feststellbar sind.

Wenn man

die obengenannte Vergrößerung in die Rechnung nimmt, bemerkend, dass ein Gegenstand mit der Nullgeschwindigkeit Energie hat, die dem gleich ist, kann man zeigen, dass die kinetische Energie in der speziellen Relativität ist:

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Einige andere nützliche Energie und Schwung-Beziehungen

Wenn man sich zum Rest-Rahmen eines Gegenstands bewegt, und dann das Punktprodukt ihrer vier Schwünge nimmt, kommt man:

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Da der vier-Schwünge-Lorentz invariant ist, ist das Punktprodukt des vier-Schwünge-mit sich invariant unter Transformationen von Lorentz, so ist die obengenannte Beziehung für den vier-Schwünge-in jedem Bezugssystem wahr. Tatsächlich annehmend, dass es Raumschwung-Begriffe gibt, können Sie eine andere Beziehung erzeugen:

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Im obengenannten, ist die relativistische drei Geschwindigkeit.

Kraft

Eine relativistische Kraft, diejenige, die invariant unter der Transformation von Lorentz ist, kann auf eine ähnliche Mode dazu formuliert werden, wie der vier-Geschwindigkeiten-formuliert wurde. Im Fall vom vier-Geschwindigkeiten-wurde das durch die Einnahme der Ableitung von vier-Positionen-in Bezug auf die richtige Zeit auf eine analoge Mode zur klassischen Definition von valeocity als die Ableitung der Position vor der Zeit erreicht. Ähnlich wurde klassische Kraft als die Zeitableitung des Schwungs mit der Zeit definiert. So können Sie auf eine ähnliche Mode, können Sie die Ableitung von vier-Schwünge-in Bezug auf die richtige Zeit nehmen:

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Sie können den letzten Begriff vereinfachen, indem Sie bemerken, dass Sie den folgenden tun können:

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Es sollte bemerkt werden, dass im obengenannten es angenommen wird, dass die Masse mit der Zeit unveränderlich ist. Das Einstecken davon ins erste Ergebnis:

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Das ist der relativistische vier-Kräfte-, der invariant unter der Transformation von Lorentz ist.

Doppler Verschiebung

Wenn ein Gegenstand einen Lichtstrahl oder Radiation, die Frequenz, Wellenlänge ausstrahlt, und die Energie dieses Lichtes oder Radiation verschieden einem bewegenden Beobachter aussehen wird als zu einem ruhig in Bezug auf den Emitter. Wenn man annimmt, dass sich der Beobachter in Bezug auf den Emitter entlang der X-Achse bewegt, dann wird die Standardtransformation von Lorentz des vier-Schwünge-, der Energie einschließt:

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Jetzt, wenn ist, wo der Winkel zwischen und, und das Einstecken der Formeln für die Beziehung der Frequenz zum Schwung und der Energie ist:

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Das ist die Formel für die relativistische Doppler-Verschiebung, wo der Unterschied in der Geschwindigkeit zwischen dem Emitter und Beobachter nicht auf der X-Achse ist. Es gibt zwei spezielle Fälle dieser Gleichung. Das erste ist der Fall, wo die Geschwindigkeit zwischen dem Emitter und Beobachter entlang der X-Achse ist. In diesem Fall, und, der gibt:

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Das ist die Gleichung für die Doppler-Verschiebung im Fall, wo die Geschwindigkeit zwischen dem Emitter und Beobachter entlang der X-Achse ist. Der zweite spezielle Fall ist dass, wo die Verhältnisgeschwindigkeit auf der X-Achse, und so rechtwinklig ist, und, der gibt:

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Das ist der Zeitausdehnung wirklich völlig analog, weil Frequenz diejenige mit der Zeit ist. Also, doppler Verschiebung für Emitter und Beobachter ist die bewegende Senkrechte zur Linie, die sie verbindet, völlig wegen der Effekten der Zeitausdehnung.

Siehe auch

Siehe auch:

• Relativitätstheorie
• Spezielle Relativität
• Allgemeine Relativität
• Liste von Physik-Formeln
• Das Definieren der Gleichung (Physik)
• Bestimmende Gleichung.

Quellen

• Enzyklopädie der Physik (2. Ausgabe), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC Herausgeber, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Dynamik und Relativität, J.R. Forshaw, A.G. Smith, Wiley, 2009, internationale Standardbuchnummer 978-0-470-01460-8
• Relativität DeMystified, D. McMahon, Hügel von Mc Graw (die USA), 2006, internationale Standardbuchnummer 0-07-145545-0
• Das Handbuch von Cambridge von Physik-Formeln, G. Woan, Universität von Cambridge Presse, 2010, internationale Standardbuchnummer 978-0-521-57507-2.
• Eine Einführung in Mechanik, D. Kleppner, R.J. Kolenkow, Universität von Cambridge Presse, 2010, internationale Standardbuchnummer 978-0-521-19821-9