In der Geometrie ist der Neun-Punkte-Kreis ein Kreis, der für jedes gegebene Dreieck gebaut werden kann. Es wird so genannt, weil es neun bedeutende vom Dreieck definierte Punkte durchführt. Diese neun Punkte sind:

• Der Mittelpunkt jeder Seite des Dreiecks
• Der Fuß jeder Höhe
• Der Mittelpunkt des Liniensegmentes von jedem Scheitelpunkt des Dreiecks zum orthocenter (wo sich die drei Höhen treffen; diese Liniensegmente liegen auf ihren jeweiligen Höhen).

Der Neun-Punkte-Kreis ist auch bekannt als der Kreis von Feuerbach, der Kreis von Euler, der Kreis von Terquem, der Sechs-Punkte-Kreis, der Zwölf-Punkte-Kreis, der N-Punkt-Kreis', der medioscribed Kreis, die Mitte Kreis oder der circum-midcircle.

Bedeutende neun Punkte

Das Diagramm zeigt oben die neun bedeutenden Punkte des Neun-Punkte-Kreises. Punkte D, E, und F sind die Mittelpunkte der drei Seiten des Dreiecks. Punkte G H, und bin ich die Füße der Höhen des Dreiecks. Punkte J, K, und L sind die Mittelpunkte der Liniensegmente zwischen der Scheitelpunkt-Kreuzung jeder Höhe (spitzt A, B an, und C) und der orthocenter des Dreiecks (spitzen S an).

Für ein akutes Dreieck liegen sechs der Punkte (die Mittelpunkte und Höhe-Füße) auf dem Dreieck selbst; für ein stumpfes Dreieck haben zwei der Höhen Füße außerhalb des Dreiecks, aber diese Füße gehören noch dem Neun-Punkte-Kreis.

Entdeckung

Obwohl er an seiner Entdeckung geglaubt wird, hat Karl Wilhelm Feuerbach den Neun-Punkte-Kreis, aber eher den sechs Punkt-Kreis nicht völlig entdeckt, die Bedeutung der Mittelpunkte der drei Seiten des Dreiecks und der Füße der Höhen dieses Dreiecks anerkennend. (Sieh Abb. 1, Punkt-D, E, F, G, H, und I.) (Zu einem ein bisschen früheren Datum hatten Charles Brianchon und Jean-Victor Poncelet festgesetzt und denselben Lehrsatz bewiesen.), Aber bald nach Feuerbach hat Mathematiker Olry Terquem selbst die Existenz des Kreises bewiesen. Er war erst, um die zusätzliche Bedeutung der drei Mittelpunkte zwischen den Scheitelpunkten des Dreiecks und dem orthocenter anzuerkennen. (Sieh Abb. 1, Punkt-J, K, und L.) So war Terquem erst, um den Namen Neun-Punkte-Kreis zu verwenden.

Tangente-Kreise

1822 hat Karl Feuerbach entdeckt, dass der Neun-Punkte-Kreis jedes Dreiecks äußerlich Tangente zu der die drei Ex-Kreise des Dreiecks und innerlich Tangente zu seinem incircle ist; dieses Ergebnis ist als der Lehrsatz von Feuerbach bekannt. Er hat dass verlangt:

:... der Kreis, der die Füße der Höhen eines Dreiecks durchführt, ist Tangente zu allen vier Kreisen, die der Reihe nach Tangente zu den drei Seiten des Dreiecks... sind

Der Punkt, an dem der incircle und die Neun-Punkte-Kreisberührung häufig den Punkt von Feuerbach genannt werden.

Andere Eigenschaften des Neun-Punkte-Kreises

• Der Radius eines circumcircle eines Dreiecks ist zweimal der Radius des Neun-Punkte-Kreises dieses Dreiecks.

Abbildung 3

• Ein Neun-Punkte-Kreis halbiert ein Liniensegment, das vom orthocenter des entsprechenden Dreiecks bis jeden Punkt auf seinem circumcircle geht.

Abbildung 4

• Das Zentrum jedes Neun-Punkte-Kreises (das Neun-Punkte-Zentrum) liegt auf der Linie von Euler des entsprechenden Dreiecks, am Mittelpunkt zwischen dem orthocenter und circumcenter dieses Dreiecks.
• Das Neun-Punkte-Zentrum liegt am centroid von vier Punkten, die die drei Scheitelpunkte des Dreiecks und seinen orthocenter umfassen.
• Der neun Punkte sind die drei Mittelpunkte von Liniensegmenten zwischen den Scheitelpunkten und dem orthocenter Nachdenken der Mittelpunkte des Dreiecks über sein Neun-Punkte-Zentrum.
• Das Zentrum aller rechteckigen Hyperbeln, die die Scheitelpunkte eines Dreiecks durchführen, liegt auf seinem Neun-Punkte-Kreis. Beispiele schließen die wohl bekannten rechteckigen Hyperbeln von Keipert, Jeřábek und Feuerbach ein. Diese Tatsache ist als Feuerbach konischer Lehrsatz bekannt.
• Wenn ein orthocentric System von vier Punkten A, B, C und H, dann die vier Dreiecke gegeben wird, die durch eine Kombination von drei verschiedenen Punkten dieses Systems der ganze Anteil derselbe Neun-Punkte-Kreis gebildet sind. Folglich haben diese vier Dreiecke circumcircles mit identischen Radien. Lassen Sie N das allgemeine Neun-Punkte-Zentrum und P vertreten, ein willkürlicher Punkt im Flugzeug des orthocentric Systems sein. Dann NA+NB+NC+NH = 3R, wo R der allgemeine circumradius ist, und wenn PA+PB+PC+PH = K, wo K unveränderlich, dann der geometrische Ort von P behalten wird, ein Kreis ist, der an N mit einem Radius in den Mittelpunkt gestellt ist. Weil sich P N der geometrische Ort von P für den entsprechenden unveränderlichen K nähert, auf N das Neun-Punkte-Zentrum zusammenbricht. Außerdem ist der Neun-Punkte-Kreis der geometrische Ort von solchem P dass PA+PB+PC+PH = 4R.
• Die Zentren des incircle und Ex-Kreise eines Dreiecks bilden ein orthocentric System. Der Neun-Punkte-Kreis hat geschaffen, für den orthocentric System der circumcircle des ursprünglichen Dreiecks ist. Die Füße der Höhen im orthocentric System sind die Scheitelpunkte des ursprünglichen Dreiecks.
• Wenn vier willkürliche Punkte A, B, C, D sind vorausgesetzt, dass kein orthocentric System bilden, dann treffen die Neun-Punkte-Kreise von Abc, BCD, CDA und TUPFER an einem Punkt zusammen. Die restlichen sechs Kreuzungspunkte dieser Neun-Punkte-Kreise trifft jeder mit den Mittelpunkten der vier Dreiecke zusammen. Bemerkenswert, dort besteht ein einzigartiger Neun-Punkte-konischer, in den Mittelpunkt gestelltes am centroid dieser vier willkürlichen Punkte, der alle sieben Punkte der Kreuzung dieser Neun-Punkte-Kreise durchführt. Außerdem wegen Feuerbach besteht konischer Lehrsatz, der oben erwähnt ist, dort ein einzigartiger rechteckiger circumconic, der am allgemeinen Kreuzungspunkt der vier Neun-Punkte-Kreise in den Mittelpunkt gestellt ist, der die vier ursprünglichen willkürlichen Punkte sowie den orthocenters der vier Dreiecke durchführt.
• Wenn vier Punkte A, B, C, D diese Form ein zyklisches Vierseit gegeben werden, dann treffen die Neun-Punkte-Kreise von Abc, BCD, CDA und TUPFER am Antizentrum des zyklischen Vierseits zusammen. Die Neun-Punkte-Kreise sind alle mit einem Radius halb mehr als das des circumcircle des zyklischen Vierseits kongruent. Die Neun-Punkte-Kreise formen sich eine Reihe vier Kreise von Johnson. Folglich sind die vier Neun-Punkte-Zentren cylic und liegen auf einem zu den vier Neun-Punkte-Kreisen kongruenten Kreis, der am Antizentrum des zyklischen Vierseits in den Mittelpunkt gestellt wird. Außerdem ist das zyklische von den vier neun-pont Zentren gebildete Vierseit homothetic zur Verweisung zyklisches Vierseit ABCD durch einen Faktor −/ und sein homothetic Zentrum (N) liegt auf der Linie, die den circumcenter (O) zum Antizentrum (M) wo AUF = 2NM verbindet.
• Die orthopole von Linien, die den circumcenter durchführen, liegen auf dem Neun-Punkte-Kreis.
• Koordinaten von Trilinear für das Neun-Punkte-Zentrum sind weil (B − C): weil (C − A): weil (− B)
• Koordinaten von Trilinear für den Punkt von Feuerbach sind 1 − weil (B − C): 1 − weil (C − A): 1 − weil (− B)
• Koordinaten von Trilinear für das Zentrum der Hyperbel von Kiepert sind (b − c)/a: (c − a)/b: (− b)/c
• Koordinaten von Trilinear für das Zentrum der Jeřábek Hyperbel sind weil Eine Sünde (B − C): Weil B sündigen (C − A): Weil C sündigen (− B)

• Das Lassen x: y: z, ein variabler Punkt in Trilinear-Koordinaten sein, ist eine Gleichung für den Neun-Punkte-Kreis

: xsin 2A + ysin 2B + zsin 2C − 2 (yz sündigen + zx Sünde B + xy Sünde C), = 0.

Siehe auch

• Neun-Punkte-Hyperbel
• Synthetische Geometrie
• Der Lehrsatz von Lester
• Dreieck-Zentrum
• .

Außenverbindungen

• Enzyklopädie von Dreieck-Zentren durch Clark Kimberling. Das Neun-Punkte-Zentrum wird als X (5), der Punkt von Feuerbach, als X (11), das Zentrum der Hyperbel von Kiepert als X (115) und das Zentrum der Jeřábek Hyperbel als X (125) mit einem Inhaltsverzeichnis versehen.
• Geschichte über den Neun-Punkte-Kreis, der auf dem Artikel von J.S. MacKay von 1892 gestützt ist: Geschichte des Neun Punkt-Kreises
• Neun Punkt-Kreis in Java an der Knoten-Kürzung
• Der Lehrsatz von Feuerbach: ein Beweis an der Knoten-Kürzung
• Spezielle Linien und Kreise in einem Dreieck durch Walter Fendt (verlangt Java)
• Ein interaktives Java applet Vertretung mehrerer Dreieck-Zentren, der auf dem Neun Punkt-Kreis liegt.
• Interaktiver Neun Punkt-Kreis applet aus dem Wolfram-Demonstrationsprojekt
• Neun-Punkte-konisch und Liniengeneralisation von Euler an Dynamischen Geometrie-Skizzen Verallgemeinert Neun-Punkte-Kreis zu einem Neun-Punkte-konischen mit einer verbundenen Generalisation der Linie von Euler.