In der Logik, den Behauptungen und sind logisch gleichwertig, wenn sie denselben logischen Inhalt haben.

Syntaktisch, und sind gleichwertig, wenn jeder vom anderen bewiesen werden kann. Semantisch, und sind gleichwertig, wenn sie denselben Wahrheitswert in jedem Modell haben.

Die logische Gleichwertigkeit dessen und wird manchmal als, Epq ausgedrückt, oder.

Jedoch werden diese Symbole auch für die materielle Gleichwertigkeit verwendet; die richtige Interpretation hängt vom Zusammenhang ab. Logische Gleichwertigkeit ist von der materiellen Gleichwertigkeit verschieden, obwohl die zwei Konzepte nah verbunden sind.

Beispiel

Die folgenden Behauptungen sind logisch gleichwertig:

1. Wenn Lisa in Frankreich ist, dann ist sie in Europa. (In Symbolen.)
2. Wenn Lisa nicht in Europa ist, dann ist sie nicht in Frankreich. (In Symbolen.)

Syntaktisch, (1) und (2) sind von einander über die Regeln der philosophischen Gegenüberstellung und doppelten Ablehnung ableitbar. Semantisch, (1) und (2) sind in genau denselben Modellen (Interpretationen, Schätzungen) wahr; nämlich sind diejenigen, in denen entweder Lisa in Frankreich ist, falsch oder Lisa ist in Europa ist wahr.

(Bemerken Sie, dass in diesem Beispiel klassische Logik angenommen wird. Etwas nichtklassische Logik meint (1) und (2) logisch gleichwertig nicht.)

Beziehung zur materiellen Gleichwertigkeit

Logische Gleichwertigkeit ist von der materiellen Gleichwertigkeit verschieden. Die materielle Gleichwertigkeit von p und q (häufig schriftlicher pq) ist selbst eine andere Behauptung auf derselben Gegenstand-Sprache wie p und q, der die Idee "p wenn und nur wenn q" ausdrückt. Insbesondere der Wahrheitswert von pq kann sich von einem Modell bis einen anderen ändern.

Der Anspruch, dass zwei Formeln logisch gleichwertig sind, ist eine Erklärung in der Metasprache, eine Beziehung zwischen zwei Behauptungen p und q ausdrückend. Der Anspruch, dass p und q semantisch gleichwertig sind, hängt von keinem besonderen Modell ab; es sagt, dass in jedem möglichen Modell p denselben Wahrheitswert wie q haben wird. Der Anspruch, dass p und q syntaktisch gleichwertig sind, hängt von Modellen überhaupt nicht ab; es stellt fest, dass es einen Abzug von q von p und einen Abzug von p von q gibt.

Es gibt eine nahe Beziehung zwischen materieller Gleichwertigkeit und logischer Gleichwertigkeit. Formeln p und q sind syntaktisch gleichwertig, wenn, und nur wenn pq ein Lehrsatz ist, während p und q semantisch gleichwertig sind, wenn, und nur wenn pq in jedem Modell wahr ist (d. h. ist pq logisch gültig).

Siehe auch

• Logischer biconditional
• Logische Gleichheit
• Wenn und nur wenn
• Equisatisfiability