In der Wahrscheinlichkeitstheorie erklärt der Lehrsatz von de Finetti, warum austauschbare Beobachtungen gegeben eine latente Variable bedingt unabhängig sind, der ein epistemic Wahrscheinlichkeitsvertrieb dann zugeteilt würde. Es wird zu Ehren von Bruno de Finetti genannt.

Es stellt fest, dass eine austauschbare Folge von Bernoulli zufällige Variablen eine "Mischung" des Unabhängigen und identisch verteilt (i.i.d) ist. Zufällige Variablen von Bernoulli - während die individuellen Variablen der austauschbaren Folge nicht selbst i.i.d sind., nur austauschbar gibt es eine zu Grunde liegende Familie von i.i.d. zufälligen Variablen.

So, während Beobachtungen i.i.d. für eine Folge nicht zu sein brauchen, um austauschbar zu sein, dort sind zu Grunde liegend, Mengen allgemein unbeobachtbar, die i.i.d sind. - austauschbare Folgen sind (nicht notwendigerweise i.i.d.) Mischungen von i.i.d. Folgen.

Hintergrund

Ein Bayesian Statistiker sucht häufig den bedingten Wahrscheinlichkeitsvertrieb einer zufälligen Menge gegeben die Daten. Das Konzept der Ex-Wechselhaftigkeit wurde von de Finetti eingeführt. Der Lehrsatz von De Finetti erklärt eine mathematische Beziehung zwischen Unabhängigkeit und Ex-Wechselhaftigkeit.

Eine unendliche Folge

zufälliger Variablen wird gesagt, wenn gegen jede begrenzte Grundzahl n und irgendwelche zwei begrenzten Folgen i..., ich und j..., j (mit jedem austauschbar zu sein, verschieden, und jedem der js verschiedenen zu sein), die zwei Folgen

beide haben denselben gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsvertrieb.

Wenn eine identisch verteilte Folge unabhängig ist, dann ist die Folge austauschbar; jedoch ist das gegenteilige falscher---dort bestehen austauschbare zufällige Variablen, die, zum Beispiel das Urne-Modell von Polya statistisch abhängig sind.

Behauptung des Lehrsatzes

Eine zufällige Variable X hat einen Vertrieb von Bernoulli wenn Pr (X = 1) = p und Pr (X = 0) = 1 − p für einen p  (0, 1).

Der Lehrsatz von De Finetti stellt fest, dass der Wahrscheinlichkeitsvertrieb jeder unendlichen austauschbaren Folge von Bernoulli zufällige Variablen eine "Mischung" des Wahrscheinlichkeitsvertriebs von unabhängigen und identisch verteilten Folgen von Bernoulli zufällige Variablen ist. "Mischung", in diesem Sinn, bedeutet einen gewogenen Mittelwert, aber das braucht keinen begrenzten oder zählbar unendlich (d. h., getrennt) gewogener Mittelwert zu bedeuten: Es kann ein Integral aber nicht eine Summe sein.

Denken Sie genauer X, X, X... ist eine unendliche austauschbare Folge Bernoulli-verteilter zufälliger Variablen. Dann gibt es etwas Wahrscheinlichkeitsvertrieb M auf dem Zwischenraum [0, 1] und eine zufällige Variable Y solch dass

• Der Wahrscheinlichkeitsvertrieb von Y ist M und
• Der bedingte Wahrscheinlichkeitsvertrieb der ganzen Folge X, X, X... in Anbetracht des Werts von Y wird durch den Ausspruch davon beschrieben
• X, X, X, sind... bedingt unabhängiger gegebener Y und
• Für irgendwelchen ich  {1, 2, 3...}, die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass X = 1, in Anbetracht des Werts von Y, Y ist.

Eine andere Weise, den Lehrsatz festzusetzen

Denken Sie X, X, X... ist eine unendliche austauschbare Folge Bernoulli-verteilter zufälliger Variablen. Dann X, X, X, sind... gegeben das Schwanz-Sigma-Feld bedingt unabhängig.

Beispiel

Hier ist ein konkretes Beispiel. Nehmen Sie p = 2/3 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 und p = 9/10 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 an. Nehmen Sie den bedingten Vertrieb der Folge an

in Anbetracht des Ereignisses dass p = 2/3, wird durch den Ausspruch beschrieben, dass sie unabhängig und identisch verteilt sind und X = 1 mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 und X = 0 mit der Wahrscheinlichkeit 1 − (2/3). Weiter wird der bedingte Vertrieb derselben Folge gegeben das Ereignis dass p = 9/10, durch den Ausspruch beschrieben, dass sie unabhängig und identisch verteilt sind und X = 1 mit der Wahrscheinlichkeit 9/10 und X = 0 mit der Wahrscheinlichkeit 1 − (9/10). Die Unabhängigkeit behauptet hier ist bedingte Unabhängigkeit, d. h., der Bernoulli sind zufällige Variablen in der Folge gegeben das Ereignis bedingt unabhängig, dass p = 2/3, und gegeben das Ereignis das p = 9/10 bedingt unabhängig sind. Aber sie sind ziemlich bedingt unabhängig; sie werden positiv aufeinander bezogen. Im Hinblick auf das starke Gesetz der großen Anzahl können wir das sagen

2/3 & \text {mit der Wahrscheinlichkeit} 1/2, \\

9/10 & \text {mit der Wahrscheinlichkeit} 1/2.

\end {Fälle} </Mathematik>

Anstatt Wahrscheinlichkeit 1/2 an jedem von zwei Punkten zwischen 0 und 1 zu konzentrieren, kann der "sich vermischende Vertrieb" jeder Wahrscheinlichkeitsvertrieb sein, der auf dem Zwischenraum von 0 bis 1 unterstützt ist; welcher, der es ist, vom gemeinsamen Vertrieb der unendlichen Folge von Bernoulli zufällige Variablen abhängt.

Der Beschluss der ersten Version des Lehrsatzes hat oben Sinn, wenn die Folge von austauschbarem Bernoulli zufällige Variablen sind begrenzt, aber der Lehrsatz ist in diesem Fall nicht allgemein wahr. Es ist wahr, wenn die Folge zu einer austauschbaren Folge erweitert werden kann, die ungeheuer lang ist. Das einfachste Beispiel einer austauschbaren Folge von Bernoulli zufällige Variablen, die nicht so erweitert werden können, ist dasjenige in der X = 1 &minus; X und X ist entweder 0 oder 1, jeder mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Diese Folge ist austauschbar, aber kann zu einer austauschbaren Folge der Länge 3, ganz zu schweigen von einer ungeheuer langen nicht erweitert werden.

Erweiterungen

Versionen des Lehrsatzes von de Finetti für begrenzt austauschbare Folgen,

und für Markov sind austauschbare Folgen von Diaconis und Freedman und von Kerns und Szekely bewiesen worden.

Zwei Begriffe der teilweisen Ex-Wechselhaftigkeit der Reihe, die als getrennte und gemeinsame Ex-Wechselhaftigkeit bekannt ist, führen zu Erweiterungen des Lehrsatzes von de Finetti für die Reihe durch Aldous und Hoover.

Der berechenbare Lehrsatz von de Finetti zeigt dass, wenn eine austauschbare Folge von echten zufälligen Variablen durch ein Computerprogramm gegeben wird, dann ein Programm, welche Proben vom sich vermischenden Maß automatisch wieder erlangt werden können.

In der Einstellung der freien Wahrscheinlichkeit gibt es eine Nichtersatzerweiterung des Lehrsatzes von de Finetti, der Nichtersatzfolgen invariant unter Quant-Versetzungen charakterisiert.

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