In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist die Momentenerzeugungsfunktion einer zufälligen Variable eine alternative Spezifizierung seines Wahrscheinlichkeitsvertriebs (jedoch, bemerken Sie, dass nicht alle zufälligen Variablen Momentenerzeugungsfunktionen haben). So schafft es die Grundlage eines Alternativwegs zu analytischen Ergebnissen im Vergleich zum Arbeiten direkt mit Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktionen oder kumulativen Vertriebsfunktionen. Es gibt besonders einfache Ergebnisse für die Momentenerzeugungsfunktionen des durch die belasteten Summen von zufälligen Variablen definierten Vertriebs.

Zusätzlich zum univariate Vertrieb können Momentenerzeugungsfunktionen für den Vektoren - oder matrixgeschätzte zufällige Variablen definiert werden, und können sogar zu allgemeineren Fällen erweitert werden.

Die Momentenerzeugungsfunktion besteht sogar für reellwertige Argumente verschieden von der charakteristischen Funktion nicht immer. Es gibt Beziehungen zwischen dem Verhalten der Momentenerzeugungsfunktion eines Vertriebs und den Eigenschaften des Vertriebs wie die Existenz von Momenten.

Definition

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist die Momentenerzeugungsfunktion einer zufälligen Variable X

:

wo auch immer diese Erwartung besteht.

immer besteht und ist 1 gleich.

Ein Schlüsselproblem mit Momentenerzeugungsfunktionen besteht darin, dass Momente und die Momentenerzeugungsfunktion nicht bestehen können, weil die Integrale absolut nicht zusammenzulaufen brauchen. Im Vergleich besteht die charakteristische Funktion immer (weil es das Integral einer begrenzten Funktion auf einem Raum des begrenzten Maßes ist), und so stattdessen verwendet werden kann.

Mehr allgemein, wo, ein n-dimensional zufälliger Vektor, man statt tX verwendet:

:

Der Grund dafür, diese Funktion zu definieren, besteht darin, dass sie verwendet werden kann, um alle Momente des Vertriebs zu finden. Die Reihenentwicklung von e ist:

:

E^ {tX} = 1 + tX + \frac {t^2X^2} {2!} + \frac {t^3X^3} {3!} + \cdots + \frac {t^nX^n} {n!} + \cdots.

</Mathematik>

Folglich:

:

M_X (t) = E (E^ {tX}) = 1 + tm_1 + \frac {t^2m_2} {2!} + \frac {t^3m_3} {3!} + \cdots + \frac {t^nm_n} {n!} + \cdots,

</Mathematik>

wo M der n-te Moment ist.

Wenn wir M (t) ich Zeiten in Bezug auf t unterscheiden und dann t = 0 setzen, werden wir deshalb den ith Moment über den Ursprung, M erhalten.

Beispiele

</Mathematik>| -

| Negativer Binomischer NB (r, p)

|

|| -| }\

Berechnung

Die Momentenerzeugungsfunktion wird vom Riemann-Stieltjes integrierter gegeben

:

wo F die kumulative Vertriebsfunktion ist.

Wenn X eine dauernde Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion (x) ƒ hat, dann ist M (&minus;t) zweiseitiger Laplace verwandeln sich von (x) ƒ.

:

\begin {richten }\aus

M_X (t) & = \int_ {-\infty} ^\\infty E^ {tx} f (x) \, dx \\

& = \int_ {-\infty} ^\\infty \left (1 + tx + \frac {t^2x^2} {2!} + \cdots + \frac {t^nx^n} {n!} + \cdots\right) f (x) \, dx \\

& = 1 + tm_1 + \frac {t^2m_2} {2!} + \cdots + \frac {t^nm_n} {n!} + \cdots,

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo M der n-te Moment ist.

Summe von unabhängigen zufälligen Variablen

Wenn X, X..., X eine Folge von unabhängigen (und nicht notwendigerweise identisch verteilt) zufällige Variablen und ist

:

wo Konstanten sind, dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion für S die Gehirnwindung der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktionen von jedem der X, und die Momentenerzeugungsfunktion für S wird durch gegeben

:

M_ {S_n} (t) =M_ {X_1} (a_1t) M_ {X_2} (a_2t) \cdots M_ {X_n} (a_nt) \.

</Mathematik>

Vektor-geschätzte zufällige Variablen

Für Vektor-geschätzte zufällige Variablen X mit echten Bestandteilen wird die Momentenerzeugungsfunktion durch gegeben

:

wo t ein Vektor ist und das Punktprodukt ist.

Wichtige Eigenschaften

Das wichtigste Eigentum der Momentenerzeugungsfunktion besteht dass darin, wenn zwei Vertrieb dieselbe Momentenerzeugungsfunktion hat, dann sind sie an allen Punkten identisch. D. h. wenn für alle Werte von t,

:

dann

:

für alle Werte von x (oder gleichwertig X und Y haben denselben Vertrieb). Diese Behauptung ist zu nicht gleichwertig, ``wenn zwei Vertrieb dieselben Momente hat, dann sind sie an allen Punkten identisch", weil in einigen Fällen die Momente bestehen und noch die Momentenerzeugungsfunktion nicht, weil in einigen Fällen die Grenze tut

:

besteht nicht. Das geschieht für den lognormal Vertrieb.

Berechnungen von Momenten

Die Momentenerzeugungsfunktion ist so genannt, weil, wenn sie auf einem offenen Zwischenraum um t = 0, dann besteht, es die Exponentialerzeugen-Funktion der Momente des Wahrscheinlichkeitsvertriebs ist:

:

n sollte nichtnegativ sein.

Andere Eigenschaften

Das Lemma von Hoeffding stellt einem gebundenen die Momentenerzeugungsfunktion im Fall von einem nullbösartigen zur Verfügung, hat zufällige Variable begrenzt.

Beziehung zu anderen Funktionen

Verbunden mit der Momentenerzeugungsfunktion sind mehrer anderer verwandelt sich, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie üblich sind:

charakteristische Funktion: Die charakteristische Funktion ist mit der Momentenerzeugungsfunktion über die charakteristische Funktion verbunden ist die Momentenerzeugungsfunktion von iX oder die Moment-Erzeugen-Funktion X bewertet auf der imaginären Achse. Diese Funktion kann auch angesehen werden, weil sich der Fourier der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion verwandelt, die deshalb daraus durch das Gegenteil abgeleitet werden kann, das Fourier umgestaltet.

das Cumulant-Erzeugen der Funktion: Die Cumulant-Erzeugen-Funktion wird als der Logarithmus der Momentenerzeugungsfunktion definiert; einige definieren stattdessen die Cumulant-Erzeugen-Funktion als der Logarithmus der charakteristischen Funktion, während andere diesen Letzteren die zweite Cumulant-Erzeugen-Funktion nennen.

Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion: Die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion wird definiert, weil Das sofort das einbezieht

Siehe auch

• Das Moment-Erzeugen von Factorial fungiert
• Rate-Funktion