In der Mechanik und Physik ist das Gesetz von Hooke der Elastizität eine Annäherung, die feststellt, dass die Erweiterung eines Frühlings im direkten Verhältnis mit der darauf angewandten Last ist. Viele Materialien folgen diesem Gesetz, so lange die Last die elastische Grenze des Materials nicht überschreitet. Materialien, für die das Gesetz von Hooke eine nützliche Annäherung ist, sind als geradlinig-elastische oder "Hookean" Materialien bekannt. Das Gesetz von Hooke in einfachen Begriffen sagt, dass Beanspruchung zu Betonung direkt proportional ist.

Mathematisch setzt das Gesetz von Hooke das fest

:

wo

: x ist die Versetzung des Endes des Frühlings von seiner Gleichgewicht-Position (eine Entfernung, in SI-Einheiten: Meter);

: F ist die Wiederherstellungskraft, die vor dem Frühling auf dieses Ende ausgeübt ist (in SI-Einheiten: N oder Kg · m/s); und

: k ist eine Konstante genannt die Rate oder Frühlingskonstante (in SI-Einheiten: N/m oder kg/s).

Wenn das hält, wie man sagt, ist das Verhalten geradlinig. Wenn gezeigt, auf einem Graphen sollte die Linie eine direkte Schwankung zeigen. Es gibt ein negatives Zeichen auf der rechten Seite der Gleichung, weil die Wiederherstellungskraft immer in der entgegengesetzten Richtung der Versetzung handelt (zum Beispiel, wenn ein Frühling nach links gestreckt wird, zieht es nach rechts zurück).

Das Gesetz von Hooke wird nach dem britischen Physiker des 17. Jahrhunderts Robert Hooke genannt. Er hat zuerst dieses Gesetz 1660 als ein lateinisches Anagramm festgesetzt, dessen Lösung er 1678 als Ut tensio, sic Kraft, Bedeutung, "Als die Erweiterung, so die Kraft veröffentlicht hat".

Allgemeine Anwendung auf elastische Materialien

Gegenstände, die schnell ihre ursprüngliche Gestalt wiedergewinnen, durch eine Kraft, mit den Molekülen oder Atomen ihres Materials deformiert, das zum anfänglichen Staat des stabilen Gleichgewichts zurückkehrt, folgen häufig dem Gesetz von Hooke.

Wir können eine Stange jedes elastischen Materials als ein geradliniger Frühling ansehen. Die Stange hat Länge L und Querschnittsfläche A. Seine Erweiterung (Beanspruchung) ist zu seiner dehnbaren Betonung σ, durch einen unveränderlichen Faktor, das Gegenteil seines Moduls der Elastizität, E, folglich, linear proportional

:

oder

:

Das Gesetz von Hooke hält nur für einige Materialien unter bestimmten ladenden Bedingungen. Stahl stellt geradlinig-elastisches Verhalten in den meisten Technikanwendungen aus; das Gesetz von Hooke ist dafür überall in seiner elastischen Reihe (d. h., für Betonungen unter der Ertrag-Kraft) gültig. Für einige andere Materialien, wie Aluminium, ist das Gesetz von Hooke nur für einen Teil der elastischen Reihe gültig. Für diese Materialien wird eine proportionale Grenze-Betonung definiert, unter dem die mit der geradlinigen Annäherung vereinigten Fehler unwesentlich sind.

Gummi wird allgemein als ein "non-hookean" Material betrachtet, weil seine Elastizität Betonung ist, die abhängig und zur Temperatur und ladenden Rate empfindlich ist.

Anwendungen des Gesetzes schließen bediente Wägemaschinen des Frühlings, Betonungsanalyse und das Modellieren von Materialien ein.

Die Frühlingsgleichung

1. Äußerste Kraft

2. Ertrag-Kraft - entspricht Dehngrenze

3. Bruch

4. Beanspruchungshärtegebiet

5. Liebelei-Gebiet

A: (F/A)

B: Wahre Betonung (F/A)]]

Die meistens gestoßene Form des Gesetzes von Hooke ist wahrscheinlich die Frühlingsgleichung, die die Kraft verbindet, die vor einem Frühling zur Entfernung ausgeübt ist, wird es durch eine Frühlingskonstante, k gestreckt, in der Kraft pro Länge gemessen.

:

Das negative Zeichen zeigt an, dass die vor dem Frühling ausgeübte Kraft in der direkten Opposition gegen die Richtung der Versetzung ist. Es wird eine "Wiederherstellungskraft" genannt, weil es dazu neigt, das System zum Gleichgewicht wieder herzustellen.

Die potenzielle Energie versorgt wird in einem Frühling durch gegeben

:

der das Zusammenzählen der Energie herkommt, nimmt es, um den Frühling zusätzlich zusammenzupressen. D. h. das Integral der Kraft über die Versetzung. (Bemerken Sie, dass die potenzielle Energie eines Frühlings immer nichtnegativ ist.)

Dieses Potenzial kann als eine Parabel auf dem U-x Flugzeug vergegenwärtigt werden. Da der Frühling in der positiven X-Richtung gestreckt wird, die potenziellen Energiezunahmen (geschieht dasselbe Ding, wie der Frühling zusammengepresst wird). Der entsprechende Punkt auf der potenziellen Energiekurve ist höher als das entsprechend der Gleichgewicht-Position (x = 0). Die Tendenz für den Frühling ist, deshalb seine potenzielle Energie durch das Zurückbringen in sein Gleichgewicht (der ungestreckten) Position zu vermindern, gerade als ein Ball bergab rollt, um seine potenzielle Gravitationsenergie zu vermindern.

Wenn eine MassenM dem Ende solch eines Frühlings beigefügt wird, wird das System ein harmonischer Oszillator. Es wird mit einer natürlichen Frequenz gegeben irgendein als eine winkelige Frequenz schwingen

:

oder als eine natürliche Frequenz

:

Diese idealisierte Beschreibung von Frühlingsmechanik-Arbeiten so lange die Masse des Frühlings ist im Vergleich zur MassenM sehr klein, es gibt keine bedeutende Reibung auf dem System, und der Frühling wird außer seiner natürlichen Reihe nicht übererweitert (der es dauerhaft deformieren kann).

Vielfache Frühlinge

Wenn zwei Frühlinge einer Masse beigefügt und zusammengepresst werden, vergleicht der folgende Tisch Werte der Frühlinge.

Abstammung

:

Schließlich ist die Kraft unterm Hammer gefunden worden:

::

So können wir alles in der Parenthese definieren, um zu sein

::

Der auch geschrieben werden kann:

::| }\:

So ist die Kraft unterm Hammer

::

Der ist, warum wir die gleichwertige Frühlingskonstante als definieren können

::| }\:

Für den Frühling 1 ist x die Entfernung von der Gleichgewicht-Länge, und für den Frühling 2, x - ist x die Entfernung von seiner Gleichgewicht-Länge. So können wir definieren

::::

Stecken Sie diese Definitionen in die Kraft-Gleichung ein, und wir werden eine Beziehung zwischen den komprimierten Entfernungen für im Reihe-Fall bekommen:

::| }\:

Tensor-Ausdruck des Gesetzes von Hooke

Wenn

man mit einem dreidimensionalen Betonungsstaat arbeitet, muss ein 4. Ordnungstensor , 81 elastische Koeffizienten enthaltend, definiert werden, um den Spannungstensor zu verbinden (σ

:

Ausgedrückt in Bezug auf Bestandteile in Bezug auf eine orthonormale Basis wird die verallgemeinerte Form des Gesetzes von Hooke als (das Verwenden der Summierungstagung) geschrieben

:

Der Tensor wird den Steifkeitstensor oder den Elastizitätstensor genannt. Wegen der Symmetrie des Spannungstensors, Deformationstensors und Steifkeitstensor, sind nur 21 elastische Koeffizienten unabhängig. Da Betonung in Einheiten des Drucks gemessen wird und Beanspruchung ohne Dimension ist, sind die Einträge dessen auch in Einheiten des Drucks.

Der Ausdruck für das Gesetz von verallgemeinertem Hooke kann umgekehrt werden, um eine Beziehung für die Beanspruchung in Bezug auf Betonung zu bekommen:

:

\epsilon_ {ij} = s_ {ijk\ell} ~ \sigma_ {k\ell} ~. </Mathematik>

Der Tensor wird den Gehorsam-Tensor genannt.

Die Generalisation für den Fall von großen Deformierungen wird durch Modelle von neo-Hookean Festkörpern und Festkörpern von Mooney-Rivlin zur Verfügung gestellt.

Isotropische Materialien

(sieh Viskosität für eine analoge Entwicklung für klebrige Flüssigkeiten.)

Isotropische Materialien werden durch Eigenschaften charakterisiert, die der Richtung im Raum unabhängig sind. Physische Gleichungen, die isotropische Materialien einschließen, müssen deshalb des Koordinatensystems unabhängig sein, das gewählt ist, um sie zu vertreten. Der Deformationstensor ist ein symmetrischer Tensor. Da die Spur jedes Tensor jedes Koordinatensystems unabhängig ist, soll die am meisten ganze koordinatenfreie Zergliederung eines symmetrischen Tensor es als die Summe eines unveränderlichen Tensor und eines traceless symmetrischen Tensor vertreten. So:

:

\varepsilon_ {ij} = \left (\tfrac {1} {3 }\\varepsilon_ {kk }\\delta_ {ij }\\Recht) +

\left (\varepsilon_ {ij}-\tfrac {1} {3 }\\varepsilon_ {kk }\\delta_ {ij }\\Recht)

</Mathematik>

wo das Delta von Kronecker ist. In der direkten Tensor-Notation

:

\boldsymbol {\\varepsilon} = \mathrm {vol} (\boldsymbol {\\varepsilon}) +

\mathrm {dev} (\boldsymbol {\\varepsilon}) ~; ~~

\mathrm {vol} (\boldsymbol {\\varepsilon}): = \tfrac {1} {3} ~ \mathrm {tr} (\boldsymbol {\\varepsilon}) ~ \mathbf {ich} ~; ~~

\mathrm {dev} (\boldsymbol {\\varepsilon}): = \boldsymbol {\\varepsilon} - \mathrm {vol} (\boldsymbol {\\varepsilon})

</Mathematik>

wo der Identitätstensor der zweiten Ordnung ist.

Der erste Begriff ist rechts der unveränderliche Tensor, auch bekannt als der volumetrische Deformationstensor, und der zweite Begriff ist der traceless symmetrische Tensor, auch bekannt als der deviatoric Deformationstensor, oder scheren Sie Tensor.

Die allgemeinste Form des Gesetzes von Hooke für isotropische Materialien kann jetzt als eine geradlinige Kombination dieses zwei Tensor geschrieben werden:

:

\sigma_ {ij} =3K\left (\tfrac {1} {3 }\\varepsilon_ {kk }\\delta_ {ij }\\Recht)

+2G\left (\varepsilon_ {ij}-\tfrac {1} {3 }\\varepsilon_ {kk }\\delta_ {ij }\\Recht) \, ~; ~~

\boldsymbol {\\Sigma} = 3K ~\mathrm {vol} (\boldsymbol {\\varepsilon}) + 2G ~\mathrm {dev} (\boldsymbol {\\varepsilon})

</Mathematik>

wo K das Hauptteil-Modul ist und G das Schubmodul ist.

Mit den Beziehungen zwischen den elastischen Modulen können diese Gleichungen auch auf verschiedene andere Weisen ausgedrückt werden. Eine Standardform des Gesetzes von Hooke für isotropische Materialien, die in der direkten Tensor-Notation ausgedrückt sind, ist

:

\boldsymbol {\\Sigma} = \lambda ~\mathrm {tr} (\boldsymbol {\\varepsilon}) ~ \mathbf {ich} + 2\mu ~\boldsymbol {\\varepsilon }\

= \mathsf {c}:\boldsymbol {\\varepsilon} ~; ~~ \mathsf {c} = \lambda ~\mathbf {ich }\\otimes\mathbf {ich} + 2\mu ~\mathsf {ich}

</Mathematik>

wo und die Konstanten von Lamé sind, ist der Identitätstensor der zweiten Ordnung, und ist der symmetrische Teil des Identitätstensor der vierten Ordnung. In Bezug auf Bestandteile in Bezug auf eine Kartesianische Basis,

:

\sigma_ {ij} = \lambda ~\varepsilon_ {kk} ~ \delta_ {ij} + 2\mu ~\varepsilon_ {ij} = c_ {ijk\ell} ~ \varepsilon_ {k\ell} ~; ~~ c_ {ijk\ell} = \lambda ~\delta_ {ij} ~ \delta_ {k\ell} + \mu ~ (\delta_ {ik} ~ \delta_ {j\ell} + \delta_ {i\ell} ~ \delta_ {jk})

</Mathematik>

Die umgekehrte Beziehung ist

:

\boldsymbol {\\varepsilon} = \tfrac {1} {2\mu} ~ \boldsymbol {\\Sigma} - \tfrac {\\Lambda} {2\mu (3\lambda+2\mu)} ~ \mathrm {tr} (\boldsymbol {\\Sigma}) ~ \mathbf {ich} = \tfrac {1} {2G} ~ \boldsymbol {\\Sigma} + \left (\tfrac {1} {9K} - \tfrac {1} {6G }\\Recht) ~ \mathrm {tr} (\boldsymbol {\\Sigma}) ~ \mathbf {ich }\

</Mathematik>

Deshalb ist der Gehorsam-Tensor in der Beziehung

:

\mathsf {s} = - \tfrac {\\Lambda} {2\mu (3\lambda+2\mu)} ~ \mathbf {ich }\\otimes\mathbf {ich} + \tfrac {1} {2\mu} ~ \mathsf {ich }\

= \left (\tfrac {1} {9K} - \tfrac {1} {6G }\\Recht) ~ \mathbf {ich }\\otimes\mathbf {ich} + \tfrac {1} {2G} ~ \mathsf {ich }\

</Mathematik>

In Bezug auf das Modul von Jungem und das Verhältnis von Poisson kann das Gesetz von Hooke für isotropische Materialien dann als ausgedrückt werden

:

\boldsymbol {\\varepsilon} = \tfrac {1} {E} ~ \boldsymbol {\\Sigma} - \tfrac {\\nu} {E }\\ist [\mathrm {tr} (\boldsymbol {\\Sigma}) ~ \mathbf {ich} - \boldsymbol {\\Sigma }\\Recht] abgereist

</Mathematik>

Das ist die Form, in der die Beanspruchung in Bezug auf den Spannungstensor in der Technik ausgedrückt wird. Der Ausdruck in der ausgebreiteten Form ist

:

\begin {richten }\aus

\varepsilon_ {11} & = \tfrac {1} {E }\\ist [\sigma_ {11} - \nu (\sigma_ {22} + \sigma_ {33}) \right] \\abgereist

\varepsilon_ {22} & = \tfrac {1} {E }\\ist [\sigma_ {22} - \nu (\sigma_ {11} + \sigma_ {33}) \right] \\abgereist

\varepsilon_ {33} & = \tfrac {1} {E }\\ist [\sigma_ {33} - \nu (\sigma_ {11} + \sigma_ {22}) \right] \\abgereist

\varepsilon_ {12} & = \tfrac {1} {2G} ~ \sigma_ {12} ~; ~~

\varepsilon_ {13} = \tfrac {1} {2G} ~ \sigma_ {13} ~; ~~

\varepsilon_ {23} = \tfrac {1} {2G} ~ \sigma_ {23 }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo E das Modul des Jungen ist und das Verhältnis von Poisson ist. (Sieh 3. Elastizität).

:

In der Matrixform kann das Gesetz von Hooke für isotropische Materialien als geschrieben werden

:

\begin {bmatrix }\\varepsilon_ {11} \\\varepsilon_ {22} \\\varepsilon_ {33} \\2\varepsilon_ {23} \\2\varepsilon_ {31} \\2\varepsilon_ {12} \end {bmatrix} =

\begin {bmatrix }\\varepsilon_ {11} \\\varepsilon_ {22} \\\varepsilon_ {33} \\\gamma_ {23} \\\gamma_ {31} \\\gamma_ {12} \end {bmatrix} =

\cfrac {1} {E }\

\begin {bmatrix} 1 &-\nu &-\nu & 0 & 0 & 0 \\

- \nu & 1 &-\nu & 0 & 0 & 0 \\

- \nu &-\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 2 (1 +\nu) & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 2 (1 +\nu) & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 (1 +\nu) \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\\sigma_ {11} \\\sigma_ {22} \\\sigma_ {33} \\\sigma_ {23} \\\sigma_ {31} \\\sigma_ {12} \end {bmatrix }\

</Mathematik>

wo die Technik ist, scheren Beanspruchung.

Die umgekehrte Beziehung kann als geschrieben werden

:

\begin {bmatrix }\\sigma_ {11} \\\sigma_ {22} \\\sigma_ {33} \\\sigma_ {23} \\\sigma_ {31} \\\sigma_ {12} \end {bmatrix }\

= \cfrac {E} {(1 +\nu) (1-2\nu) }\

\begin {bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\

\nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\

\nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\\varepsilon_ {11} \\\varepsilon_ {22} \\\varepsilon_ {33} \\2\varepsilon_ {23} \\2\varepsilon_ {31} \\2\varepsilon_ {12} \end {bmatrix}

</Mathematik>

welcher Ausdruck dank der Konstanten von Lamé vereinfacht werden kann:

: \begin {bmatrix }\\sigma_ {11} \\\sigma_ {22} \\\sigma_ {33} \\\sigma_ {23} \\\sigma_ {31} \\\sigma_ {12} \end {bmatrix }\

=

\begin {bmatrix} 2\mu +\lambda & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\

\lambda & 2\mu +\lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\

\lambda & \lambda & 2\mu +\lambda & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\\varepsilon_ {11} \\\varepsilon_ {22} \\\varepsilon_ {33} \\2\varepsilon_ {23} \\2\varepsilon_ {31} \\2\varepsilon_ {12} \end {bmatrix}</Mathematik>

Flugzeug-Betonungsgesetz von Hooke

Unter dem Flugzeug betonen Bedingungen. In diesem Fall nimmt das Gesetz von Hooke die Form an

:

\begin {bmatrix }\\varepsilon_ {11} \\\varepsilon_ {22} \\2\varepsilon_ {12} \end {bmatrix} = \cfrac {1} {E }\

\begin {bmatrix} 1 &-\nu & 0 \\

- \nu & 1 & 0 \\

0 & 0 & 2 (1 +\nu) \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\\sigma_ {11} \\\sigma_ {22} \\\sigma_ {12} \end {bmatrix }\

</Mathematik>

Die umgekehrte Beziehung wird gewöhnlich in der reduzierten Form geschrieben

:

\begin {bmatrix }\\sigma_ {11} \\\sigma_ {22} \\\sigma_ {12} \end {bmatrix }\

= \cfrac {E} {1-\nu^2 }\

\begin {bmatrix} 1 & \nu & 0 \\

\nu & 1 & 0 \\

0 & 0 & \cfrac {1-\nu} {2} \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\\varepsilon_ {11} \\\varepsilon_ {22} \\2\varepsilon_ {12} \end {bmatrix}

</Mathematik>

Materialien von Anisotropic

Die Symmetrie des Spannungstensors von Cauchy und die Gesetze von verallgemeinertem Hooke bezieht das ein. Ähnlich bezieht die Symmetrie des unendlich kleinen Deformationstensors das ein. Diese symmetries werden den geringen symmetries des Steifkeitstensor genannt. Das vermindert die Anzahl von elastischen Konstanten zu 36 von 81.

Wenn außerdem da der Versetzungsanstieg und die Betonung von Cauchy verbundene Arbeit sind, kann die Betonungsbeanspruchungsbeziehung aus einer Beanspruchungsenergiedichte funktionell , dann abgeleitet werden

:

\sigma_ {ij} = \cfrac {\\teilweise U\{\\teilweiser \epsilon_ {ij}} \quad \implies \quad

c_ {ijk\ell} = \cfrac {\\partial^2 U\{\\teilweiser \epsilon_ {ij }\\teilweiser \epsilon_ {k\ell}} ~.

</Mathematik>

Die Eigenmächtigkeit der Ordnung der Unterscheidung bezieht das ein. Diese werden den größeren symmetries des Steifkeitstensor genannt. Das vermindert die Anzahl von elastischen Konstanten zu 21 von 36. Die größeren und geringen symmetries zeigen an, dass der Steifkeitstensor nur 21 unabhängige Bestandteile hat.

Matrixdarstellung (Steifkeitstensor)

Es ist häufig nützlich, die Anisotropic-Form des Gesetzes von Hooke in der Matrixnotation, auch genannt Notation von Voigt auszudrücken. Um das zu tun, nutzen wir die Symmetrie der Betonung und Deformationstensoren aus und drücken sie als sechsdimensionale Vektoren in einem orthonormalen Koordinatensystem als aus

:

[\boldsymbol {\\Sigma}] = \begin {bmatrix }\\sigma_ {11 }\\\\sigma_ {22} \\\sigma_ {33} \\\sigma_ {23} \\\sigma_ {31} \\\sigma_ {12} \end {bmatrix} \equiv

\begin {bmatrix} \sigma_1 \\\sigma_2 \\\sigma_3 \\\sigma_4 \\\sigma_5 \\\sigma_6 \end {bmatrix} ~; ~~

[\boldsymbol {\\Epsilon}] = \begin {bmatrix }\\epsilon_ {11 }\\\\epsilon_ {22} \\\epsilon_ {33} \\2\epsilon_ {23} \\2\epsilon_ {31} \\2\epsilon_ {12} \end {bmatrix} \equiv

\begin {bmatrix} \epsilon_1 \\\epsilon_2 \\\epsilon_3 \\\epsilon_4 \\\epsilon_5 \\\epsilon_6 \end {bmatrix }\

</Mathematik>

Dann kann der Steifkeitstensor als ausgedrückt werden

:

[\mathsf {C}] = \begin {bmatrix} c_ {1111} & c_ {1122} & c_ {1133} & c_ {1123} & c_ {1131} & c_ {1112} \\

c_ {2211} & c_ {2222} & c_ {2233} & c_ {2223} & c_ {2231} & c_ {2212} \\

c_ {3311} & c_ {3322} & c_ {3333} & c_ {3323} & c_ {3331} & c_ {3312} \\

c_ {2311} & c_ {2322} & c_ {2333} & c_ {2323} & c_ {2331} & c_ {2312} \\

c_ {3111} & c_ {3122} & c_ {3133} & c_ {3123} & c_ {3131} & c_ {3112} \\

c_ {1211} & c_ {1222} & c_ {1233} & c_ {1223} & c_ {1231} & c_ {1212}

\end {bmatrix} \equiv \begin {bmatrix }\

C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} & C_ {14} & C_ {15} & C_ {16} \\

C_ {12} & C_ {22} & C_ {23} & C_ {24} & C_ {25} & C_ {26} \\

C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} & C_ {34} & C_ {35} & C_ {36} \\

C_ {14} & C_ {24} & C_ {34} & C_ {44} & C_ {45} & C_ {46} \\

C_ {15} & C_ {25} & C_ {35} & C_ {45} & C_ {55} & C_ {56} \\

C_ {16} & C_ {26} & C_ {36} & C_ {46} & C_ {56} & C_ {66} \end {bmatrix }\

</Mathematik>

und das Gesetz von Hooke wird als geschrieben

:

[\boldsymbol {\\Sigma}] = [\mathsf {C}] [\boldsymbol {\\Epsilon}] \qquad \text {oder} \qquad \sigma_i = C_ {ij} \epsilon_j ~.

</Mathematik>

Ähnlich kann der Gehorsam-Tensor als geschrieben werden

:

[\mathsf {S}] = \begin {bmatrix }\

s_ {1111} & s_ {1122} & s_ {1133} & 2s_ {1123} & 2s_ {1131} & 2s_ {1112} \\

s_ {2211} & s_ {2222} & s_ {2233} & 2s_ {2223} & 2s_ {2231} & 2s_ {2212} \\

s_ {3311} & s_ {3322} & s_ {3333} & 2s_ {3323} & 2s_ {3331} & 2s_ {3312} \\

2s_ {2311} & 2s_ {2322} & 2s_ {2333} & 4s_ {2323} & 4s_ {2331} & 4s_ {2312} \\

2s_ {3111} & 2s_ {3122} & 2s_ {3133} & 4s_ {3123} & 4s_ {3131} & 4s_ {3112} \\

2s_ {1211} & 2s_ {1222} & 2s_ {1233} & 4s_ {1223} & 4s_ {1231} & 4s_ {1212}

\end {bmatrix} \equiv \begin {bmatrix}

S_ {11} & S_ {12} & S_ {13} & S_ {14} & S_ {15} & S_ {16} \\

S_ {12} & S_ {22} & S_ {23} & S_ {24} & S_ {25} & S_ {26} \\

S_ {13} & S_ {23} & S_ {33} & S_ {34} & S_ {35} & S_ {36} \\

S_ {14} & S_ {24} & S_ {34} & S_ {44} & S_ {45} & S_ {46} \\

S_ {15} & S_ {25} & S_ {35} & S_ {45} & S_ {55} & S_ {56} \\

S_ {16} & S_ {26} & S_ {36} & S_ {46} & S_ {56} & S_ {66} \end {bmatrix }\

</Mathematik>

Änderung des Koordinatensystems

Wenn ein geradliniges elastisches Material von einer Bezugskonfiguration bis einen anderen rotieren gelassen wird, dann ist das Material in Bezug auf die Folge symmetrisch, wenn die Bestandteile des Steifkeitstensor in der rotieren gelassenen Konfiguration mit den Bestandteilen in der Bezugskonfiguration durch die Beziehung verbunden sind

:

c_ {pqrs} = l_ {Pi} ~l_ {qj} ~l_ {rk} ~l_ {s\ell} ~c_ {ijk\ell }\

</Mathematik>

wo die Bestandteile einer orthogonalen Folge-Matrix sind. Dieselbe Beziehung hält auch für Inversionen.

In der Matrixnotation, wenn die umgestaltete Basis (rotieren gelassen oder umgekehrt) mit der Bezugsbasis durch verbunden ist

:

[\mathbf {e} _i'] = [L] [\mathbf {e} _i]

</Mathematik>

dann

:

C_ {ij} ~ \epsilon_i ~\epsilon_j = C_ {ij} '~ \epsilon' _i ~\epsilon' _j ~.

</Mathematik>

Außerdem, wenn das Material in Bezug auf die Transformation dann symmetrisch

ist:

C_ {ij} = C' _ {ij} \quad \implies \quad C_ {ij} ~ (\epsilon_i ~\epsilon_j - \epsilon' _i ~\epsilon' _j) = 0 ~.

</Mathematik>

Materialien von Orthotropic

Materialien von Orthotropic haben drei orthogonale Flugzeuge der Symmetrie. Wenn die Basisvektoren normals zu den Flugzeugen der Symmetrie dann sind, beziehen die Koordinatentransformationsbeziehungen das ein

:

\begin {bmatrix} \sigma_1 \\\sigma_2 \\\sigma_3 \\\sigma_4 \\\sigma_5 \\\sigma_6 \end {bmatrix} =

\begin {bmatrix }\

C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} & 0 & 0 & 0 \\

C_ {12} & C_ {22} & C_ {23} & 0 & 0 & 0 \\

C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & C_ {55} & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {66} \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix} \epsilon_1 \\\epsilon_2 \\\epsilon_3 \\\epsilon_4 \\\epsilon_5 \\\epsilon_6 \end {bmatrix }\</Mathematik>

Das Gegenteil dieser Beziehung wird als allgemein geschrieben

:

\begin {bmatrix }\

\epsilon_ \\\epsilon_ {\\rm yy} \\\epsilon_ {\\rm zz} \\2\epsilon_ {\\rm yz} \\2\epsilon_ {\\rm zx} \\2\epsilon_ {\\rm xy }\

\end {bmatrix }\

= \begin {bmatrix }\

\tfrac {1} {E_ {\\rm x}} & - \tfrac {\\nu_ {\\rm yx}} {E_ {\\rm y}} & - \tfrac {\\nu_ {\\rm zx}} {E_ {\\rm z}} & 0 & 0 & 0 \\

- \tfrac {\\nu_ {\\rm xy}} {E_ {\\rm x}} & \tfrac {1} {E_ {\\rm y}} & - \tfrac {\\nu_ {\\rm zy}} {E_ {\\rm z}} & 0 & 0 & 0 \\

- \tfrac {\\nu_ {\\rm xz}} {E_ {\\rm x}} & - \tfrac {\\nu_ {\\rm yz}} {E_ {\\rm y}} & \tfrac {1} {E_ {\\rm z}} & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & \tfrac {1} {G_ {\\rm yz}} & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac {1} {G_ {\\rm zx}} & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac {1} {G_ {\\rm xy}} \\

\end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\

\sigma_ {\\rm xx} \\\sigma_ {\\rm yy} \\\sigma_ {\\rm zz} \\\sigma_ {\\rm yz} \\\sigma_ {\\rm zx} \\\sigma_ {\\rm xy }\

\end {bmatrix }\ </Mathematik>wo

: ist das Modul des Jungen entlang der Achse

: ist das Schubmodul in der Richtung auf dem Flugzeug, dessen normal in der Richtung ist

: ist das Verhältnis von Poisson, das einer Zusammenziehung in der Richtung entspricht, wenn eine Erweiterung in der Richtung angewandt wird.

Unter Flugzeug-Betonungsbedingungen, nimmt das Gesetz von Hooke für ein orthotropic Material die Form an

:

\begin {bmatrix }\\varepsilon_ {\\rm xx} \\\varepsilon_ {\\rm yy} \\2\varepsilon_ {\\rm xy} \end {bmatrix} =

\begin {bmatrix} \frac {1} {E_ {\\rm x}} &-\frac {\\nu_ {\\rm yx}} {E_ {\\rm y}} & 0 \\

- \frac {\\nu_ {\\rm xy}} {E_ {\\rm x}} & \frac {1} {E_ {\\rm y}} & 0 \\

0 & 0 & \frac {1} {G_ {\\rm xy}} \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\\sigma_ {\\rm xx} \\\sigma_ {\\rm yy} \\\sigma_ {\\rm xy} \end {bmatrix} \.

</Mathematik>

Die umgekehrte Beziehung ist

:

\begin {bmatrix }\\sigma_ {\\rm xx} \\\sigma_ {\\rm yy} \\\sigma_ {\\rm xy} \end {bmatrix }\

= \cfrac {1} {1-\nu_ {\\rm xy }\\nu_ {\\rm yx} }\

\begin {bmatrix} E_ {\\rm x\& \nu_ {\\rm yx} E_ {\\rm x\& 0 \\

\nu_ {\\rm xy} E_ {\\rm y\& E_ {\\rm y\& 0 \\

0 & 0 & G_ {\\rm xy} (1-\nu_ {\\rm xy }\\nu_ {\\rm yx}) \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\\varepsilon_ {\\rm xx} \\\varepsilon_ {\\rm yy} \\2\varepsilon_ {\\rm xy} \end {bmatrix} \.

</Mathematik>

Die umgestellte Form der obengenannten Steifkeitsmatrix wird auch häufig verwendet.

Schräg isotropische Materialien

Ein schräg isotropisches Material ist in Bezug auf eine Folge über eine Achse der Symmetrie symmetrisch. Für solch ein Material, wenn die Achse der Symmetrie ist, kann das Gesetz von Hooke als ausgedrückt werden

:\begin {bmatrix} \sigma_1 \\\sigma_2 \\\sigma_3 \\\sigma_4 \\\sigma_5 \\\sigma_6 \end {bmatrix} =\begin {bmatrix }\ C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} & 0 & 0 & 0 \\

C_ {12} & C_ {11} & C_ {13} & 0 & 0 & 0 \\

C_ {13} & C_ {13} & C_ {33} & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac {1} {2} (C_ {11}-c_ {12}) \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix} \epsilon_1 \\\epsilon_2 \\\epsilon_3 \\\epsilon_4 \\\epsilon_5 \\\epsilon_6 \end {bmatrix }\</Mathematik>

Öfter wird die Achse genommen, um die Achse der Symmetrie zu sein, und das Gesetz des umgekehrten Hookes wird als geschrieben

: \begin {bmatrix }\ \epsilon_ \\\epsilon_ {\\rm yy} \\\epsilon_ {\\rm zz} \\2\epsilon_ {\\rm yz} \\2\epsilon_ {\\rm zx} \\2\epsilon_ {\\rm xy }\ \end {bmatrix }\ = \begin {bmatrix }\

\tfrac {1} {E_ {\\rm x}} & - \tfrac {\\nu_ {\\rm yx}} {E_ {\\rm y}} & - \tfrac {\\nu_ {\\rm yx}} {E_ {\\rm y}} & 0 & 0 & 0 \\

- \tfrac {\\nu_ {\\rm xy}} {E_ {\\rm x}} & \tfrac {1} {E_ {\\rm y}} & - \tfrac {\\nu_ {\\rm yz}} {E_ {\\rm y}} & 0 & 0 & 0 \\

- \tfrac {\\nu_ {\\rm xy}} {E_ {\\rm x}} & - \tfrac {\\nu_ {\\rm yz}} {E_ {\\rm y}} & \tfrac {1} {E_ {\\rm y}} & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & \tfrac {2 (1 +\nu_ {\\rm yz})} {E_ {\\rm y}} & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac {1} {G_ {\\rm xy}} & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac {1} {G_ {\\rm xy}} \\ \end {bmatrix }\ \begin {bmatrix }\ \sigma_ {\\rm xx} \\\sigma_ {\\rm yy} \\\sigma_ {\\rm zz} \\\sigma_ {\\rm yz} \\\sigma_ {\\rm zx} \\\sigma_ {\\rm xy }\ \end {bmatrix }\ </Mathematik>

Thermodynamische Basis des Gesetzes von Hooke

Geradlinigen Deformierungen von elastischen Materialien kann als adiabatisch näher gekommen werden. Unter diesen Bedingungen und für quasistatische Prozesse kann das erste Gesetz der Thermodynamik für einen verformten Körper als ausgedrückt werden

:

\delta W = \delta U \,

</Mathematik>

wo die Zunahme in der inneren Energie ist und die geleistete Arbeit durch Außenkräfte ist. Die Arbeit kann in zwei Begriffe gespalten werden

:

\delta W = \delta W_s + \delta W_b \,

</Mathematik>

wo die geleistete Arbeit durch Oberflächenkräfte ist, während die geleistete Arbeit durch Körperkräfte ist. Wenn eine Schwankung des Versetzungsfeldes im Körper ist, dann können die zwei Außentätigkeitsbegriffe als ausgedrückt werden

:

\delta W_s = \int_ {\\partial\Omega} \mathbf {t }\\cdot\delta\mathbf {u} ~ {\\rm dS} ~; ~~

\delta W_b = \int_ {\\Omega} \mathbf {b }\\cdot\delta\mathbf {u} ~ {\\rm dV}

</Mathematik>

wo der Oberflächentraktionsvektor ist, der Körperkraft-Vektor ist, den Körper vertritt und seine Oberfläche vertritt. Mit der Beziehung zwischen der Betonung von Cauchy und der Oberflächentraktion, (wo die Einheit äußer normal dazu ist), haben wir

:

\delta W = \delta U = \int_ {\\partial\Omega} (\mathbf {n }\\cdot\boldsymbol {\\Sigma}) \cdot\delta\mathbf {u} ~ {\\rm dS} + \int_ {\\Omega} \mathbf {b }\\cdot\delta\mathbf {u} ~ {\\rm dV }\

</Mathematik>

Das Umwandeln des Oberflächenintegrals in ein über den Abschweifungslehrsatz integriertes Volumen gibt

:

\delta U = \int_ {\\Omega} [\boldsymbol {\\nabla }\\cdot (\boldsymbol {\\Sigma }\\cdot\delta\mathbf {u}) + \mathbf {b }\\cdot\delta\mathbf {u}] ~ {\\rm dV} ~.

</Mathematik>

Das Verwenden der Symmetrie der Betonung von Cauchy und der Identität

:

\boldsymbol {\\nabla }\\cdot (\boldsymbol {Ein }\\cdot\mathbf {b}) = (\boldsymbol {\\nabla }\\cdot\boldsymbol) \cdot\mathbf {b} +

\tfrac {1} {2} [\boldsymbol {Ein} ^T:\boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {b} +

\boldsymbol :(\boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {b}) ^T]

</Mathematik>

wir haben

:

\delta U = \int_ {\\Omega} [\boldsymbol {\\Sigma}:

\tfrac {1} {2 }\\{\\boldsymbol {\\nabla }\\delta\mathbf {u} + (\boldsymbol {\\nabla }\\delta\mathbf {u}) ^T\} + \{\\boldsymbol {\\nabla }\\cdot\boldsymbol {\\Sigma} + \mathbf {b }\\}\\cdot\delta\mathbf {u}] ~ {\\rm dV} ~.

</Mathematik>

Aus der Definition der Beanspruchung und von den Gleichungen des Gleichgewichts haben wir

:

\delta\boldsymbol {\\Epsilon} = \tfrac {1} {2} [\boldsymbol {\\nabla }\\delta\mathbf {u} + (\boldsymbol {\\nabla }\\delta\mathbf {u}) ^T] ~; ~~

\boldsymbol {\\nabla }\\cdot\boldsymbol {\\Sigma} + \mathbf {b} = \mathbf {0} ~.

</Mathematik>

Folglich können wir schreiben

:

\delta U = \int_ {\\Omega} \boldsymbol {\\Sigma}:\delta\boldsymbol {\\Epsilon} ~ {\\rm dV}

</Mathematik>

und deshalb wird die Schwankung in der inneren Energiedichte durch gegeben

:

\delta U_0 = \boldsymbol {\\Sigma}:\delta\boldsymbol {\\Epsilon} ~.

</Mathematik>

Ein elastisches Material wird als dasjenige definiert, in dem die innere Gesamtenergie der potenziellen Energie der inneren Kräfte gleich ist (auch hat die elastische Beanspruchungsenergie genannt). Deshalb ist die innere Energiedichte eine Funktion der Beanspruchungen, und die Schwankung der inneren Energie kann als ausgedrückt werden

:

\delta U_0 = \cfrac {\\teilweiser U_0} {\\partial\boldsymbol {\\Epsilon}}:\delta\boldsymbol {\\Epsilon} ~.

</Mathematik>

Da die Schwankung der Beanspruchung willkürlich ist, wird die Betonungsbeanspruchungsbeziehung eines elastischen Materials durch gegeben

:

\boldsymbol {\\Sigma} = \cfrac {\\teilweiser U_0} {\\partial\boldsymbol {\\Epsilon}} ~.

</Mathematik>

Für ein geradliniges elastisches Material ist die Menge eine geradlinige Funktion dessen, und kann deshalb als ausgedrückt werden

:

\boldsymbol {\\Sigma} = \mathsf {c}:\boldsymbol {\\Epsilon }\

</Mathematik>

wo ein Tensor der vierten Ordnung von materiellen Konstanten, auch genannt den Steifkeitstensor ist. Wir können sehen, warum ein Tensor der vierten Ordnung durch die Anmerkung dass, für ein geradliniges elastisches Material, sein muss

:

\cfrac {\\teilweise} {\\partial\boldsymbol {\\Epsilon}} [\boldsymbol {\\Sigma} (\boldsymbol {\\Epsilon})] = \text {unveränderlich} = \mathsf {c} \.

</Mathematik>

In der Index-Notation

:

\cfrac {\\partial\sigma_ {ij}} {\\partial\epsilon_ {k\ell}} = \text {unveränderlich} = c_ {ijk\ell} \.

</Mathematik>

Klar verlangt die unveränderliche rechte Seite vier Indizes und ist eine vierte Bestellmenge. Wir können auch sehen, dass diese Menge ein Tensor sein muss, weil es eine geradlinige Transformation ist, die den Deformationstensor in den Spannungstensor bringt. Wir können auch zeigen, dass die Konstante den Tensor-Transformationsregeln für den vierten Ordnungstensor folgt.

Siehe auch

• Elastizität (Physik)
• Elastische Grenze
• Elastisches Modul
• Elastische potenzielle Energie
• Unendlich kleine Beanspruchungstheorie
• Liste von wissenschaftlichen Gesetzen genannt nach Leuten
• Geradlinige Elastizität
• Quadratische Form
• Frühlingssystem
• Das Verhältnis von Poisson
• Einfache harmonische Bewegung einer Masse auf einem Frühling
• Sinus-Welle
• Feste Mechanik
• Betonung (Mechanik)
• Frühlingspendel

Referenzen

• A.C. Ugural, S.K. Fenster, Fortgeschrittene Kraft und Angewandte Elastizität, 4. Hrsg.

Links

• Java Applet das Gesetz von demonstrierendem Hooke in der Bewegung