Im mathematischen Feld der Lüge-Theorie ist ein Diagramm von Dynkin ein Typ des Graphen mit einigen Rändern verdoppelt oder verdreifacht (gezogen als eine doppelte oder dreifache Linie), und mit irgendwelchen vielfachen geleiteten Rändern, bestimmte Einschränkungen befriedigend. Sie sind von Interesse erstens, weil sie halbeinfache Lüge-Algebra klassifizieren, algebraisch hat Felder geschlossen, und verursachen Sie Gruppen von Weyl, die viele (aber nicht alle) der begrenzten Nachdenken-Gruppen sind. Sie entstehen auch in anderen Zusammenhängen. Sie werden für Eugene Dynkin genannt; sieh Geschichte unten.

Es gibt Zweideutigkeit in der Fachsprache: In einigen Fällen werden Diagramme von Dynkin geleitet angenommen, in welchem Fall sie zu Wurzelsystemen und halbeinfachen Lüge-Algebra entsprechen, während in anderen Fällen sie ungeleitet angenommen werden, in welchem Fall sie Gruppen von Weyl entsprechen; und geleitete Diagramme geben dasselbe ungeleitete Diagramm nach, das entsprechend In diesem Artikel genannt ist, "Diagramm von Dynkin" bedeutet, hat Diagramm von Dynkin geleitet, und ungeleitete Diagramme von Dynkin werden ausführlich so genannt.

Klassifikation von halbeinfachen Lüge-Algebra

Das grundsätzliche Interesse an Diagrammen von Dynkin besteht darin, dass sie halbeinfache Lüge-Algebra klassifizieren, algebraisch hat Felder geschlossen. Man klassifiziert solche Lüge-Algebra über ihr Wurzelsystem, das durch ein Diagramm von Dynkin vertreten werden kann. Man klassifiziert dann Diagramme von Dynkin gemäß den Einschränkungen, die sie, wie beschrieben, unten befriedigen müssen.

Das Fallen der Richtung an den Graph-Rändern entspricht dem Ersetzen eines Wurzelsystems durch die begrenzte Nachdenken-Gruppe, die es, die so genannte Gruppe von Weyl erzeugt, und so ungeleitete Diagramme von Dynkin Gruppen von Weyl klassifizieren.

Zusammenhängende Klassifikationen

Diagramme von Dynkin können als das Klassifizieren vieler verschiedener, zusammenhängender Gegenstände interpretiert werden, und die Notation "A, B..." wird verwendet, um sich auf alle diese Interpretationen abhängig vom Zusammenhang zu beziehen; diese Zweideutigkeit kann verwirrend sein.

Die Hauptklassifikation ist, dass eine einfache Lüge-Algebra ein Wurzelsystem hat, zu dem ein (orientiertes) Diagramm von Dynkin vereinigt wird; alle drei von diesen können B zum Beispiel genannt werden.

Das unorientierte Diagramm von Dynkin ist eine Form des Diagramms von Coxeter, und entspricht der Gruppe von Weyl, die die begrenzte zum Wurzelsystem vereinigte Nachdenken-Gruppe ist. So kann sich B auf das unorientierte Diagramm (eine spezielle Art des Diagramms von Coxeter), die Gruppe von Weyl (eine konkrete Nachdenken-Gruppe) oder die abstrakte Gruppe von Coxeter beziehen.

Bemerken Sie, dass, während die Gruppe von Weyl zur Gruppe von Coxeter abstrakt isomorph ist, ein spezifischer Isomorphismus von einer bestellten Wahl von einfachen Wurzeln abhängt. Hüten Sie sich auch, dass, während Diagramm-Notation von Dynkin standardisiert wird, Diagramm von Coxeter und Gruppennotation geändert werden und manchmal mit Diagramm-Notation von Dynkin übereinstimmen und manchmal nicht tun.

Letzt manchmal wird auf verbundene Gegenstände durch dieselbe Notation verwiesen, obwohl das regelmäßig nicht immer getan werden kann. Beispiele schließen ein:

• Das Wurzelgitter, das durch das Wurzelsystem, als im E Gitter erzeugt ist. Das wird natürlich definiert, aber - zum Beispiel, A und G nicht isomorph beide erzeugen das sechseckige Gitter.
• Ein verbundener polytope - zum Beispiel werden Gosset 4 polytope können "den E polytope" als seine Scheitelpunkte genannt werden, aus dem E-Wurzelsystem abgeleitet, und es hat den E Coxeter Gruppe als Symmetrie-Gruppe.
• Eine verbundene quadratische Form oder Sammelleitung - zum Beispiel, die E-Sammelleitung ließ Kreuzungsform durch das E Gitter geben.

Diese letzten Notationen werden größtenteils für Gegenstände verwendet, die mit außergewöhnlichen Diagrammen vereinigt sind - Gegenstände, die zu den regelmäßigen Diagrammen (A, B, C, D) stattdessen vereinigt sind, haben traditionelle Namen.

Der Index (der n) ist zur Zahl von Knoten im Diagramm, der Zahl von einfachen Wurzeln in einer Basis, der Dimension des Wurzelgitters und Spanne des Wurzelsystems, der Zahl von Generatoren der Gruppe von Coxeter und der Reihe der Lüge-Algebra gleich. Jedoch kommt n der Dimension des Definieren-Moduls (eine grundsätzliche Darstellung) der Lüge-Algebra nicht gleich - der Index auf dem Diagramm von Dynkin sollte mit dem Index auf der Lüge-Algebra nicht verwirrt sein. Zum Beispiel, entspricht, der natürlich 9-dimensionalem Raum folgt, aber Reihe 4 als eine Lüge-Algebra hat.

Einfach laced Diagramme von Dynkin, diejenigen ohne vielfache Ränder (A, D, E) klassifizieren viele weitere mathematische Gegenstände; sieh Diskussion an der ADE Klassifikation.

Beispiel: A2

Zum Beispiel kann sich das Symbol beziehen auf:

• Das Dynkin Diagramm mit 2 verbundenen Knoten, der auch als ein Diagramm von Coxeter interpretiert werden kann.
• Das Wurzelsystem mit 2 einfachen Wurzeln an (120 Grad) Winkel.
• Die Lüge-Algebra der Reihe 2.
• Die Weyl Gruppe von symmetries der Wurzeln (Nachdenken im Hyperflugzeug, das zu den Wurzeln orthogonal ist), isomorph zur symmetrischen Gruppe (des Auftrags 6).
• Die abstrakte Gruppe von Coxeter, die durch Generatoren und Beziehungen, präsentiert ist

Einschränkungen

Diagramme von Dynkin müssen bestimmte Einschränkungen befriedigen; das sind im Wesentlichen diejenigen, die durch begrenzte Coxeter-Dynkin Diagramme zusammen mit einer zusätzlichen crystallographic Einschränkung zufrieden sind.

Verbindung mit Diagrammen von Coxeter

Diagramme von Dynkin sind nah mit Diagrammen von Coxeter von begrenzten Gruppen von Coxeter verbunden, und die Fachsprache wird häufig verschmelzt.

Diagramme von Dynkin unterscheiden sich von Diagrammen von Coxeter von begrenzten Gruppen in zwei wichtiger Hinsicht:

Teilweise geleitet: Diagramme von Dynkin werden teilweise geleitet - jeder vielfache Rand (in Begriffen von Coxeter, die mit "4" oder oben etikettiert sind), hat eine Richtung (ein Pfeil, der von einem Knoten bis den anderen hinweist); so haben Diagramme von Dynkin mehr Daten als das zu Grunde liegende Diagramm von Coxeter (ungeleiteter Graph).

:At das Niveau von Wurzelsystemen die Richtung entspricht dem Hinweisen zum kürzeren Vektoren; Ränder haben "3" etikettiert haben keine Richtung, weil die entsprechenden Vektoren gleiche Länge haben müssen. (Verwarnung: Einige Autoren kehren diese Tagung mit dem Pfeil um, der zum längeren Vektoren hinweist.)

Beschränkung von Crystallographic: Diagramme von Dynkin müssen eine zusätzliche Beschränkung nämlich befriedigen, dass die einzigen zulässigen Rand-Etiketten 2, 3, 4, und 6, eine durch Diagramme von Coxeter nicht geteilte Beschränkung sind, so kommt nicht jedes Diagramm von Coxeter einer begrenzten Gruppe aus einem Diagramm von Dynkin.

:At das Niveau von Wurzelsystemen das entspricht dem crystallographic Beschränkungslehrsatz als die Wurzeln, bilden ein Gitter.

Ein weiterer Unterschied, der nur stilistisch ist, ist, dass Diagramme von Dynkin mit doppelten oder dreifachen Rändern zwischen Knoten (für p = 4, 6), aber nicht einem mit "p" etikettierten Rand herkömmlich gezogen werden.

Der Begriff "Diagramm von Dynkin" bezieht sich zuweilen auf den geleiteten Graphen zuweilen auf den ungeleiteten Graphen. Für die Präzision, in diesem Artikel "Dynkin diagram" wird geleitet bedeuten, und der zu Grunde liegende ungeleitete Graph wird ein "ungeleitetes Diagramm von Dynkin" genannt. Dann können Dynkin Diagramme und Diagramme von Coxeter wie folgt verbunden sein:

Dadurch wird gemeint, dass Diagramme von Coxeter von begrenzten Gruppen zu durch das Nachdenken erzeugten Punkt-Gruppen entsprechen, während Diagramme von Dynkin eine zusätzliche Beschränkung entsprechend dem crystallographic Beschränkungslehrsatz befriedigen müssen, und dass Diagramme von Coxeter ungeleitet sind, während Diagramme von Dynkin (teilweise) geleitet werden.

Die entsprechenden mathematischen durch die Diagramme klassifizierten Gegenstände sind:

Das Formblatt im oberen Recht, entsprechend geleiteten Graphen mit dem zu Grunde liegenden ungeleiteten Graphen jedes Diagramm von Coxeter (einer begrenzten Gruppe), kann formell definiert werden, aber wird wenig besprochen und scheint nicht, eine einfache Interpretation in Bezug auf mathematische Gegenstände von Interesse zuzulassen.

Es gibt natürliche Karten unten - von Diagrammen von Dynkin bis ungeleitete Diagramme von Dynkin; beziehungsweise, von Wurzelsystemen bis die verbundenen Gruppen von Weyl - und das Recht - von ungeleiteten Diagrammen von Dynkin bis Diagramme von Coxeter; beziehungsweise von Gruppen von Weyl zu begrenzten Gruppen von Coxeter.

Unten ist Karte auf (definitionsgemäß), aber nicht isomorph, als der B und die C Diagramm-Karte zu demselben ungeleiteten Diagramm, mit dem resultierenden Diagramm von Coxeter und der Gruppe von Weyl so manchmal angezeigt v. Chr.

Die richtige Karte ist einfach eine Einschließung - ungeleitete Diagramme von Dynkin sind spezielle Fälle von Diagrammen von Coxeter, und Gruppen von Weyl sind spezielle Fälle von begrenzten Gruppen von Coxeter - und ist nicht auf, als nicht jedes Diagramm von Coxeter ist ein ungeleitetes Diagramm von Dynkin (die verpassten Diagramme, die H, H und ich (p) für p = 5 p  7 sind), und entsprechend nicht, jede begrenzte Gruppe von Coxeter ist eine Gruppe von Weyl.

Isomorphismus

Diagramme von Dynkin werden herkömmlich numeriert, so dass die Liste nichtüberflüssig ist: Weil für für für und an Den Familien anfangend, jedoch für tiefer n definiert, außergewöhnlichen Isomorphismus von Diagrammen und entsprechenden außergewöhnlichen Isomorphismus von Lüge-Algebra nachgebend, und vereinigt werden kann, Liegen Gruppen.

Trivial kann man die Familien an anfangen, oder die alle dann isomorph sind, weil es ein einzigartiges leeres Diagramm und ein einzigartiges 1-Knoten-Diagramm gibt. Der andere Isomorphismus von verbundenen Diagrammen von Dynkin ist:

Dieser Isomorphismus entspricht Isomorphismus von einfachen und halbeinfachen Lüge-Algebra, die auch bestimmtem Isomorphismus von Lüge-Gruppenformen von diesen entsprechen. Sie fügen auch Zusammenhang zur E Familie hinzu.

Automorphisms

Zusätzlich zum Isomorphismus zwischen verschiedenen Diagrammen haben einige Diagramme auch Selbstisomorphismus oder "automorphisms". Diagramm automorphisms entspricht Außenautomorphisms der Lüge-Algebra, bedeutend, dass die automorphism Außengruppe = Aut/Inn der Gruppe des Diagramms automorphisms gleichkommt.

Die Diagramme, die nichttrivialen automorphisms haben, sind , D , und E. In allen diesen Fällen abgesehen von D gibt es einen einzelnen nichttrivialen automorphism (= C, die zyklische Gruppe des Auftrags 2), während für D die automorphism Gruppe die symmetrische Gruppe auf drei Briefen (S, Auftrag 6) ist - ist dieses Phänomen als "triality" bekannt. Es geschieht, dass alle diese stellen automorphisms schematisch dar, als Euklidischer symmetries dessen begriffen werden können, wie die Diagramme im Flugzeug herkömmlich gezogen werden, aber das ist gerade ein Kunsterzeugnis dessen, wie sie, und nicht innere Struktur gezogen werden.

Für A kehrt das Diagramm automorphism das Diagramm um, das eine Linie ist. Die Knoten des Diagramms versehen die grundsätzlichen Gewichte mit einem Inhaltsverzeichnis, die (für A) für sind, und das Diagramm automorphism der als die Lüge-Algebra Begriffenen Dualität entspricht, kann der Außenautomorphism ausgedrückt werden, weil negativ umstellen, der ist, wie die Doppeldarstellung handelt.

Für D schaltet das Diagramm automorphism die zwei Knoten am Ende des Y, und entspricht Schaltung der zwei Chiral-Drehungsdarstellungen. Begriffen als die Lüge-Algebra kann der Außenautomorphism als Konjugation durch eine Matrix in O (2n) mit der Determinante −1 ausgedrückt werden. Bemerken Sie, dass so ihre automorphisms zustimmen, während, der getrennt wird, und der automorphism Schaltung der zwei Knoten entspricht.

Für D ist die grundsätzliche Darstellung zu den zwei Drehungsdarstellungen isomorph, und die resultierende symmetrische Gruppe auf drei Brief (S, oder wechselweise die zweiflächige Gruppe des Auftrags 6, Dih) entsprechen sowohl zu automorphisms der Lüge-Algebra als auch zu automorphisms des Diagramms.

Die automorphism Gruppe von E entspricht dem Umkehren des Diagramms, und kann mit Algebra von Jordan ausgedrückt werden.

Getrennte Diagramme, die halbeinfachen Lüge-Algebra entsprechen, können automorphisms davon haben, Bestandteile des Diagramms auszutauschen.

In der positiven Eigenschaft gibt es zusätzliches Diagramm automorphisms - grob das Sprechen in der Eigenschaft p man wird erlaubt, den Pfeil auf Obligationen der Vielfältigkeit p im Diagramm von Dynkin zu ignorieren, wenn man Diagramm automorphisms nimmt. So in der Eigenschaft 2 gibt es einen Auftrag 2 automorphism und F, während in der Eigenschaft 3 es einen Auftrag 2 automorphism G gibt.

Aufbau von Lüge-Gruppen über das Diagramm automorphisms

Diagramm automorphisms gibt der Reihe nach zusätzliche Lüge-Gruppen und Gruppen des Typs Lie nach, die von Hauptwichtigkeit in der Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen sind.

Der Chevalley Gruppenaufbau von Lüge-Gruppen in Bezug auf ihr Diagramm von Dynkin gibt einige der klassischen Gruppen, nämlich der einheitlichen Gruppen und des Nichtspalts orthogonale Gruppen nicht nach. Die Gruppen von Steinberg bauen die einheitlichen Gruppen A, während die anderen orthogonalen Gruppen als D gebaut werden, wo in beiden Fällen sich das auf das Kombinieren eines Diagramms automorphism mit einem Feld automorphism bezieht. Das gibt auch zusätzliche exotische Lüge-Gruppen E und D, die Letzteren nach, die nur über Felder mit einem Auftrag 3 automorphism definiert sind.

Das zusätzliche Diagramm automorphisms in der positiven Eigenschaft gibt die Gruppen von Suzuki-Ree, B, F, und G nach.

Falte

(Einfach-laced) kann Diagramm von Dynkin (begrenzt oder affine), der eine Symmetrie hat (eine Bedingung, unten befriedigend), quotiented durch die Symmetrie sein, einen neuen nachgebend, allgemein laced Diagramm mit dem genannten Prozess multiplizieren, sich (wegen des grössten Teiles von symmetries faltend, 2-fach zu sein). Am Niveau von Lüge-Algebra entspricht das Einnahme der invariant Subalgebra unter der automorphism Außengruppe, und der Prozess kann rein bezüglich Wurzelsysteme definiert werden, ohne Diagramme zu verwenden. Weiter, jeder, laced Diagramm (begrenzt oder unendlich) multiplizieren, kann durch die Falte einfach-laced Diagramm erhalten werden.

Eine Bedingung auf dem automorphism, um sich zu falten, um möglich zu sein, besteht darin, dass verschiedene Knoten des Graphen in derselben Bahn (unter dem automorphism) durch einen Rand nicht verbunden werden müssen; am Niveau von Wurzelsystemen müssen Wurzeln in derselben Bahn orthogonal sein. Am Niveau von Diagrammen ist das als sonst notwendig das Quotient-Diagramm wird eine Schleife, wegen des Identifizierens von zwei Knoten haben, aber einen Rand zwischen ihnen und Schleifen zu haben, wird in Diagrammen von Dynkin nicht erlaubt.

Die Knoten und Ränder des Quotienten (haben) sich ("gefaltet") Diagramm sind die Bahnen von Knoten und Ränder des ursprünglichen Diagramms; die Ränder sind einzeln, wenn zwei Ereignis-Ränder zu demselben Rand (namentlich an Knoten der Wertigkeit nicht kartografisch darstellen, die größer ist als 2) - ein "Zweigpunkt" der Karte, in welchem Fall das Gewicht die Zahl von Ereignis-Rändern und die Pfeil-Punkte zum Knoten ist, an dem sie Ereignis - "die Zweigpunkt-Karten zum nichthomogenen Punkt" sind. Zum Beispiel, in D, der sich zu G faltet, weist der Rand in G von der Klasse der 3 Außenknoten (Wertigkeit 1), zur Klasse des Hauptknotens (Wertigkeit 3) hin.

Die Falten von begrenzten Diagrammen sind:

: (Der automorphism von A gibt keine Falte nach, weil die mittleren zwei Knoten durch einen Rand, aber in derselben Bahn verbunden werden.)

• (wenn quotienting durch die volle Gruppe oder einen 3-Zyklen-, zusätzlich zu auf 3 verschiedene Weisen, wenn quotienting durch eine Involution)

Ähnliche Falten bestehen für affine Diagramme, einschließlich:

Der Begriff von Falten kann auch mehr allgemein auf Diagramme von Coxeter - namentlich angewandt werden, man kann zulässige Quotienten von Diagrammen von Dynkin zu H und mir (p) verallgemeinern. Geometrisch entspricht das Vorsprüngen der Uniform polytopes. Namentlich kann irgendwelcher einfach laced Diagramm von Dynkin zu mir (h) gefaltet werden, wo h die Zahl von Coxeter ist, die geometrisch zum Vorsprung zum Flugzeug von Coxeter entspricht.

Falte kann angewandt werden, um Fragen über (halbeinfache) Lüge-Algebra zu Fragen über einfach-laced zusammen mit einem automorphism zu reduzieren, der einfacher sein kann, als das Behandeln laced Algebra direkt multipliziert; das kann im Konstruieren der halbeinfachen Lüge-Algebra zum Beispiel getan werden. Sieh Matheüberschwemmung: Falte durch Automorphisms für die weitere Diskussion.

Andere Karten von Diagrammen

Einige zusätzliche Karten von Diagrammen haben bedeutungsvolle Interpretationen, wie ausführlich berichtet, unten. Jedoch entstehen nicht alle Karten von Wurzelsystemen als Karten von Diagrammen.

Zum Beispiel gibt es zwei Einschließungen von Wurzelsystemen in G, entweder als die sechs langen Wurzeln oder als die sechs kurzen Wurzeln. Jedoch entsprechen die Knoten im G Diagramm einer langer Wurzel und einer kurzer Wurzel, während die Knoten in Ein Diagramm Wurzeln der gleichen Länge entspricht, und so diese Karte von Wurzelsystemen als eine Karte der Diagramme nicht ausgedrückt werden kann.

Einige Einschließungen von Wurzelsystemen können als ein Diagramm ausgedrückt werden, das ein veranlasster Subgraph von einem anderen ist, "eine Teilmenge der Knoten, mit allen Rändern zwischen ihnen" bedeutend. Das ist, weil das Beseitigen eines Knotens aus einem Diagramm von Dynkin dem Entfernen einer einfachen Wurzel von einem Wurzelsystem entspricht, das ein Wurzelsystem der Reihe eine tiefer nachgibt. Im Vergleich entsprechen das Entfernen eines Randes (oder das Ändern der Vielfältigkeit eines Randes), während sie die Knoten unverändert verlassen, zum Ändern der Winkel zwischen Wurzeln, die nicht getan werden können, ohne das komplette Wurzelsystem zu ändern. So kann man Knoten, aber nicht Ränder bedeutungsvoll entfernen. Das Entfernen eines Knotens aus einem verbundenen Diagramm kann ein verbundenes Diagramm nachgeben (einfache Lüge-Algebra), wenn der Knoten ein Blatt oder ein getrenntes Diagramm (halbeinfach, aber nicht einfache Lüge-Algebra), mit entweder zwei oder drei Bestandteilen (die Letzteren für D und E) ist. Am Niveau von Lüge-Algebra entsprechen diese Einschließungen, um Algebra subzuliegen.

Die maximalen Subgraphen sind ("verbunden" bedeutet "durch ein Diagramm automorphism"):

• A: A, auf 2 verbundene Weisen.
• B: A, B.
• C: A, C.
• D: (2 verbundene Wege), D.
• E: A, D, E.
• Für E fallen zwei von diesen zusammen: Und sind verbunden.
• F: B, C.
• G: A, auf 2 nichtverbundene Weisen (als eine lange Wurzel oder eine kurze Wurzel).

Schließlich entspricht die Dualität von Diagrammen dem Umkehren der Richtung von Pfeilen, wenn irgendwelcher: B und C sind Doppel-, während F und G Selbstdoppel-sind, wie einfach-laced ADE Diagramme sind.

Einfach laced

Ein Dynkin Diagramm ohne vielfache Ränder wird einfach laced genannt, wie die entsprechende Lüge-Algebra sind und Gruppe Liegen. Das sind die Diagramme, und Phänomene, die solche Diagramme klassifizieren, werden eine ADE Klassifikation genannt. In diesem Fall fallen die Diagramme von Dynkin genau mit Diagrammen von Coxeter zusammen, weil es keine vielfachen Ränder gibt.

Diagramme von Satake

Diagramme von Dynkin klassifizieren komplizierte halbeinfache Lüge-Algebra. Echte halbeinfache Lüge-Algebra können als echte Formen von komplizierten halbeinfachen Lüge-Algebra klassifiziert werden, und diese werden durch Diagramme von Satake klassifiziert, die beim Diagramm von Dynkin durch das Beschriften einiger Scheitelpunkte schwarz (gefüllt) und das Anschließen einiger anderer Scheitelpunkte in Paaren durch Pfeile gemäß bestimmten Regeln erhalten werden.

Geschichte

Diagramme von Dynkin werden für Eugene Dynkin genannt, der sie in zwei Zeitungen (1946, 1947) Vereinfachung der Klassifikation von halbeinfachen Lüge-Algebra verwendet hat; sieh. Als Dynkin die Sowjetunion 1976 verlassen hat, die zurzeit gleichbedeutend mit dem Verrat betrachtet wurde, wurden sowjetische Mathematiker angeordnet, sich auf "Diagramme von einfachen Wurzeln" zu beziehen, anstatt seinen Namen zu verwenden.

Ungeleitete Graphen waren früher von Coxeter (1934) verwendet worden, um Nachdenken-Gruppen zu klassifizieren, wo die Knoten einfachem Nachdenken entsprochen haben; die Graphen wurden dann (mit der Länge-Information) von Witt (1941) in der Verweisung verwendet, um Systeme mit den Knoten entsprechend einfachen Wurzeln einwurzeln zu lassen, wie sie heute verwendet werden. Dynkin hat sie dann 1946 und 1947 verwendet, Coxeter und Witt in seiner 1947-Zeitung anerkennend.

Vereinbarung

Diagramme von Dynkin sind auf mehrere Weisen gezogen worden; die Tagung gefolgt hier, ist mit 180 °-Winkeln auf Knoten der Wertigkeit 2, 120 °-Winkeln auf der Wertigkeit 3 Knoten von D und 90 °/90 °/180 ° Winkel auf der Wertigkeit 3 Knoten von E mit der Vielfältigkeit üblich, die durch 1, 2, oder 3 parallele Ränder und angezeigte Wurzellänge durch die Zeichnung eines Pfeils am Rand für die Orientierung angezeigt ist. Außer der Einfachheit ist ein weiterer Vorteil dieser Tagung, dass Diagramm automorphisms durch Euklidische Isometrien der Diagramme begriffen wird.

Alternative Tagung schließt das Schreiben einer Zahl durch den Rand ein, um Vielfältigkeit (allgemein verwendet in Diagrammen von Coxeter), Verdunklung von Knoten anzuzeigen, um Wurzellänge oder das Verwenden von 120 °-Winkeln auf der Wertigkeit 2 Knoten anzuzeigen, um die Knoten verschiedener zu machen.

Es gibt auch Vereinbarung über das Numerieren der Knoten. Die allgemeinste moderne Tagung hatte sich vor den 1960er Jahren entwickelt und wird darin illustriert.

Reihen Sie 2 Diagramme von Dynkin auf

Diagramme von Dynkin sind zu verallgemeinertem Cartan matrices, wie gezeigt, in diesem Tisch der Reihe 2 Diagramme von Dynkin mit ihrem Entsprechen 2x2 Cartan matrices gleichwertig.

Für die Reihe 2 ist die Matrixform von Cartan:

:

Ein mehrschneidendes Diagramm entspricht den nichtdiagonalen Matrixelementen von Cartan-a,-a, mit der Zahl von Rändern gezogen gleich max (-a,-a), und ein Pfeil, der zu Nichteinheitselementen hinweist.

Eine verallgemeinerte Matrix von Cartan ist eine solche Quadratmatrix dass:

1. Für diagonale Einträge.
2. Für nichtdiagonale Einträge.

1. wenn und nur wenn

Die Determinante der Matrix von Cartan bestimmt, ob die Gruppe, affine begrenzt oder hyperbolisch ist. (Bemerken Sie: Für die Reihe 2 vertritt die ganze negative Determinante matrices Hyperbelgruppen. Für die Reihe 3 oder höher, am negativsten beschließen, dass matrices nicht hyperbolisch sind, und stattdessen als Lorentzian betrachtet werden.)

Begrenzte Zweige haben (-a,-a) = (1,1), (2,1), (3,1), und affine Zweige (mit einer Nulldeterminante) haben (-a,-a) = (2,2) oder (4,1).

Begrenzte Dynkin Diagramme

Diagramme von Affine Dynkin

Es gibt Erweiterungen von Diagrammen von Dynkin, nämlich den affine Diagrammen von Dynkin; diese klassifizieren Cartan matrices von affine Liegen Algebra. Diese werden darin klassifiziert, spezifisch darauf verzeichnet. Diagramme von Affine werden als angezeigt, oder wo X der Brief des entsprechenden begrenzten Diagramms ist, und die Hochzahl abhängt, in welcher Reihe von affine Diagrammen sie sind. Der erste von diesen, sind am üblichsten, und werden verlängerte Diagramme von Dynkin genannt und mit einer Tilde angezeigt, und auch manchmal mit + Exponent gekennzeichnet. als darin. (2) und (3) werden Reihen gedrehte affine Diagramme genannt.

Sieh Dynkin Diagramm-Generator für Diagramme.

Hier sind alle Graphen von Dynkin für affine Gruppen bis zu 10 Knoten. Erweiterte Dynkin Graphen werden als die ~ Familien, dasselbe als die begrenzten Graphen oben mit einem hinzugefügtem Knoten gegeben. Andere Schwankungen des geleiteten Graphen werden mit einem hochgestellten Wert (2) oder (3) gegeben, Falten von höheren Ordnungsgruppen vertretend. Diese werden als Gedrehte affine Diagramme kategorisiert.

Hyperbolische und höhere Diagramme von Dynkin

Der Satz von Kompakt- und Nichtkompakthyperbelgraphen von Dynkin ist aufgezählt worden. Die ganze Reihe 3 Hyperbelgraphen ist kompakt. Kompakthyperbeldiagramme von Dynkin bestehen bis zur Reihe 5, und Nichtkompakthyperbelgraphen bestehen bis zur Reihe 10.

Die 238 aufgezählten Hyperbelgruppen (kompakt und nichtkompakt) werden als genannt: H, für die Reihe n, und i=1,2,3... für jede Reihe zählend.

Kompakthyperbeldiagramme von Dynkin

Nichtkompakt (Überverlängerte Formen)

Einige Notationen, die in der theoretischen Physik, wie M Theorie verwendet sind, verwenden "+" Exponent für verlängerte Gruppen statt eines "~", und das erlaubt höheren Erweiterungsgruppen, definiert zu werden.

1. Erweiterte Dynkin Diagramme (affine) werden "+" gegeben und vertreten dasjenige hat Knoten beigetragen. (Dasselbe als "~")
2. Übererweiterte Dynkin (hyperbolische) Diagramme werden "^" oder "++" gegeben und vertreten zwei zusätzliche Knoten.
3. Sehr verlängerte Dynkin Diagramme mit 3 hinzugefügten Knoten werden "+++" gegeben.

Sehr verlängert

Sehr verlängerte Gruppen sind lorentz Gruppen, die definiert sind, indem sie drei Knoten zu den begrenzten Gruppen hinzufügen. Der E, E, E, F, und G bieten sechs Reihen an, die als sehr verlängerte Gruppen enden. Andere verlängerte nicht gezeigte Reihe kann von A, B, C, und D als verschiedene Reihe für jeden n definiert werden. Die Determinante der verbundenen Matrix von Cartan bestimmt, wo sich die Reihe vom begrenzten ändert, der zu affine (Null) zu einer Nichtkompakthyperbelgruppe (positiv) ist (negativ), und als eine lorentz Gruppe endend, die mit dem Gebrauch einer zeitähnlicher Dimension definiert werden kann, und in der M Theorie verwendet wird.

Siehe auch

• Diagramm von Affine Dynkin
• Diagramm von Satake

• (Klassifikation von Wurzelsystemen)

Zeichen

Außenverbindungen

• John Baez auf der Allgegenwart von Diagrammen von Dynkin in der Mathematik
• Webwerkzeug, um Veröffentlichungsqualität Diagramme von Dynkin mit Etiketten (geschrieben in JavaScript) zu machen