In der Mathematik sind die Gruppen von Fischer die drei sporadischen einfachen Gruppen Fi, Fi, Fi, der' dadurch eingeführt ist.

3-Umstellungen-Gruppen

Die Gruppen von Fischer werden nach Bernd Fischer genannt, der sie entdeckt hat, während er 3-Umstellungen-Gruppen untersucht hat.

Das sind Gruppen G mit den folgenden Eigenschaften:

• G wird durch eine conjugacy Klasse von Elementen des Auftrags 2, genannt 'Umstellungen von Fischer' oder 3 Umstellungen erzeugt.
• Das Produkt irgendwelcher zwei verschiedenen Umstellungen hat Auftrag 2 oder 3.

Das typische Beispiel einer 3-Umstellungen-Gruppe ist eine symmetrische Gruppe,

wo die Umstellungen von Fischer echt Umstellungen sind. Die symmetrische Gruppe S kann durch n-1 Umstellungen erzeugt werden: (12), (23)..., (n-1, n).

Fischer ist im Stande gewesen, 3-Umstellungen-Gruppen zu klassifizieren, die bestimmte technische Extrabedingungen befriedigen. Die Gruppen, die er gefunden hat, sind größtenteils in mehrere unendliche Klassen gefallen (außer symmetrischen Gruppen: Bestimmte Klassen von symplectic, einheitlichen und orthogonalen Gruppen), aber hat er auch 3 sehr große neue Gruppen gefunden. Diese Gruppen werden gewöhnlich Fi, Fi und Fi genannt. Die ersten zwei von diesen sind einfache Gruppen, und das dritte enthält die einfache Gruppe Fi' des Index 2.

Ein Startpunkt für die Gruppen von Fischer ist die einheitliche Gruppe PSU (2), vom als eine Gruppe Fi in der Reihe von Gruppen von Fischer, vom Auftrag 9,196,830,720 = 2.3.5.7.11 gedacht werden konnte. Wirklich ist es der doppelte Deckel 2. PSU (2), der eine Untergruppe der neuen Gruppe wird. Das ist der Ausgleicher eines Scheitelpunkts in einem Graphen 3510 (=2.3.5.13). Diese Scheitelpunkte werden identifiziert als verbundene 3 Umstellungen in der Symmetrie-Gruppe Fi des Graphen.

Die Gruppen von Fischer werden analog mit den großen Gruppen von Mathieu genannt. In Fi ein maximaler Satz von 3 Umstellungen hat das ganze Austauschen miteinander Größe 22 und wird einen Basissatz genannt. Es gibt 1024 3 Umstellungen, genannt anabasic, die mit keinem im besonderen Basissatz pendeln. Irgendwelche anderer 2364, genannt hexadic, pendeln mit 6 grundlegenden. Die Sätze 6 bilden einen S (3,6,22) System von Steiner, dessen Symmetrie-Gruppe M ist. Ein Basissatz erzeugt eine abelian Gruppe des Auftrags 2, der sich in Fi bis zu eine Untergruppe 2:M ausstreckt.

Die folgende Gruppe von Fischer kommt durch die Bewertung 2. Fi als ein Ein-Punkt-Ausgleicher für einen Graphen 31671 (=3.17.23) Scheitelpunkte, und diese Scheitelpunkte als die 3 Umstellungen in einer Gruppe Fi behandelnd. Die 3 Umstellungen kommen in grundlegenden Sätzen 23, von denen 7 mit einem draußen 3-Umstellungen-gegebenen pendeln.

Folgender nimmt Fi und behandelt ihn als ein Ein-Punkt-Ausgleicher für einen Graphen 306936 (=2.3.7.29) Scheitelpunkte, um eine Gruppe Fi zu machen. Die 3 Umstellungen kommen in grundlegenden Sätzen 24, von denen 8 mit einem draußen 3-Umstellungen-gegebenen pendeln. Die Gruppe Fi, ist aber seine abgeleitete Untergruppe nicht einfach, hat Index 2 und ist eine sporadische einfache Gruppe.

Ordnungen

Die Ordnung einer Gruppe ist die Zahl der Elemente in der Gruppe.

Fi hat Auftrag 2.3.5.7.11.13 = 64561751654400.

Fi hat Auftrag 2.3.5.7.11.13.17.23 = 4089470473293004800.

Fi' hat Auftrag 2.3.5.7.11.13.17.23.29 = 1255205709190661721292800. Es ist die 3. größte von den sporadischen Gruppen

(nach der Ungeheuer-Gruppe und Baby-Ungeheuer-Gruppe).

Notation

Es gibt keine gleichförmig akzeptierte Notation für diese Gruppen. Einige Autoren verwenden F im Platz von Fi (F, zum Beispiel).

Die Notation von Fischer für sie war M (22), M (23) und M (24)', der ihre nahe Beziehung mit den drei größten betont

Gruppen von Mathieu, M, M und

M.

Eine besondere Quelle der Verwirrung ist, dass Fi manchmal verwendet wird, um zur einfachen Gruppe Fi zu verweisen', und manchmal verwendet wird, um sich auf die volle 3-Umstellungen-Gruppe zu beziehen (der zweimal die Größe ist).

• enthält einen ganzen Beweis des Lehrsatzes von Fischer.
• Das ist der erste Teil des Vorabdrucks von Fischer auf dem Aufbau seiner Gruppen. Der Rest des Papiers ist (bezüglich 2010) unveröffentlicht.
• Wilson, R. A. "ATLAS der Darstellung von Finite Group."