Das Paradox von Berry ist ein Selbstverweisungsparadox, das aus dem Ausdruck "die kleinstmögliche durch eine gegebene Zahl von Wörtern nicht definierbare ganze Zahl" entsteht. Bertrand Russell, das erste, um das Paradox im Druck zu besprechen, hat es G. G. Berry (1867-1928), einem jüngeren Bibliothekar an Oxfords Bodleian Bibliothek zugeschrieben, der das mehr beschränkte Paradox vorgeschlagen hatte, das aus dem Ausdruck "die erste undefinierbare Ordnungszahl" entsteht.

Das Paradox

Denken Sie den Ausdruck:

: "Die kleinste positive ganze Zahl, die in unter elf Wörtern nicht definierbar ist."

Da es begrenzt viele Wörter gibt, gibt es begrenzt viele Ausdrücke unter elf Wörtern, und folglich begrenzt vielen positiven ganzen Zahlen, die durch Ausdrücke unter elf Wörtern definiert werden. Da es ungeheuer viele positive ganze Zahlen gibt, bedeutet das, dass es positive ganze Zahlen gibt, die durch Ausdrücke unter elf Wörtern nicht definiert werden können. Durch den gut Einrichtungsgrundsatz, wenn es positive ganze Zahlen gibt, die ein gegebenes Eigentum dann befriedigen, gibt es eine kleinste positive ganze Zahl, die dieses Eigentum befriedigt; deshalb gibt es eine kleinste positive ganze Zahl, die das Eigentum befriedigt, "das in unter elf Wörtern nicht definierbar ist". Das ist die ganze Zahl, auf die sich der obengenannte Ausdruck bezieht. Der obengenannte Ausdruck ist nur zehn Wörter lange, so wird diese ganze Zahl durch einen Ausdruck definiert, der unter elf Wörtern lange ist; es ist in unter elf Wörtern definierbar, und ist nicht die kleinste positive ganze Zahl, die in unter elf Wörtern nicht definierbar ist, und wird durch diesen Ausdruck nicht definiert. Das ist ein Paradox: es muss eine durch diesen Ausdruck definierte ganze Zahl geben, aber da der Ausdruck widersprüchlich ist (jede ganze Zahl, die es definiert, ist in unter elf Wörtern definierbar), es kann keine dadurch definierte ganze Zahl geben.

Entschlossenheit

Das Paradox von Berry, entsteht wie formuliert, oben wegen der systematischen Zweideutigkeit im "definierbaren" Wort. In anderen Formulierungen des Paradoxes von Berry, wie dasjenige, das stattdessen liest: "... nicht nameable in weniger..." ist der Begriff "nameable" auch derjenige, der diese systematische Zweideutigkeit hat. Begriffe dieser Art verursachen Teufelskreis-Scheinbeweise. Andere Begriffe mit diesem Typ der Zweideutigkeit sind: satisfiable, wahr, falsch, Funktion, Eigentum, Klasse, Beziehung, Kardinal, und Ordnungs-. Eines dieser Paradoxe aufzulösen, bedeutet, genau genau festzustellen, wo unser Gebrauch der Sprache schief gegangen ist und Beschränkungen des Gebrauches der Sprache zur Verfügung zu stellen, die sie vermeiden kann.

Diese Familie von Paradoxen kann aufgelöst werden, indem sie Schichtung der Bedeutung auf der Sprache vereinigt. Begriffe mit der systematischen Zweideutigkeit können mit Subschriften geschrieben werden, die anzeigen, dass ein Niveau der Bedeutung als ein höherer Vorrang betrachtet wird als ein anderer in ihrer Interpretation. "Die Zahl nicht nameable in weniger als elf Wörtern" kann nameable in weniger als elf Wörtern laut dieses Schemas sein.

Formelle Entsprechungen

Mit Programmen oder Beweisen von begrenzten Längen ist es möglich, eine Entsprechung des Ausdrucks von Berry auf einer formellen mathematischen Sprache zu bauen, wie von Gregory Chaitin getan worden ist. Obwohl die formelle Entsprechung zu keinem logischen Widerspruch führt, beweist es wirklich bestimmte Unmöglichkeitsergebnisse.

George Boolos (1989) hat auf eine formalisierte Version des Paradoxes von Berry gebaut, um den Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel auf eine neue und viel einfachere Weise zu beweisen. Die Grundidee seines Beweises besteht darin, dass ein Vorschlag, der x hält, wenn x = n für eine natürliche Zahl n eine Definition nach n, und dass der Satz {(n, k) genannt werden kann: N hat eine Definition, die k Symbole lange} ist, kann gezeigt werden (das Verwenden von Zahlen von Gödel) wiederpräsentabel zu sein. Dann ist der Vorschlag "M die erste Zahl, die in weniger nicht definierbar ist, als k Symbole" formalisiert und gezeigt werden können, eine Definition im Sinn zu sein, gerade hat festgesetzt.

Beziehung mit der Kompliziertheit von Kolmogorov

Es ist im Allgemeinen nicht möglich eindeutig zu definieren, was die minimale Zahl von Symbolen ist, die erforderlich sind, eine gegebene Schnur zu beschreiben (gegeben ein spezifischer Beschreibungsmechanismus). In diesem Zusammenhang können die Begriffe Schnur und Zahl austauschbar gebraucht werden, da eine Zahl wirklich eine Reihe von Symbolen, d. h. ein englisches Wort ist (wie das Wort "elf" verwendetes im Paradox), während, andererseits, es möglich ist, sich auf jedes Wort mit einer Zahl, z.B durch die Zahl seiner Position in einem gegebenen Wörterbuch, oder durch die passende Verschlüsselung zu beziehen. Einige lange Schnuren können genau mit weniger Symbolen beschrieben werden als diejenigen, die durch ihre volle Darstellung erforderlich sind, wie häufig mit der Datenkompression erfahren wird. Die Kompliziertheit einer gegebenen Schnur wird dann als die minimale Länge definiert, die eine Beschreibung verlangt, um sich auf die volle Darstellung dieser Schnur (eindeutig) zu beziehen.

Die Kompliziertheit von Kolmogorov wird mit formellen Sprachen oder Maschinen von Turing definiert, der Zweideutigkeiten vermeidet, über die sich Schnur aus einer gegebenen Beschreibung ergibt. Es kann bewiesen werden, dass die Kompliziertheit von Kolmogorov nicht berechenbar ist. Der Beweis durch den Widerspruch zeigt, dass, wenn es möglich war, die Kompliziertheit von Kolmogorov dann zu schätzen, es auch möglich sein würde, Paradoxe systematisch zu erzeugen, die diesem, d. h. Beschreibungen kürzer ähnlich sind als, was die Kompliziertheit der beschriebenen Schnur einbezieht. Das heißt, ist die Definition der Zahl von Berry paradox, weil es nicht wirklich möglich ist zu rechnen, wie viele Wörter erforderlich sind, eine Zahl zu definieren, und wir wissen, dass solche Berechnung wegen des Paradoxes nicht ausführbar ist.

Siehe auch

• Definierbare Zahl
• Beschäftigter Biber
• Das Paradox von Richard
• Interessantes Zahl-Paradox

• Liste von Paradoxen

Referenzen

• Charles H. Bennett (1979) "Auf zufälligen und Hard-Describe Zahlen." IBM Report RC7483.
• George Boolos (1989) "Ein neuer Beweis des Gödel Unvollständigkeitslehrsatzes", Benachrichtigungen der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft 36: 388-90; 676. Nachgedruckt in seinem (1998) Logik, Logik und Logik. Harvard Univ. Drücken Sie: 383-88.
• Gregory Chaitin (1995) "Das Beere-Paradox." Kompliziertheit 1: 26-30.
• Franzosen, James D. (1988) "Die Falsche Annahme, die dem Paradox der Beere," Zeitschrift der Symbolischen Logik 53 Unterliegt: 1220-1223.
• Bertrand Russell (1906) "Paradoxe von Les de la logique", Revue de métaphysique et de morale 14: 627-650
• Bertrand Russell und Alfred N. Whitehead (1927) Principia Mathematica. Universität von Cambridge Presse. 1962 teilweise Paperback-Neuauflage steigt zu *56.

Links

• Roosen-Runge, Peter H. (1997) "das Paradox der Beere."