Eine reelle Zahl ist erste Ordnung, die auf der Sprache der Mengenlehre ohne Rahmen definierbar ist, wenn es eine Formel φ auf der Sprache der Mengenlehre, mit einer freier Variable, solch gibt, dass der einzigartigen solcher reellen Zahl zu sein, dass φ (a) im Standardmodell der Mengenlehre hält (sieh Kunen 1980:153).

Zu den Zwecken dieses Artikels wird solcher reals einfach definierbare Zahlen genannt. Wie man verstehen sollte, ist das nicht Standardfachsprache.

Bemerken Sie, dass diese Definition auf der Sprache der Mengenlehre selbst nicht ausgedrückt werden kann.

Allgemeine Tatsachen

Das Annehmen von ihnen bildet einen Satz, die definierbaren Zahlen bilden ein Feld, das alle vertrauten reellen Zahlen solcher als 0, 1, π, e und so weiter enthält. Insbesondere dieses Feld enthält alle Zahlen, die im mathematischen Konstante-Artikel, und alle algebraischen Zahlen (und deshalb alle rationalen Zahlen) genannt sind. Jedoch sind am meisten reelle Zahlen nicht definierbar: Der Satz aller definierbaren Zahlen ist zählbar unendlich (weil der Satz aller logischen Formeln ist), während der Satz von reellen Zahlen unzählbar unendlich ist (sieh das diagonale Argument des Kantoren). Infolgedessen haben am meisten reelle Zahlen keine Beschreibung (in demselben Sinn von "die meisten", wie 'am meisten reelle Zahlen' nicht vernünftig sind).

Das Feld von definierbaren Zahlen ist nicht abgeschlossen; dort bestehen Sie konvergente Folgen von definierbaren Zahlen, deren Grenze nicht definierbar ist (da jede reelle Zahl die Grenze einer Folge von rationalen Zahlen ist). Jedoch, wenn die Folge selbst im Sinn definierbar ist, dass wir eine einzelne Formel für alle seine Begriffe angeben können, dann wird seine Grenze eine definierbare Zahl notwendigerweise sein.

Während jede berechenbare Zahl definierbar ist, ist das gegenteilige nicht wahr: Die numerischen Darstellungen des Stockenden Problems, der Konstante von Chaitin, des Wahrheitssatzes der ersten Ordnungsarithmetik, und 0 sind Beispiele von Zahlen, die definierbar, aber nicht berechenbar sind. Viele andere solche Zahlen sind bekannt.

Man könnte auch über definierbare komplexe Zahlen sprechen mögen: Komplexe Zahlen, die durch eine logische Formel einzigartig definiert werden. Jedoch, ob das möglich ist, hängt davon ab, wie das Feld von komplexen Zahlen an erster Stelle abgeleitet wird: Es kann nicht möglich sein zu unterscheiden eine komplexe Zahl von seinem verbundenen (sagen Sie 3+i von 3-i), da es unmöglich ist, ein Eigentum von demjenigen zu finden, das nicht auch ein Eigentum vom anderen ist, ohne auf die zu Grunde liegende mit dem Satz theoretische Definition zurückzugreifen. Das Annehmen wir können mindestens eine nichtechte komplexe Zahl, jedoch, eine komplexe Zahl definieren, ist definierbar, wenn, und nur wenn sowohl sein echter Teil als auch sein imaginärer Teil definierbar sind. Die definierbaren komplexen Zahlen bilden auch ein Feld, wenn sie einen Satz bilden.

Das zusammenhängende Konzept von "Standard"-Zahlen, die nur innerhalb einer endlichen Zeit und Raums definiert werden können, wird verwendet, um axiomatische innere Mengenlehre zu motivieren, und eine bearbeitungsfähige Formulierung für illimited und unendlich kleine Zahl zur Verfügung zu stellen. Definitionen der hyperechten Linie innerhalb der Sonderanalyse (das Sachgebiet, das sich mit solchen Zahlen befasst) schließen überwältigend, den üblichen, unzählbaren Satz von reellen Zahlen als eine Teilmenge ein.

Begriff erschöpft "eindeutig beschriebene" Zahlen nicht

Nicht jede Zahl, die wir informell sagen würden, ist eindeutig beschrieben worden, ist im obengenannten Sinn definierbar. Zum Beispiel, wenn wir alle diese definierbaren Zahlen durch die Zahlen von Gödel ihrer Definieren-Formeln dann aufzählen können, können wir das diagonale Argument des Kantoren verwenden, um eine Einzelheit echt zu finden, der nicht auf derselben Sprache definierbare erste Ordnung ist. Das Argument kann wie folgt gemacht werden:

Nehmen Sie an, dass auf einer mathematischen Sprache L es möglich ist, alle definierten Zahlen in L aufzuzählen. Lassen Sie diese Enumeration durch die Funktion G definiert werden: W  R, wo G (n) die reelle Zahl ist, die durch die n-te Beschreibung in der Folge beschrieben ist. Mit dem diagonalen Argument ist es möglich, eine reelle Zahl x zu definieren, der G (n) für jeden n nicht gleich ist. Das bedeutet, dass es eine Sprache L gibt', der x definiert, der in L undefinierbar ist.

Andere Begriffe von definability

Der Begriff von in diesem Artikel behandeltem definability ist in erster Linie für die Bestimmtheit, nicht gewählt worden mit der Begründung, dass es nützlicher oder interessant ist als andere Begriffe. Hier behandeln wir viele andere:

Definability auf anderen Sprachen oder Strukturen

Sprache der Arithmetik

Die Sprache der Arithmetik hat Symbole für 0, 1, die Nachfolger-Operation, Hinzufügung und Multiplikation, haben vorgehabt, auf die übliche Weise über die natürlichen Zahlen interpretiert zu werden. Da sich keine Variablen dieser Sprache über den reals erstrecken, können wir nicht die frühere Definition von definability einfach kopieren. Eher sagen wir, dass ein echter definierbar auf der Sprache der Arithmetik (oder arithmetisch) zu sein, wenn seine Kürzung von Dedekind als ein Prädikat auf dieser Sprache definiert werden kann; d. h. wenn es eine Formel der ersten Ordnung φ auf der Sprache der Arithmetik, mit zwei freien Variablen, solch dass gibt

Sprache der 2. Ordnung der Arithmetik

Die Sprache der zweiten Ordnung der Arithmetik ist dasselbe als die Sprache der ersten Ordnung, außer dass Variablen und quantifiers erlaubt wird, sich über Sätze von naturals zu erstrecken. Ein echter, der auf der Sprache der Arithmetik definierbare zweite Ordnung ist, wird analytisch genannt.

Definability mit Ordnungsrahmen

Manchmal ist es von Interesse, um definability mit Rahmen zu denken; d. h. um eine Definition hinsichtlich eines anderen Gegenstands zu geben, der unbestimmt bleibt. Zum Beispiel wird ein echter (oder was das betrifft, jeder Satz a) Ordnungs-definierbar genannt, wenn es eine Formel der ersten Ordnung φ auf der Sprache der Mengenlehre, mit zwei freien Variablen und einem Ordnungs-γ, solch gibt, dass des einzigartigen solchen Gegenstands zu sein, dass φ (a, γ) (in V) hält.

Die anderen Sorten von so weit betrachtetem definability haben nur zählbar viele Definieren-Formeln, und erlauben deshalb nur zählbar viele definierbare reals. Das ist für Ordnungsdefinability nicht wahr, weil eine Ordnungszahl definierbar echt nicht nur durch die Formel φ, sondern auch durch den Ordnungs-γ definiert wird. Tatsächlich ist es mit ZFC im Einklang stehend, dass alle reals, und deshalb ordnungsdefinierbar sind, dass es unzählbar viele ordnungsdefinierbare reals gibt. Jedoch ist es auch mit ZFC im Einklang stehend, dass es nur zählbar viele ordnungsdefinierbare reals gibt.

Siehe auch

• Beere-Paradox
• Berechenbare Zahl
• Zahl von Constructible
• Weltall von Constructible
• Entscheidungsproblem
• Alan Turing, "Auf Berechenbaren Zahlen, Mit Einer Anwendung auf Entscheidungsproblem", Verhandlungen Londons Mathematische Gesellschaft, 1936 (das ursprüngliche Papier von Turing, das berechenbare und definierbare Zahlen unterscheidet)