In der abstrakten Algebra ist ein Feld ein Ring, dessen Nichtnullelemente eine Ersatzgruppe unter der Multiplikation bilden. Als solcher ist es eine algebraische Struktur mit Begriffen von Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung, bestimmte Axiome befriedigend. Die meistens verwendeten Felder sind das Feld von reellen Zahlen, das Feld von komplexen Zahlen und das Feld von rationalen Zahlen, aber es gibt auch begrenzte Felder, Aufgabenbereiche, verschiedene Felder der algebraischen Zahl, p-adic Felder und so weiter. Um Verwirrung mit anderem Gebrauch des Wortes "Feld" zu vermeiden, kann der Begriff "Korpus" auch gebraucht werden.

Jedes Feld kann als die Skalare für einen Vektorraum verwendet werden, der der allgemeine Standardzusammenhang für die geradlinige Algebra ist. Die Theorie von Felderweiterungen (einschließlich der Theorie von Galois) schließt die Wurzeln von Polynomen mit Koeffizienten in einem Feld ein; unter anderen Ergebnissen führt diese Theorie zu Unmöglichkeitsbeweisen für die klassischen Probleme der Winkeldreiteilung und des Quadrierens der Kreis mit einem Kompass und Haarlineal, sowie einem Beweis des Lehrsatzes von Abel-Ruffini auf der algebraischen Unlösbarkeit von quintic Gleichungen. In der modernen Mathematik spielen die Theorie von Feldern (oder Feldtheorie) eine wesentliche Rolle in der Zahlentheorie und algebraischen Geometrie.

Als eine algebraische Struktur ist jedes Feld ein Ring, aber nicht jeder Ring ist ein Feld. Der wichtigste Unterschied ist, dass Felder Abteilung berücksichtigen (obwohl nicht Abteilung durch die Null), während ein Ring multiplicative Gegenteile nicht zu besitzen braucht; zum Beispiel bilden die ganzen Zahlen einen Ring, aber 2x = 1 hat keine Lösung in ganzen Zahlen. Außerdem ist die Multiplikationsoperation in einem Feld erforderlich, auswechselbar zu sein. Ein Ring, in dem Abteilung möglich ist, aber commutativity wird nicht angenommen (wie der quaternions) wird einen Abteilungsring genannt, oder verdrehen Sie Feld. (Historisch sind Abteilungsringe manchmal Felder genannt geworden, während Felder Ersatzfelder genannt wurden.)

Als ein Ring kann ein Feld als ein spezifischer Typ des integrierten Gebiets klassifiziert werden, und kann durch das folgende (nicht erschöpfend) Kette von Klasseneinschließungen charakterisiert werden:

: Ersatzringe  integrierte Gebiete  integriert geschlossene Gebiete  einzigartige factorization Gebiete  ideale Hauptgebiete  Euklidische Gebiete  Felder  begrenzte Felder.

Definition und Illustration

Intuitiv ist ein Feld ein Satz F, der eine Ersatzgruppe in Bezug auf zwei vereinbare Operationen, Hinzufügung und Multiplikation mit "dem vereinbaren" ist, der durch distributivity und die Verwahrung wird formalisiert, dass die zusätzliche Identität (0) kein multiplicative Gegenteil hat (kann man sich nicht durch 0 teilen).

Die allgemeinste Weise, das zu formalisieren, ist durch das Definieren eines Feldes als ein Satz zusammen mit zwei Operationen, gewöhnlich genannter Hinzufügung und Multiplikation, und angezeigt durch + und · beziehungsweise, solch, dass die folgenden Axiome halten; Subtraktion und Abteilung werden implizit in Bezug auf die inversen Betriebe der Hinzufügung und Multiplikation definiert:

Verschluss von F unter der Hinzufügung und Multiplikation

:For der ganze a, b in F, sowohl + b als auch a · b sind in F (oder mehr formell, + und · sind binäre Operationen auf F).

Associativity der Hinzufügung und Multiplikation

:For der ganze a, b, und c in F, halten die folgenden Gleichheiten: + (b + c) = (+ b) + c und a · (b · c) = (a · b) · c.

Commutativity der Hinzufügung und Multiplikation

:For der ganze a und b in F, die folgenden Gleichheiten halten: + b = b + a und a · b = b · a.

Existenz des Zusatzes und der multiplicative Identitätselemente

:There besteht ein Element von F, genannt das zusätzliche Identitätselement und angezeigt durch 0, solch das für alle in F, + 0 = a. Ebenfalls gibt es ein Element, genannt das multiplicative Identitätselement und angezeigt durch 1, solch das für alle in F, a · 1 = a. Um den trivialen Ring auszuschließen, sind die zusätzliche Identität und die multiplicative Identität erforderlich, verschieden zu sein.

Existenz von zusätzlichen Gegenteilen und multiplicative Gegenteilen

:For jeder in F, dort besteht ein Element a in F, solch dass + (a) = 0. Ähnlich für irgendwelchen im F außer 0, dort besteht ein Element in F, solch dass a · = 1. (Die Elemente + (b) und a · b werden auch ein  b und a/b beziehungsweise angezeigt.) Mit anderen Worten bestehen Subtraktion und Abteilungsoperationen.

Distributivity der Multiplikation über die Hinzufügung

:For der ganze a, b und c in F, hält die folgende Gleichheit: a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Ein Feld ist deshalb eine algebraische Struktur F, +, · , 0, 1 ; des Typs 2, 2, 1, 1, 0, 0 , aus zwei abelian Gruppen bestehend:

• F unter +, , und 0;
• F \{0} darunter · und 1, mit 0  1,

damit · das Verteilen über +.

Das erste Beispiel: rationale Zahlen

Ein einfaches Beispiel eines Feldes ist das Feld von rationalen Zahlen, aus Zahlen bestehend, die als Bruchteile geschrieben werden können

a/b, wo a und b ganze Zahlen und b  0 sind. Das zusätzliche Gegenteil solch eines Bruchteils ist einfach a/b, und das multiplicative Gegenteil (vorausgesetzt, dass ein  0) ist b/a. Um die Letzteren zu sehen, bemerken Sie das

:

Die abstrakt erforderlichen Feldaxiome nehmen zu Standardeigenschaften von rationalen Zahlen, wie das Gesetz von distributivity ab

:

oder das Gesetz von commutativity und Gesetz von associativity.

Das zweite Beispiel: ein Feld mit vier Elementen

Zusätzlich zu vertrauten Zahl-Systemen wie der rationals gibt es anderen, weniger unmittelbare Beispiele von Feldern. Das folgende Beispiel ist ein Feld, das aus vier Elementen genannt O, ich, A und B besteht. Die Notation wird solch gewählt, dass O spielt, die Rolle des zusätzlichen Identitätselements (hat 0 in den Axiomen angezeigt), und ich bin die multiplicative Identität (hat 1 oben angezeigt). Man kann überprüfen, dass alle Feldaxiome zufrieden sind. Zum Beispiel:

:A · (B + A) = A · Ich = A, der A gleichkommt · B + A · = ich + B = A, wie erforderlich, durch den distributivity.

Das obengenannte Feld wird ein begrenztes Feld mit vier Elementen genannt, und kann F angezeigt werden. Feldtheorie ist mit dem Verstehen der Gründe für die Existenz dieses Feldes beschäftigt, das in ziemlich ad hoc Weise und das Beschreiben seiner inneren Struktur definiert ist. Zum Beispiel, von einem flüchtigen Blick an der Multiplikationstabelle, kann es gesehen werden, dass jedes Nichtnullelement (d. h., ich, A, und B) eine Macht von A ist: = A, B = = A · A, und schließlich ich = = A · A · A. Das ist nicht ein Zufall, aber eher einer der Startpunkte eines tieferen Verstehens von (begrenzten) Feldern.

Alternative axiomatizations

Als mit anderen algebraischen Strukturen, dort bestehen Sie Alternative axiomatizations. Wegen der Beziehungen zwischen den Operationen kann man wechselweise axiomatize ein Feld, indem man ausführlich annimmt, die vier binäre Operationen sind (tragen Sie bei, machen Sie Abstriche, multiplizieren Sie, teilen Sie sich) mit Axiomen, die verbinden, multiplizieren diese, oder in Bezug auf zwei binäre Operationen (tragen bei,), und zwei unäre Operationen (zusätzliches Gegenteil, multiplicative Gegenteil), oder andere Varianten.

Der übliche axiomatization in Bezug auf die zwei Operationen der Hinzufügung und Multiplikation ist kurz und erlaubt den anderen Operationen, in Bezug auf diese grundlegenden definiert zu werden, aber in anderen Zusammenhängen, wie Topologie und Kategorie-Theorie, ist es wichtig, alle Operationen, wie ausführlich gegeben, einzuschließen, aber nicht implizit definiert (vergleichen Sie topologische Gruppe). Das ist, weil ohne weitere Annahmen die implizit definierten Gegenteile (in der Topologie) nicht dauernd sein können oder nicht im Stande sein können (in der Kategorie-Theorie) definiert zu werden: Das Definieren eines Gegenteils verlangt, dass ein mit einem Satz, nicht einem allgemeineren Gegenstand arbeiten.

Für einen sehr wirtschaftlichen axiomatization des Feldes von reellen Zahlen, deren Primitive bloß ein Satz R mit 1R, Hinzufügung und eine binäre Beziehung sind,

| -

! Abelian (Zusatz) Gruppenstruktur

| || || || ||

| -

! Multiplicative Struktur und distributivity

| - || || || ||

| -

! Commutativity der Multiplikation

| - || || || ||| -

! Multiplicative Gegenteile

| - || || || ||| }\

Die Axiome, die oben auferlegt sind, ähneln denjenigen, die von anderen algebraischen Strukturen vertraut sind. Zum Beispiel, die Existenz der binären Operation "·", zusammen mit seinem commutativity sind associativity, (multiplicative) Identitätselement und Gegenteile genau die Axiome für eine abelian Gruppe. Mit anderen Worten, für jedes Feld, ist die Teilmenge von Nichtnullelementen F \{0}, auch häufig angezeigter F, eine abelian Gruppe (F, ·) gewöhnlich hat multiplicative Gruppe des Feldes genannt. Ebenfalls ist eine abelian Gruppe. Die Struktur eines Feldes ist folglich dasselbe als das Spezifizieren solcher zwei Gruppenstrukturen (auf demselben Satz), dem distributivity folgend.

Wichtige andere algebraische Strukturen wie Ringe entstehen, wenn sie nur einen Teil der obengenannten Axiome verlangen. Zum Beispiel, wenn die Voraussetzung von commutativity der Multiplikationsoperation · ist fallen gelassen, man bekommt Strukturen gewöhnlich genannte Abteilungsringe, oder verdrehen Sie Felder.

Bemerkungen

Durch die elementare Gruppentheorie, die auf die abelian Gruppen (F angewandt ist, ·), und, das zusätzliche Gegenteil a und das multiplicative Gegenteil einzigartig entschlossen durch a zu sein.

Ähnliche direkte Folgen von den Feldaxiomen schließen ein

:  (a · b) = (a) · b = a · (b), in besonderem a = (1) · ein

sowie

:a · 0 = 0.

Beide können gezeigt werden, indem sie b oder c mit 0 im verteilenden Eigentum ersetzen

Geschichte

Das Konzept des Feldes wurde implizit von Niels Henrik Abel und Évariste Galois in ihrer Arbeit an der Lösbarkeit von polynomischen Gleichungen mit vernünftigen Koeffizienten des Grads fünf oder höher verwendet.

1857 hat Karl von Staudt seine Algebra des Werfens veröffentlicht, das ein geometrisches Modell zur Verfügung gestellt hat, das die Axiome eines Feldes befriedigt. Dieser Aufbau ist oft als ein Beitrag zu den Fundamenten der Mathematik zurückgerufen worden.

1871 hat Richard Dedekind, für eine Reihe von reellen Zahlen oder komplexe Zahlen eingeführt, der unter den vier arithmetischen Operationen, das deutsche Wort Körper geschlossen wird, was "Körper" oder "Korpus" bedeutet (um eine organisch geschlossene Entität anzudeuten), folglich die übliche Anwendung des Briefs K, um ein Feld anzuzeigen. Er hat auch Ringe definiert (dann genannt Ordnung oder Ordnung-modul), aber der Begriff "ein Ring" (Zahlring) wurde von Hilbert erfunden. 1893 hat Eliakim Hastings Moore das Konzept "Feld" in Englisch genannt.

1881 hat Leopold Kronecker definiert, was er ein "Gebiet der Vernunft" genannt hat, die tatsächlich ein Feld von Polynomen in modernen Begriffen ist. 1893 hat Heinrich M. Weber die erste klare Definition eines abstrakten Feldes gegeben. 1910 hat Ernst Steinitz das sehr einflussreiche Papier Algebraische Theorie der Körper veröffentlicht. In dieser Zeitung studiert er axiomatisch die Eigenschaften von Feldern und definiert viele wichtige theoretische Feldkonzepte wie Hauptfeld, vollkommenes Feld und der Überlegenheitsgrad einer Felderweiterung.

Emil Artin hat die Beziehung zwischen Gruppen und Feldern im großen Detail von 1928 bis 1942 entwickelt.

Beispiele

Rationals und algebraische Zahlen

Das Feld von rationalen Zahlen Q ist oben eingeführt worden. Eine zusammenhängende Klasse von in der Zahlentheorie sehr wichtigen Feldern ist Felder der algebraischen Zahl. Wir werden zuerst ein Beispiel, nämlich Feld Q (ζ) anführen, aus Zahlen der Form bestehend

:a + bζ\

mit a, b  Q, wo ζ eine primitive dritte Wurzel der Einheit, d. h., eine komplexe Zahl ist, die ζ = 1 befriedigt. Diese Felderweiterung kann verwendet werden, um einen speziellen Fall des letzten Lehrsatzes von Fermat zu beweisen, der das Nichtsein von vernünftigen Nichtnulllösungen der Gleichung behauptet

:x + y = z.

Auf der Sprache von Felderweiterungen, die unten, Q ausführlich berichtet sind, ist (ζ) eine Felderweiterung des Grads 2. Felder der algebraischen Zahl sind definitionsgemäß begrenzte Felderweiterungen von Q, d. h. Felder, die Q enthalten begrenzte Dimension als ein Q-Vektorraum zu haben.

Reals, komplexe Zahlen und p-adic Zahlen

Nehmen Sie die reellen Zahlen R, unter den üblichen Operationen der Hinzufügung und Multiplikation. Wenn die reellen Zahlen die übliche Einrichtung gegeben werden, bilden sie ein ganzes bestelltes Feld; es ist diese Struktur, die das Fundament für die meisten formellen Behandlungen der Rechnung zur Verfügung stellt.

Die komplexen Zahlen C bestehen aus Ausdrücken

:a + bi

wo ich die imaginäre Einheit, d. h., eine (nichtechte) Zahl bin, die i = 1 befriedigt.

Hinzufügung und Multiplikation von reellen Zahlen werden auf solche Art und Weise definiert, den alle Feldaxiome für C halten. Zum Beispiel macht das verteilende Gesetz geltend

: (+ bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi, der acbd + (bc + Anzeige) ich gleichkommt.

Die reellen Zahlen können durch die Vollendung der rationalen Zahlen, d. h., das Schließen der "Lücken" gebaut werden: Zum Beispiel ist  solch eine Lücke. Durch ein formell sehr ähnliches Verfahren, eine andere wichtige Klasse von Feldern, wird das Feld von p-adic Zahlen Q gebaut. Es wird in der Zahlentheorie und p-adic Analyse verwendet.

Hyperechte Zahlen und superechte Zahlen erweitern die reellen Zahlen mit der Hinzufügung von unendlich kleinen und unendlichen Zahlen.

Zahlen von Constructible

In der Altertümlichkeit haben mehrere geometrische Probleme (in) der Durchführbarkeit betroffen, bestimmte Anzahlen mit dem Kompass und Haarlineal zu bauen. Zum Beispiel war es den Griechen unbekannt, dass es im allgemeinen Unmöglichen ist, um einen gegebenen Winkel dreimal zu teilen. Das Verwenden des Feldbegriffs und der Feldtheorie erlaubt diesen Problemen, gesetzt zu werden. Um so zu tun, wird das Feld von constructible Zahlen betrachtet. Es, enthält auf dem Flugzeug, die Punkte 0 und 1, und alle komplexen Zahlen, die von diesen zwei durch eine begrenzte Zahl von Bauschritten mit nur den Kompass und das Haarlineal gebaut werden können. Dieser Satz, der mit der üblichen Hinzufügung und Multiplikation von komplexen Zahlen ausgestattet ist, bildet wirklich ein Feld. Zum Beispiel kann das Multiplizieren zwei (echter) Nummern r und r, die bereits gebaut worden sind, mit dem Aufbau am Recht getan werden, das auf dem Abschnitt-Lehrsatz gestützt ist. Auf diese Weise enthält das erhaltene Feld F alle rationalen Zahlen, aber ist größer als Q, weil für jeden f  F die Quadratwurzel von f auch eine constructible Zahl ist.

Begrenzte Felder

Begrenzte Felder (hat auch Felder von Galois genannt), sind Felder mit begrenzt vielen Elementen. Das obengenannte einleitende Beispiel F ist ein Feld mit vier Elementen. Hervorgehoben in den Multiplikations- und Hinzufügungstischen ist oben Feld F, das aus zwei Elementen 0 und 1 besteht. Das ist das kleinste Feld, weil definitionsgemäß ein Feld mindestens zwei verschiedene Elemente 1  0 hat. Die Hinzufügung und Multiplikation in diesem letzten Feld als XOR und UND Operationen interpretierend, findet dieses Feld Anwendungen in der Informatik, besonders in der Geheimschrift und Codiertheorie.

In einem begrenzten Feld gibt es notwendigerweise eine ganze Zahl n solch, der (n wiederholte Begriffe) 0 gleich ist. Es kann gezeigt werden, dass das kleinste solcher n eine Primzahl, genannt die Eigenschaft des Feldes sein muss. Wenn (notwendigerweise unendlich) Feld das Eigentum hat, das nie Null, für jede Zahl von summands, solcher als in Q zum Beispiel ist, wie man sagt, ist die Eigenschaft Null.

Eine grundlegende Klasse von begrenzten Feldern ist die Felder F mit p Elementen (p eine Primzahl):

:F = Z/pZ = {0, 1..., p  1},

wo die Operationen durch das Durchführen der Operation im Satz von ganzen Zahlen Z, das Teilen durch p und die Einnahme des Rests definiert werden; sieh Modularithmetik. Feld K der Eigenschaft p enthält notwendigerweise F, und kann deshalb als ein Vektorraum über F der begrenzten Dimension angesehen werden, wenn K begrenzt ist. So hat ein begrenztes Feld K Hauptmacht-Ordnung, d. h., K hat q = p Elemente (wo n> 0 die Zahl der Elemente in einer Basis von K über F) ist. Indem man mehr Feldtheorie, insbesondere der Begriff des zerreißenden Feldes eines Polynoms f über Feld K entwickelt, das das kleinste Feld ist, das K und alle Wurzeln von f enthält, kann man zeigen, dass zwei begrenzte Felder mit derselben Zahl der Elemente isomorph sind, d. h. es gibt eines Feldes auf den anderen isomorph kartografisch darzustellen, der Multiplikation und Hinzufügung bewahrt. So können wir vom begrenzten Feld mit q Elementen sprechen, die gewöhnlich durch F oder GF (q) angezeigt sind.

Aufgabenbereich

In Anbetracht eines geometrischen Gegenstands X kann man Funktionen auf solchen Gegenständen denken. Das Hinzufügen und das Multiplizieren von ihnen pointwise, d. h., (f · g) (x) = f (x) · g (x) führt das zu einem Feld. Jedoch, wegen der Anwesenheit möglicher Nullen, d. h., Punkt-x  X, wo f (x) = 0, man Pole in Betracht ziehen muss, d. h., formell f (x) =  erlaubend.

Wenn X eine algebraische Vielfalt über F ist, dann bilden die vernünftigen Funktionen X  F, d. h., Funktionen definiert fast überall, ein Feld, das Funktionsfeld X. Ebenfalls, wenn X eine Oberfläche von Riemann ist, dann bilden die Meromorphic-Funktionen S  C ein Feld. Unter bestimmten Verhältnissen, nämlich wenn S kompakt ist, kann S von diesem Feld wieder aufgebaut werden.

Lokale und globale Felder

Eine andere wichtige Unterscheidung im Bereich von Feldern, besonders hinsichtlich der Zahlentheorie, ist lokale Felder und globale Felder. Lokale Felder sind Vollziehungen von globalen Feldern an einem gegebenen Platz. Zum Beispiel ist Q ein globales Feld, und die beigefügten lokalen Felder sind Q und R (der Lehrsatz von Ostrowski). Felder der algebraischen Zahl und Funktionsfelder über F sind weitere globale Felder. Das Studieren arithmetischer Fragen in globalen Feldern kann manchmal durch das Schauen auf die entsprechenden Fragen lokal getan werden — diese Technik wird lokal-globalen Grundsatz genannt.

Einige erste Lehrsätze

• Jede begrenzte Untergruppe der multiplicative Gruppe F ist zyklisch. Das gilt insbesondere für F, es ist von der Ordnung zyklisch. Im einleitenden Beispiel ist ein Generator von F das Element A.
• Aus dem Gesichtswinkel von der algebraischen Geometrie sind Felder Punkte, weil die Spektrum-Spekulation F nur einen Punkt entsprechend dem 0-Ideale-hat. Das hat zur Folge, dass ein Ersatzring ein Feld ist, wenn, und nur wenn er keine Ideale außer {0} und es hat. Gleichwertig ist ein integriertes Gebiet Feld, wenn, und nur wenn seine Dimension von Krull 0 ist.
• Isomorphismus-Erweiterungslehrsatz

Das Konstruieren von Feldern

Verschluss-Operationen

Das Annehmen des Axioms der Wahl, für jedes Feld F, dort besteht ein Feld, genannt den algebraischen Verschluss von F, der F enthält, ist über F algebraisch, was bedeutet, dass jedes Element x dessen eine polynomische Gleichung befriedigt

:fx + fx + ··· + fx + f = 0, mit Koeffizienten f..., f  F,

und wird algebraisch geschlossen, d. h. jedes solches Polynom hat wirklich mindestens eine Lösung darin. Der algebraische Verschluss ist bis zum Isomorphismus einzigartig, der die Identität auf F veranlasst. Jedoch, in vielen Verhältnissen in der Mathematik, ist es nicht passend, als zu behandeln, durch F einzigartig bestimmt werden, da der Isomorphismus oben nicht selbst einzigartig ist. In diesen Fällen bezieht man sich auf wie ein algebraischer Verschluss von F. Ein ähnliches Konzept ist der trennbare Verschluss, alle Wurzeln von trennbaren Polynomen statt aller Polynome enthaltend.

Zum Beispiel, wenn F = Q, der algebraische Verschluss auch Feld von algebraischen Zahlen genannt wird. Das Feld von algebraischen Zahlen ist ein Beispiel eines algebraisch geschlossenen Feldes der charakteristischen Null; als solcher befriedigt es dieselben Sätze der ersten Ordnung wie das Feld von komplexen Zahlen C.

Im Allgemeinen sind alle algebraischen Verschlüsse eines Feldes isomorph. Jedoch gibt es im Allgemeinen keinen vorzuziehenden Isomorphismus zwischen zwei Verschlüssen. Ebenfalls für trennbare Verschlüsse.

Teilfelder und Felderweiterungen

Ein Teilfeld, ist informell, ein kleines in einem größeren enthaltenes Feld. Formell ist ein Teilfeld E Feldes F eine Teilmenge, die 0 und 1, geschlossen unter den Operationen +,  enthält, · und Multiplicative-Gegenteile und mit seinen eigenen durch die Beschränkung definierten Operationen. Zum Beispiel enthalten die reellen Zahlen mehrere interessante Teilfelder: Die echten algebraischen Zahlen, die berechenbaren Zahlen und die rationalen Zahlen sind Beispiele.

Der Begriff der Felderweiterung liegt am Herzen der Feldtheorie, und ist für viele andere algebraische Gebiete entscheidend. Eine Felderweiterung F / E ist einfach Feld F und ein Teilfeld E  F. Wenn man solch eine Felderweiterung F / baut, kann E "das Hinzufügen neuer Elemente" oder angrenzender Elemente nach Feld E getan werden. Zum Beispiel, in Anbetracht Feldes E, der Satz F = E (X) von vernünftigen Funktionen, d. h., Gleichwertigkeitsklassen von Ausdrücken der Art

:

wo p (X) und q (X) Polynome mit Koeffizienten in E sind, und q nicht das Nullpolynom ist, bildet ein Feld. Das ist das einfachste Beispiel einer transzendentalen Erweiterung von E. Es ist auch ein Beispiel eines Gebiets (der Ring von Polynomen in diesem Fall), in sein Feld von Bruchteilen eingebettet werden.

Der Ring der formellen Macht-Reihe ist auch ein Gebiet, und wieder (Gleichwertigkeitsklassen) Bruchteile der Form p (X) / q (X), wo p und q Elemente der Form das Feld von Bruchteilen dafür sind. Dieses Feld ist wirklich der Ring der Reihe von Laurent über Feld E, angezeigt.

In den obengenannten zwei Fällen haben das zusätzliche Symbol X und seine Mächte mit Elementen von E nicht aufeinander gewirkt. Es ist jedoch möglich, dass das angegrenzte Symbol mit E aufeinander wirken kann. Diese Idee wird durch das Angrenzen an ein Element dem Feld von reellen Zahlen R illustriert. Wie erklärt, oben ist C eine Erweiterung von R. C kann bei R durch das Angrenzen an das imaginäre Symbol i erhalten werden, der mich = 1 befriedigt. Das Ergebnis besteht dass R [ich] =C darin. Das ist davon verschieden, an das Symbol X R anzugrenzen, weil in diesem Fall die Mächte X alle verschiedenen Gegenstände sind, aber hier bin ich =  1 wirklich ein Element von R.

Eine andere Weise, dieses letzte Beispiel anzusehen, soll bemerken, dass ich eine Null des Polynoms p (X) = X + 1 bin. Der Quotient-Ring kann auf C das Verwenden der Karte kartografisch dargestellt werden. Da das Ideal (X+1) durch ein über R nicht zu vereinfachendes Polynom erzeugt wird, ist das Ideal folglich maximal der Quotient-Ring ist ein Feld. Diese Nichtnullringkarte vom Quotienten bis C ist notwendigerweise ein Isomorphismus von Ringen.

Der obengenannte Aufbau verallgemeinert zu jedem nicht zu vereinfachenden Polynom im polynomischen Ring E [X], d. h., ein Polynom p (X), der als ein Produkt von nichtunveränderlichen Polynomen nicht geschrieben werden kann. Der Quotient-Ring F = E [X] / (p (X)), ist wieder ein Feld.

Wechselweise kann das Konstruieren solcher Felderweiterungen auch getan werden, wenn ein größerer Behälter bereits gegeben wird. Denken Sie gegeben Feld E und Feld G, das E enthält, weil ein Teilfeld zum Beispiel G der algebraische Verschluss von E. Let x sein konnte, ein Element von G nicht in E sein. Dann gibt es ein kleinstes Teilfeld von G, der E und x enthält, hat F = E (x) angezeigt und hat Felderweiterung F / E erzeugt durch x in G genannt. Solche Erweiterungen werden auch einfache Erweiterungen genannt. Viele Erweiterungen sind dieses Typs; sieh den primitiven Element-Lehrsatz. Zum Beispiel Q ist (i) das Teilfeld von C, der aus allen Zahlen der Form + bi besteht, wo sowohl a als auch b rationale Zahlen sind.

Man unterscheidet zwischen Erweiterungen, die verschiedene Qualitäten haben. Zum Beispiel wird eine Erweiterung K eines Feldes k algebraisch genannt, wenn jedes Element von K eine Wurzel von einem Polynom mit Koeffizienten in k ist. Sonst wird die Erweiterung transzendental genannt. Das Ziel der Theorie von Galois ist die Studie von algebraischen Erweiterungen eines Feldes.

Ringe gegen Felder

Wenn er

multiplicative Gegenteile zu einem integrierten Gebiet hinzufügt, gibt R das Feld von Bruchteilen von R nach. Zum Beispiel ist das Feld von Bruchteilen der ganzen Zahlen Z gerade Q.

Außerdem ist Feld F (X) das Quotient-Feld des Rings von Polynomen F [X]. "Das Zurückbekommen" des Rings vom Feld ist manchmal möglich; sieh getrennte Schätzung klingeln.

Eine andere Methode, ein Feld von einem Ersatzring R zu erhalten, nimmt den Quotienten, wo M jedes maximale Ideal von R ist. Der obengenannte Aufbau von F = E [X] / (p (X)), ist ein Beispiel, weil der irreducibility des Polynoms p (X) zum maximality des durch dieses Polynom erzeugten Ideales gleichwertig ist. Ein anderes Beispiel ist die begrenzten Felder F = Z / pZ.

Ultraprodukte

Wenn ich ein Index-Satz bin, ist U ein Ultrafilter auf mir, und F ist ein Feld für jeden ich in mir, das Ultraprodukt des F in Bezug auf U ist ein Feld.

Zum Beispiel ist ein Nichthauptultraprodukt von begrenzten Feldern ein begrenztes Pseudofeld; d. h., ein PAC Feld, das genau eine Erweiterung jedes Grads hat.

Dieser Aufbau ist für die Studie der elementaren Theorie von begrenzten Feldern wichtig.

Theorie von Galois

Theorie von Galois hat zum Ziel, die algebraischen Erweiterungen eines Feldes durch das Studieren der Symmetrie in den arithmetischen Operationen der Hinzufügung und Multiplikation zu studieren. Der Hauptsatz der Theorie von Galois zeigt, dass es eine starke Beziehung zwischen der Struktur der Symmetrie-Gruppe und dem Satz von algebraischen Erweiterungen gibt.

Im Fall, wo F / E eine begrenzte (Galois) Erweiterung ist, studiert Theorie von Galois die algebraischen Erweiterungen von E, die Teilfelder von F sind. Solche Felder werden Zwischenerweiterungen genannt. Spezifisch, die Gruppe von Galois von F über E, hat Mädchen (F/E) angezeigt, ist die Gruppe des Feldes automorphisms F, die auf E trivial sind (d. h., die Bijektionen σ: F  F dass Konserve-Hinzufügung und Multiplikation, und die Elemente von E zu sich senden), und stellt der Hauptsatz der Theorie von Galois fest, dass es eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen Untergruppen des Mädchens (F/E) und des Satzes von Zwischenerweiterungen der Erweiterung F/E gibt. Der Lehrsatz gibt tatsächlich eine ausführliche Ähnlichkeit und weitere Eigenschaften.

Um alle (trennbaren) algebraischen Erweiterungen von E sofort zu studieren, muss man die absolute Gruppe von Galois von E denken, der als die Gruppe von Galois des trennbaren Verschlusses, E von E über E definiert ist (d. h., Mädchen (E/E). Es ist möglich, dass der Grad dieser Erweiterung (als im Fall von E = Q) unendlich ist. Es ist so notwendig, einen Begriff der Gruppe von Galois für eine unendliche algebraische Erweiterung zu haben. Die Galois Gruppe wird in diesem Fall als eine "Grenze" (spezifisch eine umgekehrte Grenze) der Gruppen von Galois der begrenzten Erweiterungen von Galois von E erhalten. Auf diese Weise erwirbt es eine Topologie. Der Hauptsatz der Theorie von Galois kann zum Fall von unendlichen Erweiterungen von Galois verallgemeinert werden, indem er die Topologie der Gruppe von Galois in Betracht gezogen wird, und im Fall von E/E stellt es fest, dass dort das eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen geschlossenen Untergruppen des Mädchens (E/E) und des Satzes aller trennbaren algebraischen Erweiterungen von E (technisch erhält ein einziger jene trennbaren algebraischen Erweiterungen von E, die als Teilfelder des gewählten trennbaren Verschlusses E vorkommen, aber da alle trennbaren Verschlüsse von E isomorph sind, einen verschiedenen trennbaren Verschluss wählend, dieselbe Gruppe von Galois und so einen "gleichwertigen" Satz von algebraischen Erweiterungen geben würde).

Generalisationen

Es gibt auch richtige Klassen mit der Feldstruktur, die manchmal Felder, mit einem Kapital F genannt werden:

• Die surrealen Zahlen bilden ein Feld, das den reals enthält, und würden ein Feld sein abgesehen davon, dass sie eine richtige Klasse, nicht ein Satz sind. Der Satz aller surrealen Zahlen mit dem Geburtstag, der kleiner ist als ein unzugänglicher Kardinal, bildet ein Feld.
• Die nimbers bilden ein Feld. Der Satz von nimbers mit dem Geburtstag, der kleiner ist als 2, die nimbers mit dem Geburtstag, der kleiner ist als jeder unendliche Kardinal, sind alle Beispiele von Feldern.

In einer verschiedenen Richtung sind Differenzialfelder mit einer Abstammung ausgestattete Felder. Zum Beispiel bildet Feld R (X), zusammen mit der Standardableitung von Polynomen ein Differenzialfeld. Diese Felder sind zur Differenzialtheorie von Galois zentral. Exponentialfelder sind inzwischen Felder, die mit einer Exponentialfunktion ausgestattet sind, die einen Homomorphismus zwischen dem Zusatz und den multiplicative Gruppen innerhalb des Feldes zur Verfügung stellt. Die übliche Exponentialfunktion macht die reellen Zahlen und komplexen Zahlen Exponentialfelder, hat R und C beziehungsweise angezeigt.

Die Generalisierung in einer kategorischeren Richtung gibt das Feld mit einem Element und verwandten Gegenständen nach.

Exponentiation

Man tut nicht in allgemeinen Studiengeneralisationen von Feldern mit drei binären Operationen. Die vertraute Hinzufügung/Subtraktion, Multiplikation/Abteilung, exponentiation/root-extraction Operationen von den natürlichen Zahlen bis den reals, jeder, der in Bezug auf die Wiederholung des letzten aufgebaut ist, bedeutet, dass, exponentiation weil verallgemeinernd, eine binäre Operation verführerisch ist, aber sich allgemein fruchtbar nicht erwiesen hat; statt dessen nimmt ein Exponentialfeld eine unäre Exponentialfunktion von der zusätzlichen Gruppe zur multiplicative Gruppe, nicht eine teilweise definierte binäre Funktion an. Bemerken Sie, dass die Exponentialoperation dessen weder assoziativ noch auswechselbar ist, noch ein einzigartiges Gegenteil hat (sind beide Quadratwurzeln 4, zum Beispiel), verschieden von der Hinzufügung und Multiplikation, und wird weiter für viele Paare — zum Beispiel nicht definiert, definiert keine einzelne Zahl. Diese alle zeigen, dass sogar für rationale Zahlen exponentiation fast so nicht wohl erzogen ist wie Hinzufügung und Multiplikation, die ist, warum man nicht in allgemeinem axiomatize exponentiation tut.

Anwendungen

Das Konzept eines Feldes ist von Nutzen, zum Beispiel, im Definieren von Vektoren und matrices, zwei Strukturen in der geradlinigen Algebra, deren Bestandteile Elemente eines willkürlichen Feldes sein können.

Begrenzte Felder werden in der Zahlentheorie, Theorie von Galois verwendet, Theorie und combinatorics codierend; und wieder ist der Begriff der algebraischen Erweiterung ein wichtiges Werkzeug.

Felder der Eigenschaft 2 sind in der Informatik nützlich.

Siehe auch

• Wörterverzeichnis der Feldtheorie für mehr Definitionen in der Feldtheorie.
• Ring
• Vektorraum
• Kategorie von Feldern
• Vektorräume ohne Felder
• Feld von Heyting
• Grundsatz von Lefschetz
• Reihe von Puiseux

Referenzen

• besonders Kapitel 13
• . Sieh besonders Buch 3 (internationale Standardbuchnummer 0-521-27288-2) und Buch 6 (internationale Standardbuchnummer 0-521-27291-2).
• James Ax (1968), Die elementare Theorie von begrenzten Feldern, Ann. der Mathematik. (2), 88, 239-271

Links

• Feldtheorie

Q&A

• Felder an der Definition von ProvenMath und den grundlegenden Eigenschaften.