In der Gruppentheorie, in Anbetracht einer Gruppe G unter einer binären Operation *, wird eine Teilmenge H G eine Untergruppe von G genannt, wenn H auch eine Gruppe unter der Operation * bildet. Genauer ist H eine Untergruppe von G, wenn die Beschränkung * zu H x H eine Gruppenoperation auf H ist. Das wird gewöhnlich notationally durch H  G vertreten, lesen Sie, weil "H eine Untergruppe von G ist".

Eine richtige Untergruppe einer Gruppe G ist eine Untergruppe H, der eine richtige Teilmenge von G ist (d. h. H  G). Die triviale Untergruppe jeder Gruppe ist die Untergruppe {e}, aus gerade dem Identitätselement bestehend. Wenn H eine Untergruppe von G ist, dann wird G manchmal eine Übergruppe von H genannt.

Dieselben Definitionen gelten mehr allgemein, wenn G eine willkürliche Halbgruppe ist, aber dieser Artikel wird sich nur mit Untergruppen von Gruppen befassen. Die Gruppe G wird manchmal vom befohlenen Paar (G, *) angezeigt, um gewöhnlich die Operation * zu betonen, wenn G vielfache algebraische oder andere Strukturen trägt.

Dieser Artikel wird ab für a*b schreiben, wie üblich ist.

Grundlegende Eigenschaften von Untergruppen

• Eine Teilmenge H der Gruppe G ist eine Untergruppe von G, wenn, und nur wenn es nichtleer und unter Produkten und Gegenteilen geschlossen ist. (Die Verschluss-Bedingungen bedeuten den folgenden: Wann auch immer a und b in H, dann ab sind und auch in H zu sein. Diese zwei Bedingungen können in eine gleichwertige Bedingung verbunden werden: Wann auch immer a und b in H sind, dann ist ab auch in H.), Im Fall, dass H begrenzt ist, dann ist H eine Untergruppe, wenn, und nur wenn H unter Produkten geschlossen wird. (In diesem Fall erzeugt jedes Element H eine begrenzte zyklische Untergruppe von H und das Gegenteil, dann = a zu sein, wo n die Ordnung von a ist.)
• Die obengenannte Bedingung kann in Bezug auf einen Homomorphismus festgesetzt werden; d. h. H ist eine Untergruppe einer Gruppe G, wenn, und nur wenn H eine Teilmenge von G ist und es einen Einschließungshomomorphismus gibt (d. h., ich (a) = für jeden a) von H bis G.
• Die Identität einer Untergruppe ist die Identität der Gruppe: Wenn G eine Gruppe mit der Identität e ist, und H eine Untergruppe von G mit der Identität e, dann e = e ist.
• Das Gegenteil eines Elements in einer Untergruppe ist das Gegenteil des Elements in der Gruppe: Wenn H eine Untergruppe einer Gruppe G ist, und a und b Elemente von solchem H dass ab = ba = e, dann ab = ba = e sind.
• Die Kreuzung von Untergruppen A und B ist wieder eine Untergruppe. Die Vereinigung von Untergruppen A und B ist eine Untergruppe, wenn, und nur wenn entweder A oder B den anderen, seitdem zum Beispiel 2 und 3 enthalten, in der Vereinigung 2Z und 3Z sind, aber ihre Summe 5 ist nicht. Ein anderes Beispiel ist die Vereinigung der X-Achse und der Y-Achse im Flugzeug (mit der Hinzufügungsoperation); jeder dieser Gegenstände ist eine Untergruppe, aber ihre Vereinigung ist nicht. Das dient auch als ein Beispiel von zwei Untergruppen, deren Kreuzung genau die Identität ist.
• Wenn S eine Teilmenge von G ist, dann dort besteht eine minimale Untergruppe, die S enthält, der durch die Einnahme der Kreuzung von allen Untergruppen gefunden werden kann, die S enthalten; es wird dadurch angezeigt
• Jedes Element einer Gruppe G erzeugt die zyklische Untergruppe
• Die Untergruppen jeder gegebenen Gruppe bilden ein ganzes Gitter unter der Einschließung, genannt das Gitter von Untergruppen. (Während der infimum hier die übliche mit dem Satz theoretische Kreuzung ist, ist das Supremum von einer Reihe von Untergruppen die Untergruppe, die von der mit dem Satz theoretischen Vereinigung der Untergruppen, nicht der mit dem Satz theoretischen Vereinigung selbst erzeugt ist.), Wenn e die Identität von G ist, dann ist die triviale Gruppe {e} die minimale Untergruppe von G, während die maximale Untergruppe die Gruppe G selbst ist.

Cosets Lehrsatz und Lagranges

In Anbetracht einer Untergruppe H und einiger in G definieren wir den linken coset ah = {ah: h in H\. Weil invertible, die Karte φ zu sein: H  ah gegeben durch φ (h) = ist ah eine Bijektion. Außerdem wird jedes Element von G in genau ein enthalten hat coset von H verlassen; die linken cosets sind die Gleichwertigkeitsklassen entsprechend der Gleichwertigkeitsbeziehung ein ~, wenn, und nur wenn aa in H ist. Die Zahl von linkem cosets von H wird den Index von H in G genannt und wird durch [G angezeigt: H].

Der Lehrsatz von Lagrange stellt das für eine begrenzte Gruppe G und eine Untergruppe H, fest

wo |G und |H die Ordnungen von G und H beziehungsweise anzeigen. Insbesondere die Ordnung jeder Untergruppe von G (und die Ordnung jedes Elements von G) müssen ein Teiler von |G sein.

Recht cosets wird analog definiert: Ha = {ha: h in H\. Sie sind auch die Gleichwertigkeitsklassen für eine passende Gleichwertigkeitsbeziehung, und ihre Zahl ist [G gleich: H].

Wenn ah = Ha für jeden in G, dann, wie man sagt, ist H eine normale Untergruppe. Jede Untergruppe des Index 2 ist normal: Der linke cosets und auch das Recht cosets, sind einfach die Untergruppe und seine Ergänzung. Mehr allgemein, wenn p das niedrigste Hauptteilen der Ordnung einer begrenzten Gruppe G ist, dann ist jede Untergruppe des Index p (wenn solcher besteht) normal.

Beispiel: Untergruppen von Z

Lassen Sie G die zyklische Gruppe Z sein, dessen Elemente sind

und dessen Gruppenoperation Hinzufügung modulo acht ist. Sein Cayley Tisch ist

Diese Gruppe hat ein Paar von nichttrivialen Untergruppen: Und wo J auch eine Untergruppe von H ist. Der Cayley Tisch für H ist der spitzenlinke Quadrant des Tisches von Cayley für G. Die Gruppe G ist zyklisch, und seine Untergruppen auch. Im Allgemeinen sind Untergruppen von zyklischen Gruppen auch zyklisch.

Beispiel: Untergruppen von S

Jede Gruppe hat so viele kleine Untergruppen wie neutrale Elemente auf der Hauptdiagonale:

Und Zwei-Elemente-Gruppen Z. Diese kleinen Untergruppen werden in der folgenden Liste nicht aufgezählt.

12 Elemente

8 Elemente

6 Elemente

4 Elemente

3 Elemente

Siehe auch

• Untergruppe von Cartan
• Anprobe der Untergruppe
• Stabile Untergruppe

Zeichen

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