In der Mathematik ist eine Halbgruppe eine algebraische Struktur, die aus einem Satz zusammen mit einer assoziativen binären Operation besteht. Eine Halbgruppe verallgemeinert einen monoid, in dem dort kein Identitätselement bestehen könnte. Es hat auch (ursprünglich) eine Gruppe (ein monoid mit allen Gegenteilen) zu einem Typ verallgemeinert, wo jedes Element kein Gegenteil, so die Namenhalbgruppe haben musste.

Die binäre Operation einer Halbgruppe wird meistenteils multiplicatively angezeigt: Oder einfach, zeigt das Ergebnis an, die Halbgruppenoperation auf das befohlene Paar anzuwenden. Die Operation ist erforderlich, assoziativ zu sein, so dass für den ganzen x, y und z, aber nicht auswechselbar zu sein braucht, so dass (Unähnlichkeit dem Standardmultiplikationsmaschinenbediener auf reellen Zahlen, wo) nicht gleich sein muss.

Definitionsgemäß ist eine Halbgruppe ein assoziatives Magma. Eine Halbgruppe mit einem Identitätselement wird einen monoid genannt. Eine Gruppe ist dann ein monoid, in dem jedes Element ein umgekehrtes Element hat. Halbgruppen müssen mit Quasigruppen nicht verwirrt sein, die Sätze mit einer nicht notwendigerweise assoziativen binären solcher Operation sind, dass Abteilung immer möglich ist.

Die formelle Studie von Halbgruppen hat am Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen. Halbgruppen sind in vielen Gebieten der Mathematik wichtig, weil sie die abstrakte algebraische Untermauerung von "memoryless" Systemen sind: Zeitabhängige Systeme, die von Kratzer bei jeder Wiederholung anfangen. In der angewandten Mathematik sind Halbgruppen grundsätzliche Modelle für geradlinige Zeit-Invariant Systeme. In teilweisen Differenzialgleichungen wird eine Halbgruppe zu jeder Gleichung vereinigt, deren Raumevolution der Zeit unabhängig ist. Die Theorie von begrenzten Halbgruppen ist von besonderer Wichtigkeit in der theoretischen Informatik seit den 1950er Jahren wegen der natürlichen Verbindung zwischen begrenzten Halbgruppen und begrenzten Automaten gewesen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Halbgruppen mit Prozessen von Markov vereinigt.

Definition

Eine Halbgruppe ist ein Satz zusammen mit einer binären Operation "" (d. h. eine Funktion), der das assoziative Eigentum befriedigt:

Für alle hält die Gleichung.

Mehr kurz und bündig ist eine Halbgruppe ein assoziatives Magma.

Beispiele von Halbgruppen

• Leere Halbgruppe: Der leere Satz bildet eine Halbgruppe mit der leeren Funktion als die binäre Operation.
• Halbgruppe mit einem Element: Es gibt im Wesentlichen gerade ein, der Singleton mit der Operation a · = a.
• Halbgruppe mit zwei Elementen: Es gibt fünf, die im Wesentlichen verschieden sind.
• Der Satz von positiven ganzen Zahlen mit der Hinzufügung.
• Quadratischer nichtnegativer matrices mit der Matrixmultiplikation.
• Jedes Ideal eines Rings mit der Multiplikation des Rings.
• Der Satz aller begrenzten Schnuren über ein festes Alphabet Σ mit der Verkettung von Schnuren als die Halbgruppenoperation — die so genannte "freie Halbgruppe über Σ". Mit der leeren eingeschlossenen Schnur wird diese Halbgruppe der freie monoid über Σ.
• Ein Wahrscheinlichkeitsvertrieb F zusammen mit allen Gehirnwindungsmächten von F, mit der Gehirnwindung als Operation. Das wird eine Gehirnwindungshalbgruppe genannt.
• Ein monoid ist eine Halbgruppe mit einem Identitätselement.
• Eine Gruppe ist ein monoid, in dem jedes Element ein umgekehrtes Element hat.
• Transformationshalbgruppen und monoids

Grundlegende Konzepte

Identität und Null

Jede Halbgruppe, tatsächlich jedes Magma, hat höchstens ein Identitätselement. Eine Halbgruppe mit der Identität wird einen monoid genannt. Eine Halbgruppe ohne Identität kann in einen monoid eingebettet werden, indem einfach sie an ein Element dem angrenzt und für alle definiert. Die Notation S zeigt einen bei S erhaltenen monoid durch das Angrenzen an eine Identität nötigenfalls (S = S für einen monoid) an. So kann jede Ersatzhalbgruppe in einer Gruppe über den Gruppenaufbau von Grothendieck eingebettet werden.

Similary, jedes Magma hat höchstens ein fesselndes Element, das in der Halbgruppentheorie eine Null genannt wird. Analog dem obengenannten Aufbau, für jede Halbgruppe S, definiert man S, eine Halbgruppe mit 0, der S einbettet.

Subsemigroups und Ideale

Die Halbgruppenoperation veranlasst eine Operation auf der Sammlung seiner Teilmengen: Gegebene Teilmengen A und B einer Halbgruppe, A*B, geschrieben allgemein als AB, sind der Satz {ab | in A und b in B}. In Bezug darauf Operationen wird eine Teilmenge A genannt

• ein subsemigroup, wenn AA eine Teilmenge von A, ist
• ein richtiges Ideal wenn, WIE eine Teilmenge von A und ist
• ein linkes Ideal, wenn SA eine Teilmenge von A ist.

Wenn A sowohl ein linkes Ideal als auch ein richtiges Ideal dann ist, wird es ein Ideal (oder ein zweiseitiges Ideal) genannt.

Wenn S eine Halbgruppe ist, dann ist die Kreuzung jeder Sammlung von subsemigroups von S auch ein subsemigroup von S.

So bilden die subsemigroups von S ein ganzes Gitter.

Ein Beispiel der Halbgruppe ohne minimales Ideal ist der Satz von positiven ganzen Zahlen unter der Hinzufügung. Das minimale Ideal einer Ersatzhalbgruppe, wenn es besteht, ist eine Gruppe.

Die Beziehungen des Grüns, eine Reihe fünf Gleichwertigkeitsbeziehungen, die die Elemente in Bezug auf die Hauptideale charakterisieren, die sie erzeugen, sind wichtige Werkzeuge, für die Ideale einer Halbgruppe und verwandten Begriffe der Struktur zu analysieren.

Homomorphismus und Kongruenzen

Ein Halbgruppenhomomorphismus ist eine Funktion, die Halbgruppenstruktur bewahrt. Eine Funktion f: S  T zwischen zwei Halbgruppen ist ein Homomorphismus wenn die Gleichung

:f (ab) = f (a) f (b).

hält für alle Elemente a, b in S, d. h. das Ergebnis ist dasselbe, wenn es die Halbgruppenoperation danach oder vor der Verwendung der Karte f durchführt.

Ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen monoids bewahrt Identität, wenn es ein monoid Homomorphismus ist. Aber es gibt Halbgruppenhomomorphismus, der nicht monoid Homomorphismus, z.B das kanonische Einbetten einer Halbgruppe ohne Identität darin ist. Bedingungen, die monoid Homomorphismus charakterisieren, werden weiter besprochen. Lassen Sie, ein Halbgruppenhomomorphismus zu sein. Das Image dessen ist auch eine Halbgruppe. Wenn ein monoid mit einem Identitätselement ist, dann das Identitätselement im Image dessen ist. Wenn auch ein monoid mit einem Identitätselement ist und dem Image dessen gehört, dann d. h. ist ein monoid Homomorphismus. Besonders, wenn surjective ist, dann ist es ein monoid Homomorphismus.

Wie man

sagt, sind zwei Halbgruppen S und T isomorph, wenn es eine Bijektion f gibt: S  T mit dem Eigentum dass, für irgendwelche Elemente a, b in S, f (ab) = f (a) f (b). Isomorphe Halbgruppen haben dieselbe Struktur.

Eine Halbgruppenkongruenz ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung, die mit der Halbgruppenoperation vereinbar ist. D. h. eine Teilmenge, die eine Gleichwertigkeitsbeziehung ist und und für jeden in S einbezieht. Wie jede Gleichwertigkeitsbeziehung veranlasst eine Halbgruppenkongruenz Kongruenz-Klassen

:

und die Halbgruppenoperation veranlasst eine binäre Operation auf den Kongruenz-Klassen:

:

Weil eine Kongruenz, der Satz aller Kongruenz-Klassen von Formen eine Halbgruppe mit, genannt die Quotient-Halbgruppe oder Faktor-Halbgruppe, und angezeigt ist. Kartografisch darzustellen, ist ein Halbgruppenhomomorphismus, genannt die Quotient-Karte, die kanonische Surjektion oder den Vorsprung; wenn S ein monoid dann ist, ist Quotient-Halbgruppe ein monoid mit der Identität. Umgekehrt ist der Kern jedes Halbgruppenhomomorphismus eine Halbgruppenkongruenz. Diese Ergebnisse sind nichts anderes als eine Einzelbehandlung des ersten Isomorphismus-Lehrsatzes in der universalen Algebra. Kongruenz-Klassen und Faktor monoids sind die Gegenstände der Studie in Schnur-Neuschreiben-Systemen.

Jedes Ideal I einer Halbgruppe veranlassen einen subsemigroup, die Faktor-Halbgruppe von Rees über die Kongruenz x ρ y  entweder x = y oder sowohl x als auch y, ist in mir.

Struktur von Halbgruppen

Für jede Teilmenge S gibt es einen kleinsten subsemigroup T von S, der A enthält, und wir sagen, dass A T erzeugt. Ein einzelnes Element x S erzeugt den subsemigroup {x | n ist eine positive ganze Zahl}.

Wenn das begrenzt ist, dann, wie man sagt, ist x von der begrenzten Ordnung, sonst ist es von der unendlichen Ordnung.

Wie man

sagt, ist eine Halbgruppe periodisch, wenn alle seine Elemente von der begrenzten Ordnung sind.

Wie man

sagt, ist eine durch ein einzelnes Element erzeugte Halbgruppe monogenic (oder zyklisch). Wenn eine monogenic Halbgruppe dann unendlich ist, ist es zur Halbgruppe von positiven ganzen Zahlen mit der Operation der Hinzufügung isomorph.

Wenn es begrenzt und nichtleer ist, dann muss es mindestens einen idempotent enthalten.

Hieraus folgt dass jede nichtleere periodische Halbgruppe mindestens einen idempotent hat.

Ein subsemigroup, der auch eine Gruppe ist, wird eine Untergruppe genannt. Es gibt eine nahe Beziehung zwischen den Untergruppen einer Halbgruppe und seines idempotents. Jede Untergruppe enthält genau einen idempotent, nämlich das Identitätselement der Untergruppe. Für jeden idempotent e der Halbgruppe gibt es eine einzigartige maximale Untergruppe, die e enthält. Jede maximale Untergruppe entsteht auf diese Weise, also gibt es eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen idempotents und maximalen Untergruppen. Hier unterscheidet sich der Begriff maximale Untergruppe von seinem Standardgebrauch in der Gruppentheorie.

Mehr kann häufig gesagt werden, wenn die Ordnung begrenzt ist. Zum Beispiel ist jede nichtleere begrenzte Halbgruppe periodisch, und hat ein minimales Ideal und mindestens einen idempotent. Für mehr auf der Struktur von begrenzten Halbgruppen, sieh Theorie von Krohn-Rhodos.

Spezielle Klassen von Halbgruppen

• Ein monoid ist eine Halbgruppe mit der Identität.
• Ein subsemigroup ist eine Teilmenge einer Halbgruppe, die unter der Halbgruppenoperation geschlossen wird.
• Eine Band ist eine Halbgruppe, deren Operation idempotent ist.
• Eine cancellative Halbgruppe ist diejenige, die das Annullierungseigentum hat: a · b = a · c bezieht b = c und ähnlich für b ein · = c · a.
• Ein Halbgitter ist eine Halbgruppe, deren Operation idempotent und auswechselbar ist.
• 0-einfache Halbgruppen.
• Transformationshalbgruppen: Jede begrenzte Halbgruppe S kann durch Transformationen vertreten werden (Staat-) setzt Q an den meisten S+1-Staaten. Jedes Element x S stellt dann Q in sich x kartografisch dar: Q  Q und Folge wird xy durch q (xy) = (qx) y für jeden q in Q. Sequencing definiert klar ist eine assoziative Operation, die hier zur Funktionszusammensetzung gleichwertig ist. Diese Darstellung ist für jeden Automaten oder Zustandsmaschine (FSM) grundlegend.
• Die bicyclic Halbgruppe ist tatsächlich ein monoid, der als die freie Halbgruppe auf zwei Generatoren p und q, unter der Beziehung p q = 1 beschrieben werden kann.
• C-Halbgruppen.
• Regelmäßige Halbgruppen. Jedes Element x hat mindestens ein Gegenteil y, xyx=x und yxy=y befriedigend; die Elemente x und y werden manchmal "gegenseitig umgekehrt" genannt.
• Umgekehrte Halbgruppen sind regelmäßige Halbgruppen, wo jedes Element genau ein Gegenteil hat. Wechselweise ist eine regelmäßige Halbgruppe umgekehrt, wenn, und nur wenn irgendwelche zwei idempotents pendeln.
• Halbgruppe von Affine: Eine Halbgruppe, die zu einem begrenzt erzeugten subsemigroup von Z isomorph ist. Diese Halbgruppen haben Anwendungen auf die Ersatzalgebra.

Gruppe von Bruchteilen

Die Gruppe von Bruchteilen einer Halbgruppe S ist die Gruppe G = G (S) erzeugt durch die Elemente von S als Generatoren und alle Gleichungen xy=z, die in S als Beziehungen für wahr halten. Das hat ein universales Eigentum für morphisms von S bis eine Gruppe. Es gibt eine offensichtliche Karte von S bis G (S) durch das Senden jedes Elements von S zum entsprechenden Generator.

Eine wichtige Frage ist, jene Halbgruppen zu charakterisieren, für die diese Karte ein Einbetten ist. Das braucht nicht immer der Fall zu sein: Nehmen Sie zum Beispiel S, um die Halbgruppe von Teilmengen von einem Satz X mit der mit dem Satz theoretischen Kreuzung als die binäre Operation zu sein (das ist ein Beispiel eines Halbgitters). Seit A.A = hält A für alle Elemente von S, das muss für alle Generatoren von G (S) ebenso wahr sein: Der deshalb die triviale Gruppe ist. Es ist für embeddability klar notwendig, dass S das Annullierungseigentum haben. Wenn S auswechselbar ist, ist diese Bedingung auch genügend, und die Gruppe von Grothendieck der Halbgruppe stellt einen Aufbau der Gruppe von Bruchteilen zur Verfügung. Das Problem für Nichtersatzhalbgruppen kann zum ersten wesentlichen Papier auf Halbgruppen verfolgt werden. Anatoly Maltsev hat notwendig und Bedingungen für embeddability 1937 gegeben.

Halbgruppenmethoden in teilweisen Differenzialgleichungen

Halbgruppentheorie kann verwendet werden, um einige Probleme im Feld von teilweisen Differenzialgleichungen zu studieren. Grob sprechend, soll die Halbgruppenannäherung eine zeitabhängige teilweise Differenzialgleichung als eine gewöhnliche Differenzialgleichung auf einem Funktionsraum betrachten. Denken Sie zum Beispiel das folgende anfängliche/Grenze Wertproblem für die Hitzegleichung auf dem Raumzwischenraum (0, 1)  R und Zeiten t  0:

:

Lassen Sie X der L Raum L sein ((0, 1); R) und lassen A der Maschinenbediener der zweiten Ableitung mit dem Gebiet sein

:

Dann kann das obengenannte anfängliche/Grenze Wertproblem als ein Anfangswert-Problem für eine gewöhnliche Differenzialgleichung auf dem Raum X interpretiert werden:

:

Auf einem heuristischen Niveau sollte die Lösung dieses Problems u (t) = exp (tA) u sein. Jedoch, für eine strenge Behandlung, muss eine Bedeutung dem Exponential-von tA gegeben werden. Als eine Funktion von t exp ist (tA) eine Halbgruppe von Maschinenbedienern von X bis sich, den anfänglichen Staat u in der Zeit t = 0 zum Staat u (t) = exp (tA) u in der Zeit t nehmend. Wie man sagt, ist der Maschinenbediener A der unendlich kleine Generator der Halbgruppe.

Geschichte

Die Studie von Halbgruppen hat hinter dieser anderer algebraischer Strukturen mit komplizierteren Axiomen wie Gruppen oder Ringe geschliffen. Mehrere Quellen schreiben den ersten Gebrauch des Begriffes (in Französisch) J.-A. de Séguier in Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Elemente der Theorie von Abstract Groups) 1904 zu. Der Begriff wird in Englisch 1908 in der Theorie von Harold Hinton von Gruppen der Begrenzten Ordnung gebraucht.

Anton Suschkewitsch hat die ersten nichttrivialen Ergebnisse über Halbgruppen erhalten. Sein 1928-Papier Über sterben endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit (Auf begrenzten Gruppen ohne die Regel von einzigartigem invertibility) hat die Struktur von begrenzten einfachen Halbgruppen bestimmt und hat gezeigt, dass das minimale Ideal (oder die BeziehungsJ-Klasse von Green) einer begrenzten Halbgruppe einfach ist. Von diesem Punkt auf wurden die Fundamente der Halbgruppentheorie weiter von David Rees, James Alexander Green, Evgenii Sergeevich Lyapin, Alfred H. Clifford und Gordon Preston gelegt. Die letzten zwei haben eine zweibändige Monografie auf der Halbgruppentheorie 1961 und 1967 beziehungsweise veröffentlicht. 1970 ist ein neues periodisches genanntes Halbgruppenforum (zurzeit editiert von Springer Verlag) eine der wenigen mathematischen Zeitschriften gewidmet völlig der Halbgruppentheorie geworden.

In den letzten Jahren haben Forscher im Feld ist mehr spezialisiert mit hingebungsvollen Monografien geworden, die auf wichtigen Klassen von Halbgruppen, wie umgekehrte Halbgruppen, sowie Monografien erscheinen, die sich auf Anwendungen in der algebraischen Automaten-Theorie, besonders für begrenzte Automaten, und auch in der Funktionsanalyse konzentrieren.

Generalisationen

Wenn das associativity Axiom einer Halbgruppe fallen gelassen ist, ist das Ergebnis ein Magma, das nichts anderes als ein Satz ist, hat M mit einer binären Operation M &times ausgestattet; M  M.

In einer verschiedenen Richtung verallgemeinernd, ist eine n-stufige Halbgruppe' (auch N-Halbgruppe', polyadic Halbgruppe oder multiary Halbgruppe) eine Generalisation einer Halbgruppe zu einem Satz G mit einer n-stufigen Operation statt einer binären Operation. Das assoziative Gesetz wird wie folgt verallgemeinert: Dreifältiger associativity, ist d. h. die Schnur abcde mit irgendwelchen drei angrenzenden eingeklammerten Elementen. N-stufiger associativity ist eine Schnur der Länge mit irgendwelchen n angrenzenden eingeklammerten Elementen. Eine 2-ary Halbgruppe ist gerade eine Halbgruppe. Weitere Axiome führen zu einer n-stufigen Gruppe.

Eine dritte Generalisation ist der semigroupoid, in dem die Voraussetzung dass die binäre Beziehung, ganz sein, gehoben wird. Da Kategorien monoids ebenso verallgemeinern, benimmt sich ein semigroupoid viel wie eine Kategorie, aber hat an Identität Mangel.

Siehe auch

• Fesselndes Element
• Biordered setzen
• Leere Halbgruppe
• Identitätselement
• Die associativity des Lichtes prüfen
• Schwaches Gegenteil

Referenzen

Allgemeine Verweisungen

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Spezifische Verweisungen

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