In der abstrakten Algebra ist ein Homomorphismus eine Struktur bewahrende Karte zwischen zwei algebraischen Strukturen (wie Gruppen, Ringe oder Vektorräume). Der Worthomomorphismus kommt aus der alten griechischen Sprache: (homos) Bedeutung von "demselben" und (morphe) Bedeutung "der Gestalt". Isomorphismus, automorphisms, und Endomorphismen sind alle Typen des Homomorphismus.

Definition und Illustration

Definition

Die Definition des Homomorphismus hängt vom Typ der algebraischen Struktur unter der Rücksicht ab. Besondere Definitionen des Homomorphismus schließen den folgenden ein:

• Ein Gruppenhomomorphismus ist ein Homomorphismus zwischen zwei Gruppen.
• Ein Ringhomomorphismus ist ein Homomorphismus zwischen zwei Ringen.
• Eine geradlinige Karte ist ein Homomorphismus zwischen zwei Vektorräumen.
• Ein Algebra-Homomorphismus ist ein Homomorphismus zwischen zwei Algebra.
• Ein functor ist ein Homomorphismus zwischen zwei Kategorien.

Das allgemeine Thema ist, dass ein Homomorphismus eine Funktion zwischen zwei algebraischen Gegenständen ist, die die algebraische Struktur respektiert.

Zum Beispiel ist eine Gruppe ein algebraischer Gegenstand, der aus einem Satz zusammen mit einer einzelnen binären Operation besteht, bestimmte Axiome befriedigend. Wenn und Gruppen sind, ist ein Homomorphismus von dazu ein Funktions-ƒ: → solch dass

für irgendwelche Elemente g, g ∈ G.

Wenn eine algebraische Struktur mehr als eine Operation einschließt, ist Homomorphismus erforderlich, jede Operation zu bewahren. Zum Beispiel besitzt ein Ring sowohl Hinzufügung als auch Multiplikation, und ein Homomorphismus vom Ring bis den Ring ist eine solche Funktion dass

:

für irgendwelche Elemente r und s des Bereichsrings.

Der Begriff eines Homomorphismus kann eine formelle Definition im Zusammenhang der universalen Algebra, ein Feld gegeben werden, das für alle algebraischen Strukturen übliche Ideen studiert. In dieser Einstellung, ein Homomorphismus ƒ: → B ist eine Funktion zwischen zwei algebraischen Strukturen desselben solchen Typs dass

:

für jede n-stufige Operation μ und für alle Elemente a..., ∈ A.

Grundlegende Beispiele

Die reellen Zahlen sind ein Ring, sowohl Hinzufügung als auch Multiplikation habend. Der Satz aller 2 × 2 matrices sind auch ein Ring, unter der Matrixhinzufügung und Matrixmultiplikation. Wenn wir eine Funktion zwischen diesen Ringen wie folgt definieren:

:

r & 0 \\

0 & r

\end {pmatrix} </Mathematik>

wo r eine reelle Zahl ist. Dann ist ƒ ein Homomorphismus von Ringen, da ƒ beide Hinzufügung bewahrt:

:

r+s & 0 \\

0 & r+s

\end {pmatrix} = \begin {pmatrix }\

r & 0 \\

0 & r

\end {pmatrix} + \begin {pmatrix }\

s & 0 \\

0 & s

\end {pmatrix} = f (r) + f (s) </Mathematik>

und Multiplikation:

:

rs & 0 \\

0 & rs

\end {pmatrix} = \begin {pmatrix }\ r & 0 \\ 0 & r

\end {pmatrix} \begin {pmatrix }\

s & 0 \\ 0 & s

\end {pmatrix} = f (r) \, f (s). </Mathematik>

Für ein anderes Beispiel bilden die komplexen Nichtnullzahlen eine Gruppe unter der Operation der Multiplikation, wie die reellen Nichtnullzahlen tun. (Null muss von beiden Gruppen ausgeschlossen werden, da sie kein multiplicative Gegenteil hat, das für Elemente einer Gruppe erforderlich ist.) Definieren eine Funktion &fnof; von den komplexen Nichtnullzahlen bis die reellen Nichtnullzahlen durch

:

D. h. &fnof; (z) ist der absolute Wert (oder Modul) der komplexen Zahl z. Dann ist ƒ ein Homomorphismus von Gruppen, da er Multiplikation bewahrt:

:

Bemerken Sie das &fnof; kann zu einem Homomorphismus von Ringen nicht erweitert werden (von den komplexen Zahlen bis die reellen Zahlen), da er Hinzufügung nicht bewahrt:

:

Informelle Diskussion

Weil abstrakte Algebra Sätze studiert, die mit Operationen ausgestattet sind, die interessante Struktur oder Eigenschaften auf dem Satz erzeugen, sind Funktionen, die die Operationen bewahren, besonders wichtig. Diese Funktionen sind als Homomorphismus bekannt.

Denken Sie zum Beispiel die natürlichen Zahlen mit der Hinzufügung als die Operation. Eine Funktion, die Hinzufügung bewahrt, sollte dieses Eigentum haben: f (+ b) = f (a) + f (b). Zum Beispiel, f (x) = 3x ist ein solcher Homomorphismus, seitdem f (+ b) = 3 (+ b) = 3a + 3b = f (a) + f (b). Bemerken Sie, dass dieser Homomorphismus die natürlichen Zahlen zurück in sich kartografisch darstellt.

Homomorphismus muss zwischen Sätzen nicht kartografisch darstellen, die dieselben Operationen haben. Zum Beispiel bestehen Operation bewahrende Funktionen zwischen dem Satz von reellen Zahlen mit der Hinzufügung und dem Satz von positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation. Eine Funktion, die Operation bewahrt, sollte dieses Eigentum haben: f (+ b) = f (a) * f (b) da ist Hinzufügung die Operation im ersten Satz, und Multiplikation ist die Operation im zweiten. In Anbetracht der Gesetze von Hochzahlen f (x) = befriedigt e diese Bedingung: 2 + 3 = 5 übersetzt in e * e = e.

Wenn wir vielfache Operationen auf einem Satz denken, dann müssen alle Operationen für eine Funktion bewahrt werden, als ein Homomorphismus betrachtet zu werden. Wenn auch der Satz dasselbe sein kann, könnte dieselbe Funktion ein Homomorphismus, sagen wir, in der Gruppentheorie (Sätze mit einer einzelnen Operation), aber nicht in der Ringtheorie sein (Sätze mit zwei zusammenhängenden Operationen), weil es scheitert, die zusätzliche Operation zu bewahren, die klingeln, zieht Theorie in Betracht.

Beziehung zur Kategorie-Theorie

Da Homomorphismus morphisms ist, werden die folgenden spezifischen Arten von in jeder Kategorie definiertem morphisms für den Homomorphismus ebenso definiert. Jedoch sind die Definitionen in der Kategorie-Theorie etwas technisch. Im wichtigen speziellen Fall des Modul-Homomorphismus, und für einige andere Klassen des Homomorphismus gibt es viel einfachere Beschreibungen wie folgt:

• Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
• Ein epimorphism (hat manchmal einen Deckel genannt), ist ein surjective Homomorphismus.
• Ein monomorphism (hat manchmal ein Einbetten oder Erweiterung genannt), ist ein injective Homomorphismus.
• Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus von einem Gegenstand bis sich.
• Ein automorphism ist ein Endomorphismus, der auch ein Isomorphismus, d. h., ein Isomorphismus von einem Gegenstand bis sich ist.

Diese Beschreibungen können verwendet werden, um mehrere interessante Eigenschaften abzuleiten. Zum Beispiel, da eine Funktion bijektiv ist, wenn, und nur wenn es sowohl injective als auch surjective ist, ein Modul-Homomorphismus ein Isomorphismus ist, wenn, und nur wenn es sowohl ein monomorphism als auch ein epimorphism ist.

Für Endomorphismen und automorphisms fallen die Beschreibungen oben mit der Kategorie theoretische Definitionen zusammen; die ersten drei Beschreibungen tun nicht. Zum Beispiel ist die genaue Definition für einen Homomorphismus f, um iso zu sein, nicht nur, dass es bijektiv ist, und so ein Gegenteil f hat, sondern auch dass dieses Gegenteil ein Homomorphismus auch ist. Das hat die wichtige Folge, dass zwei Gegenstände völlig nicht zu unterscheidend sind, so weit die fragliche Struktur betroffen wird, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Wie man sagt, sind zwei solche Gegenstände isomorph.

Wirklich in der algebraischen Einstellung (mindestens innerhalb des Zusammenhangs der universalen Algebra) ist diese Extrabedingung auf dem Isomorphismus automatisch zufrieden. Jedoch ist dasselbe für epimorphisms nicht wahr; zum Beispiel ist die Einschließung von Z als ein (einheitlicher) Subring von Q nicht surjective, aber ein Epimorphic-Ringhomomorphismus. Diese Einschließung ist so auch ein Beispiel eines Ringhomomorphismus, der sowohl mono abspielbar ist als auch epi, aber nicht iso.

:

:Relationships zwischen verschiedenen Arten des Modul-Homomorphismus. H = Satz des Homomorphismus, M = Satz von Monomorphisms, P = Satz von Epimorphisms, S = Satz des Isomorphismus, N = Satz des Endomorphismus, = Satz von Automorphisms. Bemerken Sie dass: M  P = S, S  N = A, (M  N) \A und (P  N) \A enthält nur Homomorphismus von einigen unendlichen Modulen bis sich.

Kern eines Homomorphismus

Jeder Homomorphismus f: X  Y definieren eine Gleichwertigkeitsbeziehung ~ auf X durch einen ~ b wenn und nur wenn f (a) = f (b). Die Beziehung ~ wird den Kern von f genannt. Es ist eine Kongruenz-Beziehung auf X. Der Quotient ist X / ~ untergegangen kann dann eine Gegenstand-Struktur auf eine natürliche Weise, d. h. [x] * [y] = [x * y] gegeben werden. In diesem Fall ist das Image X in Y unter dem Homomorphismus f zu X / ~ notwendigerweise isomorph; diese Tatsache ist einer der Isomorphismus-Lehrsätze. Bemerken Sie in einigen Fällen (z.B Gruppen oder Ringe), eine einzelne Gleichwertigkeitsklasse K genügt, um die Struktur des Quotienten anzugeben; so können wir ihm X/K schreiben. (X/K wird gewöhnlich als "X mod K" gelesen.) Auch in diesen Fällen ist es K, aber nicht ~, der den Kern von f (vgl normale Untergruppe) genannt wird.

Homomorphismus von Verwandtschaftsstrukturen

In der Mustertheorie wird der Begriff einer algebraischen Struktur zu Strukturen verallgemeinert, die sowohl Operationen als auch Beziehungen einschließen. Lassen Sie L eine Unterschrift sein, die aus Funktions- und Beziehungssymbolen und A, B besteht, zwei L-Strukturen zu sein. Dann ist ein Homomorphismus von bis B ein kartografisch darstellender h vom Gebiet zum Gebiet von solchem B dass

• h (F (a, …, a)) = F (h (a), …, h (a)) für jedes n-stufige Funktionssymbol F in L,
• R (a, …, a) bezieht R (h (a), …, h (a)) für jedes n-stufige Beziehungssymbol R in L ein.

Im speziellen Fall mit gerade einer binärer Beziehung erhalten wir den Begriff eines Graph-Homomorphismus.

Homomorphismus und e-free Homomorphismus in der formellen Sprachtheorie

Homomorphismus wird auch in der Studie von formellen Sprachen verwendet (obwohl innerhalb dieses Zusammenhangs häufig sie kurz morphisms genannt werden). Gegebene Alphabete und, eine Funktion h:  solch, dass für den ganzen u und v darin einen Homomorphismus (oder einfach morphism) darauf genannt wird. Lassen Sie e das leere Wort anzeigen. Wenn h ein Homomorphismus auf und für alle darin ist, dann wird h einen e-free Homomorphismus genannt.

Von diesem Typ des Homomorphismus kann als gedacht werden (und ist zu gleichwertig) ein monoid Homomorphismus, wo der Satz aller Wörter über ein begrenztes Alphabet ein monoid ist (tatsächlich, ist es der freie monoid auf) mit der Operationsverkettung und dem leeren Wort als die Identität.

Siehe auch

• dauernde Funktion
• diffeomorphism
• Homomorphic-Verschlüsselung
• Homomorphic-Geheimnis das Teilen - ein vereinfachter hat stimmendes Protokoll dezentralisiert
• morphism

Eine Monografie verfügbar gratis online:

• Burris, Stanley N. und H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. Ein Kurs in der Universalen Algebra. Springer-Verlag. Internationale Standardbuchnummer 3-540-90578-2.