In der Mathematik ist eine Funktion f von einem Satz X zu einem Satz Y surjective (oder auf), oder eine Surjektion, wenn jedes Element y in Y ein entsprechendes Element x in X so dass f (x) = y hat. Vielfache Elemente X könnten in dasselbe Element von Y durch die Verwendung f verwandelt werden.

Der Begriff surjective und die zusammenhängenden Begriffe injective und bijektiv wurden von Nicolas Bourbaki, einer Gruppe von hauptsächlich französischen Mathematikern des 20. Jahrhunderts eingeführt, die eine Reihe von Büchern geschrieben haben, die eine Ausstellung der modernen fortgeschrittenen Mathematik präsentieren, 1935 beginnend. Das französische Präfix bedeutet oder oben und bezieht sich auf die Tatsache, dass das Image des Gebiets einer Surjective-Funktion völlig den codomain der Funktion bedeckt.

Definition

Eine Surjective-Funktion ist eine Funktion, deren Image seinem codomain gleich ist. Gleichwertig ist eine Funktion f mit dem Gebiet X und codomain Y surjective, wenn für jeden y in Y dort mindestens ein x in X damit besteht. Surjektionen werden manchmal durch einen zweiköpfigen nach rechts Pfeil, als in f angezeigt: X  Y.

Symbolisch,

:Let, wird dann gesagt, surjective wenn zu sein

:

Beispiele

Für jeden Satz X ist die Identitätsfunktion id auf X surjective.

Die Funktion, die durch f (n) = n mod 2 definiert ist und sogar ganze Zahlen zu 0 und sonderbare ganze Zahlen zu 1 kartografisch darstellend, ist surjective.

Die Funktion, die durch f (x) = 2x + 1 definiert ist, ist surjective (und sogar bijektiv), weil für jede reelle Zahl y wir einen solchen x dass f (x) = y haben: Ein passender x ist (y  1)/2.

Die Funktion, die durch g (x) = x definiert ist, ist nicht surjective, weil es keine reelle Zahl x solch dass x = −1 gibt. Jedoch ist die Funktion, die durch g (x) = x (mit eingeschränktem codomain) definiert ist, surjective weil für jeden y im nichtnegativen echten codomain Y es gibt mindestens einen x im echten Gebiet X solch dass x = y.

Die natürliche Logarithmus-Funktion ist ein surjective und sogar vom Satz von positiven reellen Zahlen zum Satz aller reellen Zahlen bijektiv kartografisch darzustellen. Sein Gegenteil, die Exponentialfunktion, ist nicht surjective, wie seine Reihe der Satz von positiven reellen Zahlen ist und sein Gebiet gewöhnlich definiert wird, um der Satz aller reellen Zahlen zu sein. Die Exponential-Matrix ist nicht surjective, wenn gesehen, als eine Karte vom Raum von allen n×n matrices zu sich. Es wird jedoch gewöhnlich als eine Karte vom Raum von allen n×n matrices zur allgemeinen geradlinigen Gruppe des Grads n, d. h. der Gruppe von allen n×n invertible matrices definiert. Laut dieser Definition ist die Exponential-Matrix surjective für den Komplex matrices, obwohl noch immer nicht surjective für echten matrices.

Der Vorsprung von einem kartesianischen Produkt bis einen seiner Faktoren ist surjective.

In einem 3D-Videospiel werden Vektoren auf einen 2. flachen Schirm mittels einer Surjective-Funktion geplant.

Eigenschaften

Eine Funktion ist bijektiv, wenn, und nur wenn es sowohl surjective als auch injective ist.

Wenn (wie häufig getan wird) eine Funktion mit seinem Graphen identifiziert wird, dann ist surjectivity nicht ein Eigentum der Funktion selbst, aber eher eine Beziehung zwischen der Funktion und seinem codomain. Verschieden von injectivity kann surjectivity nicht von des Graphen der Funktion allein gelesen werden.

Surjektionen als Recht invertible Funktionen

Wie man

sagt, ist die Funktion ein richtiges Gegenteil der Funktion, wenn f (g (y)) = y für jeden y in Y (g kann durch f aufgemacht werden). Mit anderen Worten ist g ein richtiges Gegenteil von f, wenn die Zusammensetzung von g und f in dieser Ordnung die Identitätsfunktion auf dem Gebiet Y g ist. Die Funktion g braucht kein ganzes Gegenteil von f zu sein, weil die Zusammensetzung in der anderen Ordnung die Identitätsfunktion auf dem Gebiet X von f nicht sein kann. Mit anderen Worten kann f aufmachen oder g "umkehren", aber kann dadurch nicht notwendigerweise umgekehrt werden.

Jede Funktion mit einem richtigen Gegenteil ist notwendigerweise eine Surjektion. Der Vorschlag, dass jede Surjective-Funktion ein richtiges Gegenteil hat, ist zum Axiom der Wahl gleichwertig.

Wenn surjective ist und B eine Teilmenge von Y, dann f (f (B)) = B ist. So kann B von seinem Vorimage wieder erlangt werden.

Zum Beispiel, in der ersten Illustration, gibt es etwas Funktion g solch dass g (C) = 4. Es gibt auch etwas Funktion f solch dass f (4) = C. Es ist egal, dem g (C) auch 3 gleichkommen kann; es nur Sachen das f "kehrt" g "um".

Funktion von Image:Bijection.svg|Another surjective. (Dieser ist zufällig eine Bijektion)

Funktion von Image:Injection.svg|A non-surjective. (Dieser ist zufällig eine Einspritzung)

Image:Surjective_composition.svg|Surjective Zusammensetzung: Die erste Funktion braucht nicht surjective zu sein.

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Surjektionen als epimorphisms

Eine Funktion ist surjective, wenn, und nur wenn es richtig-cancellative ist: in Anbetracht irgendwelcher Funktionen, wann auch immer g f = h f, dann g = h. Dieses Eigentum wird in Bezug auf Funktionen und ihre Zusammensetzung formuliert und kann zum allgemeineren Begriff des morphisms einer Kategorie und ihrer Zusammensetzung verallgemeinert werden. Recht-cancellative morphisms wird epimorphisms genannt. Spezifisch, surjective Funktionen sind genau der epimorphisms in der Kategorie von Sätzen. Das Präfix epi wird aus dem griechischen Verhältniswort ἐπί aus Bedeutung, oben, darauf abgeleitet.

Jeder morphism mit einem richtigen Gegenteil ist ein epimorphism, aber das gegenteilige ist im Allgemeinen nicht wahr. Ein richtiges Gegenteil g eines morphism f wird eine Abteilung von f genannt. Ein morphism mit einem richtigen Gegenteil wird einen Spalt epimorphism genannt.

Surjektionen als binäre Beziehungen

Jede Funktion mit dem Gebiet X und codomain Y kann als eine nach links ganze und richtig-einzigartige binäre Beziehung zwischen X und Y gesehen werden, indem sie es mit seinem Funktionsgraphen identifiziert wird. Eine Surjective-Funktion mit dem Gebiet X und codomain Y ist dann eine binäre Beziehung zwischen X und Y, der richtig-einzigartig und sowohl nach links ganz als auch richtig-ganz ist.

Cardinality des Gebiets einer Surjektion

Der cardinality des Gebiets einer Surjective-Funktion ist größer oder gleich dem cardinality seines codomain: Wenn eine Surjective-Funktion ist, dann X hat mindestens so viele Elemente wie Y im Sinne Grundzahlen. (Der Beweis appelliert an das Axiom der Wahl, dass eine Funktion zu zeigen

die Zufriedenheit f (g (y)) =y für den ganzen y in Y besteht. wie man leicht sieht, ist g injective, so ist die formelle Definition von |Y  | X zufrieden.)

Spezifisch, wenn sowohl X als auch Y mit derselben Zahl der Elemente begrenzt sind, dann ist surjective, wenn, und nur wenn f injective ist.

Zusammensetzung und Zergliederung

Die Zusammensetzung von Surjective-Funktionen ist immer surjective: Wenn f und g sowohl surjective sind, als auch der codomain von g ist dem Gebiet von f gleich, ist dann surjective. Umgekehrt, wenn surjective ist, dann ist f surjective (aber g, die Funktion angewandt zuerst, braucht nicht zu sein). Diese Eigenschaften verallgemeinern von Surjektionen in der Kategorie von Sätzen zu jedem epimorphisms in jeder Kategorie.

Jede Funktion kann in eine Surjektion und eine Einspritzung zersetzt werden: Für jede Funktion dort bestehen eine Surjektion und eine solche Einspritzung dass h = g f. Um das zu sehen, definieren Sie Y, um die Sätze zu sein, wo z in Z ist. Diese Sätze sind zusammenhanglos und Teilung X. Dann trägt f jeden x zum Element von Y, der es enthält, und g jedes Element von Y zum Punkt in Z trägt, an den h seine Punkte sendet. Dann ist f surjective, da es eine Vorsprung-Karte ist, und g injective definitionsgemäß ist.

Veranlasste Surjektion und veranlasste Bijektion

Jede Funktion veranlasst eine Surjektion durch das Einschränken seines codomain auf seine Reihe. Jede Surjective-Funktion veranlasst eine auf einem Quotienten seines Gebiets definierte Bijektion durch das Einstürzen aller zu einem gegebenen befestigten Image kartografisch darstellenden Argumente. Genauer kann jede Surjektion factored als ein Vorsprung sein, der von einer Bijektion wie folgt gefolgt ist. Lassen Sie / ~ die Gleichwertigkeitsklassen unter der folgenden Gleichwertigkeitsbeziehung sein: x ~ y wenn und nur wenn f (x) = f (y). Gleichwertig / ist ~ der Satz aller Vorimages unter f. Lassen Sie P (~): Ein  / ~, die Vorsprung-Karte sein, die jeden x in zu seiner Gleichwertigkeitsklasse [x] sendet, und f lässt: / ~  B, die bestimmte Funktion sein, die durch f ([x]) = f (x) gegeben ist. Dann f = f o P (~).

Siehe auch

• Deckel (Algebra)
• Bedeckung der Karte
• Enumeration
• Faser-Bündel
• Index hat gesetzt
• Abteilung (Kategorie-Theorie)

Referenzen