In der Mathematik ist die allgemeine geradlinige Gruppe des Grads n der Satz von n×n invertible matrices zusammen mit der Operation der gewöhnlichen Matrixmultiplikation. Das bildet eine Gruppe, weil das Produkt von zwei invertible matrices wieder invertible ist, und das Gegenteil einer invertible Matrix invertible ist. Die Gruppe wird so genannt, weil die Säulen einer invertible Matrix linear unabhängig sind, folglich sind die Vektoren/Punkte, die sie definieren, in der allgemeinen geradlinigen Position, und matrices in der allgemeinen geradlinigen Gruppe nehmen Punkte in der allgemeinen geradlinigen Position zu Punkten in der allgemeinen geradlinigen Position.

Um genauer zu sein, ist es notwendig anzugeben, welche Gegenstände in den Einträgen der Matrix erscheinen können. Zum Beispiel ist die allgemeine geradlinige Gruppe über R (der Satz von reellen Zahlen) die Gruppe von n×n invertible matrices reeller Zahlen, und wird durch GL(R) oder GL (n, R) angezeigt.

Mehr allgemein ist die allgemeine geradlinige Gruppe des Grads n über jedes Feld F (wie die komplexen Zahlen), oder ein Ring R (wie der Ring von ganzen Zahlen), der Satz von n×n invertible matrices mit Einträgen von F (oder R) wieder mit der Matrixmultiplikation als die Gruppenoperation. Typische Notation ist GL (F) oder GL (n, F), oder einfach GL (n), wenn das Feld verstanden wird.

Mehr allgemein still die allgemeine geradlinige Gruppe eines Vektorraums ist GL (V) der Auszug automorphism Gruppe, nicht notwendigerweise geschrieben als matrices.

Die spezielle geradlinige Gruppe, schriftlicher SL (n, F) oder SL (F), ist die Untergruppe von GL (n, F), aus matrices mit einer Determinante 1 bestehend.

Die Gruppen-GL (n, F) und seine Untergruppen werden häufig geradlinige Gruppen oder Matrixgruppen genannt (die abstrakte Gruppe GL (V) ist eine geradlinige Gruppe, aber nicht eine Matrixgruppe). Diese Gruppen sind in der Theorie von Gruppendarstellungen wichtig, und entstehen auch in der Studie von räumlichem symmetries und symmetries von Vektorräumen im Allgemeinen, sowie der Studie von Polynomen. Die Modulgruppe kann als ein Quotient der speziellen geradlinigen Gruppe SL (2, Z) begriffen werden.

Wenn n  2, dann die Gruppe ist GL (n, F) nicht abelian.

Allgemeine geradlinige Gruppe eines Vektorraums

Wenn V ein Vektorraum über Feld F ist, ist die allgemeine geradlinige Gruppe V, schriftlicher GL (V) oder Aut (V), die Gruppe des ganzen automorphisms V, d. h. des Satzes aller bijektiven geradlinigen Transformationen V  V, zusammen mit der funktionellen Zusammensetzung als Gruppenoperation. Wenn V begrenzte Dimension n hat, dann sind GL (V) und GL (n, F) isomorph. Der Isomorphismus ist nicht kanonisch; es hängt von einer Wahl der Basis in V ab. In Anbetracht einer Basis (e..., e) V und ein automorphism T in GL (V), haben wir

:

für einige Konstanten in F; die Matrix entsprechend T ist dann gerade die Matrix mit durch den a gegebenen Einträgen.

Auf eine ähnliche Weise für einen Ersatzring R die Gruppe kann GL (n, R) als die Gruppe von automorphisms eines freien R-Moduls M der Reihe n interpretiert werden. Man kann auch GL (M) für jedes R-Modul definieren, aber im Allgemeinen ist das zu GL (n, R) (für jeden n) nicht isomorph.

In Bezug auf Determinanten

Über Feld F ist eine Matrix invertible, wenn, und nur wenn seine Determinante Nichtnull ist. Deshalb ist eine alternative Definition von GL (n, F) als die Gruppe von matrices mit der Nichtnulldeterminante.

Über einen Ersatzring R muss man ein bisschen sorgfältiger sein: Eine Matrix über R ist invertible, wenn, und nur wenn seine Determinante eine Einheit in R ist, d. h. wenn seine Determinante invertible in R ist. Deshalb kann GL (n, R) als die Gruppe von matrices definiert werden, dessen Determinanten Einheiten sind.

Über einen Nichtersatzring R werden Determinanten überhaupt nicht gut benommen. In diesem Fall kann GL (n, R) als die Einheitsgruppe des Matrixrings M (n, R) definiert werden.

Als eine Lüge-Gruppe

Echter Fall

Die allgemeine geradlinige Gruppe ist GL (n, R) über das Feld von reellen Zahlen eine echte Lüge-Gruppe der Dimension n. Um das zu sehen, bemerken Sie, dass der Satz des ganzen n×n echten matrices, M(R), einen echten Vektorraum der Dimension n bildet. Der Teilmenge-GL (n, R) besteht aus jenen matrices, deren Determinante Nichtnull ist. Die Determinante ist eine polynomische Karte, und folglich ist GL (n, R) eine offene affine Subvielfalt von M(R) (eine nichtleere offene Teilmenge von M(R) in der Topologie von Zariski), und deshalb

eine glatte Sammelleitung derselben Dimension.

Die Lüge-Algebra von GL (n, R), angezeigt besteht aus dem ganzen n×n echten matrices mit dem Umschalter, der als die Lüge-Klammer dient.

Als eine Sammelleitung wird GL (n, R) nicht verbunden, aber hat eher zwei verbundene Bestandteile: der matrices mit der positiven Determinante und diejenigen mit der negativen Determinante. Der Identitätsbestandteil, der durch GL angezeigt ist (n, R), besteht aus dem echten n×n matrices mit der positiven Determinante. Das ist auch eine Lüge-Gruppe der Dimension n; es hat dasselbe Liegen Algebra als GL (n, R).

Die Gruppe ist GL (n, R) auch nichtkompakt. "Die" maximale Kompaktuntergruppe von GL (n, R) ist die orthogonale Gruppe O (n), während "die" maximale Kompaktuntergruppe von GL (n, R) die spezielle orthogonale Gruppe SO (n) ist. Bezüglich SO (n) die Gruppe wird GL (n, R) (außer, wenn n=1) nicht einfach verbunden, aber hat eher eine grundsätzliche Gruppe, die zu Z für n=2 oder Z für n>2. isomorph

ist

Komplizierter Fall

Der allgemeine geradlinige GL (n, C) über das Feld von komplexen Zahlen ist eine komplizierte Lüge-Gruppe der komplizierten Dimension n. Als eine echte Lüge-Gruppe hat es Dimension 2n. Der Satz des ganzen echten matrices bildet eine echte Lüge-Untergruppe. Diese entsprechen den Einschließungen

:GL (n, R), 2n, und 4n = (2n). Komplex n-dimensional matrices kann als echter 2n-dimensional matrices charakterisiert werden, die eine geradlinige komplizierte Struktur - konkret bewahren, die mit einer Matrix J solch pendeln, dass J =−I, wo J dem Multiplizieren mit der imaginären Einheit i entspricht.

Die Lüge-Algebra entsprechend GL (n, C) besteht aus dem ganzen n×n Komplex matrices mit dem Umschalter, der als die Lüge-Klammer dient.

Verschieden vom echten Fall wird GL (n, C) verbunden. Das folgt teilweise, da die multiplicative Gruppe von komplexen Zahlen C verbunden wird. Die Gruppensammelleitung ist GL (n, C) nicht kompakt; eher ist seine maximale Kompaktuntergruppe die einheitliche Gruppe U (n). Bezüglich U (n) vervielfältigt die Gruppe GL (n, C) wird nicht einfach verbunden, aber hat eine grundsätzliche zu Z isomorphe Gruppe.

Über begrenzte Felder

Wenn F ein begrenztes Feld mit q Elementen ist, dann schreiben wir manchmal GL (n, q) statt GL (n, F). Wenn p erst ist, ist GL (n, p) die automorphism Außengruppe der Gruppe Z und auch der automorphism Gruppe, weil Z Abelian ist, so ist die innere automorphism Gruppe trivial.

Die Ordnung von GL (n, q) ist:

: (q  1) (q  q) (q  q) … (q  q)

Das kann durch das Zählen der möglichen Säulen der Matrix gezeigt werden: Die erste Säule kann alles andere als der Nullvektor sein; die zweite Säule kann alles andere als die Vielfachen der ersten Säule sein; und im Allgemeinen kann die kth Säule jeder Vektor nicht in der geradlinigen Spanne des ersten k  1 Säulen sein. In der Q-Analognotation ist das

Zum Beispiel hat GL (3,2) Ordnung (8  1) (8  2) (8  4) = 168. Es ist die automorphism Gruppe des Flugzeugs von Fano und der Gruppe Z, und ist auch bekannt als PSL (2,7).

Mehr allgemein kann man Punkte von Grassmannian über F aufzählen: mit anderen Worten die Zahl von Subräumen einer gegebenen Dimension k. Das verlangt nur Entdeckung der Ordnung der Ausgleicher-Untergruppe eines solchen Subraums und des Teilens in die Formel gerade gegeben durch den Lehrsatz des Bahn-Ausgleichers.

Diese Formeln werden mit der Zergliederung von Schubert von Grassmannian verbunden, und sind Q-Analoga der Zahlen von Betti von kompliziertem Grassmannians. Das war einer der Hinweise, die zu den Vermutungen von Weil führen.

Bemerken Sie, dass in der Grenze q  1 die Ordnung von GL (n, q) zu 0 geht!---, aber laut des richtigen Verfahrens (sich durch (q-1) ^n teilend), sehen wir, dass es die Ordnung der symmetrischen Gruppe ist (Sieh den Artikel von Lorscheid) - in der Philosophie des Feldes mit einem Element interpretiert man so die symmetrische Gruppe als die allgemeine geradlinige Gruppe über das Feld mit einem Element: S  GL (n, 1).

Geschichte

Die allgemeine geradlinige Gruppe über ein Hauptfeld, GL (ν, p), wurde gebaut und seine Ordnung, die von Évariste Galois 1832, in seinem letzten Brief (Chevalier) geschätzt ist und (von drei) beigefügte Manuskripte zweit ist, die er im Zusammenhang verwendet hat, die Gruppe von Galois der allgemeinen Gleichung des Auftrags p zu studieren.

Spezielle geradlinige Gruppe

Die spezielle geradlinige Gruppe, SL (n, F), ist die Gruppe des ganzen matrices mit der Determinante 1. Sie sind darin speziell sie liegen auf einer Subvielfalt - sie befriedigen eine polynomische Gleichung (weil die Determinante ein Polynom in den Einträgen ist). Matrices dieses Typs bilden eine Gruppe, weil die Determinante des Produktes von zwei matrices das Produkt der Determinanten jeder Matrix ist. SL (n, F) ist eine normale Untergruppe von GL (n, F).

Wenn wir F für die multiplicative Gruppe von F schreiben (0 ausschließend), dann ist die Determinante ein Gruppenhomomorphismus

:det: GL (n, F)  F.

das ist surjective, und sein Kern ist die spezielle geradlinige Gruppe. Deshalb, durch den ersten Isomorphismus-Lehrsatz, ist GL (n, F)/SL (n, F) zu F isomorph. Tatsächlich kann GL (n, F) als ein halbdirektes Produkt geschrieben werden:

:GL (n, F) = SL (n, F)  F

Wenn F R oder C ist, ist SL (n, F) eine Lüge-Untergruppe von GL (n, F) von der Dimension n  1. Die Lüge-Algebra von SL (n, F) besteht aus dem ganzen n×n matrices über F mit der verschwindenden Spur. Die Lüge-Klammer wird durch den Umschalter gegeben.

Die spezielle geradlinige Gruppe kann SL (n, R) als die Gruppe des Volumens und der Orientierung charakterisiert werden, die geradlinige Transformationen von R bewahrt.

Der Gruppen-SL (n, C) wird einfach verbunden, während SL (n, R) nicht ist. SL (n, R) hat dieselbe grundsätzliche Gruppe wie GL (n, R), d. h. Z für n=2 und Z für

n>2.

Andere Untergruppen

Diagonale Untergruppen

Der Satz aller invertible Diagonalmatrizen bildet eine Untergruppe von GL (n, F) isomorph zu (F). In Feldern wie R und C entsprechen diese Wiederschuppen des Raums; die so genannten Ausdehnungen und Zusammenziehungen.

Eine Skalarmatrix ist eine Diagonalmatrix, die eine Konstante Zeiten die Identitätsmatrix ist. Der Satz des ganzen Nichtnullskalars matrices bildet eine Untergruppe von GL (n, F) isomorph zu F. Diese Gruppe ist das Zentrum von GL (n, F). Insbesondere es ist ein normaler, abelian Untergruppe.

Das Zentrum von SL (n, F) ist einfach der Satz des ganzen Skalars matrices mit der Einheitsdeterminante, und ist zur Gruppe der n-ten Wurzeln der Einheit in Feld F isomorph.

Klassische Gruppen

Die so genannten klassischen Gruppen sind Untergruppen von GL (V), die eine Art bilineare Form auf einem Vektorraum V bewahren. Diese schließen den ein

• orthogonale Gruppe, O (V), der eine nichtdegenerierte quadratische Form auf V, bewahrt
• Symplectic-Gruppe, Sp (V), der eine Symplectic-Form auf V (eine nichtdegenerierte Wechselform), bewahrt
• einheitliche Gruppe, U (V), der, wenn F = C, eine nichtdegenerierte Hermitian-Form auf V bewahrt.

Diese Gruppen stellen wichtige Beispiele von Lüge-Gruppen zur Verfügung.

Verwandte Gruppen

Projektive geradlinige Gruppe

Der projektive geradlinige Gruppen-PGL (n, F) und die projektive spezielle geradlinige Gruppe PSL (n, F) sind die Quotienten von GL (n, F) und SL (n, F) durch ihre Zentren (die aus den Vielfachen der Identitätsmatrix darin bestehen); sie sind die veranlasste Handlung auf dem verbundenen projektiven Raum.

Gruppe von Affine

Die affine Gruppe ist Aff (n, F) eine Erweiterung von GL (n, F) durch die Gruppe von Übersetzungen in F. Es kann als ein halbdirektes Produkt geschrieben werden:

:Aff (n, F) = GL (n, F)  F

wo GL (n, F) F auf die natürliche Weise folgt. Die affine Gruppe kann als die Gruppe aller affine Transformationen des affine Raums angesehen werden, der dem Vektorraum F unterliegt.

Man hat analoge Aufbauten für andere Untergruppen der allgemeinen geradlinigen Gruppe: Zum Beispiel ist die spezielle affine Gruppe die Untergruppe, die durch das halbdirekte Produkt, SL (n, F)  F definiert ist, und die Gruppe von Poincaré ist die affine Gruppe, die zur Gruppe von Lorentz, O (1,3, F)  F vereinigt ist.

Allgemeine halbgeradlinige Gruppe

Die allgemeine halbgeradlinige Gruppe ΓL (n, F) ist die Gruppe aller invertible halbgeradlinigen Transformationen, und enthält GL. Eine halbgeradlinige Transformation ist eine Transformation, die "bis zu einer Drehung" geradlinig ist, "bis zu einem Feld automorphism unter der Skalarmultiplikation" bedeutend. Es kann als ein halbdirektes Produkt geschrieben werden:

:ΓL (n, F) = Mädchen (F)  GL (n, F)

wo Mädchen (F) die Gruppe von Galois von F ist (über sein Hauptfeld), der GL (n, F) durch die Handlung von Galois auf den Einträgen folgt.

Das Hauptinteresse von ΓL (n, F) besteht darin, dass die verbundene projektive halbgeradlinige Gruppe, ist PΓL (n, F) (der PGL enthält (n, F)) die collineation Gruppe des projektiven Raums, für n> 2, und so halbgeradlinige Karten, von Interesse in der projektiven Geometrie ist.

Unendliche allgemeine geradlinige Gruppe

Die unendliche allgemeine geradlinige Gruppe oder stabile allgemeine geradlinige Gruppe sind die direkte Grenze der Einschließungen GL (n, F)  GL (n+1, F) als die obere linke Block-Matrix. Es wird entweder durch GL (F) oder durch GL (∞,F) angezeigt, und kann auch als invertible unendliche matrices interpretiert werden, die sich von der Identitätsmatrix in nur begrenzt vielen Plätzen unterscheiden.

Es wird in der algebraischen K-Theorie verwendet, K zu definieren, und über den reals hat eine gut verstandene Topologie dank der Periodizität von Bott.

Es sollte mit dem Raum von (begrenzten) invertible Maschinenbedienern auf einem Raum von Hilbert nicht verwirrt sein, der eine größere Gruppe, und topologisch viel einfacher ist, nämlich contractible - sieh den Lehrsatz von Kuiper.

Siehe auch

• Liste von begrenzten einfachen Gruppen
• SL(R)
• Darstellungstheorie von SL(R)

Zeichen

Außenverbindungen

• "GL (2, p) und GL (3,3) das Folgen Punkten" durch Ed Pegg den Jüngeren. Wolfram-Demonstrationsprojekt, 2007.