In der Mathematik, spezifisch Gruppentheorie, sind eine Quotient-Gruppe (oder Faktor-Gruppe) eine erhaltene Gruppe, indem sie zusammen Elemente einer größeren Gruppe identifizieren, die eine Gleichwertigkeitsbeziehung verwendet. Zum Beispiel kann die zyklische Gruppe der Hinzufügung modulo n bei den ganzen Zahlen erhalten werden, indem sie Elemente identifiziert, die sich durch ein Vielfache von n und dem Definieren einer Gruppenstruktur unterscheiden, die auf jeder solcher Klasse (bekannt als eine Kongruenz-Klasse) als eine einzelne Person funktioniert.

In einem Quotienten einer Gruppe ist die Gleichwertigkeitsklasse des Identitätselements immer eine normale Untergruppe der ursprünglichen Gruppe, und die anderen Gleichwertigkeitsklassen sind der cosets dieser normalen Untergruppe. Der resultierende Quotient wird G / N geschrieben, wo G die ursprüngliche Gruppe ist und N die normale Untergruppe ist. (Das wird "G mod N ausgesprochen," wo "mod" für modulo kurz ist.)

Viel von der Wichtigkeit von Quotient-Gruppen wird aus ihrer Beziehung zum Homomorphismus abgeleitet. Der erste Isomorphismus-Lehrsatz stellt fest, dass das Image jeder Gruppe G unter einem Homomorphismus immer zu einem Quotienten von G isomorph ist. Spezifisch, das Image von G unter einem Homomorphismus φ: G  ist H zu G / ker (φ) isomorph, wo ker (φ) den Kern von φ anzeigt.

Der Doppelbegriff einer Quotient-Gruppe ist eine Untergruppe, diese, die zwei primären Weisen seiend, eine kleinere Gruppe von einer größeren zu bilden. Jede normale Untergruppe hat eine entsprechende Quotient-Gruppe, die von der größeren Gruppe durch das Beseitigen der Unterscheidung zwischen Elementen der Untergruppe gebildet ist. In der Kategorie-Theorie sind Quotient-Gruppen Beispiele von Quotient-Gegenständen, die zu Subgegenständen Doppel-sind. Für andere Beispiele von Quotient-Gegenständen, sieh Quotienten, Quotient-Raum (geradlinige Algebra), Quotient-Raum (Topologie) und Quotient-Satz klingeln.

Produkt von Teilmengen einer Gruppe

In der folgenden Diskussion werden wir eine binäre Operation auf den Teilmengen von G verwenden: Wenn zwei Teilmengen S und T von G gegeben werden, definieren wir ihr Produkt als ST = {der St.: s in S und t in T\. Diese Operation ist assoziativ und hat als Identitätselement der Singleton {e}, wo e das Identitätselement von G ist. So bildet der Satz aller Teilmengen von G einen monoid unter dieser Operation.

In Bezug auf diese Operation können wir zuerst erklären, was eine Quotient-Gruppe ist, und dann erklären Sie, wie eine normale Untergruppe ist:

Die:A-Quotient-Gruppe einer Gruppe G ist eine Teilung von G, der selbst eine Gruppe unter dieser Operation ist.

Es wird durch die Teilmenge völlig bestimmt, die e enthält. Eine normale Untergruppe von G ist der Satz, der e in jeder solcher Teilung enthält. Die Teilmengen in der Teilung sind der cosets dieser normalen Untergruppe.

Eine Untergruppe N einer Gruppe G ist normal, wenn, und nur wenn die coset Gleichheit = Na für alle in G hält. In Bezug auf die binäre Operation auf Teilmengen, die oben definiert sind, ist eine normale Untergruppe von G eine Untergruppe, die mit jeder Teilmenge von G pendelt und N  G angezeigt wird. Eine Untergruppe, die mit jeder Untergruppe von G permutiert, wird eine permutable Untergruppe genannt.

Definition

Lassen Sie N eine normale Untergruppe einer Gruppe G sein. Wir definieren den Satz G/N, um der Satz von allen zu sein, hat cosets von N in G, d. h., G/N = {verlassen: in G\. Die Gruppenoperation auf G/N ist das Produkt von Teilmengen, die oben definiert sind. Mit anderen Worten, für jeden und Milliarde in G/N, dem Produkt und Milliarde ist (Milliarde). Diese Operation wird geschlossen, weil (Milliarde) wirklich ein linker coset ist:

: (Milliarde) = (Nb) N = (Milliarde) N = (ab) NN = (ab) N.

Die Normalität von N wird in dieser Gleichung verwendet. Wegen der Normalität von N sind der linke cosets und das Recht cosets N in G gleich, und so konnte G/N als der Satz des Rechts cosets N in G definiert werden. Weil die Operation aus dem Produkt von Teilmengen von G abgeleitet wird, ist die Operation bestimmt (hängt von der besonderen Wahl von Vertretern nicht ab), assoziativ, und hat Identitätselement N. Das Gegenteil eines Elements G/N ist.

Denken Sie zum Beispiel die Gruppe mit der Hinzufügung modulo 6:

: G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Lassen Sie

: N = {0, 3}.

Die Quotient-Gruppe ist:

: G/N = {: ∈ G\= {{0, 3}: ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} =

:: {0 {0, 3}, 1 {0, 3}, 2 {0, 3}, 3 {0, 3}, 4 {0, 3}, 5 {0, 3}} =

:: {{(0+0) mod 6, (0+3) mod 6}, {(1+0) mod 6, (1+3) mod 6},

::: {(2+0) mod 6, (2+3) mod 6}, {(3+0) mod 6, (3+3) mod 6},

::: {(4+0) mod 6, (4+3) mod 6}, {(5+0) mod 6, (5+3) mod 6}} =

:: {{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}, {3, 0}, {4, 1}, {5, 2}} =

:: {{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}, {0, 3}, {1, 4}, {2, 5}} =

:: {{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}}.

Das grundlegende Argument ist noch oben gültig, wenn G/N definiert wird, um der Satz von ganz richtigen cosets zu sein.

Motivation für die Definition

Der Grund G/N wird eine Quotient-Gruppe genannt, kommt aus der Abteilung von ganzen Zahlen. Wenn man sich 12 durch 3 teilt, erhält man die Antwort 4, weil man 12 Gegenstände in 4 Subsammlungen von 3 Gegenständen umgruppieren kann. Die Quotient-Gruppe ist dieselbe Idee, jedoch enden wir mit einer Gruppe für eine Endantwort statt einer Zahl, weil Gruppen mehr Struktur haben als eine willkürliche Sammlung von Gegenständen.

Um ausführlich zu behandeln, wenn man auf G/N mit N eine normale Untergruppe von G schaut, wird die Gruppenstruktur verwendet, um eine natürliche "Umgruppierung" zu bilden. Das ist der cosets von N in G. Weil wir mit einer Gruppe und normaler Untergruppe angefangen haben, enthält der Endquotient mehr Information als gerade die Zahl von cosets (der ist, was regelmäßige Abteilung nachgibt), aber hat stattdessen eine Gruppenstruktur selbst.

Beispiele

Denken Sie die Gruppe von ganzen Zahlen Z (unter der Hinzufügung) und die Untergruppe 2Z, aus allen gleichen ganzen Zahlen bestehend. Das ist eine normale Untergruppe, weil Z abelian ist. Es gibt nur zwei cosets: der Satz von sogar ganzen Zahlen und der Satz von sonderbaren ganzen Zahlen; deshalb ist die Quotient-Gruppe Z/2Z die zyklische Gruppe mit zwei Elementen. Diese Quotient-Gruppe ist mit dem Satz {0, 1} mit der Hinzufügung modulo 2 isomorph; informell wird es manchmal gesagt, dass Z/2Z dem Satz {0, 1} mit der Hinzufügung modulo 2 gleichkommt.

Eine geringe Generalisation des letzten Beispiels. Denken Sie wieder die Gruppe von ganzen Zahlen Z unter der Hinzufügung. Lassen Sie n jede positive ganze Zahl sein. Wir werden die Untergruppe nZ Z denken, der aus allen Vielfachen von n besteht. Wieder ist nZ in Z normal, weil Z abelian ist. Die cosets sind die Sammlung {nZ, 1+nZ..., (n2) +nZ, (n1) +nZ}. Eine ganze Zahl k gehört dem coset r+nZ, wo r der Rest ist, wenn er sich k durch n teilt. Vom Quotienten Z/nZ kann als die Gruppe von "Resten" modulo n gedacht werden. Das ist eine zyklische Gruppe des Auftrags n.

Die zwölften Wurzeln der Einheit, die Punkte auf dem Einheitskreis sind, bilden einen multiplicative abelian Gruppe G, gezeigt auf dem Bild rechts als gefärbt Bälle mit der Zahl an jedem Punkt, der sein kompliziertes Argument gibt. Betrachten Sie seine Untergruppe N als gemacht aus den vierten Wurzeln der Einheit, die als rote Bälle gezeigt ist. Diese normale Untergruppe spaltet die Gruppe in drei cosets, die in rot, Grün und Blau gezeigt sind. Man kann überprüfen, dass die cosets eine Gruppe von drei Elementen bilden (das Produkt eines roten Elements mit einem blauen Element ist blau, das Gegenteil eines blauen Elements, ist usw. grün). So, die Quotient-Gruppe G/N ist die Gruppe von drei Farben, die sich erweist, die zyklische Gruppe mit drei Elementen zu sein.

Denken Sie die Gruppe von reellen Zahlen R unter der Hinzufügung und der Untergruppe Z von ganzen Zahlen. Die cosets von Z in R sind alle Sätze der Form a+Z, mit 0  a, die Gruppe von komplexen Zahlen des absoluten Werts 1 unter der Multiplikation, oder entsprechend, die Gruppe von Folgen im 2. über den Ursprung, d. h., die spezielle orthogonale Gruppe SO (2). Ein Isomorphismus wird durch f (a+Z) =exp (2πia) gegeben (sieh die Identität von Euler).

Wenn G die Gruppe von invertible 3 × 3 echte matrices ist, und N die Untergruppe von 3 × 3 echte matrices mit der Determinante 1 ist, dann ist N in G normal (da es der Kern des bestimmenden Homomorphismus ist). Die cosets von N sind die Sätze von matrices mit einer gegebenen Determinante, und folglich ist G/N zur multiplicative Gruppe von reellen Nichtnullzahlen isomorph.

Denken Sie die abelian Gruppe Z = Z/4Z (d. h. der Satz {0, 1, 2, 3} mit der Hinzufügung modulo 4), und seine Untergruppe {0, 2}. Die Quotient-Gruppe ist Z/{0, 2} {{0, 2}, {1, 3}}. Das ist eine Gruppe mit dem Identitätselement {0, 2}, und Gruppenoperationen solcher als {0, 2} + {1, 3} = {1, 3}. Beide die Untergruppe {0, 2} und die Quotient-Gruppe {{0, 2}, {1, 3}} sind mit Z isomorph.

Denken Sie die multiplicative Gruppe. Der Satz N der n-ten Rückstände ist eine multiplicative Untergruppe, die dazu isomorph ist. Dann ist N in G und der Faktor-Gruppe normal G/N hat den cosets N, (1+n) N, (1+n) N..., (1+n) N. Pallier cryptosystem basiert auf der Vermutung, dass es schwierig ist, den coset eines zufälligen Elements von G zu bestimmen, ohne den factorization von n zu wissen.

Eigenschaften

Die Quotient-Gruppe G / G ist zur trivialen Gruppe (die Gruppe mit einem Element) isomorph, und G / {e} ist zu G isomorph.

Die Ordnung von G / N, definitionsgemäß die Zahl der Elemente, ist |G gleich: N |, der Index von N in G. Wenn G begrenzt ist, ist der Index auch der Ordnung von durch die Ordnung von N geteiltem G gleich. Bemerken Sie, dass G / N begrenzt sein kann, obwohl sowohl G als auch N unendlich sind (z.B. Z / 2Z).

Es gibt einen "natürlichen" surjective Gruppenhomomorphismus π: G  G / N, jedes Element g G zum coset von N sendend, dem g gehört, der ist: π (g) = gN. π kartografisch darzustellen, wird manchmal den kanonischen Vorsprung von G auf G / N genannt. Sein Kern ist N.

Es gibt eine bijektive Ähnlichkeit zwischen den Untergruppen von G, die N und die Untergruppen von G / N enthalten; wenn H eine Untergruppe von G ist, der N enthält, dann ist die entsprechende Untergruppe von G / N π (H). Diese Ähnlichkeit hält für normale Untergruppen von G und G / N ebenso, und wird im Gitter-Lehrsatz formalisiert.

Mehrere wichtige Eigenschaften von Quotient-Gruppen werden im Hauptsatz auf dem Homomorphismus und den Isomorphismus-Lehrsätzen registriert.

Wenn G abelian, nilpotent oder lösbar ist, dann auch ist G / N.

Wenn G zyklisch oder begrenzt erzeugt ist, dann auch ist G / N.

Wenn N im Zentrum von G enthalten wird, dann wird G die Haupterweiterung der Quotient-Gruppe genannt.

Wenn H eine Untergruppe in einer begrenzten Gruppe G ist, und die Ordnung von H eine Hälfte der Ordnung von G ist, dann, wie man versichert, ist H eine normale Untergruppe, so besteht G / H und ist zu C isomorph. Dieses Ergebnis kann auch festgesetzt werden, weil "jede Untergruppe des Index 2 normal ist", und in dieser Form es auch für unendliche Gruppen gilt.

Jede begrenzt erzeugte Gruppe ist zu einem Quotienten einer freien Gruppe isomorph.

Manchmal, aber nicht notwendigerweise, kann eine Gruppe G von G / N und N, als ein direktes Produkt oder halbdirektes Produkt wieder aufgebaut werden. Das Problem der Bestimmung, wenn das der Fall ist, ist als das Erweiterungsproblem bekannt. Ein Beispiel, wo es nicht möglich ist, ist wie folgt. Z / {0, 2} ist zu Z, und {0, 2} auch isomorph, aber das einzige halbdirekte Produkt ist das direkte Produkt, weil Z nur den trivialen automorphism hat. Deshalb Z der von Z × Z verschieden ist, kann nicht wieder aufgebaut werden.

Quotienten von Lüge-Gruppen

Wenn G eine Lüge-Gruppe ist und N eine normale Lüge-Untergruppe von G ist, ist der Quotient G / N auch eine Lüge-Gruppe. In diesem Fall hat die ursprüngliche Gruppe G die Struktur eines Faser-Bündels (spezifisch, eines HauptN-Bündels), mit dem Grundraum G / N und Faser N.

Für eine nichtnormale Lüge-Untergruppe N ist der Raum G / N linken cosets nicht eine Gruppe, aber einfach eine Differentiable-Sammelleitung, auf der G handelt. Das Ergebnis ist als ein homogener Raum bekannt.

Siehe auch

• Quotient-Ring, auch genannt einen Faktor-Ring
• Gruppenerweiterung
• Erweiterungsproblem
• Gitter-Lehrsatz
• Quotient-Kategorie
• Kurze genaue Folge
• I.N. Herstein (1975), Themen in der Algebra, 2. Ausgabe (John Wiley and Sons, New York) internationale Standardbuchnummer 0 471 02371 X