In der Gruppentheorie ist eine zyklische Gruppe eine Gruppe, die durch ein einzelnes Element im Sinn erzeugt werden kann, dass die Gruppe ein Element g hat (hat einen "Generator" der Gruppe genannt) solch, dass, wenn geschrieben, multiplicatively, jedes Element der Gruppe eine Macht von g ist (ein Vielfache von g, wenn die Notation zusätzlich ist).

Definition

Eine Gruppe G wird zyklisch genannt, wenn dort ein Element g in solchem G dass G = <g&gt besteht; = {g | ist n eine ganze Zahl}. Da jede Gruppe, die durch ein Element in einer Gruppe erzeugt ist, eine Untergruppe dieser Gruppe ist, zeigend, dass die einzige Untergruppe einer Gruppe G, der g enthält, G ist, selbst genügt, um zu zeigen, dass G zyklisch ist.

Zum Beispiel, wenn G = {g, g, g, g, g, g} eine Gruppe ist, dann ist g = g, und G zyklisch. Tatsächlich ist G im Wesentlichen dasselbe als (d. h. isomorph zu) der Satz {0, 1, 2, 3, 4, 5} mit der Hinzufügung modulo 6. Zum Beispiel, 1 + 2 = 3 (mod 6) entspricht g · g = g, und 2 + 5 = 1 (mod 6) entspricht g · g = g = g, und so weiter. Man kann den Isomorphismus φ definiert durch φ (g) = ich verwenden.

Für jede positive ganze Zahl n gibt es genau eine zyklische Gruppe (bis zum Isomorphismus), wessen Ordnung n ist, und es genau eine unendliche zyklische Gruppe (die ganzen Zahlen unter der Hinzufügung) gibt. Folglich sind die zyklischen Gruppen die einfachsten Gruppen, und sie werden völlig klassifiziert.

Der "zyklische" Name kann irreführend sein: Es ist möglich, ungeheuer viele Elemente zu erzeugen und irgendwelche wörtlichen Zyklen nicht zu bilden; d. h. jeder ist verschieden. (Es kann gesagt werden, dass es einen ungeheuer langen Zyklus hat.) Hat eine Gruppe erzeugt auf diese Weise wird eine unendliche zyklische Gruppe genannt, und ist zur zusätzlichen Gruppe von ganzen Zahlen Z isomorph.

Außerdem ist die Kreisgruppe (dessen Elemente unzählbar sind) nicht eine zyklische Gruppe — eine zyklische Gruppe hat immer zählbare Elemente.

Da die zyklischen Gruppen abelian sind, werden sie häufig zusätzlich geschrieben und Z angezeigt. Jedoch kann diese Notation für Zahl-Theoretiker problematisch sein, weil sie die übliche Notation für p-adic Zahl-Ringe oder Lokalisierung an einem Hauptideal kollidiert. Die Quotient-Notationen Z/nZ, Z/n und Z / (n) sind Standardalternativen. Wir nehmen den ersten von diesen hier an, um die Kollision der Notation zu vermeiden. Siehe auch die Abteilungsuntergruppen und Notation unten.

Man kann der Gruppe multiplicatively schreiben, und es durch C anzeigen, wo n die Ordnung ist (der  sein kann). Zum Beispiel, gg = g in C, wohingegen 3 + 4 = 2 in Z/5Z.

Eigenschaften

Der Hauptsatz von zyklischen Gruppen stellt fest, dass, wenn G eine zyklische Gruppe des Auftrags n dann ist, jede Untergruppe von G zyklisch ist. Außerdem ist die Ordnung jeder Untergruppe von G ein Teiler von n und für jeden positiven Teiler k n die Gruppe G hat genau eine Untergruppe des Auftrags k. Dieses Eigentum charakterisiert begrenzte zyklische Gruppen: Eine Gruppe des Auftrags n ist zyklisch, wenn, und nur wenn für jeden Teiler d n die Gruppe höchstens eine Untergruppe des Auftrags d hat. Manchmal wird die raffinierte Behauptung verwendet: Eine Gruppe des Auftrags n ist zyklisch, wenn, und nur wenn für jeden Teiler d n die Gruppe genau eine Untergruppe des Auftrags d hat.

Jede begrenzte zyklische Gruppe ist zur Gruppe {[0], [1], [2]..., [n  1]} von ganzen Zahlen modulo n unter der Hinzufügung isomorph, und jede unendliche zyklische Gruppe ist zu Z (der Satz aller ganzen Zahlen) unter der Hinzufügung isomorph. So, einzige Bedürfnisse, auf solche Gruppen zu schauen, um die Eigenschaften von zyklischen Gruppen im Allgemeinen zu verstehen. Folglich sind zyklische Gruppen eine der einfachsten Gruppen, um zu studieren, und mehrere nette Eigenschaften sind bekannt.

In Anbetracht einer zyklischen Gruppe G des Auftrags n (n kann Unendlichkeit sein), und für jeden g in G,

• G ist abelian; d. h. ihre Gruppenoperation ist auswechselbar: gh = hg (für den ganzen h in G). Das ist so seitdem g + h mod n = h + g mod n.
• Wenn n begrenzt ist, dann ist g = g das Identitätselement der Gruppe, seitdem kn mod n = 0 für jede ganze Zahl k.
• Wenn n = , dann gibt es genau zwei Elemente, die die Gruppe selbstständig erzeugen: nämlich 1 und 1 für Z
• Wenn n begrenzt ist, dann gibt es genau φ (n) Elemente, die die Gruppe selbstständig erzeugen, wo φ die Funktion von Euler totient ist
• Jede Untergruppe von G ist zyklisch. Tatsächlich ist jede begrenzte Untergruppe von G eine Gruppe {0, 1, 2, 3... M − 1\mit der Hinzufügung modulo M. Und jede unendliche Untergruppe von G ist mZ für eine M, die zu (so isomorph zu) Z bijektiv ist.
• G ist zu Z/nZ (Faktor-Gruppe von Z über nZ) seit Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, 3 + nZ, 4 + nZ..., n  1 + nZ} {0, 1, 2, 3, 4..., n &minus isomorph; 1\unter der Hinzufügung modulo n.

Mehr allgemein, wenn d ein Teiler von n ist, dann ist die Zahl der Elemente in Z/n, die Auftrag d haben, φ (d). Die Ordnung der Rückstand-Klasse der M ist n / gcd (n, m).

Wenn p eine Primzahl ist, dann ist die einzige Gruppe (bis zum Isomorphismus) mit p Elementen die zyklische Gruppe C oder Z/pZ. Es gibt mehr Zahlen mit demselben Eigentum, sieht zyklische Zahl.

Das direkte Produkt von zwei zyklischen Gruppen Z/nZ und Z/mZ sind zyklisch, wenn, und nur wenn n und M coprime sind. So z.B. Z/12Z ist das direkte Produkt von Z/3Z und Z/4Z, aber nicht das direkte Produkt von Z/6Z und Z/2Z.

Die Definition deutet sofort an, dass zyklische Gruppen sehr einfache Gruppenpräsentation C = &lt haben; x | > und C = < x | x > für begrenzten n.

Eine primäre zyklische Gruppe ist eine Gruppe der Form Z/pZ, wo p eine Primzahl ist. Der Hauptsatz von abelian Gruppen stellt fest, dass jede begrenzt erzeugte abelian Gruppe das direkte Produkt von begrenzt vielen begrenzten primären zyklischen und unendlichen zyklischen Gruppen ist.

Z/nZ und Z sind auch Ersatzringe. Wenn p eine Blüte ist, dann ist Z/pZ ein begrenztes Feld, das auch durch F oder GF (p) angezeigt ist. Jedes Feld mit p Elementen ist zu diesem isomorph.

Die Einheiten des Rings Z/nZ sind die Zahlen coprime zu n.

Sie bilden eine Gruppe unter der Multiplikation modulo n mit φ (n) Elemente (sieh oben). Es wird als (Z/nZ) geschrieben.

Zum Beispiel, wenn n = 6, wir (Z/nZ) = {1,5} kommen.

Wenn n = 8, wir (Z/nZ) = {1,3,5,7} kommen.

Tatsächlich ist es bekannt, dass (Z/nZ) zyklisch ist, wenn, und nur wenn n 1 oder 2 oder 4 oder p oder 2 p für eine sonderbare Primzahl p und k  1 ist, in welchem Fall jeder Generator von (Z/nZ) eine primitive Wurzel modulo n genannt wird. So ist (Z/nZ) für n = 6, aber nicht für n = 8 zyklisch, wo es stattdessen dem vier-Gruppen-Klein isomorph ist.

Die Gruppe (Z/pZ) ist mit p  1 Elemente für jeden ersten p zyklisch, und wird auch (Z/pZ) geschrieben, weil es aus den Nichtnullelementen besteht. Mehr allgemein ist jede begrenzte Untergruppe der multiplicative Gruppe jedes Feldes zyklisch.

Beispiele

Im 2. und 3D ist die Symmetrie-Gruppe für die n-fold Rotationssymmetrie C vom abstrakten Gruppentyp Z. Im 3D gibt es auch andere Symmetrie-Gruppen, die algebraisch dasselbe sind, Symmetrie-Gruppen in 3D sehen, die als abstrakte Gruppe zyklisch sind.

Bemerken Sie, dass die Gruppe S aller Folgen eines Kreises (die Kreisgruppe) nicht zyklisch ist, da es nicht sogar zählbar ist.

Die n Wurzeln der Einheit bilden eine zyklische Gruppe des Auftrags n unter der Multiplikation. z.B, wo und eine Gruppe unter der Multiplikation zyklisch ist.

Die Galois Gruppe jeder begrenzten Felderweiterung eines begrenzten Feldes ist begrenzt und zyklisch; umgekehrt, in Anbetracht eines begrenzten Feldes F und eine begrenzte zyklische Gruppe G, gibt es eine begrenzte Felderweiterung von F, dessen Gruppe von Galois G ist.

Darstellung

Die Zyklus-Graphen von begrenzten zyklischen Gruppen sind alle n-sided Vielecke mit den Elementen an den Scheitelpunkten. Der dunkle Scheitelpunkt in den Zyklus-Graphen tritt unten für das Identitätselement ein, und die anderen Scheitelpunkte sind die anderen Elemente der Gruppe. Ein Zyklus besteht aus aufeinander folgenden Mächten von jedem der mit dem Identitätselement verbundenen Elemente.

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Die Darstellungstheorie der zyklischen Gruppe ist ein kritischer Grundfall für die Darstellungstheorie von allgemeineren begrenzten Gruppen. Im komplizierten Fall zersetzt sich eine Darstellung einer zyklischen Gruppe in eine direkte Summe von geradlinigen Charakteren, die Verbindung zwischen Charakter-Theorie und Darstellungstheorie durchsichtig machend. Im positiven charakteristischen Fall bilden die unzerlegbaren Darstellungen der zyklischen Gruppe eine vorbildliche und induktive Basis für die Darstellungstheorie von Gruppen mit zyklischen Untergruppen von Sylow und mehr allgemein die Darstellungstheorie von Blöcken des zyklischen Defekts.

Untergruppen und Notation

Alle Untergruppen und Quotient-Gruppen von zyklischen Gruppen sind zyklisch. Spezifisch sind alle Untergruppen von Z der Form mZ, mit der M eine ganze Zahl 0. Alle diese Untergruppen sind verschieden, und abgesondert von der trivialen Gruppe (für m=0) sind alle zu Z isomorph. Das Gitter von Untergruppen von Z ist zum Doppel-vom Gitter von durch die Teilbarkeit bestellten natürlichen Zahlen isomorph. Alle Faktor-Gruppen von Z, sind abgesehen von der trivialen Ausnahme Z/{0} = Z/0Z begrenzt. Für jeden positiven Teiler d n die Quotient-Gruppe hat Z/nZ genau eine Untergruppe des Auftrags d, durch die Rückstand-Klasse von n/d erzeugter derjenige. Es gibt keine anderen Untergruppen. Das Gitter von Untergruppen ist so zum Satz von Teilern von n isomorph, der durch die Teilbarkeit bestellt ist. Insbesondere eine zyklische Gruppe ist einfach, wenn, und nur wenn seine Ordnung (die Zahl seiner Elemente) erst ist.

Mit dem Quotient-Gruppenformalismus ist Z/nZ eine Standardnotation für die zusätzliche zyklische Gruppe mit n Elementen. In der Ringfachsprache ist die Untergruppe nZ auch das Ideal (n), so kann der Quotient auch Z / (n) oder Z/n ohne Missbrauch der Notation geschrieben werden. Diese Alternativen kollidieren die Notation für die p-adic ganzen Zahlen nicht. Die letzte Form ist in informellen Berechnungen sehr üblich; es hat den zusätzlichen Vorteil, dass es dieselbe Weise liest, wie die Gruppe oder der Ring häufig wörtlich in Englisch, "Zee mod en beschrieben werden".

Als ein praktisches Problem kann man eine begrenzte Untergruppe C vom Auftrag n gegeben werden, der durch ein Element g erzeugt ist, und hat gebeten, die Größe M der Untergruppe erzeugt durch g für eine ganze Zahl k zu finden. Hier wird M die kleinste ganze Zahl> 0 solches sein, dass mk durch n teilbar ist. Es ist deshalb n/a, wo = (k, n) der größte allgemeine Teiler von k und n ist. Stellen Sie einen anderen Weg, der Index der durch g erzeugten Untergruppe ist a. Dieses Denken ist als der Index-Rechnungsalgorithmus in der Zahlentheorie bekannt.

Endomorphismen

Der Endomorphismus-Ring der abelian Gruppe Z/nZ ist zu Z/nZ selbst als ein Ring isomorph. Unter diesem Isomorphismus entspricht die Nummer r dem Endomorphismus von Z/nZ, der jedes Element zur Summe von r Kopien davon kartografisch darstellt. Das ist eine Bijektion, wenn, und nur wenn r coprime mit n ist, so ist die automorphism Gruppe von Z/nZ zur Einheitsgruppe (Z/nZ) isomorph (sieh oben).

Ähnlich ist der Endomorphismus-Ring der zusätzlichen Gruppe Z zum Ring Z isomorph. Seine automorphism Gruppe ist zur Gruppe von Einheiten des Rings Z, d. h. zu {&minus;1, +1} C isomorph.

Eigentlich zyklische Gruppen

Eine Gruppe wird eigentlich zyklisch genannt, wenn sie eine zyklische Untergruppe des begrenzten Index enthält (die Zahl von cosets, den die Untergruppe hat).

Mit anderen Worten kann jedes Element in einer eigentlich zyklischen Gruppe durch die Verwendung eines Mitgliedes der zyklischen Untergruppe einem Mitglied in einem bestimmten begrenzten Satz erreicht werden.

Jede zyklische Gruppe ist eigentlich zyklisch, wie jede begrenzte Gruppe ist.

Es ist bekannt, dass eine begrenzt erzeugte getrennte Gruppe mit genau zwei Enden (zum Beispiel das Produkt von Z/n und Z) eigentlich zyklisch ist. Jede abelian Untergruppe eines Gromovs Hyperbelgruppe ist eigentlich zyklisch.

Siehe auch

• Zyklische Erweiterung
• Zyklisches Modul
• Zyklisch befohlene Gruppe
• Lokal zyklische Gruppe, eine Gruppe, in der jede begrenzt erzeugte Untergruppe zyklischer ist
• Modularithmetik

Referenzen

• , besonders Kapitel 4.
• , besonders Seiten 53-60.

Links

• Eine Einführung in zyklische Gruppen

Weiterführende Literatur