In der Ringtheorie, einem Zweig der abstrakten Algebra, ist ein Ersatzring ein Ring, in dem die Multiplikationsoperation auswechselbar ist. Die Studie von Ersatzringen wird Ersatzalgebra genannt.

Einige spezifische Arten von Ersatzringen werden mit der folgenden Kette von Klasseneinschließungen gegeben:

: Ersatzringe  integrierte Gebiete  integriert geschlossene Gebiete  einzigartige factorization Gebiete  ideale Hauptgebiete  Euklidische Gebiete  Felder

Definition und die ersten Beispiele

Definition

Ein Ring ist ein Satz R ausgestattet mit zwei binären Operationen, d. h. Operationen, die irgendwelche zwei Elemente des Rings zu einem Drittel verbinden. Sie werden Hinzufügung und Multiplikation genannt und allgemein durch "+" und "" angezeigt; z.B + b und ein  b. Um einen Ring zu bilden, müssen diese zwei Operationen mehrere Eigenschaften befriedigen: Der Ring muss eine abelian Gruppe unter der Hinzufügung sowie ein monoid unter der Multiplikation sein, wo Multiplikation über die Hinzufügung verteilt; d. h., ein  (b + c) = (ein  b) + (ein  c). Die Identitätselemente für die Hinzufügung und Multiplikation werden 0 und 1, beziehungsweise angezeigt.

Wenn, ebenso, die Multiplikation auch auswechselbar ist:

:a  b = b  ein

dann wird der Ring R auswechselbar genannt. Im Rest dieses Artikels werden alle Ringe, wenn ausführlich nicht festgesetzt, sonst auswechselbar sein.

Die ersten Beispiele

Ein wichtiges Beispiel, und in einem entscheidenden Sinn, ist der Ring von ganzen Zahlen Z mit den zwei Operationen der Hinzufügung und Multiplikation. Da die Multiplikation von ganzen Zahlen eine Ersatzoperation ist, ist das ein Ersatzring. Es wird gewöhnlich Z als eine Abkürzung des deutschen Wortes Zahlen (Zahlen) angezeigt.

Ein Feld ist ein Ersatzring wo jedes Nichtnullelement invertible zu sein; d. h., hat ein multiplicative Gegenteil b solch dass ein  b = 1. Deshalb, definitionsgemäß, ist jedes Feld ein Ersatzring. Die vernünftigen, echten und komplexen Zahlen bilden Felder.

Der Ring 2×2 matrices ist nicht auswechselbar, da Matrixmultiplikation scheitert, auswechselbar zu sein, weil sich das folgende Beispiel zeigt:

:

\begin {bmatrix }\

1 & 1 \\

0 & 1 \\

\end {bmatrix }\\cdot

\begin {bmatrix }\ 1 & 1 \\

1 & 0 \\

\end {bmatrix}

&= \begin {bmatrix }\

2 & 1 \\

1 & 0 \\

\end {bmatrix }\\\

\begin {bmatrix }\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\\end {bmatrix }\\cdot\begin {bmatrix }\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end {bmatrix} &= \begin {bmatrix }\

1 & 2 \\

1 & 1 \\

\end {bmatrix }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Jedoch, matrices, der diagonalized mit derselben Ähnlichkeitstransformation sein kann, bilden wirklich einen Ersatzring. Ein Beispiel ist der Satz von matrices von geteilten Unterschieden in Bezug auf einen festen Satz von Knoten.

Wenn R ein gegebener Ersatzring ist, dann bildet der Satz aller Polynome in der Variable X, dessen Koeffizienten in R sind, den polynomischen Ring, hat R [X] angezeigt. Dasselbe hält für mehrere Variablen für wahr.

Wenn V ein topologischer Raum ist, zum Beispiel bildet eine Teilmenge von einem R, echt - oder Komplex-geschätzte dauernde Funktionen auf V einen Ersatzring. Dasselbe ist für differentiable oder Holomorphic-Funktionen wahr, wenn die zwei Konzepte, solcher bezüglich V eine komplizierte Sammelleitung definiert werden.

Ideale und das Spektrum

Im Gegensatz zu Feldern, wo jedes Nichtnullelement multiplicatively invertible ist, ist die Theorie von Ringen mehr kompliziert. Es gibt mehrere Begriffe, um mit dieser Situation fertig zu werden. Erstens wird ein Element eines R eine Einheit genannt, wenn es ein multiplicative Gegenteil besitzt. Ein anderer besonderer Typ des Elements ist die Nullteiler, d. h. ein Nichtnullelement ein solcher, dass dort ein Nichtnullelement b des solchen Rings dass ab = 0 besteht. Wenn R keine Nullteiler besitzt, wird es ein integriertes Gebiet genannt, da es nah den ganzen Zahlen in mancher Hinsicht ähnelt.

Viele der folgenden Begriffe bestehen auch für nicht notwendigerweise auswechselbare Ringe, aber die Definitionen und Eigenschaften sind gewöhnlich mehr kompliziert. Zum Beispiel sind alle Ideale in einem Ersatzring automatisch zweiseitig, der die Situation beträchtlich vereinfacht.

Ideale und Faktor-Ringe

Die innere Struktur eines Ersatzrings wird durch das Betrachten seiner Ideale, d. h. nichtleerer Teilmengen bestimmt, die unter der Multiplikation mit willkürlichen Ringelementen und Hinzufügung geschlossen werden: Für den ganzen r in R, mir und j in mir, sind sowohl ri als auch ich + j erforderlich, in mir zu sein. In Anbetracht jeder Teilmenge F = {f} R (wo J ein Index-Satz ist) ist das durch F erzeugte Ideal das kleinste Ideal, das F enthält. Gleichwertig wird es durch begrenzte geradlinige Kombinationen gegeben

:rf + rf +... + rf.

Ein durch ein Element erzeugtes Ideal wird Hauptideal genannt. Ein Ring alle sind dessen Ideale hauptsächlich, wird einen idealen Hauptring genannt, zwei wichtige Fälle sind Z und k [X], der polynomische Ring über ein Feld k. Jeder Ring hat zwei Ideale, nämlich das Nullideal {0} und R, der ganze Ring. Jedes Ideal, das in keinem richtigen Ideal enthalten wird (d. h. R) wird maximal genannt.

Die Definition von Idealen ist solch, dass "das Austeilen" ich einen anderen Ring, den Faktor-Ring R / ich gebe: Es ist der Satz von cosets von mir zusammen mit den Operationen

: (+ I) + (b + I) = (+ b) + ich und (+ I) (b + I) = ab + ich.

Zum Beispiel ist der Ring Z/nZ (hat auch Z angezeigt), wo n eine ganze Zahl ist, der Ring von ganzen Zahlen modulo n. Es ist die Basis der Modularithmetik.

Lokalisierungen

Die Lokalisierung eines Rings ist die Kopie zu Faktor-Ringen, insofern als in einem Faktor R / ich anrufen, werden bestimmte Elemente (nämlich die Elemente von I) Null, wohingegen in der Lokalisierung bestimmte Elemente invertible gemacht werden, d. h. multiplicative Gegenteile zum Ring hinzugefügt werden. Konkret, wenn S geschlossene Teilmenge eines multiplicatively von R ist (d. h. wann auch immer s, t &isin; S ist dann auch der St.) dann die Lokalisierung von R an S oder Ring von Bruchteilen mit Nennern in S, hat gewöhnlich angezeigt, dass SR aus Symbolen besteht

: mit r &isin; R, s &isin; S

unterwerfen Sie bestimmten Regeln dass mimick die von rationalen Zahlen vertraute Annullierung. Tatsächlich auf dieser Sprache ist Q die Lokalisierung von Z an allen ganzen Nichtnullzahlen. Das Bauarbeiten für jedes integrierte Gebiet R statt Z. Die Lokalisierung (R \{0}) R wird das Quotient-Feld von R genannt. Wenn S aus den Mächten eines festen Elements f besteht, wird die Lokalisierung R geschrieben.

Hauptideale und das Spektrum

Ein besonders wichtiger Typ von Idealen ist Hauptideale, häufig hat p angezeigt. Dieser Begriff ist entstanden, als algebraists (im 19. Jahrhundert) begriffen hat, dass, unterschiedlich in Z, in vielen Ringen es keinen einzigartigen factorization in Primzahlen gibt. (Ringe, wo es wirklich hält, werden einzigartige factorization Gebiete genannt.) Definitionsgemäß ist ein Hauptideal ein richtiges solches Ideal, dass, wann auch immer das Produkt ab irgendwelcher zwei Ringelemente a und b in p ist, mindestens ein der zwei Elemente bereits in p sind. (Der entgegengesetzte Beschluss hält für jedes Ideal, definitionsgemäß). Gleichwertig ist der Faktor-Ring R / p ein integriertes Gebiet. Und doch ist eine andere Weise, dasselbe auszudrücken, zu sagen, dass die Ergänzung R \p geschlossener multiplicatively ist. Die Lokalisierung (R \p) R ist wichtig genug, um seine eigene Notation zu haben:R. Dieser Ring hat nur ein maximales Ideal, nämlich pR. Solche Ringe werden lokal genannt.

Durch das obengenannte ist jedes maximale Ideal erst. Der Beweis, dass ein Ideal, oder gleichwertig erst ist, dass ein Ring keine Nullteiler hat, kann sehr schwierig sein.

Hauptideale sind der Schlüsselschritt in der Interpretation eines Rings geometrisch, über das Spektrum einer Ringspekulation R: Es ist der Satz aller Hauptideale von R. Wie bemerkt, oben gibt es mindestens ein Hauptideal, deshalb ist das Spektrum nichtleer. Wenn R ein Feld ist, ist das einzige Hauptideal das Nullideal, deshalb ist das Spektrum gerade ein Punkt. Das Spektrum von Z enthält jedoch einen Punkt für das Nullideal und einen Punkt für jede Primzahl p (der das Hauptideal pZ erzeugt). Das Spektrum ist mit einer Topologie genannt die Topologie von Zariski ausgestattet, die durch das Spezifizieren dass Teilmengen D (f) = {p &isin bestimmt wird; Spekulation R, f  p\, wo f jedes Ringelement ist, offen sein. Diese Topologie neigt dazu, von denjenigen verschieden zu sein, die in der Analyse oder Differenzialgeometrie gestoßen sind; zum Beispiel wird es allgemein Punkte geben, die nicht geschlossen werden. Der Verschluss des Punkts entsprechend dem 0 idealen Null Z ist zum Beispiel das ganze Spektrum von Z.

Der Begriff eines Spektrums ist die allgemeine Basis der Ersatzalgebra und algebraischen Geometrie. Algebraische Geometrie geht durch das Ausstatten der Spekulation R mit einem Bündel weiter (eine Entität, die Funktionen definiert lokal, d. h. beim Verändern offener Teilmengen sammelt). Die Gegebenheit des Raums und des Bündels wird ein affine Schema genannt. In Anbetracht eines affine Schemas kann der zu Grunde liegende Ring R als die globalen Abteilungen dessen wieder erlangt werden. Außerdem ist die feststehende isomorphe Ähnlichkeit zwischen Ringen und affine Schemas auch mit dem Ringhomomorphismus vereinbar: irgendwelcher f&thinsp;: R  verursacht S eine dauernde Karte in der entgegengesetzten Richtung

:Spec S &rarr; Spekulation R, q  f (q), d. h. jedes Hauptideal von S wird zu seinem Vorimage unter f kartografisch dargestellt, der ein Hauptideal von R ist.

Das Spektrum macht auch genau die Intuition, dass Lokalisierung und Faktor-Ringe ergänzend sind: Die natürlichen Karten R  R und R  R / fR, entsprechen nach dem Ausstatten der Spektren der fraglichen Ringe mit ihrer Topologie von Zariski zu geschlossenen und offenen Ergänzungsimmersionen beziehungsweise.

Zusammen ist die Gleichwertigkeit der zwei gesagten Kategorien sehr passend, algebraische Eigenschaften von Ringen auf eine geometrische Weise zu widerspiegeln. Der Schema-Weg des Sinds ziemlich dasselbe von Affine als Sammelleitungen wird durch offene Teilmengen von R-local Modellen für Schemas lokal gegeben, die der Gegenstand der Studie in der algebraischen Geometrie sind. Deshalb, viele Begriffe, die für den Ring- und Homomorphismus-Stamm von der geometrischen Intuition gelten.

Ringhomomorphismus

Wie gewöhnlich in der Algebra wird eine Funktion f zwischen zwei Gegenständen, der die Strukturen der fraglichen Gegenstände respektiert, Homomorphismus genannt. Im Fall von Ringen ist ein Ringhomomorphismus eine Karte f&thinsp;: R  S solch dass

:f (+ b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a) f (b) und f (1) = 1.

Diese Bedingungen sichern f (0) = 0, aber die Voraussetzung, dass das multiplicative Identitätselement 1 unter f bewahrt wird, würde aus den zwei restlichen Eigenschaften nicht folgen. In solch einer Situation wird S auch eine R-Algebra durch das Verstehen genannt, dass s in S mit einem r von R, durch das Setzen multipliziert werden kann

:r &middot; s: = f (r) &middot; s.

Der Kern und das Image von f werden durch ker (f) = {r  R, f (r) = 0} und im (f) = f (R) = {f (r), r  R} definiert. Sowohl Kern als auch Image sind Subringe von R und S beziehungsweise.

Module

Die Außenstruktur eines Ersatzrings wird durch das Betrachten geradliniger Algebra über diesen Ring, d. h., durch das Nachforschen der Theorie seiner Module bestimmt, die Vektorräumen ähnlich sind, außer dass die Basis nicht notwendigerweise ein Feld ist, aber jeder Ring R sein kann. Die Theorie von R-Modulen ist bedeutsam schwieriger als geradlinige Algebra von Vektorräumen. Modul-Theorie muss mit Schwierigkeiten wie Module kämpfen, die nicht Basen haben, dass die Reihe eines freien Moduls (d. h. das Analogon der Dimension von Vektorräumen) nicht bestimmt sein kann und das, brauchen Untermodule begrenzt erzeugter Module nicht begrenzt erzeugt zu werden (wenn R Noetherian nicht ist, sieh unten).

Ideale innerhalb eines Rings R können als R-Module charakterisiert werden, die Untermodule von R sind. Einerseits macht ein gutes Verstehen von R-Modulen genug Information über R nötig. Umgekehrt, jedoch, gehen viele Techniken in der Ersatzalgebra, die die Struktur von R, durch das Überprüfen seiner Ideale studieren, durch das Studieren von Modulen im Allgemeinen weiter.

Ringe von Noetherian

Ein Ring wird Noetherian genannt (zu Ehren von Emmy Noether, die dieses Konzept entwickelt hat), wenn jede steigende Kette von Idealen

:0  I  I...  I  I ...

wird stationär, d. h. wird unveränderlich außer einem Index n. Gleichwertig wird jedes Ideal durch begrenzt viele Elemente erzeugt, oder, noch gleichwertig. Ein Ring wird Artinian (nach Emil Artin), wenn jede hinuntersteigende Kette von Idealen genannt

:R  I  I...  I  I ...

wird stationär schließlich. Trotz der zwei Bedingungen, die symmetrisch scheinen, sind Ringe von Noetherian viel allgemeiner als Ringe von Artinian. Zum Beispiel ist Z Noetherian, da jedes Ideal durch ein Element erzeugt werden kann, aber nicht Artinian, als die Kette ist

:Z  2Z  4Z  8Z ...

Shows. Tatsächlich, durch den Lehrsatz von Hopkins-Levitzki, ist jeder Ring von Artinian Noetherian.

Noetherian zu sein, ist eine äußerst wichtige Endlichkeitsbedingung. Die Bedingung wird unter vielen Operationen bewahrt, die oft in der Geometrie vorkommen: Wenn R Noetherian ist, dann auch ist der polynomische Ring (durch den Basislehrsatz von Hilbert), jede Lokalisierung SR, Faktor ruft R / ich an.

Dimension

Die Krull Dimension (oder einfach Dimension) verdunkeln sich R eines Rings ist R ein Begriff, um die "Größe" eines Rings sehr grob durch die zählenden unabhängigen Elemente in R zu messen. Genau wird es als das Supremum von Längen n Ketten von Hauptidealen definiert

:0  p  p ... &sube; p.

Zum Beispiel ist ein Feld nulldimensional, da das einzige Hauptideal das Nullideal ist. Es ist auch bekannt, dass ein Ersatzring Artinian ist, wenn, und nur wenn es Noetherian und nulldimensional ist (d. h. sind alle seine Hauptideale maximal). Die ganzen Zahlen sind eindimensional: Jede Kette von Hauptidealen ist der Form

:0 = p  pZ = p, wo p eine Primzahl ist

da jedes Ideal in Z hauptsächlich ist.

Die Dimension benimmt sich gut, wenn die fraglichen Ringe Noetherian sind: die erwartete Gleichheit

:dim R [X] = verdunkeln R + 1

hält in diesem Fall (im Allgemeinen, man hat nur dunklen R + 1  verdunkelt R [X]  2 · verdunkeln Sie R + 1). Außerdem, da die Dimension nur von einer maximaler Kette abhängt, ist die Dimension von R das Supremum aller Dimensionen seiner Lokalisierungen R, wo p ein willkürliches Hauptideal ist. Intuitiv ist die Dimension von R ein lokales Eigentum des Spektrums von R. Deshalb wird die Dimension häufig für lokale Ringe nur auch betrachtet, da Ringe von General Noetherian noch trotz aller ihrer Lokalisierungen unendlich sein können, die endlich-dimensional sind.

Die Bestimmung der Dimension, sagen wir

,

:k [X, X..., X] / (f, f..., f), wo k ein Feld und der f ist, sind einige Polynome in n Variablen,

ist

allgemein nicht leicht. Für R Noetherian, die Dimension von R / bin ich durch den idealen Hauptlehrsatz von Krull, verdunkeln Sie mindestens R &minus; n, wenn ich durch n Elemente erzeugt werde. Wenn die Dimension Fälle so viel wie möglich tut, d. h. R / verdunkelt, verdunkle ich = R  n, der R / ich werde eine ganze Kreuzung genannt.

Ein lokaler Ring R, d. h. ein mit nur einer maximaler idealer M, wird regelmäßig genannt, wenn die (Krull) Dimension von R der Dimension (als ein Vektorraum über Feld R / m) vom Kotangens-Raum M / M gleichkommt.

Das Konstruieren von Ersatzringen

Es gibt mehrere Weisen, neue Ringe aus gegebenen zu bauen. Das Ziel solcher Aufbauten ist häufig, bestimmte Eigenschaften des Rings zu verbessern, um es mehr sogleich verständlich zu machen. Zum Beispiel wird ein integriertes Gebiet, das in seinem Feld von Bruchteilen integriert geschlossen wird, normal genannt. Das ist ein wünschenswertes Eigentum, zum Beispiel ist jeder normale eindimensionale Ring notwendigerweise regelmäßig. Die Übergabe eines normalen Rings ist als Normalisierung bekannt.

Vollziehungen

Wenn ich ein Ideal in einem Ersatzring R, den Mächten davon bin, bilde mir topologische Nachbarschaft 0, die R erlauben, als ein topologischer Ring angesehen zu werden. Diese Topologie wird die I-adic Topologie genannt. R kann dann in Bezug auf diese Topologie vollendet werden. Formell ist die I-adic Vollziehung die umgekehrte Grenze der Ringe R/I. Zum Beispiel, wenn k ein Feld, k ist

Eigenschaften

Durch den Lehrsatz von Wedderburn ist jeder begrenzte Abteilungsring, und deshalb ein begrenztes Feld auswechselbar. Eine andere Bedingung, die commutativity eines Rings wegen Jacobsons sichert, ist der folgende: Für jedes Element r R dort besteht eine solche ganze Zahl dass. Wenn, r = r für jeden r, der Ring Ring von Boolean genannt wird. Allgemeinere Bedingungen, die commutativity eines Rings versichern, sind auch bekannt.

Siehe auch

• Abgestufter Ring

Referenzen

Zitate

• (Nachgedruckt 1975-76 durch Springer als Bände 28-29 von Absolvententexten in der Mathematik.)