In der Mengenlehre bezieht sich eine Ergänzung eines Satzes A auf Dinge nicht in (d. h. Dinge außerhalb), A. Die Verhältnisergänzung in Bezug auf einen Satz B, ist der Satz von Elementen in B, aber nicht in A. Wenn, wie man betrachtet, alle Sätze unter der Rücksicht Teilmengen eines gegebenen Satz-U sind, ist die absolute Ergänzung von A der Satz aller Elemente in U, aber nicht in A.

Verhältnisergänzung

Wenn A und B Sätze sind, dann die Verhältnisergänzung in B, hat auch den mit dem Satz theoretischen Unterschied von B und A genannt, ist der Satz von Elementen in B, aber nicht in A.

Die Verhältnisergänzung in B wird gemäß dem ISO 31-11 Standard angezeigt (manchmal schriftlich, aber diese Notation ist zweideutig, als in einigen Zusammenhängen kann es als der Satz von allen interpretiert werden, wo b von B und von A genommen wird).

Formell

:

Beispiele:

:* {1,2,3}  {2,3,4} = {1 }\

:* {2,3,4}  {1,2,3} = {4 }\

:*If ist der Satz von reellen Zahlen und ist der Satz von rationalen Zahlen, ist dann der Satz von irrationalen Zahlen.

Die folgenden Listen einige bemerkenswerte Eigenschaften von Verhältnisergänzungen in Bezug auf die mit dem Satz theoretischen Operationen der Vereinigung und Kreuzung.

Wenn A, B, und C Sätze sind, dann hält die folgende Identität:

:*C  (EIN  B) = (C  A)  (C  B)

:*C  (EIN  B) = (C  A)  (C  B)

:*C  (B  A) = (EIN  C)  (C  B)

: * (B  A)  C = (B  C)  = B  (C )

: * (B  A)  C = (B  C)  (EIN  C)

:*A  = Ø

:*Ø  = Ø

:*A  Ø = EIN

Absolute Ergänzung

Wenn ein Weltall U definiert wird, dann wird die Verhältnisergänzung in U die absolute Ergänzung (oder einfach Ergänzung) von A genannt, und wird durch A oder manchmal A&prime angezeigt; auch derselbe Satz wird häufig durch angezeigt, oder wenn U befestigt wird, der ist:

:A = U  A.

Zum Beispiel, wenn das Weltall der Satz von ganzen Zahlen ist, dann ist die Ergänzung des Satzes von ungeraden Zahlen der Satz von geraden Zahlen.

Die folgenden Listen einige wichtige Eigenschaften von absoluten Ergänzungen in Bezug auf die mit dem Satz theoretischen Operationen der Vereinigung und Kreuzung.

Wenn A und B Teilmengen eines Weltalls U sind, dann hält die folgende Identität:

:De-Gesetze von Morgan:

:: *

:: *

:Complement-Gesetze:

:: *:: *:: *:: *:: *

::*: (das folgt aus der Gleichwertigkeit eines bedingten mit seinem contrapositive)

:Involution oder doppeltes Ergänzungsgesetz:

:: *

:Relationships zwischen relativen und absoluten Ergänzungen:

::*A  B = EIN  B

:: * (EIN  B) = EIN  B

Die ersten zwei Ergänzungsgesetze zeigen oben dass, wenn A eine nichtleere, richtige Teilmenge von U ist, dann {A,} ist eine Teilung von U.

Notation

Auf der LATEX-Schriftsetzen-Sprache wird der Befehl gewöhnlich verwendet, für ein Satz-Unterschied-Symbol zu machen, das einem Symbol des umgekehrten Schrägstrichs ähnlich ist. Wenn gemacht, sieht der Befehl identisch dazu aus, außer dass er etwas mehr Raum in der Vorderseite und hinter dem Hieb hat, der mit der LATEX-Folge verwandt ist. Eine Variante ist im amssymb Paket verfügbar.

Ergänzungen auf verschiedenen Programmiersprachen

Einige Programmiersprachen berücksichtigen Manipulation von Sätzen als Datenstrukturen, mit diesen Maschinenbedienern oder Funktionen, den Unterschied von Sätzen zu bauen, und:

SQL

Mathematica

:

MATLAB

:

MathML

:

Pascal

:

Pythonschlange

::

Java

:

:diff.removeAll (b); </Code>

Scala

:

C ++

:

.NET-Fachwerk

:

Haskell

:

Allgemeines Lispeln

:

OCaml

:

Unix schälen

:

: # weniger effizient, aber Arbeiten mit kleinen unsortierten Sätzen

PHP

:

R

:

Rubin

:

Perl

::

Siehe auch

• Algebra von Sätzen
• Naive Mengenlehre
• Symmetrischer Unterschied