Ein Satz ist eine Sammlung gut definierter und verschiedener Gegenstände, betrachtet als ein Gegenstand in seinem eigenen Recht. Sätze sind eines der grundsätzlichsten Konzepte in der Mathematik. Entwickelt am Ende des 19. Jahrhunderts ist Mengenlehre jetzt ein allgegenwärtiger Teil der Mathematik, und kann als ein Fundament verwendet werden, von dem fast die ganze Mathematik abgeleitet werden kann. In der Mathematik-Ausbildung werden elementare Themen wie Venn-Diagramme in einem jungen Alter unterrichtet, während fortgeschrittenere Konzepte als ein Teil eines Universitätsgrads unterrichtet werden.

Definition

Ein Satz ist eine gut definierte Sammlung von Gegenständen. Georg Cantor, der Gründer der Mengenlehre, hat die folgende Definition eines Satzes am Anfang seines Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre gegeben:

Die Elemente oder Mitglieder eines Satzes können irgendetwas sein: Zahlen, Leute, Buchstaben vom Alphabet, andere Sätze, und so weiter. Sätze werden mit Großbuchstaben herkömmlich angezeigt. Sätze A und B sind gleich, wenn, und nur wenn sie genau dieselben Elemente haben.

Wie besprochen, unten, die über dem erwiesenen gegebene Definition, um für die formelle Mathematik unzulänglich zu sein; statt dessen wird der Begriff eines "Satzes" als ein unbestimmter Primitiver in der axiomatischen Mengenlehre genommen, und seine Eigenschaften werden durch die Zermelo-Fraenkel Axiome definiert. Die grundlegendsten Eigenschaften bestehen darin, dass ein Satz Elemente "hat", und dass zwei Sätze gleich sind (ein und dasselbe), wenn, und nur wenn sie dieselben Elemente haben.

Das Beschreiben von Sätzen

Es gibt zwei Weisen, zu beschreiben, oder die Mitglieder, ein Satz anzugeben. Ein Weg ist durch die intensional Definition, mit einer Regel oder semantischer Beschreibung:

:A ist der Satz, dessen Mitglieder die ersten vier positiven ganzen Zahlen sind.

:B ist der Satz von Farben der französischen Fahne.

Der zweite Weg ist durch die Erweiterung - d. h. jedes Mitglied des Satzes verzeichnend. Eine Verlängerungsdefinition wird durch das Umgeben der Liste von Mitgliedern in lockigen Klammern angezeigt:

:C = {4, 2, 1, 3 }\

:D = {blau, weiß, rot}.

Jedes Element eines Satzes muss einzigartig sein; keine zwei Mitglieder können identisch sein. (Ein Mehrsatz ist ein verallgemeinertes Konzept eines Satzes, der dieses Kriterium entspannt.) Alle Satz-Operationen bewahren dieses Eigentum. Die Ordnung, in der die Elemente eines Satzes oder Mehrsatzes verzeichnet werden, ist (unterschiedlich für eine Folge oder Tupel) irrelevant. Das Kombinieren dieser zwei Ideen in ein Beispiel

: {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11 }\

weil die Verlängerungsspezifizierung bloß bedeutet, dass jedes der verzeichneten Elemente ein Mitglied des Satzes ist.

Für Sätze mit vielen Elementen kann die Enumeration von Mitgliedern abgekürzt werden. Zum Beispiel kann der Satz des ersten Tausends positive ganze Zahlen Verlängerungs-als angegeben werden:

: {1, 2, 3..., 1000},

wo die Ellipse ("... ") anzeigt, dass die Liste auf die offensichtliche Weise weitergeht. Ellipsen können auch verwendet werden, wo Sätze ungeheuer viele Mitglieder haben. So kann der Satz von positiven geraden Zahlen als geschrieben werden

Die Notation mit geschweiften Klammern kann auch in einer intensional Spezifizierung eines Satzes verwendet werden. In diesem Gebrauch haben die geschweiften Klammern die Bedeutung "der Satz von allen...". Also, E = {sind Spielkarte-Klagen} der Satz, dessen vier Mitglieder Eine allgemeinere Form davon sind, ist Notation des Satz-Baumeisters, durch der, zum Beispiel, der Satz F der zwanzig kleinsten ganzen Zahlen sind die vier weniger, als vollkommene Quadrate angezeigt werden können:

:F = {n  4: N ist eine ganze Zahl; und 0  n  19}.

In dieser Notation, der Doppelpunkt (": ") bedeutet "solch, dass", und die Beschreibung interpretiert werden kann, weil "F der Satz aller Zahlen der Form n  4, solch ist, dass n eine ganze Zahl in der Reihe von 0 bis 19 einschließlich ist." Manchmal wird die vertikale Bar (" | ") statt des Doppelpunkts verwendet.

Man hat häufig die Wahl, einen Satz intensionally oder Verlängerungs-anzugeben. In den Beispielen oben, zum Beispiel, = C und B = D.

Mitgliedschaft

Die Schlüsselbeziehung zwischen Sätzen ist Mitgliedschaft - wenn ein Satz ein Element von einem anderen ist. Wenn eines Mitgliedes von B zu sein, das ein  B, während angezeigt wird, wenn c nicht ein Mitglied von B dann c  B ist.

Zum Beispiel, in Bezug auf die Sätze = {1,2,3,4}, B = {blau, weiß, rot}, und F = {n  4: N ist eine ganze Zahl; und 0  n  19} definiert oben,

:4 ∈ A und 285 ∈ F; aber

:9 ∉ F und grün ∉ B.

Teilmengen

Wenn jedes Mitglied des Satzes A auch ein Mitglied des Satzes B ist, dann, wie man sagt, ist A eine Teilmenge von B, schriftlich Ein  B (hat auch ausgesprochen, dass A in B enthalten wird). Gleichwertig können wir B  A schreiben, zu lesen, weil B eine Obermenge von A ist, schließt B A ein, oder B enthält A. Die Beziehung zwischen durch  gegründeten Sätzen wird Einschließung oder Eindämmung genannt.

Wenn A eine Teilmenge, aber nicht gleich, B ist, dann wird A eine richtige Teilmenge von B genannt, schriftlich Ein  B (A ist eine richtige Teilmenge von B), oder B  (B ist eine richtige Obermenge von A).

Bemerken Sie, dass die Ausdrücke Ein  B und B  A verschieden von verschiedenen Autoren verwendet werden; einige Autoren verwenden sie, um dasselbe als Ein  B (beziehungsweise B  A), wohingegen anderer zu bedeuten, sie verwendet, um dasselbe als Ein  B (beziehungsweise B  A) zu bedeuten.

Beispiel:

:* Der Satz aller Männer ist eine richtige Teilmenge des Satzes aller Leute.

:* {1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}.

:* {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

Der leere Satz ist eine Teilmenge jedes Satzes, und jeder Satz ist eine Teilmenge von sich:

:* ∅ ⊆ A.

:* ⊆ A.

Eine offensichtliche, aber nützliche Identität, die häufig verwendet werden kann, um zu zeigen, dass zwei anscheinend verschiedene Sätze gleich sind:

:* wenn und nur wenn und.

Eine Teilung eines Satzes S ist eine Reihe nichtleerer Teilmengen von solchem S, dass jedes Element x in S in genau einer dieser Teilmengen ist.

Macht-Sätze

Der Macht-Satz eines Satzes S ist der Satz aller Teilmengen von S, einschließlich S selbst und des leeren Satzes. Zum Beispiel ist der Macht-Satz des Satzes {1, 2, 3}