Mengenlehre ist der Zweig der Mathematik, die Sätze studiert, die Sammlungen von Gegenständen sind. Obwohl jeder Typ des Gegenstands in einen Satz gesammelt werden kann, wird Mengenlehre meistenteils auf Gegenstände angewandt, die für die Mathematik wichtig sind. Die Sprache der Mengenlehre kann in den Definitionen fast aller mathematischen Gegenstände verwendet werden.

Die moderne Studie der Mengenlehre wurde von Georg Cantor und Richard Dedekind in den 1870er Jahren begonnen. Nach der Entdeckung von Paradoxen in der naiven Mengenlehre wurden zahlreiche Axiom-Systeme am Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts vorgeschlagen, dessen die Zermelo-Fraenkel Axiome, mit dem Axiom der Wahl, am besten bekannt sind.

Mengenlehre wird als ein foundational System für die Mathematik besonders in der Form der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre mit dem Axiom der Wahl allgemein verwendet. Außer seiner foundational Rolle ist Mengenlehre ein Zweig der Mathematik in seinem eigenen Recht mit einer energischen Forschungsgemeinschaft. Die zeitgenössische Forschung in die Mengenlehre schließt eine verschiedene Sammlung von Themen im Intervall von der Struktur der Linie der reellen Zahl zur Studie der Konsistenz von großen Kardinälen ein.

Geschichte

Mathematische Themen erscheinen normalerweise und entwickeln sich durch Wechselwirkungen unter vielen Forschern. Mengenlehre wurde jedoch von einem einzelnen Vortrag 1874 von Georg Cantor gegründet: "Auf einem Charakteristischen Eigentum Aller Echten Algebraischen Zahlen".

Seit dem 5. Jahrhundert v. Chr., mit dem griechischen Mathematiker Zeno von Elea in den Westlichen und frühen Indianermathematikern im Osten beginnend, hatten Mathematiker mit dem Konzept der Unendlichkeit gekämpft. Besonders bemerkenswert ist die Arbeit von Bernard Bolzano in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Das moderne Verstehen der Unendlichkeit hat in 1867-71, mit der Arbeit des Kantoren an der Zahlentheorie begonnen. 1872, der sich zwischen Kantoren und Richard Dedekind trifft, hat das Denken des Kantoren beeinflusst und hat im 1874-Papier des Kantoren kulminiert.

Die Arbeit des Kantoren hat am Anfang die Mathematiker seines Tages polarisiert. Während Karl Weierstrass und Dedekind Kantoren unterstützt haben, hat Leopold Kronecker, der jetzt als ein Gründer von mathematischem constructivism gesehen ist, nicht getan. Mengenlehre von Cantorian ist schließlich weit verbreitet, wegen des Dienstprogrammes von Konzepten von Cantorian, wie isomorphe Ähnlichkeit unter Sätzen, sein Beweis geworden, dass es mehr reelle Zahlen gibt als ganze Zahlen und die "Unendlichkeit der Unendlichkeit" ("Das Paradies des Kantoren"), sich aus der Macht-Satz-Operation ergebend. Dieses Dienstprogramm der Mengenlehre hat zum Artikel "Mengenlehre" beigetragen 1898 von Arthur Schoenflies zur Enzyklopädie von Klein geführt.

Die folgende Welle der Aufregung in der Mengenlehre ist 1900 vorbeigekommen, als es entdeckt wurde, dass Mengenlehre von Cantorian mehrere Widersprüche, genannt Antinomien oder Paradoxe verursacht hat. Bertrand Russell und Ernst Zermelo haben unabhängig das einfachste und am besten bekannte Paradox, jetzt genannt das Paradox von Russell gefunden: Denken Sie "den Satz aller Sätze, die nicht Mitglieder von sich sind", der zu einem Widerspruch führt, da es ein Mitglied von sich und nicht ein Mitglied von sich sein muss. 1899 hatte Kantor selbst die Frage gestellt "Wie ist die Grundzahl des Satzes aller Sätze?", und erhalten ein zusammenhängendes Paradox. Russell hat sein Paradox als ein Thema in seiner 1903-Rezension der Kontinentalmathematik in seinen Grundsätzen der Mathematik verwendet.

Der Schwung der Mengenlehre war solch, dass die Debatte über die Paradoxe zu seinem Aufgeben nicht geführt hat. Die Arbeit von Zermelo 1908 und Abraham Fraenkel 1922 ist auf den Satz von Axiomen ZFC hinausgelaufen, der die kanonischen Axiome für die Mengenlehre geworden ist. Die Arbeit von Analytikern wie Henri Lebesgue hat das große mathematische Dienstprogramm der Mengenlehre demonstriert, die gewebt in den Stoff der modernen Mathematik seitdem geworden ist. Mengenlehre wird als ein foundational System allgemein verwendet, obwohl in einer Bereichskategorie, wie man denkt, Theorie ein bevorzugtes Fundament ist.

Grundlegende Konzepte

Mengenlehre beginnt mit einer grundsätzlichen binären Beziehung zwischen einem Gegenstand und einem Satz. Wenn ein Mitglied (oder Element) dessen ist, schreiben. Da Sätze Gegenstände sind, kann die Mitgliedschaft-Beziehung Sätze ebenso verbinden.

Eine abgeleitete binäre Beziehung zwischen zwei Sätzen ist die Teilmenge-Beziehung, auch genannt Satz-Einschließung. Wenn alle Mitglieder des Satzes auch Mitglieder des Satzes sind, dann ist eine Teilmenge, angezeigt. Zum Beispiel, ist eine Teilmenge dessen, aber ist nicht. Aus dieser Definition ist es klar, dass ein Satz eine Teilmenge von sich ist; in Fällen, wo man das, der Begriff vermeiden möchte, wird richtige Teilmenge definiert, um diese Möglichkeit auszuschließen.

Da Arithmetik binäre Operationen auf Zahlen zeigt, zeigt Mengenlehre binäre Operationen auf Sätzen.:

• Die Vereinigung der Sätze und, angezeigt, ist der Satz aller Gegenstände, die ein Mitglied, oder, oder beide sind. Die Vereinigung dessen und ist der Satz.
• Die Kreuzung der Sätze und, angezeigt, ist der Satz aller Gegenstände, die Mitglieder von beiden sind und. Die Kreuzung dessen und ist der Satz.
• Satz-Unterschied und, angezeigt ist der Satz aller Mitglieder davon sind nicht Mitglieder dessen. Der Satz-Unterschied ist, während, umgekehrt, der Satz-Unterschied ist. Wenn eine Teilmenge dessen ist, wird der Satz-Unterschied auch die Ergänzung darin genannt. In diesem Fall, wenn die Wahl dessen vom Zusammenhang klar ist, wird die Notation manchmal statt besonders verwendet, wenn ein universaler Satz als in der Studie von Venn-Diagrammen ist.
• Der symmetrische Unterschied von Sätzen und ist der Satz aller Gegenstände, die ein Mitglied von genau einem sind und (Elemente, die in einem der Sätze, aber nicht in beiden sind). Zum Beispiel, für die Sätze und, ist der symmetrische Unterschied-Satz. Es ist der Satz-Unterschied der Vereinigung und der Kreuzung.
• Kartesianisches Produkt und, angezeigt, ist der Satz, dessen Mitglieder alle möglichen befohlenen Paare sind, wo ein Mitglied dessen ist und ein Mitglied dessen ist. Das kartesianische Produkt von
• Der Macht-Satz eines Satzes ist der Satz, dessen Mitglieder alle möglichen Teilmengen dessen sind. Zum Beispiel ist der Macht-Satz dessen.

Einige grundlegende Sätze der Hauptwichtigkeit sind der leere Satz (der einzigartige Satz, der keine Elemente enthält), der Satz von natürlichen Zahlen und der Satz von reellen Zahlen.

Eine Ontologie

Ein Satz ist rein, wenn alle seine Mitglieder Sätze sind, sind alle Mitglieder seiner Mitglieder Sätze und so weiter. Zum Beispiel ist der Satz, der nur den leeren Satz enthält, ein nichtleerer reiner Satz. In der modernen Mengenlehre ist es üblich, Aufmerksamkeit auf das Weltall von von Neumann von reinen Sätzen einzuschränken, und viele Systeme der axiomatischen Mengenlehre werden zu axiomatize die reinen Sätze nur entworfen. Es gibt viele technische Vorteile für diese Beschränkung, und wenig Allgemeinheit wird verloren, da im Wesentlichen alle mathematischen Konzepte durch reine Sätze modelliert werden können. Sätze im Weltall von von Neumann werden in eine kumulative Hierarchie organisiert, die darauf gestützt ist, wie tief ihre Mitglieder, Mitglieder von Mitgliedern, usw. verschachtelt werden. Jeder Satz in dieser Hierarchie wird (durch transfiniten recursion) eine Ordinalzahl α zugeteilt, als seine Reihe bekannt. Die Reihe eines reinen Satzes X wird definiert, um ein mehr zu sein, als das am wenigsten obere, das der Reihen aller Mitglieder X gebunden ist. Zum Beispiel wird der leere Satz zugeteilt reihen sich 0 auf, während der Satz, der nur den leeren Satz enthält, zugeteilt wird, reihen sich 1 auf. Für jeden Ordnungs-α wird der Satz V definiert, um aus allen reinen Sätzen mit der Reihe weniger zu bestehen, als α. Das komplette Weltall von von Neumann wird V angezeigt.

Axiomatische Mengenlehre

Elementare Mengenlehre kann informell und intuitiv studiert werden, und kann so in Grundschulen mit Venn-Diagrammen unterrichtet werden. Die intuitive Annäherung nimmt stillschweigend an, dass ein Satz von der Klasse aller Gegenstände gebildet werden kann, die jede besondere Definieren-Bedingung befriedigen. Diese Annahme verursacht Paradoxe, das einfachste, und von denen am besten bekannter das Paradox von Russell und das Burali-Forti Paradox sind. Axiomatische Mengenlehre wurde ursprünglich ausgedacht, um Mengenlehre von solchen Paradoxen zu befreien.

Die am weitesten studierten Systeme der axiomatischen Mengenlehre deuten an, dass alle Sätze eine kumulative Hierarchie bilden. Solche Systeme kommen in zwei Geschmäcken, diejenigen, deren Ontologie besteht aus:

• Sätze allein. Das schließt die allgemeinste axiomatische Mengenlehre, Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZFC) ein, der das Axiom der Wahl einschließt. Bruchstücke von ZFC schließen ein:
• Mengenlehre von Zermelo, die das Axiom-Diagramm des Ersatzes mit dieser der Trennung ersetzt;
• Allgemeine Mengenlehre, ein kleines Bruchstück der Mengenlehre von Zermelo, die für die Axiome von Peano und begrenzten Sätze genügend ist;
• Kripke-Platek Mengenlehre, die die Axiome der Unendlichkeit, powerset, und Wahl weglässt, und die Axiom-Diagramme der Trennung und des Ersatzes schwächt.
• Sätze und richtige Klassen. Das schließt Mengenlehre von Von Neumann-Bernays-Gödel ein, die dieselbe Kraft wie ZFC für Lehrsätze über Sätze allein, und Mengenlehre der Morsezeichen-Kelley hat, die stärker ist als ZFC.

Die obengenannten Systeme können modifiziert werden, um urelements zu erlauben, Gegenstände, die Mitglieder von Sätzen sein können, aber die nicht selbst sind, gehen unter, und haben Sie keine Mitglieder.

Die Systeme von Neuen Fundamenten NFU (urelements erlaubend), und NF (an ihnen Mangel habend), basieren auf einer kumulativen Hierarchie nicht. NF und NFU schließen einen "Satz von allem," ein, hinsichtlich dessen jeder Satz eine Ergänzung hat. In diesen Systemen urelements Sache, weil NF, aber nicht NFU, Sätze erzeugt, für die das Axiom der Wahl nicht hält.

Systeme der konstruktiven Mengenlehre, wie CST, CZF, und IZF, betten ihre Satz-Axiome in der intuitionistic Logik statt der ersten Ordnungslogik ein. Und doch akzeptieren andere Systeme, dass Standard zuerst Logik bestellt, aber eine Sondermitgliedschaft-Beziehung zeigt. Diese schließen raue Mengenlehre und Theorie der unscharfen Menge ein, in der der Wert einer Atomformel, die die Mitgliedschaft-Beziehung aufnimmt, nicht einfach wahr oder Falsch Ist. Die GeBoolean-schätzten Modelle von ZFC sind ein zusammenhängendes Thema.

Eine Bereicherung von ZFC genannt die Innere Mengenlehre wurde von Edward Nelson 1977 vorgeschlagen.

Anwendungen

Viele mathematische Konzepte können genau damit definiert werden nur setzt theoretische Konzepte. Zum Beispiel können mathematische Strukturen so verschieden wie Graphen, Sammelleitungen, Ringe und Vektorräume alle als Sätze definiert werden, die verschiedene (axiomatische) Eigenschaften befriedigen. Gleichwertigkeit und Ordnungsbeziehungen sind in der Mathematik allgegenwärtig, und die Theorie von mathematischen Beziehungen kann in der Mengenlehre beschrieben werden.

Mengenlehre ist auch ein Versprechen foundational System für viel Mathematik. Seit der Veröffentlichung des ersten Volumens von Principia Mathematica ist es gefordert worden, dass die meisten oder sogar alle mathematischen Lehrsätze mit einem passend bestimmten Satz von Axiomen für die Mengenlehre abgeleitet werden können, die mit vielen Definitionen mit der ersten oder zweiten Ordnungslogik vermehrt ist. Zum Beispiel können Eigenschaften der natürlichen Zahlen und reellen Zahlen innerhalb der Mengenlehre abgeleitet werden, weil jedes Zahl-System mit einer Reihe von Gleichwertigkeitsklassen unter einer passenden Gleichwertigkeitsbeziehung identifiziert werden kann, deren Feld ein unendlicher Satz ist.

Die Mengenlehre als ein Fundament für mathematische Analyse, Topologie, abstrakte Algebra und getrennte Mathematik ist ebenfalls unverfänglich; Mathematiker akzeptieren, dass (im Prinzip) Lehrsätze in diesen Gebieten aus den relevanten Definitionen und den Axiomen der Mengenlehre abgeleitet werden können. Wenige volle Abstammungen von komplizierten mathematischen Lehrsätzen von der Mengenlehre sind jedoch formell nachgeprüft worden, weil solche formellen Abstammungen häufig viel länger sind, als die Probemathematiker der natürlichen Sprache allgemein präsentieren. Ein Überprüfungsprojekt, Metamath, schließt Abstammungen von mehr als 10,000 Lehrsätzen ein, die von den ZFC Axiomen anfangen, und verwendend bestellen zuerst Logik.

Gebiete der Studie

Mengenlehre ist ein Hauptgebiet der Forschung in der Mathematik mit vielen in Wechselbeziehung stehenden Teilfeldern.

Kombinatorische Mengenlehre

Kombinatorische Mengenlehre betrifft Erweiterungen von begrenztem combinatorics zu unendlichen Sätzen. Das schließt die Studie der grundsätzlichen Arithmetik und die Studie von Erweiterungen des Lehrsatzes von Ramsey wie der Erdős-Rado Lehrsatz ein.

Beschreibende Mengenlehre

Beschreibende Mengenlehre ist die Studie von Teilmengen der echten Linie und, mehr allgemein, Teilmengen von polnischen Räumen. Es beginnt mit der Studie von pointclasses in der Hierarchie von Borel und streckt sich bis zu die Studie von komplizierteren Hierarchien wie die projektive Hierarchie und die Hierarchie von Wadge aus. Viele Eigenschaften von Sätzen von Borel können in ZFC gegründet werden, aber Beweis dieser Eigenschaften hält für mehr komplizierte Sätze verlangt zusätzliche Axiome, die mit determinacy und großen Kardinälen verbunden sind.

Das Feld der wirksamen beschreibenden Mengenlehre ist zwischen Mengenlehre und recursion Theorie. Es schließt die Studie von lightface pointclasses ein, und ist nah mit der hyperarithmetischen Theorie verbunden. In vielen Fällen haben Ergebnisse der klassischen beschreibenden Mengenlehre wirksame Versionen; in einigen Fällen werden neue Ergebnisse durch den Beweis der wirksamen Version zuerst und dann das Verlängern ("das Relativieren") davon erhalten, um es weit gehender anwendbar zu machen.

Ein neues Gebiet der Forschung betrifft Gleichwertigkeitsbeziehungen von Borel und mehr komplizierte definierbare Gleichwertigkeitsbeziehungen. Das hat wichtige Anwendungen auf die Studie von invariants in vielen Feldern der Mathematik.

Theorie der unscharfen Menge

In der Mengenlehre weil hat Kantor definiert und Zermelo und Fraenkel axiomatized, ein Gegenstand ist entweder ein Mitglied eines Satzes oder nicht. In der Theorie der unscharfen Menge wurde diese Bedingung von Lotfi A. Zadeh entspannt, so hat ein Gegenstand einen Grad der Mitgliedschaft in einem Satz, als Zahl zwischen 0 und 1. Zum Beispiel ist der Grad der Mitgliedschaft einer Person im Satz "hoher Leute" flexibler als ein einfacher ja oder keine Antwort und kann eine reelle Zahl solcher als 0.75 sein.

Innere Mustertheorie

Ein inneres Modell der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZF) ist eine transitive Klasse, die alle Ordnungszahlen einschließt und alle Axiome von ZF befriedigt. Das kanonische Beispiel ist das constructible Weltall L entwickelt von Gödel.

Ein Grund, dass die Studie von inneren Modellen von Interesse ist, besteht darin, dass es verwendet werden kann, um Konsistenz-Ergebnisse zu beweisen. Zum Beispiel kann es gezeigt werden, dass trotzdem, ob ein Modell V von ZF die Kontinuum-Hypothese oder das Axiom der Wahl befriedigt, das innere innerhalb des ursprünglichen Modells gebaute Modell L sowohl die verallgemeinerte Kontinuum-Hypothese als auch das Axiom der Wahl befriedigen wird. So deutet die Annahme, dass ZF entspricht (hat jedes Modell überhaupt), an, dass ZF zusammen mit diesen zwei Grundsätzen entspricht.

Die Studie von inneren Modellen ist in der Studie von determinacy und großen Kardinälen besonders üblich, wenn sie Axiome wie das Axiom von determinacy denkt, die dem Axiom der Wahl widersprechen. Selbst wenn ein festes Modell der Mengenlehre das Axiom der Wahl befriedigt, ist es für ein inneres Modell möglich zu scheitern, das Axiom der Wahl zu befriedigen. Zum Beispiel deutet die Existenz von genug großen Kardinälen an, dass es ein inneres Modell gibt, das das Axiom von determinacy befriedigt (und so das Axiom der Wahl nicht befriedigt).

Große Kardinäle

Ein großer Kardinal ist eine Grundzahl mit einem Extraeigentum. Viele solche Eigenschaften, werden einschließlich unzugänglicher Kardinäle, messbarer Kardinäle und noch viele studiert. Diese Eigenschaften deuten normalerweise an, dass die Grundzahl mit der Existenz eines Kardinals mit dem angegebenen in der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre unbeweisbaren Eigentum sehr groß sein muss.

Determinacy

Determinacy bezieht sich auf die Tatsache, dass, unter passenden Annahmen, bestimmte Zwei-Spieler-Spiele der vollkommenen Information vom Anfang im Sinn bestimmt werden, dass ein Spieler eine Gewinnen-Strategie haben muss. Die Existenz dieser Strategien hat wichtige Folgen in der beschreibenden Mengenlehre, weil die Annahme, dass eine breitere Klasse von Spielen häufig bestimmt wird, andeutet, dass eine breitere Klasse von Sätzen ein topologisches Eigentum haben wird. Das Axiom von determinacy ist (n.Chr.) ein wichtiger Gegenstand der Studie; obwohl unvereinbar, mit dem Axiom der Wahl, deutet n.Chr. an, dass alle Teilmengen der echten Linie (insbesondere messbar und mit dem vollkommenen Satz-Eigentum) gut benommen werden. N.Chr. kann verwendet werden, um zu beweisen, dass die Grade von Wadge eine elegante Struktur haben.

Das Zwingen

Paul Cohen hat die Methode erfunden zu zwingen, während er nach einem Modell von ZFC gesucht hat, in dem das Axiom der Wahl oder der Kontinuum-Hypothese scheitert. Das Zwingen grenzt einem gegebenen Modell der Mengenlehre an zusätzliche Sätze an, um ein größeres Modell mit Eigenschaften bestimmt (d. h. "gezwungen") durch den Aufbau und das ursprüngliche Modell zu schaffen. Zum Beispiel grenzt der Aufbau von Cohen an zusätzliche Teilmengen der natürlichen Zahlen an, ohne einige der Grundzahlen des ursprünglichen Modells zu ändern. Das Zwingen ist auch eine von zwei Methoden, um Verhältniskonsistenz durch finitistic Methoden, die andere Methode werden GeBoolean-schätzt Modelle zu beweisen.

Grundsätzlicher invariants

Ein grundsätzlicher invariant ist ein Eigentum der echten durch eine Grundzahl gemessenen Linie. Zum Beispiel ist ein gut studierter invariant der kleinste cardinality einer Sammlung von mageren Sätzen von reals, dessen Vereinigung die komplette echte Linie ist. Das ist invariants im Sinn, dass irgendwelche zwei isomorphen Modelle der Mengenlehre demselben Kardinal für jeden invariant geben müssen. Viele grundsätzliche invariants, sind und die Beziehungen zwischen ihnen studiert worden, sind häufig kompliziert und mit Axiomen der Mengenlehre verwandt.

Mit dem Satz theoretische Topologie

Mit dem Satz theoretische Topologie studiert Fragen der allgemeinen Topologie, die in der Natur mit dem Satz theoretisch sind, oder die fortgeschrittene Methoden der Mengenlehre für ihre Lösung verlangen. Viele dieser Lehrsätze sind von ZFC unabhängig, stärkere Axiome für ihren Beweis verlangend. Ein berühmtes Problem ist die normale Raumfrage von Moore, eine Frage in der allgemeinen Topologie, die das Thema der intensiven Forschung war. Wie man schließlich bewies, war die Antwort auf die normale Raumfrage von Moore von ZFC unabhängig.

Einwände gegen die Mengenlehre als ein Fundament für die Mathematik

Vom Beginn der Mengenlehre haben einige Mathematiker dagegen als ein Fundament für die Mathematik, das Argumentieren zum Beispiel protestiert, dass es gerade ein Spiel ist, das Elemente der Fantasie einschließt. Der allgemeinste Einwand gegen die Mengenlehre, ein Kronecker geäußert in den frühsten Jahren der Mengenlehre, Anfänge von der Constructivist-Ansicht diese Mathematik ist lose mit der Berechnung verbunden. Wenn diese Ansicht gewährt wird, dann führt die Behandlung von unendlichen Sätzen, sowohl im naiven als auch in der axiomatischen Mengenlehre, in Mathematik-Methoden und Gegenstände ein, die sogar im Prinzip nicht berechenbar sind. Ludwig Wittgenstein hat die Weise infrage gestellt, wie Zermelo-Fraenkel Mengenlehre Unendlichkeit behandelt hat. Die Ansichten von Wittgenstein über die Fundamente der Mathematik wurden später von Georg Kreisel und Paul Bernays kritisiert, und nah von Crispin Wright, unter anderen untersucht.

Kategorie-Theoretiker haben topos Theorie als eine Alternative zur traditionellen axiomatischen Mengenlehre vorgeschlagen. Theorie von Topos kann verschiedene Alternativen zu dieser Theorie, wie constructivism, begrenzte Mengenlehre und berechenbare Mengenlehre interpretieren.

Siehe auch

• Kategorie-Theorie
• Liste von Mengenlehre-Themen
• Musikmengenlehre betrifft die Anwendung von combinatorics und Gruppentheorie zur Musik; außer der Tatsache, dass es begrenzte Sätze verwendet, die es nichts hat, um mit der mathematischen Mengenlehre jeder Art zu tun. In den letzten zwei Jahrzehnten hat die Transformationstheorie in der Musik die Konzepte der mathematischen Mengenlehre strenger genommen (sieh Lewin 1987).
• Verwandtschaftsmodell - Borgt von der Mengenlehre.

Referenzen

Weiterführende Literatur

• Devlin, Keith, (2. Hrsg.) 1993. Die Heiterkeit von Sätzen. Springer Verlag, internationale Standardbuchnummer 0-387-94094-4
• Ferreirós, Jose, 2007 (1999). Irrgarten des Gedankens: Eine Geschichte der Mengenlehre und seiner Rolle in der modernen Mathematik. Basel, Birkhäuser. Internationale Standardbuchnummer 978-3-7643-8349-7
• Johnson, Philip, 1972. Eine Geschichte der Mengenlehre. Prindle, Weber & Schmidt ISBN 0871501546
• Kunen, Kenneth, 1980.. Nordholland, internationale Standardbuchnummer 0-444-85401-0.
• Ziegel, Mary, 2004 (1989). Die Philosophie der Mengenlehre: Eine Historische Einführung ins Paradies des Kantoren. Veröffentlichungen von Dover.

Links

• Vorarbeiter, M., Akihiro Kanamori, Hrsg.-Handbuch der Mengenlehre. 3 vols. 2010. Jedes Kapitel überblickt etwas Aspekt der zeitgenössischen Forschung in der Mengenlehre. Bedeckt gegründete elementare Mengenlehre nicht, auf der sieh Devlin (1993).
• Arthur Schoenflies (1898) Mengenlehre in der Enzyklopädie von Klein.