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Arithmetik

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Arithmetik oder arithmetics (vom griechischen Wort, arithmos "Zahl") sind der älteste und elementarste Zweig der Mathematik, die von fast jedem, für Aufgaben im Intervall vom einfachen täglichen Zählen zur fortgeschrittenen Wissenschaft und den Geschäftsberechnungen verwendet ist. Es schließt die Studie der Menge, besonders wenn das Ergebnis von Operationen diese Vereinigung Zahlen ein. Im allgemeinen Gebrauch bezieht es sich auf die einfacheren Eigenschaften, wenn es die traditionellen Operationen von Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung mit kleineren Werten von Zahlen verwendet. Berufsmathematiker gebrauchen manchmal den Begriff (höhere) Arithmetik, wenn sie sich auf fortgeschrittenere mit der Zahlentheorie verbundene Ergebnisse beziehen, aber das sollte mit der elementaren Arithmetik nicht verwirrt sein.

Geschichte

Die Vorgeschichte der Arithmetik wird auf eine kleine Anzahl von Kunsterzeugnissen beschränkt, die Vorstellung der Hinzufügung und Subtraktion, das am besten bekannte Wesen der Knochen von Ishango von Zentralafrika anzeigen können, von irgendwo zwischen 20,000 und 18,000 v. Chr. datierend, obwohl seine Interpretation diskutiert wird.

Die frühsten schriftlichen Aufzeichnungen zeigen die Ägypter an, und Babylonier haben alle elementaren arithmetischen Operationen schon in 2000 v. Chr. verwendet. Diese Kunsterzeugnisse offenbaren den spezifischen Prozess nicht immer, der verwendet ist, um Probleme zu beheben, aber die Eigenschaften des besonderen Ziffer-Systems beeinflussen stark die Kompliziertheit der Methoden. Das hieroglyphische System für ägyptische Ziffern, wie die späteren Römischen Ziffern, ist von für das Zählen verwendeten Aufzeichnungszeichen hinuntergestiegen. In beiden Fällen ist dieser Ursprung auf Werte hinausgelaufen, die eine dezimale Basis verwendet haben, aber Stellungsnotation nicht eingeschlossen haben. Komplizierte Berechnungen mit Römischen Ziffern haben verlangt, dass die Hilfe eines zählenden Ausschusses oder der römischen Rechenmaschine die Ergebnisse erhalten hat.

Frühe Zahl-Systeme, die Stellungsnotation eingeschlossen haben, waren nicht dezimal, einschließlich des sexagesimal (stützen Sie 60) das System für babylonische Ziffern, und der vigesimal (stützen Sie 20) System, das Mayaziffern definiert hat. Wegen dieses Konzepts des Platz-Werts hat die Fähigkeit, dieselben Ziffern für verschiedene Werte wiederzuverwenden, zu einfacheren und effizienteren Methoden der Berechnung beigetragen.

Die dauernde historische Entwicklung der modernen Arithmetik fängt mit der hellenistischen Zivilisation des alten Griechenlands an, obwohl es viel später entstanden ist als die babylonischen und ägyptischen Beispiele. Vor den Arbeiten von Euklid ungefähr 300 v. Chr. haben griechische Studien in der Mathematik mit dem philosophischen und mystischen Glauben überlappt. Zum Beispiel hat Nicomachus den Gesichtspunkt der früheren Pythagoreischen Annäherung an Zahlen und ihrer Beziehungen zu einander in seiner Einführung in die Arithmetik zusammengefasst.

Griechische Ziffern, abgeleitet aus dem hieratic ägyptischen System, haben auch an Stellungsnotation Mangel gehabt, und haben deshalb dieselbe Kompliziertheit den grundlegenden Operationen der Arithmetik auferlegt. Zum Beispiel hat der alte Mathematiker Archimedes seine komplette Arbeit Der Sand-Rechner bloß zum Planen einer Notation für eine bestimmte große ganze Zahl gewidmet.

Die allmähliche Entwicklung von Hinduistischen Arabischen Ziffern hat unabhängig das Konzept des Platz-Werts und die Stellungsnotation ausgedacht, die die einfacheren Methoden für die Berechnung mit einer dezimalen Basis und den Gebrauch einer Ziffer-Darstellen-Null verbunden hat. Das hat dem System erlaubt, sowohl große als auch kleine ganze Zahlen durchweg zu vertreten. Diese Annäherung hat schließlich alle anderen Systeme ersetzt. Am Anfang des 6. Jahrhunderts n.Chr. hat der Indianermathematiker Aryabhata eine vorhandene Version dieses Systems in seiner Arbeit vereinigt, und hat mit verschiedenen Notationen experimentiert. Im 7. Jahrhundert hat Brahmagupta den Gebrauch der Null als eine getrennte Zahl gegründet und hat die Ergebnisse für Multiplikation, Abteilung, Hinzufügung und Subtraktion der Null und aller anderen Zahlen abgesehen vom Ergebnis der Abteilung durch die Null bestimmt. Sein Zeitgenosse, der Bischof von Syriac Severus Sebokht hat die Vorzüglichkeit dieses Systems als "... wertvolle Methoden der Berechnung beschrieben, die Beschreibung übertreffen". Die Araber haben auch diese neue Methode erfahren und haben sie hesab genannt.

Obwohl der Kodex Vigilanus hat eine frühe Form von Arabischen Ziffern beschrieben (Null weglassend), durch 976 n.Chr., Fibonacci, in erster Linie dafür verantwortlich war, ihren Gebrauch überall in Europa nach der Veröffentlichung seines Buches Liber Abaci 1202 auszubreiten. Er hat die Bedeutung dieser "neuen" Darstellung von Zahlen gedacht, die er die "Methode der Inder" (lateinischer Modus Indorum), so grundsätzlich entworfen hat, dass alle zusammenhängenden mathematischen Fundamente, einschließlich der Ergebnisse von Pythagoras und dem Algorithmus, der die Methoden beschreibt, um wirkliche Berechnungen durchzuführen, "fast ein Fehler" im Vergleich waren.

Im Mittleren Alter war Arithmetik einer der sieben in Universitäten unterrichteten Geisteswissenschaften.

Das Blühen der Algebra in der mittelalterlichen islamischen Welt und in der Renaissance Europa war ein Auswuchs der enormen Vereinfachung der Berechnung durch die dezimale Notation.

Verschiedene Typen von Werkzeugen bestehen, um bei numerischen Berechnungen zu helfen. Beispiele schließen Rechenschieber (für die Multiplikation, Abteilung und Trigonometrie) und nomographs zusätzlich zur elektrischen Rechenmaschine ein.

Dezimale Arithmetik

Dezimaldarstellung bezieht sich exklusiv, in der üblichen Anwendung, zu den schriftlichen arabischen Ziffer-Systembeschäftigungsziffern als die Ziffern für eine Basis 10 ("Dezimalzahl)" Stellungsnotation; jedoch hat jedes Ziffer-System auf Mächten zehn, z.B gestützt, griechische, Kyrillische, römische oder chinesische Ziffern können als "dezimale Notation" oder "Dezimaldarstellung" begrifflich beschrieben werden.

Moderne Methoden für vier grundsätzliche Operationen (Hinzufügung, Subtraktion. Multiplikation und Abteilung) wurden zuerst von Brahmagupta Indiens ausgedacht. Das war während des mittelalterlichen Europas als "Modus Indoram" oder Methode der Inder bekannt.

Stellungsnotation (auch bekannt als "Notation des Platz-Werts") beziehen sich auf die Darstellung oder Verschlüsselung von Zahlen mit demselben Symbol für die verschiedenen Größenordnungen (z.B, der "-Platz", "Zehnen legen" "Hunderte Platz") und, mit einem Basis-Punkt, mit jenen denselben Symbolen, um Bruchteile zu vertreten (z.B legt das "Zehntel", "legen Hundertstel"). Zum Beispiel, 507.36 zeigt 5 Hunderte (10), plus 0 Zehnen (10), plus 7 Einheiten (10), plus 3 Zehntel (10) plus 6 Hundertstel (10) an.

Die Null als eine mit den anderen grundlegenden Ziffern vergleichbare Zahl ist ein Konzept, das für diese Notation notwendig ist, wie das Konzept des Gebrauches der Null als ein Platzhalter ist, und wie die Definition der Multiplikation und Hinzufügung mit der Null ist. Der Gebrauch der Null als ein Platzhalter und, deshalb, wird der Gebrauch einer Stellungsnotation zuerst zu im Text von Jain von Indien beglaubigt hat Lokavibhâga, datiert 458 n.Chr. berechtigt, und es war nur am Anfang des 13. Jahrhunderts, dass diese Konzepte, die über die Gelehrsamkeit der arabischen Welt übersandt sind, in Europa von Fibonacci mit dem System der Hinduistischen Arabischen Ziffer eingeführt wurden.

Algorithmus umfasst alle Regeln, um arithmetische Berechnung mit diesem Typ der schriftlichen Ziffer durchzuführen. Zum Beispiel erzeugt Hinzufügung die Summe von zwei beliebigen Zahlen. Das Ergebnis wird durch die wiederholte Hinzufügung einzelner Ziffern von jeder Zahl berechnet, die dieselbe Position besetzt, von Recht auf den linken ausgehend. Ein Hinzufügungstisch mit zehn Reihen und zehn Säulen zeigt alle möglichen Werte für jede Summe. Wenn eine individuelle Summe den Wert neun überschreitet, wird das Ergebnis mit zwei Ziffern vertreten. Die niedrigstwertige Ziffer ist der Wert für die aktuelle Position und das Ergebnis für die nachfolgende Hinzufügung der Ziffern zu den linken Zunahmen durch den Wert der zweiten (leftmost) Ziffer, die immer ein ist. Diese Anpassung wird ein Tragen des Werts ein genannt.

Der Prozess, um zwei beliebige Zahlen zu multiplizieren, ist dem Prozess für die Hinzufügung ähnlich. Eine Multiplikationstabelle mit zehn Reihen und zehn Säulen verzeichnet die Ergebnisse für jedes Paar von Ziffern. Wenn ein individuelles Produkt eines Paares von Ziffern neun zu weit geht, vergrößert die tragen Anpassung das Ergebnis jeder nachfolgenden Multiplikation von Ziffern nach links durch einen Wert, der der zweiten (leftmost) Ziffer gleich ist, die jeder Wert von ein bis acht ist (9 × 9 = 81). Zusätzliche Schritte definieren das Endresultat.

Ähnliche Techniken bestehen für die Subtraktion und Abteilung.

Die Entwicklung eines richtigen Prozesses für die Multiplikation verlässt sich auf die Beziehung zwischen Werten angrenzender Ziffern. Der Wert für jede einzelne Ziffer in einer Ziffer hängt von seiner Position ab. Außerdem vertritt jede Position nach links einen Wert, der zehnmal größer ist als die Position nach rechts. In mathematischen Begriffen, der Hochzahl für die Basis (Basis) von zehn Zunahmen durch eine (nach links) oder Abnahmen durch eine (nach rechts). Deshalb wird der Wert für jede willkürliche Ziffer mit einem Wert der Form 10 mit der ganzen Zahl n multipliziert. Die Liste von Werten entsprechend allen möglichen Positionen für eine einzelne Ziffer wird als {..., 10, 10, 1, 10, 10 geschrieben...}.

Die wiederholte Multiplikation jedes Werts in dieser Liste durch zehn erzeugt einen anderen Wert in der Liste. In der mathematischen Fachsprache wird diese Eigenschaft als Verschluss definiert, und die vorherige Liste, wird wie geschlossen, unter der Multiplikation beschrieben.

Es ist die Basis, für die Ergebnisse der Multiplikation mit der vorherigen Technik richtig zu finden. Dieses Ergebnis ist ein Beispiel des Gebrauches der Zahlentheorie.

Arithmetische Operationen

Die grundlegenden arithmetischen Operationen sind Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung, obwohl dieses Thema auch fortgeschrittenere Operationen, wie Manipulationen von Prozentsätzen, Quadratwurzeln, exponentiation, und logarithmischen Funktionen einschließt. Arithmetik wird gemäß einer Ordnung von Operationen durchgeführt. Jeder Satz von Gegenständen, auf die alle vier arithmetischen Operationen (außer der Abteilung durch die Null) durchgeführt werden können, und wo diese vier Operationen den üblichen Gesetzen folgen, wird ein Feld genannt.

Hinzufügung (+)

Hinzufügung ist die grundlegende Operation der Arithmetik. In seiner einfachsten Form verbindet Hinzufügung zwei Zahlen, die Summanden oder Begriffe, in eine einzelne Zahl, die Summe der Zahlen.

Das Hinzufügen von mehr als zwei Zahlen kann als wiederholte Hinzufügung angesehen werden; dieses Verfahren ist als Summierung bekannt und schließt Weisen ein, ungeheuer viele Zahlen in einer unendlichen Reihe hinzuzufügen; die wiederholte Hinzufügung der Nummer ein ist die grundlegendste Form des Zählens.

Hinzufügung ist auswechselbar und so die Ordnung assoziativ, in der die Begriffe hinzugefügt werden, ist nicht von Bedeutung. Das Identitätselement der Hinzufügung (die zusätzliche Identität) ist 0, d. h. Null zu irgendwelchen Zahl-Erträgen dass dieselbe Zahl hinzufügend. Außerdem ist das umgekehrte Element der Hinzufügung (das zusätzliche Gegenteil) das Gegenteil jeder Zahl d. h. hinzufügend, dass das Gegenteil jeder Zahl zur Zahl selbst die zusätzliche Identität, 0 nachgibt. Zum Beispiel ist das Gegenteil 7 7, so.

Als

Hinzufügung kann geometrisch im folgenden Beispiel gegeben werden:

:If wir haben zwei Stöcke von Längen 2 und 5, dann, wenn wir die Stöcke nacheinander, die Länge des so gebildeten Stocks legen, ist.

Subtraktion ()

Subtraktion ist das Gegenteil der Hinzufügung. Subtraktion findet den Unterschied zwischen zwei Zahlen, dem minuend minus der Subtrahend. Wenn der minuend größer ist als der Subtrahend, ist der Unterschied positiv; wenn der minuend kleiner ist als der Subtrahend, ist der Unterschied negativ; wenn sie gleich sind, ist der Unterschied Null.

Subtraktion ist weder auswechselbar noch assoziativ. Deshalb ist es häufig nützlich, auf die Subtraktion als Hinzufügung des minuend und das Gegenteil des Subtrahenden zu schauen, der ist. Wenn geschrieben, als eine Summe halten alle Eigenschaften der Hinzufügung.

Es gibt mehrere Methoden, um Ergebnisse zu berechnen, von denen einige für die Maschinenberechnung besonders vorteilhaft sind. Zum Beispiel verwenden Digitalcomputer die Methode der Ergänzung von two. Von großer Bedeutung ist das Zusammenzählen der Methode, durch die Änderung vorgenommen wird. Nehmen Sie an, dass ein Betrag P gegeben wird, um den erforderlichen Betrag Q mit dem P zu bezahlen, der größer ist als Q. Anstatt die Subtraktion durchzuführen und diesen Betrag in der Änderung abzuzählen, wird Geld abgezählt, an Q anfangend und bis zum Erreichen P weitergehend. Obwohl der abgezählte Betrag dem Ergebnis der Subtraktion gleichkommen muss, wurde die Subtraktion nie wirklich getan, und der Wert dessen könnte noch dem Änderungsschöpfer unbekannt sein.

Multiplikation (× oder · oder *)

Multiplikation ist die zweite grundlegende Operation der Arithmetik. Multiplikation verbindet auch zwei Zahlen in eine einzelne Zahl, das Produkt. Die zwei ursprünglichen Zahlen werden den Vermehrer und den multiplicand, manchmal beide einfach genannten Faktoren genannt.

Multiplikation wird am besten als eine kletternde Operation angesehen. Wenn die Zahlen als liegend in einer Linie vorgestellt werden, ist die Multiplikation durch eine Zahl, die, sagen wir, größer ist als 1, dasselbe als das Ausdehnen von allem weg von der Null gleichförmig auf solche Art und Weise, dass die Nummer 1 selbst dazu gestreckt wird, wo war. Ähnlich durch eine Zahl multiplizierend, kann weniger als 1 als quetschend zur Null vorgestellt werden. (Wieder auf solche Art und Weise geht dieser 1 zum multiplicand.)

Multiplikation ist auswechselbar und assoziativ; weiter ist es über die Hinzufügung und Subtraktion verteilend. Die multiplicative Identität ist 1, d. h. jede Zahl mit 1 Erträgen dass dieselbe Zahl multiplizierend. Außerdem ist das multiplicative Gegenteil das Gegenstück jeder Zahl (außer der Null; Null ist die einzige Zahl ohne ein multiplicative Gegenteil), d. h. das Multiplizieren des Gegenstücks jeder Zahl durch die Zahl selbst gibt die multiplicative Identität nach.

Das Produkt von a und b wird als ein × b oder a geschrieben · b. Wenn a oder b Ausdrücke nicht geschrieben einfach mit Ziffern sind, wird es auch durch die einfache Nebeneinanderstellung geschrieben: ab. Auf Computerprogrammiersprachen und Softwarepaketen, in denen nur auf einer Tastatur normalerweise gefundene Charaktere verwenden kann, wird er häufig mit einem Sternchen geschrieben: * b.

Abteilung (÷ oder/)

Abteilung ist im Wesentlichen das Gegenteil der Multiplikation. Abteilung findet den Quotienten von zwei Zahlen, die durch den Teiler geteilte Dividende. Jede durch die Null geteilte Dividende ist unbestimmt. Für positive Zahlen, wenn die Dividende größer ist als der Teiler, ist der Quotient größer als einer, sonst sind es weniger als ein (eine ähnliche Regel bewirbt sich um negative Zahlen). Der Quotient, der mit dem Teiler immer multipliziert ist, gibt die Dividende nach.

Abteilung ist weder auswechselbar noch assoziativ. Da es nützlich ist, auf die Subtraktion als Hinzufügung zu schauen, ist es nützlich, auf die Abteilung als Multiplikation der Dividendenzeiten das Gegenstück des Teilers zu schauen, der ein ÷ b = &times ist;/. Wenn geschrieben, als ein Produkt folgt es allen Eigenschaften der Multiplikation.

Zahlentheorie

Der Begriff Arithmetik bezieht sich auch auf die Zahlentheorie. Das schließt die Eigenschaften von ganzen Zahlen ein, die mit primality, Teilbarkeit, und der Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen, sowie modernen Forschung verbunden sind, die ein Auswuchs dieser Studie ist. Es ist in diesem Zusammenhang, den man über den Hauptsatz der Arithmetik und arithmetischen Funktionen führt. Ein Kurs in der Arithmetik durch Jean-Pierre Serre widerspiegelt diesen Gebrauch, wie solche Ausdrücke wie die erste Ordnungsarithmetik oder arithmetische algebraische Geometrie tun. Zahlentheorie wird auch die höhere Arithmetik, als im Titel des Buches von Harold Davenport auf dem Thema genannt.

Arithmetik in der Ausbildung

Die primäre Ausbildung in der Mathematik legt häufig einen starken Fokus auf Algorithmen für die Arithmetik von natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen, Bruchteilen und Dezimalzahlen (das dezimale System des Platz-Werts verwendend). Diese Studie ist manchmal als Algorithmus bekannt.

Die Schwierigkeit und das ungerechtfertigte Äußere dieser Algorithmen haben lange Pädagogen dazu gebracht, diesen Lehrplan infrage zu stellen, das frühe Unterrichten von zentraleren und intuitiven mathematischen Ideen verteidigend. Eine bemerkenswerte Bewegung in dieser Richtung war die Neue Mathematik der 1960er Jahre und der 1970er Jahre, die versucht haben, Arithmetik im Geist der axiomatischen Entwicklung von der Mengenlehre, einem Echo der vorherrschenden Tendenz in der höheren Mathematik zu unterrichten.

Siehe auch

Listen von Mathematik-Themen
Mathematik
Umriss der Arithmetik

Zusammenhängende Themen

Hinzufügung von natürlichen Zahlen
Zusätzliches Gegenteil
Arithmetik, die codiert
Arithmetik bedeutet
Arithmetischer Fortschritt
Arithmetische Eigenschaften
Associativity
Commutativity
Distributivity
Elementare Arithmetik
Begrenzte Feldarithmetik
Ganze Zahl
Liste von wichtigen Veröffentlichungen in der Mathematik
Geistige Berechnung
Zahlenstrahl

Referenzen

Cunnington, Susan, Die Geschichte der Arithmetik: Eine Kurze Geschichte Seines Ursprungs und Entwicklung, Schwan Sonnenschein, London, 1904
Dickson, Leonard Eugene, Geschichte der Theorie von Zahlen (3 Volumina), Nachdrücke: Institut von Carnegie für Washington, Washington, 1932; Chelsea, New York, 1952, 1966
Euler, Leonhard, Elemente der Algebra, Tarquin Presse, 2007
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Karpinski, Louis Charles (1878-1956), Die Geschichte der Arithmetik, Rand McNallys, Chicagos, 1925; Nachdruck: Russell & Russell, New York, 1965
Erz, Øystein, Zahlentheorie und Seine Geschichte, McGraw-Hügel, New York, 1948
Weil, André, Zahlentheorie: Eine Annäherung durch die Geschichte, Birkhauser, Boston, 1984; nachgeprüft: Mathematische Rezensionen 85c:01004