Eine Zahl ist ein mathematischer Gegenstand, der verwendet ist, um zu zählen und zu messen. In der Mathematik ist die Definition der Zahl im Laufe der Jahre erweitert worden, um solche Zahlen als Null, negative Zahlen, rationale Zahlen, irrationale Zahlen und komplexe Zahlen einzuschließen.

Mathematische Operationen sind bestimmte Verfahren, die eine oder mehr Zahlen, wie eingegeben, nehmen und eine Zahl als Produktion erzeugen. Unäre Operationen nehmen eine einzelne Eingangszahl und erzeugen eine einzelne Produktionszahl. Zum Beispiel fügt die Nachfolger-Operation denjenigen zu einer ganzen Zahl hinzu, so ist der Nachfolger von 4 Jahren 5. Binäre Operationen nehmen zwei Eingangszahlen und erzeugen eine einzelne Produktionszahl. Beispiele von binären Operationen schließen Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation, Abteilung und exponentiation ein. Die Studie von numerischen Operationen wird Arithmetik genannt.

Ein notational Symbol, das eine Zahl vertritt, wird eine Ziffer genannt. Zusätzlich zu ihrem Gebrauch im Zählen und Messen werden Ziffern häufig für Etiketten (Telefonnummern) verwendet, um (Seriennummern), und für Codes (z.B, ISBNs) zu bestellen.

In der üblichen Anwendung kann die Wortzahl den abstrakten Gegenstand, das Symbol oder das Wort für die Zahl bedeuten.

Klassifikation von Zahlen

Verschiedene Typen von Zahlen werden in vielen Fällen verwendet. Zahlen können in Sätze, genannt Zahl-Systeme eingeteilt werden. (Für verschiedene Methoden, Zahlen mit Symbolen wie die Römischen Ziffern auszudrücken, sieh Ziffer-Systeme.)

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Natürliche Zahlen

Die vertrautesten Zahlen sind die natürlichen Zahlen oder das Zählen von Zahlen: ein, zwei, drei, und so weiter. Traditionell hat die Folge von natürlichen Zahlen mit 1 angefangen (0 wurde als keine Zahl für die Alten Griechen sogar betrachtet.) Jedoch, im 19. Jahrhundert, haben Satz-Theoretiker und andere Mathematiker einschließlich 0 angefangen (cardinality des leeren Satzes, d. h. 0 Elemente, wo 0 so die kleinste Grundzahl ist) im Satz von natürlichen Zahlen. Heute gebrauchen verschiedene Mathematiker den Begriff, um beide Sätze einschließlich der Null zu beschreiben, oder nicht. Das mathematische Symbol für den Satz aller natürlichen Zahlen ist N, auch schriftlich.

In der Basis zehn Ziffer-System, in fast dem universalen Gebrauch heute für mathematische Operationen, werden die Symbole für natürliche Zahlen mit zehn Ziffern geschrieben: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, und 9. In dieser Basis zehn System hat die niedrigstwertige Ziffer einer natürlichen Zahl einen Platz-Wert von einem, und jede andere Ziffer hat einen Platz-Wert zehnmal mehr als das des Platz-Werts der Ziffer an seiner rechten Seite.

In der Mengenlehre, die zum Handeln als ein axiomatisches Fundament für die moderne Mathematik fähig ist, können natürliche Zahlen durch Klassen von gleichwertigen Sätzen vertreten werden. Zum Beispiel kann die Nummer 3 als die Klasse aller Sätze vertreten werden, die genau drei Elemente haben. Wechselweise, in der Peano Arithmetik, wird die Nummer 3 als sss0 vertreten, wo s die "Nachfolger"-Funktion ist (d. h., 3 ist der dritte Nachfolger 0). Viele verschiedene Darstellungen sind möglich; alles, was erforderlich ist, um 3 formell zu vertreten, soll ein bestimmtes Symbol oder Muster von Symbolen dreimal einschreiben.

Ganze Zahlen

Die Verneinung einer positiven ganzen Zahl wird als eine Zahl definiert, die Null erzeugt, wenn es zur entsprechenden positiven ganzen Zahl hinzugefügt wird. Negative Zahlen werden gewöhnlich mit einem negativen Zeichen (minus das Zeichen) geschrieben. Als ein Beispiel wird die Verneinung von 7 Jahren 7, und 7 + (7) = 0 geschrieben. Wenn der Satz von negativen Zahlen mit dem Satz von natürlichen Zahlen verbunden wird (der Null einschließt), wird das Ergebnis als der Satz von Zahlen der ganzen Zahl, auch genannt ganze Zahlen, Z auch schriftlich definiert. Hier kommt der Brief Z.

Der Satz von ganzen Zahlen bildet einen Ring mit der Operationshinzufügung und Multiplikation.

Rationale Zahlen

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als ein Bruchteil mit einem Zähler der ganzen Zahl und einem Nichtnullnenner der natürlichen Zahl ausgedrückt werden kann. Bruchteile werden als zwei Zahlen, der Zähler und der Nenner, mit einer sich teilenden Bar zwischen ihnen geschrieben. Im Bruchteil schriftlich oder

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M vertritt gleiche Teile, wo n gleiche Teile dieser Größe einen Ganzen zusammensetzen. Zwei verschiedene Bruchteile können derselben rationalen Zahl entsprechen; zum Beispiel und sind gleich, der ist:

:

Wenn der absolute Wert der M größer ist als n, dann ist der absolute Wert des Bruchteils größer als 1. Bruchteile können größer als, weniger als, oder 1 gleich sein und können auch positiv, oder Null negativ sein. Der Satz aller rationalen Zahlen schließt die ganzen Zahlen ein, da jede ganze Zahl als ein Bruchteil mit dem Nenner 1 geschrieben werden kann. Zum Beispiel 7 kann geschrieben werden. Das Symbol für die rationalen Zahlen ist Q (für den Quotienten), auch schriftlich.

Reelle Zahlen

Die reellen Zahlen schließen alle Messzahlen ein. Reelle Zahlen werden gewöhnlich mit dezimalen Ziffern geschrieben, in die ein dezimaler Punkt rechts von der Ziffer mit Platz-Wertderjenigen gelegt wird. Jede Ziffer rechts vom dezimalen Punkt hat einen Platz-Wert ein Zehntel des Platz-Werts der Ziffer an seiner linken Seite. So

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vertritt hundert, 2 Zehnen, 3, 4 Zehntel, 5 Hundertstel und 6 Tausendstel. Im Ausspruch der Zahl wird die Dezimalzahl "Punkt" so gelesen: "Ein zwei drei weisen vier fünf sechs hin". In den Vereinigten Staaten und dem Vereinigten Königreich und mehreren anderen Ländern wird der dezimale Punkt durch eine Periode vertreten, wohingegen im kontinentalen Europa und den bestimmten anderen Ländern der dezimale Punkt durch ein Komma vertreten wird. Null wird häufig als 0.0 geschrieben, wenn sie als eine reelle Zahl aber nicht eine ganze Zahl behandelt werden muss. In den Vereinigten Staaten und dem Vereinigten Königreich wird eine Zahl zwischen 1 und 1 immer mit einer Hauptnull geschrieben, um die Dezimalzahl zu betonen. Negative reelle Zahlen werden mit einem Vorangehen minus das Zeichen geschrieben:

:

Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl. Es ist nicht der Fall jedoch, dass jede reelle Zahl vernünftig ist. Wenn eine reelle Zahl als ein Bruchteil von zwei ganzen Zahlen nicht geschrieben werden kann, wird es vernunftwidrig genannt. Eine Dezimalzahl, die als ein Bruchteil entweder Enden geschrieben werden kann (endet) oder wiederholt sich für immer, weil es die Antwort auf ein Problem in der Abteilung ist. So kann die reelle Zahl 0.5 als und die reelle Zahl 0.333 geschrieben werden... (für immer Dreien, sonst geschrieben 0 wiederholend.) kann als geschrieben werden. Andererseits ist die reelle Zahl π (Pi), das Verhältnis des Kreisumfangs jedes Kreises zu seinem Diameter,

:

Seit der Dezimalzahl weder Enden noch wiederholt sich für immer, sie kann als ein Bruchteil nicht geschrieben werden, und ist ein Beispiel einer irrationalen Zahl. Andere irrationale Zahlen schließen ein

:

(die Quadratwurzel 2, d. h. die positive Zahl, deren Quadrat 2 ist).

So 1.0 und 0.999 sind... zwei verschiedene dezimale Ziffern, die die natürliche Zahl 1 vertreten. Es gibt ungeheuer viele andere Weisen, die Nummer 1, zum Beispiel, 1.00, 1.000, und so weiter zu vertreten.

Jede reelle Zahl ist entweder vernünftig oder vernunftwidrig. Jede reelle Zahl entspricht einem Punkt auf dem Zahlenstrahl. Die reellen Zahlen haben auch ein wichtiges, aber hoch technisches Eigentum genannt das am wenigsten obere bestimmte Eigentum. Das Symbol für die reellen Zahlen ist R, auch schriftlich als.

Wenn eine reelle Zahl ein Maß vertritt, gibt es immer einen Rand des Fehlers. Das wird häufig durch das Runden oder das Beschneiden einer Dezimalzahl angezeigt, so dass Ziffern, die eine größere Genauigkeit andeuten als das Maß selbst, entfernt werden. Die restlichen Ziffern werden positive Ziffern genannt. Zum Beispiel können Maße mit einem Lineal selten ohne einen Rand des Fehlers von mindestens 0.001 Metern gemacht werden. Wenn die Seiten eines Rechtecks als 1.23 Meter und 4.56 Meter gemessen werden, dann gibt Multiplikation ein Gebiet für das Rechteck von 5.6088 Quadratmetern. Da nur die ersten zwei Ziffern nach dem dezimalen Platz bedeutend sind, wird das gewöhnlich zu 5.61 rund gemacht.

In der abstrakten Algebra kann es gezeigt werden, dass jedes ganze bestellte Feld zu den reellen Zahlen isomorph ist. Die reellen Zahlen sind nicht, jedoch, ein algebraisch geschlossenes Feld.

Komplexe Zahlen

Sich zu einem größeren Niveau der Abstraktion bewegend, können die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen erweitert werden. Dieser Satz von Zahlen, ist historisch, davon entstanden zu versuchen, geschlossene Formeln für die Wurzeln von kubischen und quartic Polynomen zu finden. Das hat zu Ausdrücken geführt, die die Quadratwurzeln von negativen Zahlen, und schließlich zur Definition einer neuen Zahl einschließen: Die Quadratwurzel von negativer, die von mich, ein Symbol angezeigt ist, das von Leonhard Euler zugeteilt ist, und die imaginäre Einheit genannt ist. Die komplexen Zahlen bestehen aus allen Zahlen der Form

:

wo a und b reelle Zahlen sind. Im Ausdruck a + bi die reelle Zahl zu sein, hat den echten Teil genannt, und b wird den imaginären Teil genannt. Wenn der echte Teil einer komplexen Zahl Null ist, dann wird die Zahl eine imaginäre Zahl genannt oder wird rein imaginär genannt; wenn der imaginäre Teil Null ist, dann ist die Zahl eine reelle Zahl. So sind die reellen Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Wenn die echten und imaginären Teile einer komplexen Zahl beide ganze Zahlen sind, dann wird die Zahl eine ganze Zahl von Gaussian genannt. Das Symbol für die komplexen Zahlen ist C oder.

In der abstrakten Algebra sind die komplexen Zahlen ein Beispiel eines algebraisch geschlossenen Feldes, bedeutend, dass jedes Polynom mit komplizierten Koeffizienten factored in geradlinige Faktoren sein kann. Wie das System der reellen Zahl ist das System der komplexen Zahl ein Feld und ist abgeschlossen, aber verschieden von den reellen Zahlen wird es nicht bestellt. D. h. es gibt keine Bedeutung im Ausspruch, dass ich größer bin als 1, noch es jede Bedeutung im Ausspruch gibt, dass ich weniger als 1 bin. In Fachbegriffen haben die komplexen Zahlen am trichotomy Eigentum Mangel.

Komplexe Zahlen entsprechen Punkten auf dem komplizierten Flugzeug, manchmal genannt das Flugzeug von Argand.

Jedes der Zahl-Systeme, die oben erwähnt sind, ist eine richtige Teilmenge des folgenden Zahl-Systems. Symbolisch.

Berechenbare Zahlen

Sich zu Problemen der Berechnung bewegend, werden die berechenbaren Zahlen im Satz der reellen Zahlen bestimmt. Die berechenbaren Zahlen, auch bekannt als die rekursiven Zahlen oder der berechenbare reals, sind die reellen Zahlen, die zu innerhalb jeder gewünschten Präzision durch einen begrenzten, endenden Algorithmus geschätzt werden können. Gleichwertige Definitionen können mit μ-recursive Funktionen, Maschinen von Turing oder λ-calculus als die formelle Darstellung von Algorithmen gegeben werden. Die berechenbaren Zahlen bilden ein echtes geschlossenes Feld und können im Platz von reellen Zahlen für viele, aber nicht alle, mathematische Zwecke verwendet werden.

Andere Typen

Algebraische Zahlen sind diejenigen, die als die Lösung einer polynomischen Gleichung mit Koeffizienten der ganzen Zahl ausgedrückt werden können. Die Ergänzung der algebraischen Zahlen ist die transzendenten Zahlen.

Hyperreelle Zahlen werden in der Sonderanalyse verwendet. Die hyperreals oder umgangssprachlicher reals (gewöhnlich angezeigt als *R), zeigen ein bestelltes Feld an, das eine richtige Erweiterung des bestellten Feldes von reellen Zahlen R ist und den Übertragungsgrundsatz befriedigt. Dieser Grundsatz erlaubt den wahren ersten Ordnungsbehauptungen über R, als die wahren ersten Ordnungsbehauptungen über *R wiederinterpretiert zu werden.

Superechte und surreale Zahlen erweitern die reellen Zahlen durch das Hinzufügen von unendlich klein kleinen Zahlen und ungeheuer großer Anzahl, aber bilden noch Felder.

Die p-adic Zahlen können ungeheuer lange Vergrößerungen links vom dezimalen Punkt ebenso haben, dass reelle Zahlen ungeheuer lange Vergrößerungen nach rechts haben können. Das Zahl-System, das Ergebnisse davon abhängen, welche Basis für die Ziffern verwendet wird: Jede Basis ist möglich, aber eine Primzahl-Basis stellt die besten mathematischen Eigenschaften zur Verfügung.

Um sich mit unendlichen Sammlungen zu befassen, sind die natürlichen Zahlen zu den Ordinalzahlen und zu den Grundzahlen verallgemeinert worden. Der erstere gibt die Einrichtung der Sammlung, während der Letztere seine Größe gibt. Für den begrenzten Satz sind die Ordinalzahlen und Grundzahlen gleichwertig, aber sie unterscheiden sich im unendlichen Fall.

Eine Beziehungszahl wird als die Klasse von Beziehungen definiert, die aus allen jenen Beziehungen bestehen, die einem Mitglied der Klasse ähnlich sind.

Sätze von Zahlen, die nicht Teilmengen der komplexen Zahlen sind, werden manchmal hyperkomplexe Zahlen genannt. Sie schließen den quaternions H, erfunden von Herrn William Rowan Hamilton ein, in dem Multiplikation, und der octonions nicht auswechselbar ist, in dem Multiplikation nicht assoziativ ist. Elemente von Funktionsfeldern der Nichtnulleigenschaft benehmen sich in mancher Hinsicht wie Zahlen und werden häufig als Zahlen von Zahl-Theoretikern betrachtet.

Spezifischer Gebrauch

Es gibt auch andere Sätze von Zahlen mit dem Spezialgebrauch. Einige sind Teilmengen der komplexen Zahlen. Zum Beispiel sind algebraische Zahlen die Wurzeln von Polynomen mit vernünftigen Koeffizienten. Komplexe Zahlen, die nicht algebraisch sind, werden transzendente Zahlen genannt.

Eine gerade Zahl ist eine ganze Zahl, die" durch 2 "gleichmäßig teilbar, d. h., durch 2 ohne Rest teilbar ist; eine ungerade Zahl ist eine ganze Zahl, die durch 2 nicht gleichmäßig teilbar ist. (Der altmodische Begriff "gleichmäßig teilbar" wird jetzt fast immer zum "teilbaren" verkürzt.)

Eine formelle Definition einer ungeraden Zahl ist, dass es eine ganze Zahl der Form n = 2k + 1 ist, wo k eine ganze Zahl ist. Eine gerade Zahl hat die Form n = 2k, wo k eine ganze Zahl ist.

Eine vollkommene Zahl ist eine positive ganze Zahl, die die Summe seiner richtigen positiven Teiler - die Summe der positiven Teiler nicht einschließlich der Zahl selbst ist. Gleichwertig ist eine vollkommene Zahl eine Zahl, die Hälfte der Summe von allen seinen positiven Teilern oder σ (n) = 2 n ist. Die erste vollkommene Zahl ist 6, weil 1, 2, und 3 seine richtigen positiven Teiler und 1 + 2 + 3 = 6 sind. Die folgende vollkommene Zahl ist 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Die folgenden vollkommenen Zahlen sind 496 und 8128. Diese ersten vier vollkommenen Zahlen waren die einzigen der frühen griechischen Mathematik bekannten.

Eine figurate Zahl ist eine Zahl, die als ein regelmäßiges und getrenntes geometrisches Muster (z.B Punkte) vertreten werden kann. Wenn das Muster Polythema ist, wird der figurate eine Polythema-Zahl etikettiert, und kann eine polygonale Zahl oder eine polyedrische Zahl sein. Polythema-Zahlen für r = 2, 3, und 4 sind:

• (Dreieckszahlen)

• (vierflächige Zahlen)

• (pentatopic Zahlen)

Ziffern

Zahlen sollten von Ziffern bemerkenswert sein, die Symbole haben gepflegt, Zahlen zu vertreten. Boyer hat gezeigt, dass Ägypter das erste chiffrierte Ziffer-System geschaffen haben. Gefolgte Griechen, indem es ihre zählenden Zahlen auf Ionian und dorische Alphabete kartografisch dargestellt wird. Die Nummer fünf kann von beiden die Basis zehn Ziffer '5', durch die Römische Ziffer '' und chiffrierten Briefe vertreten werden. Notationen haben gepflegt, Zahlen zu vertreten, werden in den Artikel-Ziffer-Systemen besprochen. Eine wichtige Entwicklung in der Geschichte von Ziffern war die Entwicklung eines Stellungssystems wie moderne Dezimalzahlen, die sehr große Anzahl vertreten können. Die Römischen Ziffern verlangen Extrasymbole für größere Zahlen.

Geschichte

Der erste Gebrauch von Zahlen

Knochen und andere Kunsterzeugnisse sind mit der Zeichen-Kürzung in sie entdeckt worden, die viele glauben, sind Aufzeichnungszeichen. Diese Aufzeichnungszeichen können verwendet worden sein, um verbrauchte Zeit, wie Zahlen von Tagen, Mondzyklen aufzuzählen oder Aufzeichnungen von Mengen, solcher bezüglich Tiere zu behalten.

Ein übereinstimmendes System hat kein Konzept des Platz-Werts (als in der modernen dezimalen Notation), der seine Darstellung der großen Anzahl beschränkt. Dennoch werden übereinstimmende Systeme als die erste Art des abstrakten Ziffer-Systems betrachtet.

Das erste bekannte System mit dem Platz-Wert war die Basis von Mesopotamian 60 System (ca. 3400 v. Chr.) und die frühste bekannte Basis 10 Systemdaten zu 3100 v. Chr. in Ägypten.

Null

Der Gebrauch der Null als eine Zahl sollte von seinem Gebrauch als eine Platzhalter-Ziffer in Systemen des Platz-Werts bemerkenswert sein. Viele alte Texte haben Null verwendet. Babylonische und ägyptische Texte haben es verwendet. Ägypter haben das Wort nfr verwendet, um Nullgleichgewicht in doppelten Zugang-Buchungen anzuzeigen. Indianertexte haben ein sanskritisches Wort verwendet, um sich auf das Konzept der Leere zu beziehen. In Mathematik-Texten bezieht sich dieses Wort häufig auf die Zahl-Null.

Aufzeichnungen zeigen, dass die Alten Griechen unsicher des Status der Null als eine Zahl geschienen sind: Sie fragten sich "wie kann 'nichts' etwas sein?" interessant philosophisch und, vor der Mittelalterlichen Periode, den religiösen Argumenten über die Natur und Existenz der Null und des Vakuums führend. Die Paradoxe von Zeno von Elea hängen im großen Teil von der unsicheren Interpretation der Null ab. (Die alten Griechen haben sogar infrage gestellt, ob 1 eine Zahl war.)

Die verstorbenen Leute von Olmec des südzentralen Mexikos haben begonnen, eine wahre Null (eine Schale glyph) in der Neuen Welt vielleicht vor dem 4. Jahrhundert v. Chr., aber sicher durch 40 v. Chr. zu verwenden, der ein integraler Bestandteil von Mayaziffern und dem Mayakalender geworden ist. Mayaarithmetik hat Basis 4 und Basis 5 schriftliche als Basis 20 verwendet. Sanchez 1961 hat eine Basis 4 gemeldet, stützen Sie 5 'Finger'-Rechenmaschine.

Durch 130 n.Chr. verwendete Ptolemy, unter Einfluss Hipparchus und der Babylonier, ein Symbol für die Null (ein kleiner Kreis mit einer langen Überbar) innerhalb eines sexagesimal Ziffer-Systems sonst mit alphabetischen griechischen Ziffern. Weil es allein, nicht als gerade ein Platzhalter verwendet wurde, war diese hellenistische Null der erste dokumentierte Gebrauch einer wahren Null in der Alten Welt. In späteren byzantinischen Manuskripten seines Syntaxis Mathematica (Almagest) hatte die hellenistische Null morphed in den griechischen Brief omicron (sonst Bedeutung 70).

Eine andere wahre Null wurde in Tischen neben Römischen Ziffern durch 525 (zuerst bekannter Gebrauch von Dionysius Exiguus), aber als ein Wort verwendet, nichts bedeutend, nicht als ein Symbol. Als Abteilung Null erzeugt hat, weil ein Rest, auch nichts bedeutend, verwendet wurde. Diese mittelalterlichen Nullen wurden durch den ganzen zukünftigen mittelalterlichen computists (Rechenmaschinen von Easter) verwendet. Ein isolierter Gebrauch ihrer Initiale, N, wurde in einem Tisch von Römischen Ziffern von Bede oder einem Kollegen ungefähr 725, ein wahres Nullsymbol verwendet.

Ein früher dokumentierter Gebrauch der Null durch Brahmagupta (in Brahmasphutasiddhanta) Daten zu 628. Er hat Null als eine Zahl behandelt und hat Operationen besprochen, die damit einschließlich der Abteilung verbunden sind. Zu diesem Zeitpunkt (das 7. Jahrhundert) das Konzept hatte klar Kambodscha als Khmer-Ziffern erreicht, und Dokumentation zeigt die Idee, die sich später nach China und die islamische Welt ausbreitet.

Negative Zahlen

Das abstrakte Konzept von negativen Zahlen wurde schon in 100 v. Chr. - 50 v. Chr. erkannt Die chinesischen Neun Kapitel über die Mathematische Kunst enthalten Methoden, für die Gebiete von Zahlen zu finden; rote Stangen wurden verwendet, um positive Koeffizienten anzuzeigen, die für die Verneinung schwarz sind. Das ist die frühste bekannte Erwähnung von negativen Zahlen im Osten; die erste Verweisung in einer Westarbeit war im 3. Jahrhundert in Griechenland. Diophantus hat sich auf die Gleichung bezogen, die zu gleichwertig ist (die Lösung ist negativ) in Arithmetica, sagend, dass die Gleichung ein absurdes Ergebnis gegeben hat.

Während 600s waren negative Zahlen im Gebrauch in Indien, um Schulden zu vertreten. Die vorherige Verweisung von Diophantus wurde ausführlicher vom Indianermathematiker Brahmagupta, in Brahma-Sphuta-Siddhanta 628 besprochen, wer negative Zahlen verwendet hat, um die allgemeine Form quadratische Formel zu erzeugen, die im Gebrauch heute bleibt. Jedoch, im 12. Jahrhundert in Indien, gibt Bhaskara negative Wurzeln für quadratische Gleichungen, aber sagt, dass der negative Wert "in diesem Fall nicht genommen werden soll, weil es unzulänglich ist; Leute genehmigen negative Wurzeln nicht."

Europäische Mathematiker sind größtenteils dem Konzept von negativen Zahlen bis zum 17. Jahrhundert widerstanden, obwohl Fibonacci negative Lösungen in Finanzproblemen erlaubt hat, wo sie als Schulden (Kapitel 13 von Liber Abaci, 1202) und später als Verluste (darin) interpretiert werden konnten. Zur gleichen Zeit zeigten die Chinesen negative Zahlen irgendein an, indem sie einen diagonalen Schlag durch die niedrigstwertige Nichtnullziffer der Ziffer der entsprechenden positiven Zahl gezogen haben. Der erste Gebrauch von negativen Zahlen in einer europäischen Arbeit war durch Chuquet während des 15. Jahrhunderts. Er hat sie als Hochzahlen verwendet, aber hat sie als "absurde Zahlen" gekennzeichnet.

Noch das 18. Jahrhundert war es übliche Praxis, um irgendwelche negativen durch Gleichungen zurückgegebenen Ergebnisse zu ignorieren in der Annahme, dass sie sinnlos waren, wie René Descartes mit negativen Lösungen in einem Kartesianischen Koordinatensystem getan hat.

Rationale Zahlen

Es ist dass das Konzept von Bruchzahl-Daten zur Vorgeschichte wahrscheinlich. Die Alten Ägypter haben ihre ägyptische Bruchteil-Notation für rationale Zahlen in mathematischen Texten wie der Rhind Mathematische Papyrus und der Kahun Papyrus verwendet. Klassische griechische und Indianermathematiker haben Studien der Theorie von rationalen Zahlen als ein Teil der allgemeinen Studie der Zahlentheorie gemacht. Der am besten bekannte von diesen ist die Elemente von Euklid, zu ungefähr 300 v. Chr. datierend. Der Indianertexte ist das relevanteste Sthananga Sutra, der auch Zahlentheorie als ein Teil einer allgemeinen Studie der Mathematik bedeckt.

Das Konzept von Dezimalbrüchen wird mit der dezimalen Notation des Platz-Werts nah verbunden; die zwei scheinen, sich im Tandem entwickelt zu haben. Zum Beispiel ist es für die Mathematik von Jain sutras üblich, Berechnungen von Dezimalbruch-Annäherungen an das Pi oder die Quadratwurzel zwei einzuschließen. Ähnlich hatten babylonische Mathetexte immer sexagesimal verwendet (stützen Sie 60) Bruchteile mit der großen Frequenz.

Irrationale Zahlen

Der frühste bekannte Gebrauch von irrationalen Zahlen war im Indianersulba Sutras, der zwischen 800-500 v. Chr. zusammengesetzt ist. Die ersten Existenz-Beweise von irrationalen Zahlen werden gewöhnlich Pythagoras mehr spezifisch dem Pythagoreer Hippasus von Metapontum zugeschrieben, der (am wahrscheinlichsten geometrisch) Beweis der Unvernunft der Quadratwurzel 2 erzeugt hat. Die Geschichte geht, dass Hippasus irrationale Zahlen entdeckt hat, als er versucht hat, die Quadratwurzel 2 als ein Bruchteil zu vertreten. Jedoch hat Pythagoras an die Unbedingtheit von Zahlen geglaubt, und konnte die Existenz von irrationalen Zahlen nicht akzeptieren. Er konnte ihre Existenz durch die Logik nicht widerlegen, aber er konnte irrationale Zahlen nicht akzeptieren, so hat er Hippasus zu Tode verurteilt, indem er ertrunken hat.

Das sechzehnte Jahrhundert hat europäische Endannahme von negativen integrierten und unbedeutenden Zahlen gebracht. Vor dem siebzehnten Jahrhundert haben Mathematiker allgemein Dezimalbrüche mit der modernen Notation verwendet. Es war nicht jedoch bis zum neunzehnten Jahrhundert, dass Mathematiker Irrationalzahlen in algebraische und transzendentale Teile getrennt haben, und noch einmal wissenschaftliche Studie von Irrationalzahlen übernommen haben. Es war fast schlafend seit Euklid geblieben. 1872 hat Veröffentlichung der Theorien von Karl Weierstrass (durch seinen Schüler Kossak), Heine (Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), und Richard Dedekind gebracht. 1869 hatte Méray denselben Ausgangspunkt wie Heine genommen, aber die Theorie wird allgemein bis das Jahr 1872 verwiesen. Die Methode von Weierstrass wurde von Salvatore Pincherle (1880) völlig dargelegt, und Dedekind hat zusätzliche Bekanntheit durch die spätere Arbeit des Autors (1888) und Indossierung durch Paul Tannery (1894) erhalten. Weierstrass, Cantor und Heine stützen ihre Theorien über die unendliche Reihe, während Dedekind seinen auf der Idee von einer Kürzung (Schnitt) im System von reellen Zahlen gründet, alle rationalen Zahlen in zwei Gruppen trennend, die bestimmte charakteristische Eigenschaften haben. Das Thema hat spätere Beiträge an den Händen von Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101), und Méray erhalten.

Fortlaufende Bruchteile, die nah mit irrationalen Zahlen (und wegen Cataldi, 1613), erhaltene Aufmerksamkeit an den Händen von Euler, und bei der Öffnung des neunzehnten Jahrhunderts verbunden sind, wurden in die Bekanntheit durch die Schriften von Joseph Louis Lagrange gebracht. Andere beachtenswerte Beiträge sind von Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), und Günther (1872) geleistet worden. Ramus (1855) erst hat das Thema mit Determinanten, resultierend, mit den nachfolgenden Beiträgen von Heine, Möbius und Günther in der Theorie von Kettenbruchdeterminanten verbunden. Dirichlet hat auch zur allgemeinen Theorie beigetragen, wie zahlreiche Mitwirkende zu den Anwendungen des Themas haben.

Transzendente Zahlen und reals

Die ersten Ergebnisse bezüglich transzendenter Zahlen waren der 1761-Beweis von Lambert, dass π, und auch nicht vernünftig sein kann, dass e vernunftwidrig ist, wenn n (wenn n = 0) vernünftig ist. (Auf den unveränderlichen e wurde zuerst in der 1618-Arbeit von Napier an Logarithmen verwiesen.) hat Legendre diesen Beweis erweitert, um zu zeigen, dass π nicht die Quadratwurzel einer rationalen Zahl ist. Die Suche nach Wurzeln von quintic und höheren Grad-Gleichungen war eine wichtige Entwicklung, der Lehrsatz von Abel-Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) hat gezeigt, dass sie von Radikalen (Formel nicht gelöst werden konnten, die nur arithmetische Operationen und Wurzeln einschließt). Folglich war es notwendig, den breiteren Satz von algebraischen Zahlen (alle Lösungen polynomischer Gleichungen) zu denken. Galois (1832) verbundene polynomische Gleichungen zur Gruppentheorie, die das Feld der Theorie von Galois verursacht.

Die Existenz von transzendenten Zahlen wurde zuerst von Liouville (1844, 1851) gegründet. Hermite hat 1873 bewiesen, dass e transzendental ist und Lindemann 1882 bewiesen hat, dass π transzendental ist. Schließlich zeigt Kantor, dass der Satz aller reellen Zahlen unzählbar unendlich ist, aber der Satz aller algebraischen Zahlen ist zählbar unendlich, also gibt es unzählbar unendliche Zahl von transzendenten Zahlen.

Unendlichkeit und infinitesimals

Die frühste bekannte Vorstellung der mathematischen Unendlichkeit erscheint im Yajur Wissen, eine alte Indianerschrift, die einmal, "Festsetzt, wenn Sie einen Teil von der Unendlichkeit entfernen oder einen Teil zur Unendlichkeit noch hinzufügen, was bleibt, ist Unendlichkeit." Unendlichkeit war ein populäres Thema der philosophischen Studie unter den Mathematikern von Jain c. 400 v. Chr. Sie haben zwischen fünf Typen der Unendlichkeit unterschieden: Unendlich in einer und zwei Richtungen, die im Gebiet unendlich sind, unendlich überall und unendlich fortwährend.

Aristoteles hat den traditionellen Westbegriff der mathematischen Unendlichkeit definiert. Er hat zwischen wirklicher Unendlichkeit und potenzieller Unendlichkeit - die allgemeine Einigkeit unterschieden, die das ist, nur die Letzteren hatten wahren Wert. Die zwei Neuen Wissenschaften von Galileo haben die Idee von isomorphen Ähnlichkeiten zwischen unendlichen Sätzen besprochen. Aber der folgende Hauptfortschritt in der Theorie wurde von Georg Cantor gemacht; 1895 hat er ein Buch über seine neue Mengenlehre, das Einführen, unter anderem, die transfiniten Zahlen und die Formulierung der Kontinuum-Hypothese veröffentlicht. Das war das erste mathematische Modell, das Unendlichkeit durch Zahlen vertreten hat und Regeln gegeben hat, um mit diesen unendlichen Zahlen zu funktionieren.

In den 1960er Jahren hat Abraham Robinson gezeigt, wie ungeheuer große und unendlich kleine Zahlen streng definiert und verwendet werden können, um das Feld der Sonderanalyse zu entwickeln. Das System von hyperreellen Zahlen vertritt eine strenge Methode, die Ideen über unendliche und unendlich kleine Zahlen zu behandeln, die zufällig von Mathematikern, Wissenschaftlern und Ingenieuren seit der Erfindung der unendlich kleinen Rechnung von Newton und Leibniz verwendet worden waren.

Eine moderne geometrische Version der Unendlichkeit wird durch die projektive Geometrie gegeben, die "ideale Punkte an der Unendlichkeit," ein für jede Raumrichtung einführt. Wie man verlangt, läuft jede Familie von parallelen Linien in einer gegebenen Richtung zum entsprechenden idealen Punkt zusammen. Das ist nah mit der Idee verbunden, Punkte in der Perspektivezeichnung zu verschwinden.

Komplexe Zahlen

Die frühste flüchtige Verweisung auf Quadratwurzeln von negativen Zahlen ist in der Arbeit des Mathematiker- und Erfinder-Reihers Alexandrias im 1. Jahrhundert n.Chr. vorgekommen, als er das Volumen eines unmöglichen frustum einer Pyramide gedacht hat. Sie sind prominenter geworden, als im 16. Jahrhundert geschlossen hat, wurden Formeln für die Wurzeln der dritten und vierten Grad-Polynome von italienischen Mathematikern wie Niccolo Fontana Tartaglia und Gerolamo Cardano entdeckt. Es wurde bald begriffen, dass diese Formeln, selbst wenn man sich nur für echte Lösungen interessiert hat, manchmal die Manipulation von Quadratwurzeln von negativen Zahlen verlangt haben.

Das war doppelt beunruhigend, seitdem sie nicht sogar gedacht haben, dass negative Zahlen auf dem festen Boden zurzeit waren. Als René Descartes den Begriff "imaginärer" für diese Mengen 1637 ins Leben gerufen hat, hat er es als abschätzig beabsichtigt. (Sieh imaginäre Zahl für eine Diskussion der "Wirklichkeit" von komplexen Zahlen.) Eine weitere Quelle der Verwirrung war dass die Gleichung

:ist

launisch inkonsequent mit der algebraischen Identität geschienen

:

der für positive reelle Zahlen a und b gültig ist, und auch in Berechnungen der komplexen Zahl mit einem von a, b positiv und die andere Verneinung verwendet wurde. Der falsche Gebrauch dieser Identität und der zusammenhängenden Identität

:

im Fall, wenn sowohl a als auch b negativer sogar verhexter Euler sind. Diese Schwierigkeit hat ihn schließlich zur Tagung geführt, das spezielle Symbol i im Platz zu verwenden, vor diesem Fehler zu schützen.

Das 18. Jahrhundert hat die Arbeit von Abraham de Moivre und Leonhard Euler. Staaten der Formel (1730) von de Moivre gesehen:

:

und zu Euler (1748) die Formel von Euler der komplizierten Analyse:

:

Die Existenz von komplexen Zahlen wurde nicht völlig akzeptiert, bis Caspar Wessel die geometrische Interpretation 1799 beschrieben hat. Carl Friedrich Gauss hat wieder entdeckt und hat es mehrere Jahre später verbreitet, und infolgedessen hat die Theorie von komplexen Zahlen eine bemerkenswerte Vergrößerung erhalten. Die Idee von der grafischen Darstellung von komplexen Zahlen, war jedoch, schon in 1685, in De Algebra von Wallis tractatus erschienen.

Auch 1799 hat Gauss den ersten allgemein akzeptierten Beweis des Hauptsatzes der Algebra zur Verfügung gestellt, zeigend, dass jedes Polynom über die komplexen Zahlen einen vollen Satz von Lösungen in diesem Bereich hat. Die allgemeine Annahme der Theorie von komplexen Zahlen ist wegen der Arbeiten von Augustin Louis Cauchy und Niels Henrik Abel, und besonders dem Letzteren, der erst war, um komplexe Zahlen mit einem Erfolg kühn zu verwenden, der weithin bekannt ist.

Gauss hat komplexe Zahlen der Form + bi studiert, wo a und b integriert, oder vernünftig sind (und ich eine der zwei Wurzeln von x + 1 = 0 bin). Sein Student, Gotthold Eisenstein, hat den Typ a + bω studiert, wo ω eine komplizierte Wurzel von x  1 = 0 ist. Andere solche Klassen (hat cyclotomic Felder genannt), komplexer Zahlen sind auf die Wurzeln der Einheit x  1 = 0 für höhere Werte von k zurückzuführen. Diese Generalisation ist größtenteils wegen Ernst Kummers, der auch ideale Zahlen erfunden hat, die als geometrische Entitäten von Felix Klein 1893 ausgedrückt wurden. Die allgemeine Theorie von Feldern wurde von Évariste Galois geschaffen, der die Felder studiert hat, die durch die Wurzeln jeder polynomischen Gleichung F (x) = 0 erzeugt sind.

1850 hat Victor Alexandre Puiseux den Schlüsselschritt des Unterscheidens zwischen Polen und Zweigpunkten gemacht, und hat das Konzept wesentlicher einzigartiger Punkte eingeführt. Das hat schließlich zum Konzept des verlängerten komplizierten Flugzeugs geführt.

Primzahlen

Primzahlen sind überall in der registrierten Geschichte studiert worden. Euklid hat ein Buch der Elemente zur Theorie der Blüte gewidmet; darin hat er die Unendlichkeit der Blüte und den Hauptsatz der Arithmetik bewiesen, und hat den Euklidischen Algorithmus präsentiert, für den größten allgemeinen Teiler von zwei Zahlen zu finden.

In 240 v. Chr. hat Eratosthenes das Sieb von Eratosthenes verwendet, um Primzahlen schnell zu isolieren. Aber weiteste Entwicklung der Theorie der Blüte in europäischen Daten zur Renaissance und den späteren Zeitaltern.

1796 hat Adrien-Marie Legendre den Primzahl-Lehrsatz vermutet, den asymptotischen Vertrieb der Blüte beschreibend. Andere Ergebnisse bezüglich des Vertriebs der Blüte schließen den Beweis von Euler ein, dass die Summe der Gegenstücke der Blüte, und die Vermutung von Goldbach abweicht, die behauptet, dass jede genug große gerade Zahl die Summe von zwei Blüte ist. Und doch ist eine andere mit dem Vertrieb von Primzahlen verbundene Vermutung die Hypothese von Riemann, die von Bernhard Riemann 1859 formuliert ist. Der Primzahl-Lehrsatz wurde schließlich von Jacques Hadamard und Charles de la Vallée-Poussin 1896 bewiesen. Die Vermutungen von Goldbach und Riemanns bleiben unbewiesen und unwiderlegt.

Wortalternativen

Einige Zahlen haben traditionell alternative Wörter, um sie einschließlich des folgenden auszudrücken:

• Nichts: 0
• Einzeln: 1
• Paar, Paar, geschweifte Klammer: 2
• Trio: 3
• Halbes Dutzend: 6
• Jahrzehnt: 10
• Ein Dutzend: 12
• Ein Dutzend des Bäckers: 13
• Kerbe: 20
• Halbes Jahrhundert: 50
• Jahrhundert: 100
• Gros: 144
• Ries: 480 (altes Maß) 500 (neues Maß)
• Millenium: 1000
• Großes Gros: 1728
• "N-Zahl", als in der Ziffer, allgemein für Reihen der größeren Zahl, die auch ohne einen Bindestrich geschrieben sind; häufig verwendet in der Finanzdiskussion. Zum Beispiel

: * "fünf-Zahlen-": 10,000 bis 99,999 (fünf Ziffern); zehn tausend

: * "sechs-Zahlen-": 100,000 bis 999,999 (sechs Ziffern); Hundert tausend

: * "sieben-Zahlen-": 1,000,000 bis 9,999,999 (sieben Ziffern); Millionen

Siehe auch

Referenzen

• Tobias Dantzig, Zahl, die Sprache der Wissenschaft; ein kritischer Überblick, der für den kultivierten Nichtmathematiker, New York, Die Gesellschaft von Macmillan, 1930 geschrieben ist.
• Erich Friedman, Was ist über diese Zahl speziell?
• Steven Galovich, Einführung in Mathematische Strukturen, Geschweifte Klammer von Harcourt Javanovich, am 23. Januar 1989, internationale Standardbuchnummer 0-15-543468-3.
• Paul Halmos, Naive Mengenlehre, Springer, 1974, internationale Standardbuchnummer 0-387-90092-6.
• Morris Kline, Mathematischer Gedanke vom Alten bis Moderne Zeiten, Presse der Universität Oxford, 1972.
• Alfred North Whitehead und Bertrand Russell, Principia Mathematica zu *56, Universität von Cambridge Presse, 1910.
• George I. Sanchez, Arithmetik in Maya-Sprache, Austin-Texas, 1961.

Außenverbindungen

• Mesopotamian und germanische Zahlen
• BBC-Radio 4, In Unserer Zeit: Negative Zahlen
• '4000 Jahre von Zahlen' halten durch Robin Wilson, am 07/11/07, Gresham Universität (verfügbar für das Download als MP3 oder MP4, und als eine Textdatei) Vorlesungen.

http://planetmath.org/encyclopedia/MayanMath2.html

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