In der Mathematik ist eine quadratische Gleichung eine univariate polynomische Gleichung des zweiten Grads. Eine allgemeine quadratische Gleichung kann in der Form geschrieben werden

:

wo x eine Variable oder einen unbekannten, und a, b vertritt, und c Konstanten mit einem  0 sind. (Wenn = 0 die Gleichung eine geradlinige Gleichung ist.)

Die Konstanten a, b, und c werden beziehungsweise, der quadratische Koeffizient, der geradlinige Koeffizient und der unveränderliche Begriff oder freie Begriff genannt. Der Begriff "quadratischer" kommt aus quadratus, der das lateinische Wort für "das Quadrat" ist. Quadratische Gleichungen können durch das Factoring gelöst werden, das Quadrat vollendend, die Methode von Newton, und Verwenden der quadratischen Formel (gegeben unten) grafisch darzustellen.

Quadratische Formel

Eine quadratische Gleichung mit echten oder komplizierten Koeffizienten hat zwei Lösungen, genannt Wurzeln. Diese zwei Lösungen können oder können nicht verschieden sein, und sie können oder können nicht echt sein.

Die Wurzeln werden durch die quadratische Formel gegeben

:

wo das Symbol "±" das beide anzeigt

:

sind Lösungen der quadratischen Gleichung.

Discriminant

In der obengenannten Formel wird der Ausdruck unter dem Quadratwurzel-Zeichen den discriminant der quadratischen Gleichung genannt, und wird häufig mit Großbuchstaben D oder einem griechischen Großbuchstaben-Delta, der Initiale des griechischen Wortes , Diakrínousa, discriminant vertreten:

:

Eine quadratische Gleichung mit echten Koeffizienten kann entweder eine oder zwei verschiedene echte Wurzeln oder zwei verschiedene komplizierte Wurzeln haben. In diesem Fall bestimmt der discriminant die Zahl und Natur der Wurzeln. Es gibt drei Fälle:

• Wenn der discriminant positiv ist, dann gibt es zwei verschiedene Wurzeln, von denen beide reelle Zahlen sind:

::

: Für quadratische Gleichungen mit Koeffizienten der ganzen Zahl, wenn der discriminant ein vollkommenes Quadrat ist, dann sind die Wurzeln rationale Zahlen — in anderen Fällen, sie können quadratische Irrationalzahlen sein.

• Wenn der discriminant Null ist, dann gibt es genau eine verschiedene echte Wurzel, manchmal genannt eine doppelte Wurzel:

::

• Wenn der discriminant negativ ist, dann gibt es keine echten Wurzeln. Eher gibt es zwei verschiedene (nichtechte) komplizierte Wurzeln, die kompliziert sind, paart sich einander:

::

:where bin ich die imaginäre Einheit.

So sind die Wurzeln verschieden, wenn, und nur wenn der discriminant Nichtnull und die Wurzeln ist, echt sind, wenn, und nur wenn der discriminant nichtnegativ ist.

Form von Monic

Das Teilen der quadratischen Gleichung durch den quadratischen Koeffizienten ein Geben der vereinfachten Monic-Form von

:

wo p = b/a und q = c/a. Das vereinfacht der Reihe nach die Wurzel und discriminant Gleichungen etwas zu

:

und

:

Geschichte

Die babylonischen Mathematiker, schon in 2000 v. Chr. (gezeigt auf Alten babylonischen Tonblöcken) konnten ein Paar von gleichzeitigen Gleichungen der Form lösen:

:

die zur Gleichung gleichwertig sind:

:

Das ursprüngliche Paar von Gleichungen wurde wie folgt gelöst:

1. Form

FormForm

1. Form (wo x  y angenommen wird)
2. Finden Sie x und y durch die Inspektion der Werte in (1) und (4).

Es gibt Beweise, diesen Rücken so weit die Dynastie von Ur III stoßend.

In Sulba Sutras im alten Indien um das 8. Jahrhundert v. Chr. wurden quadratische Gleichungen der Form-Axt = c und Axt + bx = c mit geometrischen Methoden erforscht. Babylonische Mathematiker von um 400 v. Chr. und chinesische Mathematiker von um 200 haben v. Chr. die Methode verwendet, das Quadrat zu vollenden, um quadratische Gleichungen mit positiven Wurzeln zu lösen, aber hatten keine allgemeine Formel.

Euklid, der griechische Mathematiker, hat eine abstraktere geometrische Methode ungefähr 300 v. Chr. erzeugt. Pythagoras und Euklid haben eine ausschließlich geometrische Annäherung verwendet und haben gefunden, dass ein allgemeines Verfahren die quadratische Gleichung gelöst hat. In seiner Arbeit Arithmetica hat der griechische Mathematiker Diophantus die quadratische Gleichung gelöst, aber das Geben nur einer Wurzel, selbst wenn beide Wurzeln positiv waren.

In 628 n.Chr. hat Brahmagupta, ein Indianermathematiker, das erste ausführliche (obwohl noch immer nicht völlig allgemein) Lösung der quadratischen Gleichung gegeben

:

wie folgt:

Das ist gleichwertig zu:

:

Das Bakhshali Manuskript, das in Indien im 7. Jahrhundert n.Chr. geschrieben ist, hat eine algebraische Formel enthalten, um quadratische Gleichungen, sowie quadratische unbestimmte Gleichungen (ursprünglich des Typs ax/c = y) zu lösen.

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (Persien, das 9. Jahrhundert), begeistert von Brahmagupta, hat eine Reihe von Formeln entwickelt, die für positive Lösungen gearbeitet haben. Al-Khwarizmi geht weiter in der Versorgung einer vollen Lösung der allgemeinen quadratischen Gleichung, eine oder zwei numerische Antworten für jede quadratische Gleichung akzeptierend, während er geometrische Beweise im Prozess zur Verfügung stellt. Er hat auch die Methode beschrieben, das Quadrat zu vollenden, und hat anerkannt, dass der discriminant positiv sein muss, der durch seinen zeitgenössischen 'Abd al-Hamīd ibn Turk bewiesen wurde (Zentralasien, das 9. Jahrhundert), wer geometrischen Zahlen gegeben hat, um zu beweisen, dass, wenn der discriminant negativ ist, eine quadratische Gleichung keine Lösung hat. Während al-Khwarizmi selbst negative Lösungen nicht akzeptiert hat, später haben islamische Mathematiker, die ihm nachgefolgt haben, negative Lösungen, sowie irrationale Zahlen als Lösungen akzeptiert. Abū Kāmil Shujā war ibn Aslam (Ägypten, das 10. Jahrhundert) insbesondere erst, um irrationale Zahlen (häufig in der Form einer Quadratwurzel, Würfel-Wurzel oder der vierten Wurzel) als Lösungen quadratischer Gleichungen oder als Koeffizienten in einer Gleichung zu akzeptieren.

Die jüdische Bar des Mathematikers Abraham Hiyya Ha-Nasi (das 12. Jahrhundert, Spanien) authored das erste europäische Buch, um die volle Lösung der allgemeinen quadratischen Gleichung einzuschließen. Seine Lösung hat größtenteils auf der Arbeit von Al-Khwarizmi basiert. Das Schreiben des chinesischen Mathematikers Yang Hui (1238-1298 n.Chr.) vertritt das erste, in dem quadratische Gleichungen mit negativen Koeffizienten von 'x' erscheinen, obwohl er das dem früheren Liu Yi zuschreibt.

Vor 1545 hat Gerolamo Cardano die mit den quadratischen Gleichungen verbundenen Arbeiten kompiliert. Die quadratische Formel, die alle Fälle bedeckt, wurde zuerst von Simon Stevin 1594 erhalten. 1637 hat René Descartes La Géométrie veröffentlicht, der die quadratische Formel in der Form enthält, die wir heute wissen. Das erste Äußere der allgemeinen Lösung in der modernen mathematischen Literatur ist in einem 1896-Vortrag von Henry Heaton erschienen.

Beispiele des Gebrauches

Geometrie

Die Lösungen der quadratischen Gleichung

:

sind auch die Wurzeln der quadratischen Funktion:

:

da sie die Werte von x für der sind

:

Wenn a, b, und c reelle Zahlen sind und das Gebiet von f der Satz von reellen Zahlen ist, dann sind die Wurzeln von f genau die X-Koordinaten der Punkte, wo der Graph die X-Achse berührt.

Es folgt aus dem obengenannten, dass, wenn der discriminant positiv ist, der Graph die X-Achse an zwei Punkten berührt, wenn Null, die Graph-Berührungen einmal, und wenn negativ, der Graph die X-Achse nicht berührt.

Quadratischer factorization

Der Begriff

:

ist ein Faktor des Polynoms

:

wenn, und nur wenn r eine Wurzel der quadratischen Gleichung ist

:

Es folgt aus der quadratischen Formel das

:

Im speziellen Fall , wo das quadratische nur eine verschiedene Wurzel hat (d. h. der discriminant ist Null), kann das quadratische Polynom factored als sein

:

Anwendung auf Gleichungen des höheren Grads

Bestimmte Gleichungen des höheren Grads können in die quadratische Form gebracht werden und haben diesen Weg gelöst. Zum Beispiel, die Gleichung des 6. Grads in x:

:

kann als umgeschrieben werden:

:

oder, gleichwertig, als eine quadratische Gleichung in einer neuen Variable u:

:wo:

Das Lösen der quadratischen Gleichung für u läuft auf die zwei Lösungen hinaus:

:

So

:Wenn sie sich

auf die Entdeckung der drei Würfel-Wurzeln dessen konzentrieren werden - werden die anderen drei Lösungen für x (die drei Würfel-Wurzeln) ihr Komplex sein paart sich - das Neuschreiben der Rechte mit der Formel von Euler:

:

(seit e = 1), gibt die drei Lösungen:

:

Das Verwenden der Formel von Eulers wieder zusammen mit der trigonometrischen Identität solcher als, weil sich (π/12) =, und das Hinzufügen des Komplexes paart, gibt die ganze Sammlung von Lösungen als:

::und:

Abstammungen der quadratischen Formel

Durch die Vollendung des Quadrats

Die quadratische Formel kann durch die Methode abgeleitet werden, das Quadrat, zu vollenden

um von der algebraischen Identität Gebrauch zu machen:

:

Das Teilen der quadratischen Gleichung

:

durch (dem erlaubt wird, weil Nichtnull ist), gibt:

:oder:

Die quadratische Gleichung ist jetzt in einer Form, auf die die Methode, das Quadrat zu vollenden, angewandt werden kann. Das Quadrat "zu vollenden", soll eine Konstante zu beiden Seiten der solcher Gleichung hinzufügen, dass die linke Seite ein ganzes Quadrat wird:

:

der erzeugt

:

Die richtige Seite kann als ein einzelner Bruchteil, mit dem gemeinsamen Nenner 4a geschrieben werden. Das gibt

:

Die Einnahme der Quadratwurzel von beiden Seiten gibt nach

:

Isolierender x, gibt

:

Durch die Verschiebung der Axt

Die quadratische Formel kann durch das Starten mit der Gleichung abgeleitet werden

:

der die Parabel als Axt mit dem Scheitelpunkt beschreibt, der vom Ursprung bis (x, y) ausgewechselt ist.

Das Lösen dieser Gleichung für x ist aufrichtig und läuft auf hinaus

:

Das Verwenden der Formeln von Vieta für den Scheitelpunkt koordiniert

:

x_V &= \frac {-b} {2a }\\\

y_V &=-\frac {b^2-4ac} {4a}, \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

die Werte von x können als geschrieben werden

:

Bemerken. Die Formeln für x und y können durch das Vergleichen der Koeffizienten in abgeleitet werden

:und:

Das Neuschreiben der letzten Gleichung als

:

und das Vergleichen mit dem ersteren läuft auf hinaus

::

von dem die Ausdrücke von Vieta für x und y abgeleitet werden können.

Durch Lagrange Wiederlösungsmittel

Eine alternative Weise, die quadratische Formel abzuleiten, ist über die Methode von Wiederlösungsmitteln von Lagrange, die ein früher Teil der Theorie von Galois ist.

Ein Vorteil dieser Methode ist, dass sie verallgemeinert, um die Lösung von Kubikpolynomen und quartic Polynomen zu geben, und zu Theorie von Galois führt, die erlaubt, die Lösung von Polynomen jedes Grads in Bezug auf die Symmetrie-Gruppe ihrer Wurzeln, die Gruppe von Galois zu verstehen.

Diese Annäherung konzentriert sich auf die Wurzeln mehr als beim Umordnen der ursprünglichen Gleichung.

In Anbetracht eines monic quadratischen Polynoms

:

nehmen Sie dass es Faktoren als an

:

Erweiterung von Erträgen

:wo:und:

Da die Ordnung der Multiplikation nicht von Bedeutung ist, kann man α und β und die Werte von p schalten, und q wird sich nicht ändern: Man sagt, dass p und q symmetrische Polynome in α und β sind. Tatsächlich sind sie die elementaren symmetrischen Polynome - jedes symmetrische Polynom in α und β kann in Bezug auf und αβ ausgedrückt werden. Die Galois Theorie nähert sich dem Analysieren, und das Lösen von Polynomen ist: In Anbetracht der Koeffizienten eines Polynoms, die sind symmetrische Funktionen in den Wurzeln, kann eine "Brechung die Symmetrie" und die Wurzeln wieder erlangen? So ein Polynom des Grads lösend, ist n mit den Weisen verbunden ("das Permutieren") n Begriffe umzuordnen, der die symmetrische Gruppe auf n Briefen genannt, und Für das quadratische Polynom angezeigt wird, ist die einzige Weise, zwei Begriffe umzuordnen, sie zu tauschen ((stellen Sie) sie "um"), und so das Lösen eines quadratischen Polynoms ist einfach.

Um die Wurzeln α und β zu finden, denken Sie ihre Summe und Unterschied:

:

r_1 &= \alpha + \beta \\

r_2 &= \alpha - \beta. \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Diese werden die Wiederlösungsmittel von Lagrange des Polynoms genannt;

bemerken Sie, dass diese von der Ordnung der Wurzeln abhängen, die der Stichpunkt ist.

Man kann die Wurzeln von den Wiederlösungsmitteln wieder erlangen, indem man die obengenannten Gleichungen umkehrt:

:

\alpha &= \textstyle {\\frac {1} {2} }\\ist (r_1+r_2\right) \\abgereist

\beta &= \textstyle {\\frac {1} {2} }\\ist (r_1-r_2\right) abgereist. \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

So gibt das Lösen für die Wiederlösungsmittel die ursprünglichen Wurzeln.

Formell werden die Wiederlösungsmittel den getrennten Fourier verwandelt sich (DFT) des Auftrags 2 genannt, und das Umgestalten kann durch die Matrix mit der umgekehrten Matrix ausgedrückt werden Die umgestalten Matrix wird auch die DFT Matrix oder Matrix von Vandermonde genannt.

Jetzt ist eine symmetrische Funktion in α und β, so kann es in Bezug auf p und q, und tatsächlich wie bemerkt, oben ausgedrückt werden. Im Gegenteil, ist seit der Schaltung α und β-Erträge nicht symmetrisch (formell, das wird eine Gruppenhandlung der symmetrischen Gruppe der Wurzeln genannt). Seitdem ist nicht symmetrisch, es kann in Bezug auf die Polynome p und q nicht ausgedrückt werden, weil diese in den Wurzeln symmetrisch sind und so auch jeder polynomische Ausdruck ist, der sie einschließt. Jedoch ändert sich das Ändern der Ordnung der Wurzeln nur durch einen Faktor dessen, und so ist das Quadrat in den Wurzeln, und so expressible in Bezug auf p und q symmetrisch. Das Verwenden der Gleichung

:

Erträge

:

und so

:.

Wenn man die positive Wurzel nimmt, Symmetrie brechend, herrscht man vor:

:

r_1 &=-p \\

r_2 &= \sqrt {p^2 - 4q }\\\

\end {richten} </Mathematik> {aus}und so:

\alpha &= \textstyle {\\frac {1} {2} }\\ist (-p +\sqrt {p^2 - 4q }\\Recht) \\abgereist

\beta &= \textstyle {\\frac {1} {2} }\\ist (-p-\sqrt {p^2 - 4q }\\Recht) \\abgereist

\end {richten} </Mathematik> {aus}

So sind die Wurzeln

:

der die quadratische Formel ist. Das Ersetzen gibt die übliche Form dafür nach, wenn ein quadratischer nicht monic ist. Die Wiederlösungsmittel können anerkannt werden als, der Scheitelpunkt zu sein, und sind der discriminant (eines monic Polynoms).

Eine ähnliche, aber mehr komplizierte Methode arbeitet für kubische Gleichungen, wo man drei Wiederlösungsmittel und eine quadratische Gleichung (das "Auflösungspolynom") Verbindung hat, und den durch die quadratische Gleichung, und ähnlich für einen quartic (Grad 4) Gleichung lösen kann, deren Auflösung des Polynoms ein kubischer ist, der der Reihe nach gelöst werden kann. Jedoch gibt dieselbe Methode für eine quintic Gleichung ein Polynom des Grads 24 nach, der das Problem nicht vereinfacht, und tatsächlich Lösungen von quintic Gleichungen im Allgemeinen damit nicht ausgedrückt werden können, nur wurzelt ein.

Andere Methoden der Wurzelberechnung

Alternative quadratische Formel

In einigen Situationen ist es vorzuziehend, die Wurzeln in einer alternativen Form auszudrücken.

:

Diese Alternative verlangt, dass c Nichtnull ist; für, wenn c Null ist, gibt die Formel richtig Null als eine Wurzel, aber scheitert, jede zweite Nichtnullwurzel zu geben. Statt dessen erzeugt eine der zwei Wahlen für  die unbestimmte Form 0/0, der unbestimmt ist. Jedoch arbeitet die alternative Form, wenn Null ist (das Geben der einzigartigen Lösung als eine Wurzel und Abteilung durch die Null wieder für den anderen), den die normale Form nicht (stattdessen das Produzieren der Abteilung durch die Null beide Male) tut.

Die Wurzeln sind dasselbe, unabhängig von dem Ausdruck wir verwenden; die alternative Form ist bloß eine algebraische Schwankung der Standardform:

:

\frac {-b + \sqrt {b^2-4ac\}} {2a }\

& {} = \frac {-b + \sqrt {b^2-4ac\}} {2a} \cdot \frac {-b - \sqrt {b^2-4ac\}} {-b - \sqrt {b^2-4ac\}} \\

& {} = \frac {b^2 - (b^2 - 4ac)} {2a \left (-b - \sqrt {B^2-4ac} \right)} \\

& {} = \frac {4ac} {2a \left (-b - \sqrt {B^2-4ac} \right)} \\

& {} = \frac {2c} {-b - \sqrt {b^2-4ac\}}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die alternative Formel kann Verlust der Präzision in der numerischen Einschätzung der Wurzeln reduzieren, die ein Problem sein können, wenn eine der Wurzeln viel kleiner ist als anderer im absoluten Umfang. In diesem Fall ist b sehr in der Nähe von, und die Subtraktion im Zähler verursacht Verlust der Bedeutung.

Eine Mischannäherung vermeidet beide alle Annullierungsprobleme (nur Zahlen desselben Zeichens werden hinzugefügt), und das Problem von c Null zu sein:

:

x_1 &= \frac {-b - \sgn (b) \, \sqrt {b^2-4ac}} {2a}, \\

x_2 &= \frac {2c} {-b - \sgn (b) \, \sqrt {b^2-4ac}} = \frac {c} {ax_1}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Hier zeigt sgn die Zeichen-Funktion an.

Das Schwimmen der Punkt-Durchführung

Eine sorgfältige Schwimmpunkt-Computerdurchführung unterscheidet sich etwas von beiden Formen, um ein robustes Ergebnis zu erzeugen. Das Annehmen des discriminant ist positiv, und b ist Nichtnull, der Code wird etwas wie der folgende sein:

:::

Hier ist sgn (b) die Zeichen-Funktion, wo sgn (b) 1 ist, wenn b positiv ist und 1, wenn b negativ ist; sein Gebrauch stellt sicher, dass die hinzugefügten Mengen desselben Zeichens sind, katastrophale Annullierung vermeidend. Die Berechnung von x verwendet die Tatsache, dass das Produkt der Wurzeln c/a ist.

Bemerken Sie, dass, während die obengenannte Formulierung katastrophale Annullierung zwischen b vermeidet und, dort eine Form von der Annullierung zwischen den Begriffen b und &minus;4ac vom discriminant bleibt, der noch zu Verlust der bis zu Hälfte von richtigen bedeutenden Zahlen führen kann. Der discriminant b&minus;4ac muss in der Arithmetik zweimal der Präzision des Ergebnisses geschätzt werden, das zu vermeiden (z.B Viererkabelpräzision, wenn das Endresultat ist, zur vollen doppelten Präzision genau zu sein).

Die Formeln von Vieta

Die Formeln von Vieta geben eine einfache Beziehung zwischen den Wurzeln eines Polynoms und seiner Koeffizienten. Im Fall vom quadratischen Polynom nehmen sie die folgende Form an:

:und:

Diese Ergebnisse folgen sofort von der Beziehung:

:

der Begriff durch den Begriff verglichen werden kann mit:

:

Die erste Formel gibt oben einen günstigen Ausdruck nach, wenn sie eine quadratische Funktion grafisch darstellt. Da der Graph in Bezug auf eine vertikale Linie durch den Scheitelpunkt symmetrisch ist, wenn es zwei echte Wurzeln gibt, wird die X-Koordinate des Scheitelpunkts am Durchschnitt der Wurzeln (oder Abschnitte) gelegen. So wird die X-Koordinate des Scheitelpunkts durch den Ausdruck gegeben:

:

Die Y-Koordinate kann durch das Ersetzen des obengenannten Ergebnisses in die gegebene quadratische Gleichung, das Geben erhalten werden

:

Als eine praktische Sache stellen die Formeln von Vieta eine nützliche Methode zur Verfügung, für die Wurzeln eines quadratischen im Fall zu finden, wo eine Wurzel viel kleiner ist als der andere. Wenn |x&thinsp; dann x&thinsp; + x&thinsp;  x&thinsp; und wir haben die Schätzung:

:

Die Formel des zweiten Vietas stellt dann zur Verfügung:

:

Diese Formeln sind viel leichter zu bewerten als die quadratische Formel unter der Bedingung eines großen und einer kleiner Wurzel, weil die quadratische Formel die kleine Wurzel als der Unterschied von zwei sehr fast gleichen Anzahlen bewertet (der Fall von großem b), der herum - vom Fehler in einer numerischen Einschätzung verursacht. Die Zahl zeigt den Unterschied zwischen (i) eine direkte Einschätzung mit der quadratischen Formel (genau, wenn die Wurzeln in der Nähe von einander im Wert sind) und (ii) eine auf der obengenannten Annäherung der Formeln von Vieta gestützte Einschätzung (genau, wenn die Wurzeln weit unter Drogeneinfluss sind). Als der geradlinige Koeffizient b Zunahmen am Anfang ist die quadratische Formel genau, und die ungefähre Formel verbessert sich in der Genauigkeit, zu einem kleineren Unterschied zwischen den Methoden als b Zunahmen führend. Jedoch an einem Punkt beginnt die quadratische Formel zu verlieren Genauigkeit wegen runden Fehler ab, während die ungefähre Methode fortsetzt sich zu verbessern. Folglich beginnt der Unterschied zwischen den Methoden zuzunehmen, weil die quadratische Formel schlechter und schlechter wird.

Diese Situation entsteht allgemein im Verstärker-Design, wo weit getrennte Wurzeln gewünscht werden, um eine stabile Operation zu versichern (sieh Schritt-Antwort).

Trigonometrische Lösung für komplizierte Wurzeln

Im Fall von Komplex-Wurzeln können die Wurzeln auch trigonometrisch gefunden werden.

Geometrische Lösung

Die quadratische Gleichung kann geometrisch auf mehrere Weisen gelöst werden. Ein Weg ist über die Methode von Lill. Die drei Koeffizienten a, b, c werden mit richtigen Winkeln zwischen ihnen als in SA, AB, und v. Chr. im Begleitdiagramm gezogen. Ein Kreis wird mit dem Anfang gezogen, und Ende spitzen SC als ein Diameter an. Wenn das die mittlere Linie AB der drei dann schneidet, hat die Gleichung eine Lösung, und die Lösungen werden durch die Verneinung der Entfernung entlang dieser Linie von Einem geteilten durch den ersten Koeffizienten a oder SA gegeben. Wenn von 1 die Koeffizienten zu sein, von direkt gelesen werden kann. So sind die Lösungen im Diagramm AX1/SA und AX2/SA.

Generalisation der quadratischen Gleichung

Die Formel und seine Abstammung bleiben richtig, wenn die Koeffizienten a, b und c komplexe Zahlen, oder mehr allgemein Mitglieder eines Feldes sind, dessen Eigenschaft nicht 2 ist. (In einem Feld der Eigenschaft 2 ist das Element 2a Null, und es ist unmöglich, sich dadurch zu teilen.)

Das Symbol

:

in der Formel sollte als "jedes der zwei Elemente verstanden werden, deren Quadrat b  4ac ist, wenn solche Elemente bestehen". In einigen Feldern haben einige Elemente keine Quadratwurzeln, und einige haben zwei; nur Null hat gerade eine Quadratwurzel, außer in Feldern der Eigenschaft 2. Bemerken Sie, dass, selbst wenn ein Feld keine Quadratwurzel von einer Zahl enthält, es immer ein quadratisches Erweiterungsfeld gibt, das tut, so wird die quadratische Formel immer Sinn als eine Formel in diesem Erweiterungsfeld haben.

Eigenschaft 2

In einem Feld der Eigenschaft 2 hält die quadratische Formel, die sich auf 2 verlässt, eine Einheit seiend, nicht. Denken Sie das monic quadratische Polynom

:

über ein Feld der Eigenschaft 2. Wenn b = 0, dann nimmt die Lösung zum Extrahieren einer Quadratwurzel ab, so ist die Lösung

:

und bemerken Sie, dass es nur eine Wurzel seitdem gibt

:

In der Zusammenfassung,

:

Sieh quadratischen Rückstand für mehr Information über das Extrahieren von Quadratwurzeln in begrenzten Feldern.

Im Fall, dass b  0, es zwei verschiedene Wurzeln gibt, aber wenn das Polynom nicht zu vereinfachend ist, können sie nicht in Bezug auf Quadratwurzeln von Zahlen im mitwirkenden Feld ausgedrückt werden. Definieren Sie statt dessen den 2-Wurzeln-R (c) c, um eine Wurzel des Polynoms x + x + c, ein Element des zerreißenden Feldes dieses Polynoms zu sein. Man prüft nach, dass R (c) + 1 auch eine Wurzel ist. In Bezug auf die 2-Wurzeln-Operation sind die zwei Wurzeln der (non-monic) quadratischen Axt + bx + c

:und:

Lassen Sie zum Beispiel ein Anzeigen eines multiplicative Generators der Gruppe von Einheiten von F, das Feld von Galois der Ordnung vier (so a und + 1 sind Wurzeln von x + x + 1 über F). Weil (+ 1) = a, + 1 die einzigartige Lösung der quadratischen Gleichung x + = 0 ist. Andererseits das Polynom x + ist Axt + 1 über F nicht zu vereinfachend, aber es spaltet sich über F auf, wo es die zwei Wurzeln ab und ab + a hat, wo b eine Wurzel von x + x + in F ist.

Das ist ein spezieller Fall der Artin-Schreier Theorie.

Siehe auch

• Methode von Chakravala
• Die Vollendung des Quadrats
• Kubikfunktion
• Hauptsatz der Algebra
• Geradlinige Gleichung
• Parabel
• Periodische Punkte von kompliziertem quadratischem mappings
• Quadratische Funktion
• Quadratisches Polynom
• Quartic fungieren
• Quintic fungieren
• Das Lösen quadratischer Gleichungen mit fortlaufenden Bruchteilen

Außenverbindungen

• 101 Gebrauch einer quadratischen Gleichung
• 101 Gebrauch einer quadratischen Gleichung: Zweiter Teil
• Schrittweise Instruktionen auf dem Verwenden der quadratischen Formel für jeden Eingang