In der Mathematik, der imaginären Einheit oder imaginären Einheitszahl erlaubt dem System der reellen Zahl, zum System der komplexen Zahl erweitert zu werden, das der Reihe nach mindestens eine Wurzel für jedes Polynom zur Verfügung stellt (sieh algebraischen Verschluss und Hauptsatz der Algebra). Die imaginäre Einheit wird meistens dadurch angezeigt. Das Kerneigentum der imaginären Einheit ist das. Der Begriff "imaginärer" wird gebraucht, weil es keine reelle Zahl gibt, die ein negatives Quadrat hat.

Es gibt tatsächlich zwei Quadratwurzeln 1, nämlich und, gerade als es zwei Quadratwurzeln jeder anderen reellen Zahl gibt außer der Null, die eine doppelte Quadratwurzel hat.

In Zusammenhängen, wo zweideutig oder, oder der Grieche problematisch ist (sieh alternative Notationen), wird manchmal verwendet. In den Disziplinen der Elektrotechnik und Regelsystem-Technik wird die imaginäre Einheit häufig durch statt angezeigt, weil allgemein verwendet wird, um elektrischen Strom in diesen Disziplinen anzuzeigen.

Für eine Geschichte der imaginären Einheit, sieh Komplexe Zahl: Geschichte.

Definition

Die imaginäre Zahl wird allein durch das Eigentum definiert, dass sein Quadrat 1 ist:

:

Mit dem definierten dieser Weg folgt es direkt von der Algebra dem und ist beide Quadratwurzeln 1.

Obwohl der Aufbau "imaginär" genannt wird, und obwohl das Konzept einer imaginären Zahl intuitiv schwieriger sein kann zu fassen als diese einer reellen Zahl, ist der Aufbau von einer mathematischen Einstellung vollkommen gültig. Operationen der reellen Zahl können zu imaginären und komplexen Zahlen durch das Behandeln als eine unbekannte Menge erweitert werden, während man einen Ausdruck manipuliert, und dann die Definition verwendet, um jedes Ereignis durch 1 zu ersetzen. Höher können integrierte Mächte dessen auch durch, 1, oder 1 ersetzt werden:

:::

Ähnlich

:

und

Ein quadratisches Polynom ohne vielfache Wurzel seiend, hat die Definieren-Gleichung zwei verschiedene Lösungen, die ebenso gültig sind, und die zufällig zusätzliche und multiplicative Gegenteile von einander sind. Genauer, sobald eine Lösung der Gleichung, der Wert befestigt worden ist, der davon verschieden ist, ist auch eine Lösung. Da die Gleichung die einzige Definition dessen ist, scheint es, dass die Definition (genauer zweideutig, nicht bestimmt ist). Jedoch werden keine Zweideutigkeitsergebnisse nicht weniger als eine der Lösungen gewählt und als das "positive" befestigt. Das ist, weil, obwohl und nicht quantitativ gleichwertig sind (sind sie Negative von einander), es keinen algebraischen Unterschied zwischen gibt und. Beide imaginären Zahlen haben gleichen Anspruch darauf, die Zahl zu sein, deren Quadrat 1 ist. Wenn alle mathematischen Lehrbücher und veröffentlichte Literatur, die sich auf imaginäre oder komplexe Zahlen bezieht, mit dem Ersetzen jedes Ereignisses umgeschrieben wurden (und deshalb jedes Ereignis von ersetzten durch, alle Tatsachen und Lehrsätze fortsetzen würde, gleichwertig gültig zu sein. Die Unterscheidung zwischen den zwei Wurzeln mit einem von ihnen als "positiv" ist rein eine notational Reliquie; wie man sagen kann, ist keine Wurzel mehr primär oder grundsätzlich als der andere.

Das Problem kann ein feines sein. Die genauste Erklärung soll sagen, dass obwohl das komplizierte Feld, definiert als, (sieh komplexe Zahl), bis zum Isomorphismus einzigartig ist, ist es bis zu einem einzigartigen Isomorphismus nicht einzigartig - es gibt genau 2 Feld automorphisms, gegen die jede reelle Zahl befestigt halten: die Identität und der automorphism das Senden an . Siehe auch Komplex verbunden und Gruppe von Galois.

Ein ähnliches Problem entsteht, wenn die komplexen Zahlen als 2 × 2 echte matrices interpretiert werden (sieh Matrixdarstellung von komplexen Zahlen), weil dann beide

:

0 &-1 \\

1 & \; \; 0

\end {pmatrix} </Mathematik> und

\; \; 0 & 1 \\

- 1 & 0

\end {pmatrix }\

</Mathematik>

sind Lösungen der Matrixgleichung

:

1 & 0 \\

0 & 1

\end {pmatrix} = \begin {pmatrix }\

- 1 & \; \; 0 \\

\; \; 0 &-1

\end {pmatrix}. \</Mathematik>

In diesem Fall ergibt sich die Zweideutigkeit aus der geometrischen Wahl, deren "die Richtung" um den Einheitskreis "positive" Folge ist. Eine genauere Erklärung soll sagen, dass die automorphism Gruppe der speziellen orthogonalen Gruppe SO (2), genau 2 Elemente - die Identität und der automorphism hat, der "CW" (im Uhrzeigersinn) und "CCW" (gegen den Uhrzeigersinn) Folgen austauscht. Sieh orthogonale Gruppe.

Alle diese Zweideutigkeiten können durch das Übernehmen einer strengeren Definition der komplexen Zahl, und ausführlich die Auswahl von einer der Lösungen der Gleichung gelöst werden, um die imaginäre Einheit zu sein. Zum Beispiel, das befohlene Paar (0, 1), im üblichen Aufbau der komplexen Zahlen mit zweidimensionalen Vektoren.

Richtiger Gebrauch

Die imaginäre Einheit wird manchmal in fortgeschrittenen Mathematik-Zusammenhängen (sowie in weniger fortgeschrittenen populären Texten) geschrieben. Jedoch muss große Sorge genommen werden, wenn man Formeln manipuliert, die Radikale einbeziehen. Die Notation wird entweder für die Hauptquadratwurzel-Funktion vorbestellt, die nur für den echten, oder für den Hauptzweig der komplizierten Quadratwurzel-Funktion definiert wird. Der Versuch, die Berechnungsregeln der hauptsächlichen (echten) Quadratwurzel-Funktion anzuwenden, den Hauptzweig der komplizierten Quadratwurzel-Funktion zu manipulieren, wird falsche Ergebnisse erzeugen:

: (falsch).

Der Versuch, die Berechnung durch das Spezifizieren sowohl der positiven als auch negativen Wurzeln zu korrigieren, erzeugt nur zweideutige Ergebnisse:

: (zweideutig).

Ähnlich:

: (falsch).

Die Berechnung herrscht

über:

und

:sind

nur für echte, nichtnegative Werte gültig und.

Diese Probleme werden durch das Schreiben und die Manipulierung, aber nicht Ausdrücke wie vermieden. Für eine gründlichere Diskussion, sieh Quadratwurzel und Zweig um hinzuweisen.

Eigenschaften

Quadratwurzeln

Die Quadratwurzel dessen kann als jede von zwei komplexen Zahlen ausgedrückt werden

:

Tatsächlich gibt Quadrieren die Rechte

:

\begin {richten }\aus

\left (\pm \frac {\\sqrt {2}} 2 (1 + i) \right) ^2 \& = \left (\pm \frac {\\sqrt {2}} 2 \right) ^2 (1 + i) ^2 \\\

& = \frac {1} {2} (1 + 2i + i^2) \\

& = \frac {1} {2} (1 + 2i - 1) \\\

& = ich. \\\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Dieses Ergebnis kann auch mit der Formel von Euler abgeleitet werden

:

durch das Ersetzen, das Geben

:

Die Einnahme der Quadratwurzel von beiden Seiten gibt

:

den, durch die Anwendung der Formel von Euler dazu, gibt

:\begin {richten }\aus

\pm \sqrt {ich} & = \cos (\pi/4) + i\sin (\pi/4) \\

& = \frac {1} {\\Premierminister \sqrt {2}} + \frac {ich} {\\Premierminister \sqrt {2} }\\\

& = \frac {1+i} {\\Premierminister \sqrt {2} }\\\

& = \pm \frac {\\sqrt {2}} 2 (1 + i). \\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Ähnlich kann die Quadratwurzel dessen als jede von zwei komplexen Zahlen mit der Formel von Euler ausgedrückt werden:

:durch das Ersetzen, das Geben:Die Einnahme der Quadratwurzel von beiden Seiten gibt:den, durch die Anwendung der Formel von Euler dazu, gibt:\begin {richten }\aus

\pm \sqrt {-i} & = \cos (3\pi/4) + i\sin (3\pi/4) \\

& =-\frac {1} {\\Premierminister \sqrt {2}} + i\frac {1} {\\Premierminister \sqrt {2} }\\\

& = \frac {-1 + ich} {\\Premierminister \sqrt {2} }\\\

& = \pm \frac {\\sqrt {2}} 2 (ich - 1). \\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das Multiplizieren der Quadratwurzel dadurch gibt auch:

:\begin {richten }\aus

\pm \sqrt {-i} = (i) \cdot (\pm\frac {1} {\\sqrt {2}} (1 + i)) \\

& = \pm\frac {1} {\\sqrt {2}} (1i + i^ {2}) \\

& = \pm\frac {\\sqrt {2}} {2} (ich - 1) \\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Multiplikation und Abteilung

Das Multiplizieren einer komplexen Zahl dadurch gibt:

:

Das Teilen dadurch ist zum Multiplizieren mit dem Gegenstück gleichwertig:

:

Das Verwenden dieser Identität, um Abteilung durch zu allen komplexen Zahlen zu verallgemeinern, gibt:

:

Mächte

Die Mächte der Wiederholung in einem Zyklus expressible mit dem folgenden Muster, wo jede ganze Zahl ist:

::::

Das führt zum Beschluss das

:

wo mod die modulo Operation vertritt.

erhoben zur Macht

Von der Formel von Euler Gebrauch zu machen, ist

: wo, der Satz von ganzen Zahlen.

Der Hauptwert (dafür) ist oder etwa 0.207879576...

Factorial

Der factorial der imaginären Einheit wird meistenteils in Bezug auf die Gammafunktion gegeben, die bewertet ist an:

:

Außerdem

:

Andere Operationen

Viele mathematische Operationen, die mit reellen Zahlen ausgeführt werden können, können auch mit, wie exponentiation, Wurzeln, Logarithmen und trigonometrische Funktionen ausgeführt werden.

Eine zur Macht gesteigerte Anzahl ist:

:

Die Wurzel einer Zahl ist:

:

Der Imaginär-Grundlogarithmus einer Zahl ist:

: