Der Hauptsatz der Algebra stellt fest, dass jedes nichtunveränderliche einzeln-variable Polynom mit komplizierten Koeffizienten mindestens eine komplizierte Wurzel hat (rufen Sie zurück, dass echte Koeffizienten und Wurzeln innerhalb der Definition von komplexen Zahlen fallen).

Gleichwertig (definitionsgemäß) stellt der Lehrsatz fest, dass das Feld von komplexen Zahlen algebraisch geschlossen wird.

Manchmal wird dieser Lehrsatz wie folgt festgesetzt: Jedes einzeln-variable Nichtnullpolynom mit komplizierten Koeffizienten hat genau so viele komplizierte Wurzeln wie sein Grad, wenn jede Wurzel bis zu seiner Vielfältigkeit aufgezählt wird. Obwohl das zuerst scheint, eine stärkere Behauptung zu sein, ist es eine direkte Folge der anderen Form des Lehrsatzes durch den Gebrauch der aufeinander folgenden polynomischen Abteilung durch geradlinige Faktoren.

Trotz seines Namens gibt es keinen rein algebraischen Beweis des Lehrsatzes, da jeder Beweis die Vollständigkeit des reals verwenden muss (oder eine andere gleichwertige Formulierung der Vollständigkeit), der nicht ein algebraisches Konzept ist. Zusätzlich ist es für die moderne Algebra nicht grundsätzlich; sein Name wurde gegeben, als die Studie der Algebra hauptsächlich mit den Lösungen polynomischer Gleichungen mit echten oder komplizierten Koeffizienten beschäftigt gewesen ist.

Geschichte

Peter Rothe (Petrus Roth), in seinem Buch Arithmetica Philosophica (veröffentlicht 1608), hat geschrieben, dass eine polynomische Gleichung des Grads n (mit echten Koeffizienten) n Lösungen haben kann. Albert Girard, in seinem Buch L'invention nouvelle en l'Algèbre (veröffentlicht 1629), hat behauptet, dass eine polynomische Gleichung des Grads n n Lösungen hat, aber er hat nicht festgestellt, dass sie reelle Zahlen sein mussten. Außerdem hat er hinzugefügt, dass seine Behauptung hält, "wenn die Gleichung", nicht unvollständig ist, durch den er gemeint hat, dass kein Koeffizient 0 gleich ist. Jedoch, wenn er im Detail erklärt, was er vorhat, ist es klar, dass er wirklich glaubt, dass seine Behauptung immer wahr ist; zum Beispiel zeigt er, dass die Gleichung x = 4x  3, obwohl unvollständig, vier Lösungen hat (Vielfältigkeit aufzählend): 1 (zweimal), 1 + ich  und 1  i .

Wie wieder unten erwähnt wird, folgt es aus dem Hauptsatz der Algebra, dass jedes nichtunveränderliche Polynom mit echten Koeffizienten als ein Produkt von Polynomen mit echten Koeffizienten geschrieben werden kann, deren Grad entweder 1 oder 2 ist. Jedoch 1702 hat Leibniz gesagt, dass kein Polynom des Typs x + (mit einem echten und verschiedenem von 0) auf solche Art und Weise geschrieben werden kann. Später hat Nikolaus Bernoulli dieselbe Behauptung bezüglich des Polynoms x  4x + 2x + 4x + 4 gemacht, aber er hat einen Brief von Euler 1742 bekommen, in dem ihm gesagt wurde, dass sein Polynom zufällig gleich

war:

wo α die Quadratwurzel 4 + 2  ist. Außerdem hat Euler das erwähnt

:

Ein erster Versuch des Beweises des Lehrsatzes wurde von D'Alembert 1746 gemacht, aber sein Beweis war unvollständig. Unter anderen Problemen hat es implizit einen Lehrsatz angenommen (jetzt bekannt als der Lehrsatz von Puiseux), der nicht bewiesen würde, bis mehr als ein Jahrhundert später, und außerdem hat der Beweis den Hauptsatz der Algebra angenommen. Andere Versuche wurden von Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772), und Laplace (1795) gemacht. Diese letzten vier Versuche haben implizit die Behauptung von Girard angenommen; um genauer zu sein, wurde die Existenz von Lösungen angenommen und alles, was hat bewiesen werden müssen, war, dass ihre Form + bi für einige reelle Zahlen a und b war. In modernen Begriffen nahmen Euler, de Foncenex, Lagrange und Laplace die Existenz eines zerreißenden Feldes des Polynoms p (z) an.

Am Ende des 18. Jahrhunderts wurden zwei neue Beweise veröffentlicht, der die Existenz von Wurzeln nicht angenommen hat. Einer von ihnen, wegen James Woods und hauptsächlich algebraisch, wurde 1798 veröffentlicht, und er wurde völlig ignoriert. Der Beweis von Wood hatte eine algebraische Lücke. Der andere wurde von Gauss 1799 veröffentlicht, und es war hauptsächlich geometrisch, aber es hatte eine topologische Lücke, die von Alexander Ostrowski 1920 geschlossen ist, wie besprochen, in Smale 1981 http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183547848 (schreibt Smale, "... Ich möchte was ein riesiger enthaltener Lücke-Beweis von Gauss hinweisen. Es ist ein feiner Punkt sogar heute, dass eine echte algebraische Flugzeug-Kurve in keine Platte ohne das Verlassen eingehen kann. Tatsächlich, wenn auch Gauss diesen Beweis 50 Jahre später nochmals getan hat, ist die Lücke geblieben. Erst als 1920, dass der Beweis von Gauss vollendet wurde. In der Verweisung Gauss hat A. Ostrowski eine Zeitung, die das tut und eine ausgezeichnete Diskussion des Problems gibt ebenso..."). Ein strenger Beweis wurde von Argand 1806 veröffentlicht; es war hier, dass, zum ersten Mal, der Hauptsatz der Algebra für Polynome mit komplizierten Koeffizienten, aber nicht gerade echten Koeffizienten festgesetzt wurde. Gauss hat zwei andere Beweise 1816 und eine andere Version seines ursprünglichen Beweises 1849 erzeugt.

Das erste Lehrbuch, das einen Beweis des Lehrsatzes enthält, war der Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique von Cauchy (1821). Es hat den Beweis von Argand enthalten, obwohl Argand daran nicht geglaubt wird.

Keiner der Beweise erwähnt ist bis jetzt konstruktiv. Es war Weierstrass, der zum ersten Mal, in der Mitte des 19. Jahrhunderts, des Problems erhoben hat, einen konstruktiven Beweis des Hauptsatzes der Algebra zu finden. Er hat seine Lösung präsentiert, die sich in modernen Begriffen auf eine Kombination der Methode von Durand-Kerner mit dem homotopy Verlängerungsgrundsatz 1891 beläuft. Ein anderer Beweis dieser Art wurde von Hellmuth Kneser 1940 erhalten und von seinem Sohn Martin Kneser 1981 vereinfacht.

Ohne zählbare Wahl zu verwenden, ist es nicht möglich, den Hauptsatz der Algebra für komplexe Zahlen konstruktiv zu beweisen, die auf den reellen Zahlen von Dedekind gestützt sind (die zu den reellen Zahlen von Cauchy ohne zählbare Wahl nicht konstruktiv gleichwertig sind). Jedoch hat Fred Richman eine wiederformulierte Version des Lehrsatzes bewiesen, der wirklich arbeitet.

Beweise

Alle Beweise schließen unten etwas Analyse, oder mindestens das topologische Konzept der Kontinuität von echten oder komplizierten Funktionen ein. Einige verwenden auch differentiable oder sogar analytische Funktionen. Diese Tatsache hat einige dazu gebracht zu bemerken, dass der Hauptsatz der Algebra, noch ein Lehrsatz der Algebra weder grundsätzlich ist.

Einige Beweise des Lehrsatzes beweisen nur, dass jedes nichtunveränderliche Polynom mit echten Koeffizienten eine komplizierte Wurzel hat. Das ist genug, um den Lehrsatz im allgemeinen Fall weil, in Anbetracht eines nichtunveränderlichen Polynoms p (z) mit komplizierten Koeffizienten, das Polynom zu gründen

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hat nur echte Koeffizienten und, wenn z eine Null von q (z) ist, dann sind entweder z oder sein verbundenes eine Wurzel von p (z).

Eine Vielzahl von nichtalgebraischen Beweisen des Lehrsatzes verwendet die Tatsache (manchmal genannt "Wachstumslemma"), dass ein n-tes Grad-Polynom p (z) fungiert, dessen dominierender Koeffizient 1 ist, benimmt sich wie z, wenn |z groß genug ist. Eine genauere Behauptung ist: Es gibt eine positive reelle Zahl R solch dass:

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wenn |z> R.

Kompliziert-analytische Beweise

Finden Sie eine geschlossene Platte D des Radius r in den Mittelpunkt gestellt am solchem Ursprung dass |p (z) |> |p (0) | wann auch immer |z  r. Das Minimum von |p (z) | auf D, der seitdem D bestehen muss, ist kompakt, wird deshalb an einem Punkt z im Interieur von D, aber nicht an jedem Punkt seiner Grenze erreicht. Der minimale Modul-Grundsatz deutet dann dass p (z) = 0 an. Mit anderen Worten ist z eine Null von p (z).

Ein anderer analytischer Beweis kann entlang diesem Gedankenfaden erhalten werden bemerkend, dass, seitdem |p (z) |> |p (0) | außerhalb D, das Minimum von |p (z) | auf dem ganzen komplizierten Flugzeug an z erreicht wird. Wenn |p (z) |> 0, dann ist 1/p eine begrenzte Holomorphic-Funktion im kompletten komplizierten Flugzeug seitdem, für jede komplexe Zahl z, |1/p (z) |  |1/p (z) |. Den Lehrsatz von Liouville anwendend, der feststellt, dass eine begrenzte komplette Funktion unveränderlich sein muss, würde das andeuten, dass 1/p unveränderlich ist, und deshalb dass p unveränderlich ist. Das gibt einen Widerspruch, und folglich p (z) = 0.

Und doch verwendet ein anderer analytischer Beweis den Argument-Grundsatz. Lassen Sie R sein eine positive reelle Zahl groß genug, so dass jede Wurzel von p (z) absoluten Wert hat, der kleiner ist als R; solch eine Zahl muss bestehen, weil jede nichtunveränderliche polynomische Funktion des Grads n an den meisten n Nullen hat. Für jeden r> R, denken Sie die Zahl

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wo c (r) der Kreis ist, der an 0 mit dem Radius r in den Mittelpunkt gestellt ist, orientiert gegen den Uhrzeigersinn; dann sagt der Argument-Grundsatz, dass diese Zahl die Nummer N von Nullen von p (z) im offenen Ball ist, der an 0 mit dem Radius r in den Mittelpunkt gestellt ist, der, seitdem r> R, die Gesamtzahl von Nullen von p (z) ist. Andererseits ist das Integral von n/z entlang c (r) geteilt durch 2πi n gleich. Aber der Unterschied zwischen den zwei Zahlen ist

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Der Zähler des vernünftigen Ausdrucks, der wird integriert, hat Grad am grössten Teil von n  1, und der Grad des Nenners ist n + 1. Deshalb neigt die Zahl oben zu 0, wie r zu +  neigt. Aber die Zahl ist auch N  n und so N = n gleich.

Noch kann ein anderer kompliziert-analytischer Beweis durch das Kombinieren geradliniger Algebra mit dem Lehrsatz von Cauchy gegeben werden. Um festzustellen, dass jedes komplizierte Polynom des Grads n> 0 eine Null hat, genügt es, um zu zeigen, dass jede komplizierte Quadratmatrix der Größe n> 0 ein (Komplex) eigenvalue hat. Der Beweis der letzten Behauptung ist durch den Widerspruch.

Lassen Sie A eine komplizierte Quadratmatrix der Größe n> 0 sein und mich die Einheitsmatrix derselben Größe sein zu lassen. Nehmen Sie an, dass A keinen eigenvalues hat. Denken Sie die wiederlösende Funktion

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der eine Meromorphic-Funktion auf dem komplizierten Flugzeug mit Werten im Vektorraum von matrices ist. Die eigenvalues von A sind genau die Pole von R (z). Seitdem, durch die Annahme, hat A keinen eigenvalues, die Funktion R (z) ist eine komplette Funktion, und Lehrsatz von Cauchy bezieht das ein

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Andererseits R (z) ausgebreitet weil gibt eine geometrische Reihe:

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Diese Formel ist außerhalb der geschlossenen Scheibe des Radius || (die Maschinenbediener-Norm von A) gültig. Lassen Sie r> || A. Dann

:

(in dem nur der summand k = 0 ein Nichtnullintegral hat). Das ist ein Widerspruch, und so hat A einen eigenvalue.

Topologische Beweise

Lassen Sie z  C solch sein, dass das Minimum von |p (z) | auf dem ganzen komplizierten Flugzeug an z erreicht wird; es wurde am Beweis gesehen, der den Lehrsatz von Liouville verwendet, dass solch eine Zahl bestehen muss. Wir können p (z) als ein Polynom in z  z schreiben: Es gibt eine natürliche Zahl k, und es gibt einige komplexe Zahlen c, c..., c solch dass c  0 und dass

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Hieraus folgt dass wenn einer k Wurzel von p (z)/c zu sein, und wenn t positiv und genug klein ist, dann |p (z + ta) |) | der, seitdem |p (z) | unmöglich ist, das Minimum von |p auf D ist.

Für einen anderen topologischen Beweis durch den Widerspruch, nehmen Sie an, dass p (z) keine Nullen hat. Wählen Sie eine große positive Zahl R solch, dass, für |z = R, der Hauptbegriff z p (z) alle anderen verbundenen Begriffe beherrscht; mit anderen Worten, solch dass |z> |az + ··· + a. Weil z den Kreis überquert, der durch die Gleichung |z = R einmal gegen den Uhrzeigersinn, p (z), wie z, Winde n Zeiten gegen den Uhrzeigersinn ungefähr 0 gegeben ist. Am anderen Extrem, mit |z = 0, ist die "Kurve" p (z) einfach der einzelne (nichtnull)-Punkt p (0), dessen krumme Zahl klar 0 ist. Wenn die von z gefolgte Schleife unaufhörlich zwischen diesen Extremen deformiert wird, deformiert der Pfad von p (z) auch unaufhörlich. Wir können solch eine Deformierung wie ausführlich schreiben, wo t größer oder gleich 0 und weniger ist als oder gleich 1. Wenn man die Variable t als Zeit ansieht, dann an der Zeitnull ist die Kurve p (z) und in der Zeit eine die Kurve ist p (0). Klar an jedem Punkt t p kann (z) nicht Null durch die ursprüngliche Annahme deshalb während der Deformierung sein, die Kurve durchquert nie Null. Deshalb sollte sich die krumme Zahl der Kurve um die Null nie ändern. Jedoch vorausgesetzt, dass die krumme Zahl als n angefangen hat und als 0 geendet hat, ist das absurd. Deshalb p hat (z) mindestens eine Null.

Algebraische Beweise

Diese Beweise verwenden zwei Tatsachen über reelle Zahlen, die nur einen kleinen Betrag der Analyse (genauer, der Zwischenwertlehrsatz) verlangen:

• jedes Polynom mit dem sonderbaren Grad und den echten Koeffizienten hat eine echte Wurzel;
• jede nichtnegative reelle Zahl hat eine Quadratwurzel.

Die zweite Tatsache, zusammen mit der quadratischen Formel, bezieht den Lehrsatz für echte quadratische Polynome ein. Mit anderen Worten zeigen algebraische Beweise des Hauptsatzes wirklich dass, wenn R ein echt geschlossenes Feld ist, dann wird seine Erweiterung algebraisch geschlossen.

Wie oben erwähnt genügt es, um zu überprüfen, dass die Behauptung "jedes nichtunveränderliche Polynom p (z) mit echten Koeffizienten eine komplizierte Wurzel hat". Diese Behauptung kann durch die Induktion auf der größten natürlichen Zahl k solch bewiesen werden, dass 2 den Grad n p (z) teilt. Lassen Sie der Koeffizient von z in p (z) sein und F ein zerreißendes Feld von p (z) über C sein zu lassen; mit anderen Worten enthält Feld F C, und es gibt Elemente z, z..., z in solchem F dass

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Wenn k = 0, dann ist n, und deshalb p (z) seltsam, eine echte Wurzel hat. Nehmen Sie jetzt an, dass n = 2 M (mit der M seltsam und k> 0), und dass der Lehrsatz bereits bewiesen wird, wenn der Grad des Polynoms die Form 2 M  mit der M  seltsam hat. Für eine reelle Zahl t, definieren Sie:

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Dann sind die Koeffizienten von q (z) symmetrische Polynome im z's mit echten Koeffizienten. Deshalb können sie als Polynome mit echten Koeffizienten in den elementaren symmetrischen Polynomen, d. h. in a, a..., (1) a ausgedrückt werden. So q hat (z) tatsächlich echte Koeffizienten. Außerdem ist der Grad von q (z) n (n  1)/2 = 2 M (n  1), und M (n  1) ist eine ungerade Zahl. Also, mit der Induktionsvoraussetzung hat q mindestens eine komplizierte Wurzel; mit anderen Worten z + z + ist tzz für zwei verschiedene Elemente i und j von {1..., n} kompliziert. Da es mehr reelle Zahlen gibt als Paare (ich, j), kann man verschiedene reelle Zahlen t und s solch finden, dass z + z + tzz und z + z + szz (für dasselbe ich und j) kompliziert sind. Also, sowohl z + z als auch zz sind komplexe Zahlen. Es ist leicht zu überprüfen, dass jede komplexe Zahl eine komplizierte Quadratwurzel hat, so hat jedes komplizierte Polynom des Grads 2 eine komplizierte Wurzel durch die quadratische Formel. Hieraus folgt dass z und z komplexe Zahlen sind, da sie Wurzeln des quadratischen Polynoms z  (z + z) z + zz sind.

J. Shipman hat 2007 gezeigt, dass die Annahme, dass sonderbare Grad-Polynome Wurzeln haben, stärker ist als notwendig; jedes Feld, in dem Polynome des Hauptgrads Wurzeln haben, wird algebraisch geschlossen (so "seltsam" kann durch die "sonderbare Blüte" ersetzt werden, und außerdem hält das für Felder aller Eigenschaften). Für axiomatization algebraisch geschlossener Felder ist das das bestmögliche, weil es Gegenbeispiele gibt, wenn eine einzelne Blüte ausgeschlossen wird. Jedoch verlassen sich diese Gegenbeispiele darauf, eine Quadratwurzel 1 zu haben. Wenn wir ein Feld nehmen, wo 1 keine Quadratwurzel und jedes Polynom des Grads n  hat, habe ich eine Wurzel, wo ich jeder feste unendliche Satz von ungeraden Zahlen bin, dann hat jedes Polynom f (x) des sonderbaren Grads eine Wurzel (da eine Wurzel hat, wo k so dass gewählt wird).

Ein anderer algebraischer Beweis des Hauptsatzes kann mit der Theorie von Galois gegeben werden. Es genügt, um zu zeigen, dass C keine richtige begrenzte Felderweiterung hat. Lassen Sie K/C eine begrenzte Erweiterung sein. Da der normale Verschluss von K über R noch einen begrenzten Grad über C hat (oder R), können wir ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen, dass K eine normale Erweiterung von R ist (folglich, ist es eine Erweiterung von Galois, weil jede algebraische Erweiterung eines Feldes der Eigenschaft 0 trennbar ist). Lassen Sie G die Gruppe von Galois dieser Erweiterung sein, und H von G 2-Gruppen-Sylow sein zu lassen, so dass die Ordnung von H eine Macht 2 ist, und der Index von H in G seltsam ist. Durch den Hauptsatz der Theorie von Galois, dort besteht eine Suberweiterung L solchen K/R dass Mädchen (K/L) = H. Als [L:R] = [G:H] ist seltsam, und es gibt keine nichtlinearen nicht zu vereinfachenden echten Polynome des sonderbaren Grads, wir müssen L = R haben, so [K:R] und [K:C] sind Mächte 2. Für den Widerspruch [K:C]> 1 annehmend, enthält das 2-Gruppen-Mädchen (K/C) eine Untergruppe des Index 2, so dort besteht eine Suberweiterung M von C des Grads 2. Jedoch hat C keine Erweiterung des Grads 2, weil jedes quadratische komplizierte Polynom eine komplizierte Wurzel wie oben erwähnt hat.

Folgeerscheinungen

Da der Hauptsatz der Algebra als die Behauptung gesehen werden kann, dass das Feld von komplexen Zahlen algebraisch geschlossen wird, hieraus folgt dass jeder Lehrsatz bezüglich algebraisch geschlossener Felder für das Feld von komplexen Zahlen gilt. Hier sind noch einige Folgen des Lehrsatzes, die entweder über das Feld von reellen Zahlen oder über die Beziehung zwischen dem Feld von reellen Zahlen und dem Feld von komplexen Zahlen sind:

• Das Feld von komplexen Zahlen ist der algebraische Verschluss des Feldes von reellen Zahlen.
• Jedes Polynom in einer Variable x mit echten Koeffizienten ist das Produkt einer Konstante, die Polynome der Form x + mit einem echten, und die Polynome der Form x + Axt + b mit a und b echt und ein  4b + Axt + b hat keine echten Wurzeln).
• Jede vernünftige Funktion in einer Variable x, mit echten Koeffizienten, kann als die Summe einer polynomischen Funktion mit vernünftigen Funktionen der Form / (x  b) geschrieben werden (wo n eine natürliche Zahl ist, und a und b reelle Zahlen sind), und vernünftige Funktionen der Form (Axt + b) / (x + cx + d) (wo n eine natürliche Zahl und a, b, c ist, und d solche reelle Zahlen sind, dass c  4d eines monic Polynoms eine Ungleichheit wo befriedigen

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Bemerken Sie, dass, wie festgesetzt, das noch nicht ein Existenz-Ergebnis, aber eher ein Beispiel dessen ist, was einen gebundenen a priori genannt wird: Es sagt das, wenn es Lösungen gibt

dann liegen sie innerhalb der geschlossenen Platte des Zentrums der Ursprung und Radius. Jedoch einmal verbunden mit dem Hauptsatz der Algebra sagt es, dass die Platte tatsächlich mindestens eine Lösung enthält. Mehr allgemein kann ein bestimmter direkt in Bezug auf jede P-Norm des N-Vektoren von Koeffizienten gegeben werden, d. h. wo genau die Q-Norm des 2-Vektoren-, q ist die verbundene Hochzahl von p, 1/p + 1/q = 1, für irgendwelchen zu sein. So wird das Modul jeder Lösung auch durch begrenzt

::

dafür

:

(wo wir definieren, um 1 zu bedeuten, der angemessen ist, da 1 tatsächlich der n-te Koeffizient unseres Polynoms ist).

Der Fall eines allgemeinen Polynoms des Grads n wird natürlich auf den Fall eines monic reduziert, alle Koeffizienten dadurch teilend. Außerdem, im Falle dass dieser 0 nicht eine Wurzel ist, d. h., von unten auf den Wurzeln springt, folgen sofort als Grenzen von oben auf, d. h. die Wurzeln dessen. Schließlich kann die Entfernung von den Wurzeln bis jeden Punkt von unten und oben geschätzt werden, als zeroes des Polynoms sehend, dessen Koeffizienten die Vergrößerung von Taylor an sind

Wir melden hier den Beweis der obengenannten Grenzen, der kurz und elementar ist. Lassen Sie, eine Wurzel des Polynoms zu sein; um die Ungleichheit zu beweisen, können wir natürlich annehmen. Wenn wir die Gleichung als, und mit der Ungleichheit von Hölder schreiben, finden wir. Jetzt, wenn, das so ist. Im Fall

:

so und Vereinfachung. Deshalb

hält für den ganzen

Referenzen

Historische Quellen

• (tr. Kurs über die Analyse der Königlichen Polytechnischen Akademie, Teils 1: Algebraische Analyse)
• . Englische Übersetzung:

• (tr. Der neue Beweis des Lehrsatzes, dass jede integrierte vernünftige algebraische Funktion einer Variable in echte Faktoren des ersten oder zweiten Grads aufgelöst werden kann).
• C. F. Gauss, "Ein anderer neuer Beweis des Lehrsatzes, dass jede integrierte vernünftige algebraische Funktion einer Variable in echte Faktoren des ersten oder zweiten Grads", 1815 aufgelöst werden kann

• (Der Hauptsatz von Algebra und Intuitionism).

• (tr. Eine Erweiterung einer Arbeit von Hellmuth Kneser auf dem Hauptsatz der Algebra).

• (tr. Auf den ersten und vierten Beweisen von Gaussian des Hauptsatzes der Algebra).

• (tr. Der neue Beweis des Lehrsatzes, dass jede integrierte vernünftige Funktion einer Variable als ein Produkt von geradlinigen Funktionen derselben Variable vertreten werden kann).

Neue Literatur

• (tr. Auf der Geschichte des Hauptsatzes der Algebra: Gleichungstheorie und Integralrechnung.)

• (tr. Die vernünftigen Funktionen §80-88: der Hauptsatz).

http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183547848

Links

• Hauptsatz der Algebra — eine Sammlung von Beweisen
• D. J. Velleman: Der Hauptsatz der Algebra: Ein Sichtanflug, PDF (unveröffentlichtes Papier), Visualisierung von d'Alembert's, Gauss und die krummen Zahl-Beweise
• Hauptsatz des Algebra-Moduls durch John H. Mathews
• Bibliografie für den Hauptsatz der Algebra
• Vom Hauptsatz der Algebra zur Astrophysik: Ein "harmonischer" Pfad