In der komplizierten Analyse, einer kompletten Funktion, hat auch eine integrierte Funktion genannt, ist eine Komplex-geschätzte Funktion, die holomorphic über das ganze komplizierte Flugzeug ist. Typische Beispiele von kompletten Funktionen sind die Polynome und die Exponentialfunktion, und irgendwelche Summen, Produkte und Zusammensetzungen von diesen, einschließlich der Fehlerfunktion und des trigonometrischen Funktionssinus und Kosinus und ihrer Hyperbelkollegen der Sinus hyperbolicus und die Funktionen des Cosinus hyperbolicus. Weder der natürliche Logarithmus noch die Quadratwurzel-Funktionen können analytisch zu einer kompletten Funktion fortgesetzt werden.

Eine transzendentale komplette Funktion ist eine komplette Funktion, die nicht ein Polynom ist (sieh transzendente Funktion).

Eigenschaften

Jede komplette Funktion kann als eine Macht-Reihe vertreten werden, die gleichförmig auf Kompaktsätzen zusammenläuft. Der Lehrsatz von Weierstrass factorization behauptet, dass jede komplette Funktion durch ein Produkt vertreten werden kann, das seinen zeroes einschließt.

Die kompletten Funktionen auf dem komplizierten Flugzeug bilden ein integriertes Gebiet (tatsächlich ein Gebiet von Prüfer).

Der Lehrsatz von Liouville stellt fest, dass jede begrenzte komplette Funktion unveränderlich sein muss. Der Lehrsatz von Liouville kann verwendet werden, um den Hauptsatz der Algebra elegant zu beweisen.

Demzufolge des Lehrsatzes von Liouville ist jede Funktion, die auf dem ganzen Bereich von Riemann komplett ist (kompliziertes Flugzeug und der Punkt an der Unendlichkeit) unveränderlich. So muss jede nichtunveränderliche komplette Funktion eine Eigenartigkeit am komplizierten Punkt an der Unendlichkeit, entweder ein Pol für ein Polynom oder eine wesentliche Eigenartigkeit für eine transzendentale komplette Funktion haben. Spezifisch, durch den Casorati-Weierstrass Lehrsatz, für jede transzendentale komplette Funktion f und jeden Komplex w gibt es eine Folge mit und.

Der kleine Lehrsatz von Picard ist ein viel stärkeres Ergebnis: Jede nichtunveränderliche komplette Funktion übernimmt jede komplexe Zahl als Wert vielleicht mit einer einzelnen Ausnahme. Die letzte Ausnahme wird durch die Exponentialfunktion illustriert, die nie den Wert 0 übernimmt.

Der Lehrsatz von Liouville ist ein spezieller Fall der folgenden Behauptung:

Ordnung und Wachstum

Die Ordnung (an der Unendlichkeit) einer kompletten Funktion f (z) wird mit der Grenze höher als definiert:

wo B die Platte des Radius r ist und die Supremum-Norm von f (z) auf B anzeigt. Wenn 0

Mit anderen Worten ist die Ordnung von f (z) der infimum der ganzen solcher M dass f (z) = O (exp (|z)) als z  . Die Ordnung braucht nicht begrenzt zu sein.

Komplette Funktionen können so schnell wie jede zunehmende Funktion anbauen: für jede zunehmende Funktion g: [0, )  R dort besteht eine komplette Funktion f (z) solch dass f (x)> g (x) für den ganzen echten x. Solch eine Funktion f kann der Form leicht gefunden werden:

für eine günstig gewählte ausschließlich zunehmende Folge von positiven ganzen Zahlen n. Jede solche Folge definiert eine komplette Reihe f (z); und wenn es günstig gewählt wird, hält die Ungleichheit f (x)> g (x) auch für den ganzen echten x.

Andere Beispiele

J. E. Littlewood hat die Sigma-Funktion von Weierstrass als eine 'typische' komplette Funktion in einem seiner Bücher gewählt. Andere Beispiele schließen die Integrale von Fresnel, die Funktion von Jacobi theta und die gegenseitige Gammafunktion ein. Die Exponentialfunktion und die Fehlerfunktion sind spezielle Fälle der Mittag-Leffler-Funktion.

Siehe auch

• Die Formel von Jensen
• Der Lehrsatz von Carlson
• Exponentialtyp
• Paley-Wiener Lehrsatz

Zeichen