In der komplizierten Analyse ist eine wesentliche Eigenartigkeit einer Funktion eine "strenge" Eigenartigkeit nahe, die die Funktion äußerstes Verhalten ausstellt.

Wesentliche Eigenartigkeit der Kategorie ist ein "Rest" oder Verzug-Gruppe von Eigenartigkeiten, die besonders schwer zu handhabend sind: Definitionsgemäß bauen sie keine der anderen zwei Kategorien der Eigenartigkeit ein, die auf etwas Weise - absetzbare Eigenartigkeiten und Pole befasst werden kann.

Formelle Beschreibung

Denken Sie eine offene Teilmenge U vom komplizierten Flugzeug C. Lassen Sie ein Element von U und f sein: U \{ein}  C eine Meromorphic-Funktion. Der Punkt, den zu sein, eine wesentliche Eigenartigkeit der Funktion f genannt hat, wenn die Eigenartigkeit weder ein Pol noch eine absetzbare Eigenartigkeit ist.

Zum Beispiel hat die Funktion f (z) = e eine wesentliche Eigenartigkeit an z = 0.

Abwechselnde Beschreibungen

Lassen Sie eine komplexe Zahl sein, anzunehmen, dass f (z) an a nicht definiert wird, aber im einem Gebiet U des komplizierten Flugzeugs, und dass jede offene Nachbarschaft eines Habens nichtleerer Kreuzung mit U. analytisch

Wenn beide

: und bestehen Sie, dann einer absetzbaren Eigenartigkeit sowohl von f als auch von 1/f zu sein.

Wenn

: besteht, aber besteht nicht, dann einer Null von f und eines Pols von 1/f zu sein.

Ähnlich, wenn

: besteht nicht, aber besteht wirklich, dann eines Pols von f und einer Null von 1/f zu sein.

Wenn keiner

: noch besteht, dann einer wesentlichen Eigenartigkeit sowohl von f als auch von 1/f zu sein.

Eine andere Weise, eine wesentliche Eigenartigkeit zu charakterisieren, besteht darin, dass die Reihe von Laurent von f am Punkt ein Haben ungeheuer vieler negativer Grad-Begriffe (d. h., der Hauptteil der Reihe von Laurent eine unendliche Summe ist).

Das Verhalten von Meromorphic-Funktionen in der Nähe von wesentlichen Eigenartigkeiten wird durch den Casorati-Weierstrass Lehrsatz und durch den großen Lehrsatz des beträchtlich stärkeren Picards beschrieben. Der Letztere sagt, dass in jeder Nachbarschaft einer wesentlichen Eigenartigkeit a die Funktion f jeden komplizierten Wert übernimmt, außer vielleicht ein, ungeheuer oft.

• Lars V. Ahlfors; komplizierte Analyse, McGraw-Hügel, 1979
• Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; fortgeschrittene Technikmathematik. Seite 920. Alpha Science International, Limited, 2004. Internationale Standardbuchnummer 1842651854

Außenverbindungen

• Eine wesentliche Eigenartigkeit durch Stephen Wolfram, Demonstrationsprojekt von Wolfram.
• Wesentliche Eigenartigkeit auf der Planet-Mathematik