In der komplizierten Analyse ist eine absetzbare Eigenartigkeit (hat manchmal eine kosmetische Eigenartigkeit genannt), einer Holomorphic-Funktion ein Punkt, an dem die Funktion unbestimmt ist, aber es ist möglich, die Funktion an diesem Punkt auf solche Art und Weise zu definieren, dass die Funktion in einer Nachbarschaft dieses Punkts regelmäßig ist.

Zum Beispiel, die Funktion

:

hat eine Eigenartigkeit an z = 0. Diese Eigenartigkeit kann durch das Definieren f (0) entfernt werden: = 1, der die Grenze von f ist, weil neigt z zu 0. Die resultierende Funktion ist holomorphic. In diesem Fall wurde das Problem durch f verursacht eine unbestimmte Form gegeben zu werden. Die Einnahme einer Macht-Reihenentwicklung für Shows das

:

Formell, wenn eine offene Teilmenge des komplizierten Flugzeugs, ein Punkt dessen ist, und eine Holomorphic-Funktion ist, dann eine absetzbare Eigenartigkeit danach genannt wird, wenn dort eine Holomorphic-Funktion besteht, die mit darauf zusammenfällt. Wir sagen ist ausziehbar zu Ende holomorphically, wenn solch ein besteht.

Der Lehrsatz von Riemann

Der Lehrsatz von Riemann auf absetzbaren Eigenartigkeiten setzt fest, wenn eine Eigenartigkeit absetzbar ist:

Lehrsatz. Lassen Sie, eine offene Teilmenge des komplizierten Flugzeugs, ein Punkt und eine auf dem Satz definierte Holomorphic-Funktion zu sein. Der folgende ist gleichwertig:

1. ist ausziehbar zu Ende holomorphically.

1. ist unaufhörlich zu Ende ausziehbar.
2. Dort besteht eine Nachbarschaft dessen, auf dem begrenzt wird.

.

Die Implikationen 1  2  3  4 sind trivial. Um 4  1 zu beweisen, rufen wir zuerst zurück, dass der holomorphy einer Funktion daran dazu gleichwertig ist, am (Beweis) analytisch seiend, d. h. eine Macht-Reihe-Darstellung habend. Definieren Sie

:

h (z) =

\begin {Fälle }\

(z - a) ^2 f (z) & z \ne a, \\

0 & z = a.

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Klar ist h holomorphic auf D \, und dort besteht

:

durch 4 folglich ist h holomorphic auf D und hat eine Reihe von Taylor über a:

:

Wir haben = h (a) = 0 und = h (a) = 0; deshalb

:

ist eine holomorphic Erweiterung von f über a, der den Anspruch beweist.

Andere Arten von Eigenartigkeiten

Verschieden von Funktionen einer echten Variable, holomorphic Funktionen sind genug starr, dass ihre isolierten Eigenartigkeiten völlig klassifiziert werden können. Eine Eigenartigkeit einer holomorphic Funktion ist entweder nicht wirklich eine Eigenartigkeit überhaupt, d. h. eine absetzbare Eigenartigkeit oder einer der folgenden zwei Typen:

1. Im Licht des Lehrsatzes von Riemann, in Anbetracht einer nichtabsetzbaren Eigenartigkeit, könnte man fragen, ob dort eine solche natürliche Zahl dass besteht. Wenn so, wird einen Polen dessen genannt, und das kleinste solcher ist die Ordnung dessen. So sind absetzbare Eigenartigkeiten genau die Pole des Auftrags 0. Eine Holomorphic-Funktion explodiert gleichförmig in der Nähe von seinen Polen.
2. Wenn eine isolierte Eigenartigkeit dessen weder absetzbar ist noch ein Pol, wird es eine wesentliche Eigenartigkeit genannt. Es kann dass solch eine Karten jede durchstochene offene Nachbarschaft zum kompletten komplizierten Flugzeug mit der möglichen Ausnahme von höchstens einem Punkt gezeigt werden.

Siehe auch

• Analytische Kapazität
• Absetzbare Diskontinuität

Außenverbindungen