zu einem besonderen Punkt c und einem Pfad der Integration γ. Der Pfad von

Integration muss in einem Ringrohr (gezeigt hier im Rot) liegen, innerhalb dessen f (z) ist

(analytischer) holomorphic.]]

In der Mathematik ist die Reihe von Laurent einer komplizierten Funktion f (z) eine Darstellung dieser Funktion als eine Macht-Reihe, die Begriffe des negativen Grads einschließt. Es kann verwendet werden, um komplizierte Funktionen in Fällen wo auszudrücken

eine Reihenentwicklung von Taylor kann nicht angewandt werden. Die Reihe von Laurent wurde genannt

danach und zuerst veröffentlicht von Pierre Alphonse Laurent 1843.

Karl Weierstrass kann es zuerst 1841 entdeckt haben, aber hat es zurzeit nicht veröffentlicht.

Durch die Reihe von Laurent für eine komplizierte Funktion f (z) über einen Punkt c wird gegeben:

:

wo Konstanten sind, die durch eine Linie integrierter definiert sind

der eine Generalisation der integrierten Formel von Cauchy ist:

:

Der Pfad der Integration γ ist gegen den Uhrzeigersinn um einen geschlossenen,

korrigierbarer Pfad, der keine Selbstkreuzungen enthält, einschließend

c und in einem Ringrohr liegend, in dem ist

(analytischer) holomorphic. Die Vergrößerung dafür wird dann überall innerhalb des Ringrohrs gültig sein. Das Ringrohr ist

gezeigt im Rot im Diagramm rechts, zusammen mit einem Beispiel eines passenden

der Pfad der Integration etikettiert.

Wenn wir nehmen, um ein Kreis, wo zu sein

zur Computerwissenschaft des Komplexes Koeffizienten von Fourier der Beschränkung dazu. Die Tatsache dass diese

Integrale sind durch eine Deformierung der Kontur unverändert ist eine unmittelbare Folge des Lehrsatzes von Stokes.

In der Praxis kann die obengenannte integrierte Formel nicht die praktischste Methode anbieten, für die Koeffizienten zu schätzen

für eine gegebene Funktion; statt dessen ein häufig Stücke zusammen der Laurent

Reihe durch das Kombinieren bekannter Vergrößerungen von Taylor.

Weil die Vergrößerung von Laurent einer Funktion wann auch immer einzigartig

ist

es, besteht jeder Ausdruck dieser Form, die wirklich der gegebenen Funktion gleichkommt

in einem Ringrohr muss wirklich der sein

Vergrößerung von Laurent dessen.

Konvergente Reihe von Laurent

Reihen von Laurent mit komplizierten Koeffizienten sind ein wichtiges Werkzeug in der komplizierten Analyse, um besonders das Verhalten von Funktionen in der Nähe von Eigenartigkeiten zu untersuchen.

Denken Sie zum Beispiel die Funktion damit. Als eine echte Funktion ist es ungeheuer häufig differentiable überall; als eine komplizierte Funktion jedoch ist es nicht differentiable an x = 0. Indem wir x durch −1/x in der Macht-Reihe für die Exponentialfunktion ersetzen, erhalten wir seine Reihe von Laurent, die zusammenläuft und (x) ƒ für alle komplexen Zahlen x außer an der Eigenartigkeit x = 0 gleich ist. Der Graph entgegengesetzte Shows e im Schwarzen und seinen Annäherungen von Laurent

:

für N =, und. Als N   wird die Annäherung genau für alle (komplizierten) Zahlen x außer an der Eigenartigkeit x = 0.

Mehr allgemein kann Reihe von Laurent verwendet werden, um Holomorphic-Funktionen auszudrücken, die auf einem Ringrohr viel definiert sind, wie Macht-Reihen verwendet werden, um auf einer Scheibe definierte Holomorphic-Funktionen auszudrücken.

Nehmen Sie an

:

ist eine gegebene Reihe von Laurent mit komplizierten Koeffizienten a und einem komplizierten Zentrum c. Dann dort besteht ein einzigartiger innerer Radius und Außenradius R solch dass:

• Die Reihe von Laurent läuft auf dem offenen Ringrohr A zusammen: = {z: r

:

Wir nehmen R, um unendlich zu sein, wenn dieser letzte lim Mund voll Null ist.

Umgekehrt, wenn wir mit einem Ringrohr der Form = {z anfangen: r

Diese Funktion hat Eigenartigkeiten an z = 1 und z = 2i, wo der Nenner des Ausdrucks Null ist und der Ausdruck deshalb unbestimmt ist.

Eine Reihe von Taylor über z = 0 (der eine Macht-Reihe nachgibt) wird nur in einer Scheibe des Radius 1 zusammenlaufen, da es die Eigenartigkeit an 1 "schlägt".

Jedoch gibt es drei mögliche Vergrößerungen von Laurent über z = 0, je nachdem das Gebiet z ist in:

• Einer wird auf der Scheibe wo z definiert

(Die Technik ist mit verwendenden teilweisen Bruchteilen verbunden, um den ursprünglichen Ausdruck für f (z) in zwei einfachere Bruchteile und dann Ausnutzung der Tatsache zu spalten, dass 1 / (1-z) die Formel für die Summe einer geometrischen Reihe mit dem ersten Begriff 1 und unveränderlicher Vermehrer z ist.)

• Ein anderer wird auf dem Ringrohr wo 1 definiert
• Der dritte wird auf dem unendlichen Ringrohr wo 2 definiert

: (Die Begriffe können oben durch die polynomische lange Abteilung oder das Verwenden der Summe eines geometrischen Reihe-Tricks wieder, dieses Mal mit und als die allgemeinen Verhältnisse abgeleitet werden.)

Der Fall r = 0, d. h. ein Holomorphic-Funktions-ƒ (z), der an einem einzelnen Punkt c unbestimmt sein kann, ist besonders wichtig.

Der Koeffizient der Vergrößerung von Laurent solch einer Funktion wird den Rückstand von ƒ (z) an der Eigenartigkeit c genannt; es spielt eine prominente Rolle im Rückstand-Lehrsatz.

Für ein Beispiel davon, denken Sie

:

Diese Funktion ist holomorphic überall außer an z = 0.

Um die Vergrößerung von Laurent über c = 0 zu bestimmen, verwenden wir unsere Kenntnisse der Reihe von Taylor der Exponentialfunktion:

:

und wir finden, dass der Rückstand 2 ist.

Einzigartigkeit

Nehmen Sie einen Funktions-ƒ (z) holomorphic auf dem Ringrohr r an

Multiplizieren Sie beide Seiten damit, wo k eine willkürliche ganze Zahl, und integriert auf einem Pfad γ innerhalb des Ringrohrs, ist

:

Die Reihe läuft gleichförmig darauf zusammen, wo ε eine positive Zahl klein genug für γ zu enthaltend im eingeengten geschlossenen Ringrohr ist, so können die Integration und Summierung ausgewechselt werden. Das Ersetzen der Identität

:

in die Summierung gibt nach

:

Folglich ist die Reihe von Laurent einzigartig.

Polynome von Laurent

Ein Polynom von Laurent ist eine Reihe von Laurent, in der nur begrenzt viele Koeffizienten Nichtnull sind. Polynome von Laurent unterscheiden sich von gewöhnlichen Polynomen, in denen sie Begriffe des negativen Grads haben können.

Hauptteil

Der Hauptteil einer Reihe von Laurent ist die Reihe von Begriffen mit dem negativen Grad, der ist

:

Wenn der Hauptteil von f eine begrenzte Summe ist, dann hat f einen Pol an c der Ordnung, die (der Verneinung) der Grad des höchsten Begriffes gleich ist; andererseits, wenn f eine wesentliche Eigenartigkeit an c hat, ist der Hauptteil eine unendliche Summe (das Meinen, dass es ungeheuer viele Nichtnullbegriffe hat).

Wenn der innere Radius der Konvergenz der Reihe von Laurent für f 0 ist, dann ist das wenn und nur wenn: F hat eine wesentliche Eigenartigkeit an c, wenn, und nur wenn der Hauptteil eine unendliche Summe ist, und einen Pol sonst hat.

Wenn der innere Radius der Konvergenz positiv ist, können f ungeheuer viele negative Begriffe haben, aber sind noch an c, als im Beispiel oben regelmäßig, in welchem Fall es durch eine verschiedene Reihe von Laurent in einer Platte über c vertreten wird.

Reihe von Laurent mit nur begrenzt sind viele negative Begriffe gezähmt — sie sind eine Macht-Reihe, die dadurch geteilt ist, und können ähnlich analysiert werden — während Reihen von Laurent mit ungeheuer vielen negativen Begriffen Verhalten auf dem inneren Kreis der Konvergenz kompliziert haben.

Multiplikation

Reihe von Laurent kann nicht im Allgemeinen multipliziert werden.

Algebraisch kann der Ausdruck für die Begriffe des Produktes unendliche Summen einschließen, die nicht zusammenzulaufen brauchen (man kann die Gehirnwindung von Folgen der ganzen Zahl nicht nehmen).

Geometrisch können die zwei Reihen von Laurent nichtüberlappende Ringrohre der Konvergenz haben.

Zwei Reihen von Laurent mit nur begrenzt vielen negativen Begriffen können multipliziert werden: Algebraisch sind die Summen alle begrenzt; geometrisch haben diese Pole an c und inneren Radius der Konvergenz 0, so laufen sie beide auf einem überlappenden Ringrohr zusammen.

So, wenn man formelle Reihe von Laurent definiert, verlangt man Reihe von Laurent mit nur begrenzt vielen negativen Begriffen.

Ähnlich braucht die Summe von zwei konvergenten Reihen von Laurent nicht zusammenzulaufen, obwohl sie immer formell definiert wird, aber die Summe von zwei begrenzten unter der Reihe von Laurent (oder jeder Reihe von Laurent auf einer durchstochenen Platte) hat ein nichtleeres Ringrohr der Konvergenz.

Siehe auch

• Formelle Reihe von Laurent - Reihe von Laurent hat formell, mit Koeffizienten von einem willkürlichen Ersatzring, ohne Rücksicht auf die Konvergenz, und mit nur begrenzt vielen negativen Begriffen in Betracht gezogen, so dass Multiplikation immer definiert wird.
• Z-transform - der spezielle Fall, wo die Reihe von Laurent über die Null genommen wird, hat viel Nutzen in der Zeitreihe-Analyse.
• Reihe von Fourier - der Ersatz gestaltet eine Reihe von Laurent in eine Reihe von Fourier, oder umgekehrt um. Das wird in der Q-Reihenentwicklung des j-invariant verwendet.

Außenverbindungen

• Reihe-Modul von Laurent durch John H. Mathews
• Laurent Series und Mandelbrot, der von Robert Munafo gesetzt ist