In der Mathematik ist die Exponentialfunktion die Funktion e, wo e die Zahl (etwa 2.718281828) solch ist, dass die Funktion e seine eigene Ableitung ist. Die Exponentialfunktion wird verwendet, um eine Beziehung zu modellieren, in der eine unveränderliche Änderung in der unabhängigen Variable dieselbe proportionale Änderung (d. h. Prozentsatz-Zunahme oder Abnahme) in der abhängigen Variable gibt. Die Funktion wird häufig als exp (x), besonders geschrieben, wenn es unpraktisch ist, um die unabhängige Variable als ein Exponent zu schreiben.

Der Graph von y = e ist aufwärts schräger, und nimmt schneller als x Zunahmen zu. Der Graph liegt immer über der X-Achse, aber kann willkürlich in der Nähe davon für negativen x kommen; so ist die X-Achse eine horizontale Asymptote. Der Hang der Tangente zum Graphen an jedem Punkt ist seiner Y-Koordinate an diesem Punkt gleich. Die umgekehrte Funktion ist der natürliche Logarithmus ln (x); wegen dessen kennzeichnen einige alte Texte die Exponentialfunktion als der Antilogarithmus.

Manchmal wird Exponentialfunktion des Begriffes mehr allgemein für Funktionen der Form-CB verwendet, wo die Basis b jede positive reelle Zahl, nicht notwendigerweise e ist. Sieh Exponentialwachstum für diesen Gebrauch.

Im Allgemeinen kann die Variable x jede reelle Zahl oder komplexe Zahl oder sogar eine völlig verschiedene Art des mathematischen Gegenstands sein; sieh die formelle Definition unten.

Übersicht

Die Exponentialfunktion entsteht, wann auch immer eine Menge wächst oder an einer zu seinem aktuellen Wert proportionalen Rate verfällt. Eine solche Situation wird unaufhörlich Interesse zusammengesetzt, und tatsächlich war es das, das Jacob Bernoulli 1683 zur Zahl geführt

hat:

jetzt bekannt als e. Später, 1697, hat Johann Bernoulli die Rechnung der Exponentialfunktion studiert.

Wenn ein Hauptbetrag 1 Interesse an einer jährlichen Rate von x zusammengesetzt monatlich verdient, dann ist das Interesse verdient jeden Monat x/12 Zeiten der aktuelle Wert, so jeden Monat wird der Gesamtwert mit (1+x/12) multipliziert, und der Wert am Ende des Jahres ist (1+x/12). Wenn stattdessen Interesse täglich zusammengesetzt wird, wird das (1+x/365). Das Lassen der Zahl von Zeitabständen, pro Jahr ohne bestimmten zu wachsen, führt zur Grenze-Definition der Exponentialfunktion,

:

zuerst gegeben von Euler.

Das ist eine mehrerer Charakterisierungen der Exponentialfunktion; andere schließen Reihe oder Differenzialgleichungen ein.

Aus einigen dieser Definitionen kann es gezeigt werden, dass die Exponentialfunktion der grundlegenden exponentiation Identität, folgt

:

der ist, warum es als e geschrieben werden kann.

Die Ableitung (Rate der Änderung) der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst. Mehr allgemein ist eine Funktion mit einer Rate der Änderung, die zur Funktion selbst proportional ist (aber nicht ihm gleich ist), expressible in Bezug auf die Exponentialfunktion. Dieses Funktionseigentum führt zu Exponentialwachstum und Exponentialzerfall.

Die Exponentialfunktion streckt sich bis zu eine komplette Funktion auf dem komplizierten Flugzeug aus. Die Formel von Euler verbindet seine Werte an rein imaginären Argumenten für trigonometrische Funktionen. Die Exponentialfunktion hat auch Entsprechungen, für die das Argument eine Matrix oder sogar ein Element einer Algebra von Banach oder einer Lüge-Algebra ist.

Formelle Definition

Die Exponentialfunktion e kann in einer Vielfalt von gleichwertigen Wegen charakterisiert werden. Insbesondere kann es durch die folgende Macht-Reihe definiert werden:

:

Das Verwenden einer abwechselnden Definition für die Exponentialfunktion führt zu demselben Ergebnis, wenn ausgebreitet, wie eine Reihe von Taylor.

Weniger allgemein wird e als die Lösung y der Gleichung definiert

:

Es ist auch die folgende Grenze:

:

Ableitungen und Differenzialgleichungen

Die Wichtigkeit von der Exponentialfunktion in der Mathematik und den Wissenschaften stammt hauptsächlich von Eigenschaften seiner Ableitung. In der besonderen Einzelheit,

:

D. h. e ist seine eigene Ableitung und ist folglich ein einfaches Beispiel einer Funktion von Pfaffian. Funktionen der Form ce für unveränderlichen c sind die einzigen Funktionen mit diesem Eigentum (durch den Picard-Lindelöf Lehrsatz). Andere Weisen, dasselbe Ding zu sagen, schließen ein:

• Der Hang des Graphen an jedem Punkt ist die Höhe der Funktion an diesem Punkt.
• Die Rate der Zunahme der Funktion an x ist dem Wert der Funktion an x gleich.
• Die Funktion löst die Differenzialgleichung y ′ = y.
• exp ist ein fester Punkt der Ableitung als ein funktioneller.

Wenn Wachstums- oder Zerfall-Rate einer Variable zu seiner Größe proportional ist, wie im unbegrenzten Bevölkerungswachstum der Fall ist (sieh Malthuskatastrophe), unaufhörlich zusammengesetztes Interesse oder radioaktiver Zerfall dann kann die Variable als eine Konstante Zeiten eine Exponentialfunktion der Zeit geschrieben werden. Ausführlich für jeden echten unveränderlichen k, eine Funktion f: RR befriedigt f′ = kf wenn und nur wenn f (x) = ce für einen unveränderlichen c.

Außerdem für jede Differentiable-Funktion f (x) finden wir durch die Kettenregel:

:

Fortlaufende Bruchteile für e

Ein fortlaufender Bruchteil für e kann über eine Identität von Euler erhalten werden:

:

\E^x=1 +\cfrac {x} {1-\cfrac {x} {x+2-\cfrac {2x} {x+3-\cfrac {3x} {x+4-\cfrac {4x} {x+5-\cfrac {5x} {x+6-\ddots}}}}} }\

</Mathematik>

Der folgende verallgemeinerte fortlaufende Bruchteil für e läuft schneller zusammen:

:

E^ {2x/y} = 1 +\cfrac {2x} {y-x +\cfrac {x^2} {3y +\cfrac {x^2} {5y +\cfrac {x^2} {7y +\cfrac {x^2} {9y +\cfrac {x^2} {11y +\cfrac {x^2} {13y +\ddots \,}}}}}} }\

</Mathematik>

mit einem speziellen Fall für x = y = 1:

:

e^2 = 7 +\cfrac {2} {5 +\cfrac {1} {7 +\cfrac {1} {9 +\cfrac {1} {11 +\cfrac {1} {13 +\ddots.}}}} }\

</Mathematik>

Kompliziertes Flugzeug

Als im echten Fall kann die Exponentialfunktion auf dem komplizierten Flugzeug in mehreren gleichwertigen Formen definiert werden. Eine solche Definition passt der Macht-Reihe-Definition für reelle Zahlen an, wo die echte Variable durch eine komplizierte ersetzt wird:

:

Die Exponentialfunktion ist mit der imaginären Periode periodisch und kann als geschrieben werden

:

wo a und b echte Werte sind und rechts die echten Funktionen, wenn verwendet, als eine Definition verwendet werden müssen (sieh auch die Formel von Euler). Diese Formel verbindet die Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen und zu den Hyperbelfunktionen.

Wenn betrachtet, als eine auf dem komplizierten Flugzeug definierte Funktion behält die Exponentialfunktion die Eigenschaften

für den ganzen z und w.

Die Exponentialfunktion ist eine komplette Funktion, wie es holomorphic über das ganze komplizierte Flugzeug ist. Es übernimmt jede komplexe Zahl ausgenommen 0 als Wert. Das ist ein Beispiel des kleinen Lehrsatzes von Picard, dass jede nichtunveränderliche komplette Funktion jede komplexe Zahl als Wert mit höchstens einem ausgenommenem Wert übernimmt.

Das Verlängern des natürlichen Logarithmus zu komplizierten Argumenten gibt den komplizierten Logarithmus-Klotz z nach, der eine mehrgeschätzte Funktion ist.

Wir können dann einen allgemeineren exponentiation definieren:

:

für alle komplexen Zahlen z und w. Das ist auch eine mehrgeschätzte Funktion, selbst wenn z echt ist. Diese Unterscheidung ist problematisch, weil die mehrgeschätzten Funktionen z loggen und z mit ihren einzeln geschätzten Entsprechungen leicht verwirrt sind, wenn man gegen eine reelle Zahl z auswechselt. Die Regel über multiplizierende Hochzahlen für den Fall von positiven reellen Zahlen muss in einem mehrgeschätzten Zusammenhang modifiziert werden:

: aber eher mehrgeschätzt über ganze Zahlen n

Sieh Misserfolg der Macht und Logarithmus-Identität für mehr über Probleme mit sich verbindenden Mächten.

Die Exponentialfunktion stellt jede Linie im komplizierten Flugzeug zu einer logarithmischen Spirale im komplizierten Flugzeug mit dem Zentrum am Ursprung kartografisch dar. Zwei spezielle Fälle könnten bemerkt werden: Wenn die ursprüngliche Linie zur echten Achse parallel ist, bricht die resultierende Spirale nie auf sich herein; wenn die ursprüngliche Linie zur imaginären Achse parallel ist, ist die resultierende Spirale ein Kreis von einem Radius.

Image:ExponentialRe.png | z = Re (e)

Image:ExponentialIm.png | z = Im (e)

Image:ExponentialAbs.png | z = |e

</Galerie>

Berechnung, wo sowohl a als auch b kompliziert

sind

Komplex exponentiation eine Dose, durch das Umwandeln zu Polarkoordinaten und das Verwenden der Identität (e) = a definiert werden:

: