ist der einzigartige Wert, solch, dass die Ableitung am Punkt 1 gleich ist. Die blaue Kurve illustriert diesen Fall. Zum Vergleich werden Funktionen (punktierte Kurve) und (geschleuderte Kurve) gezeigt; sie sind nicht Tangente zur Linie des Hangs 1 (Rot).]]

Die Zahl ist eine wichtige mathematische Konstante, die ungefähr 2.71828 gleich ist, der die Basis des natürlichen Logarithmus ist. Es ist die Grenze dessen, wie groß, ein Ausdruck wird, der in der Studie von Zinseszinsen entsteht, und auch als die Summe der unendlichen Reihe berechnet werden kann

:

Die Konstante kann auf viele Weisen definiert werden; zum Beispiel, ist die einzigartige solche reelle Zahl, dass der Wert der Ableitung (Hang der Tangente-Linie) der Funktion am Punkt 1 gleich ist. Die so definierte Funktion wird die Exponentialfunktion genannt, und sein Gegenteil ist der natürliche Logarithmus oder Logarithmus, um zu stützen. Der natürliche Logarithmus einer positiven Zahl kann auch direkt als das Gebiet unter der Kurve zwischen definiert werden und, in welchem Fall, die Zahl ist, deren natürlicher Logarithmus 1 ist. Es gibt auch mehr alternative Charakterisierungen.

Manchmal genannt die Zahl von Euler nach dem schweizerischen Mathematiker Leonhard Euler, soll mit — die Euler-Mascheroni Konstante, manchmal genannt einfach die Konstante von Euler nicht verwirrt sein. Es ist, auch bekannt als, wie man sagt, ist die Wahl des unveränderlichen aber Eulers von Napier des Symbols in seiner Ehre behalten worden. Die Zahl ist von bedeutender Wichtigkeit in der Mathematik, neben 0, 1, und. Alle fünf dieser Zahlen spielen wichtige und wiederkehrende Rollen über die Mathematik, und sind die fünf Konstanten, die in einer Formulierung der Identität von Euler erscheinen. Wie die Konstante, ist vernunftwidrig: Es ist nicht ein Verhältnis von ganzen Zahlen; und es ist transzendental: Es ist nicht eine Wurzel jedes Nichtnullpolynoms mit vernünftigen Koeffizienten. Der numerische Wert von gestutzten zu 50 dezimalen Plätzen ist

:.

Geschichte

Die ersten Verweisungen auf die Konstante wurden 1618 im Tisch eines Anhangs einer Arbeit an Logarithmen von John Napier veröffentlicht. Jedoch hat das die Konstante selbst, aber einfach eine Liste von von der Konstante berechneten Logarithmen nicht enthalten. Es wird angenommen, dass der Tisch von William Oughtred geschrieben wurde. Die Entdeckung der Konstante selbst wird Jacob Bernoulli kreditiert, der versucht hat, den Wert des folgenden Ausdrucks zu finden (der tatsächlich ist):

:

Der erste bekannte Gebrauch der Konstante, die durch den Brief vertreten ist, war in der Ähnlichkeit von Gottfried Leibniz Christiaan Huygens 1690 und 1691. Leonhard Euler hat den Brief als die Basis für natürliche Logarithmen eingeführt, in einem Brief an Christian Goldbach vom 25. November 1731 schreibend. Euler hat angefangen, den Brief für die Konstante 1727 oder 1728 in einer unveröffentlichten Zeitung auf explosiven Kräften in Kanonen zu verwenden, und das erste Äußere in einer Veröffentlichung war der Mechanica von Euler (1736). Während in den nachfolgenden Jahren einige Forscher den Brief verwendet haben, üblicher waren und schließlich der Standard geworden sind.

Anwendungen

Zinseszinsen

Jacob Bernoulli hat diese Konstante entdeckt, indem er eine Frage über Zinseszinsen studiert hat:

:An-Rechnung fängt mit 1.00 $ an und bezahlt 100-Prozent-Interesse pro Jahr. Wenn das Interesse einmal am Ende des Jahres kreditiert wird, wird der Wert der Rechnung am Jahresende 2.00 $ sein. Was geschieht, wenn das Interesse geschätzt und öfter während des Jahres kreditiert wird?

Wenn das Interesse zweimal im Jahr, der Zinssatz für jeden kreditiert wird, der 6 Monate 50 % sein werden, so wird der anfängliche 1 $ mit 1.5 zweimal multipliziert, 1.00 $ ×1.5 = 2.25 $ am Ende des Jahres nachgebend. Das Zusammensetzen gibt vierteljährlich 1.00 $ ×1.25 = nach 2.4414 $... und das Zusammensetzen geben monatlich 1.00 $ × (1+1/12) = 2.613035 $ nach... Wenn dort Zwischenräume zusammensetzen, wird das Interesse für jeden Zwischenraum sein, und der Wert am Ende des Jahres wird 1.00 $ × sein.

Bernoulli hat bemerkt, dass sich diese Folge einer Grenze (die Kraft von Interesse) mit dem größeren und, so, kleinere sich vergleichende Zwischenräume nähert. Das Zusammensetzen wöchentlich gibt 2.692597 $ nach..., während das Zusammensetzen täglich 2.714567 $..., gerade zwei Cent mehr nachgibt. Die Grenze, wie groß wächst, ist die Zahl, die gekommen ist, um als bekannt zu sein; mit dem dauernden Zusammensetzen wird der Kontowert 2.7182818 $ erreichen.... Mehr allgemein, eine Rechnung, die an 1 $ anfängt und eine Jahreszins-Rate des Willens, nach Jahren, Ertrag-Dollars mit dem dauernden Zusammensetzen anbietet. (Hier ist ein Bruchteil, so für 5-%-Interesse,)

Proben von Bernoulli

Die Zahl selbst hat auch Anwendungen auf die Wahrscheinlichkeitstheorie, wo es in einem Weg entsteht, der nicht offensichtlich mit dem Exponentialwachstum verbunden ist. Nehmen Sie an, dass ein Spieler einen Spielautomaten spielt, der mit einer Wahrscheinlichkeit von einer darin auszahlt und sie Zeiten spielt. Dann für den großen (wie eine Million) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler jede Wette verlieren wird (ungefähr). Weil es bereits 1/2.72 ist.

Das ist ein Beispiel eines Probe-Prozesses von Bernoulli. Jedes Mal, wenn der Spieler die Ablagefächer spielt, gibt es dasjenige in einer Million Chance zu gewinnen. Das Spielen wird eine Million Male durch den binomischen Vertrieb modelliert, der nah mit dem binomischen Lehrsatz verbunden ist. Die Wahrscheinlichkeit des Gewinnens von Zeiten aus einer Million Proben ist;

:

Insbesondere die Wahrscheinlichkeit, Nullzeiten zu gewinnen, ist

:

Das ist sehr der folgenden Grenze nah für:

:

Durcheinander

Eine andere Anwendung, auch entdeckt teilweise von Jacob Bernoulli zusammen mit Pierre Raymond de Montmort ist im Problem des Durcheinanders, auch bekannt als dem Hut-Kontrolle-Problem: Gäste werden zu einer Partei eingeladen, und zur Tür überprüft jeder Gast seinen Hut mit dem Butler, der sie dann in Kästen, jeder legt, der mit dem Namen eines Gasts etikettiert ist. Aber der Butler weiß die Identität der Gäste nicht, und so stellt er die Hüte in Kästen ausgewählt aufs Geratewohl. Das Problem von de Montmort ist, die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass keiner der Hüte in den richtigen Kasten gestellt wird. Die Antwort ist:

:

Weil die Zahl von Gästen zur Unendlichkeit, Annäherungen neigt. Außerdem wird die Zahl von Weisen, wie die Hüte in die Kästen gelegt werden können, so dass keiner der Hüte im richtigen Kasten ist, zur nächsten ganzen Zahl für jeden positiven rund gemacht.

Asymptotics

Die Zahl kommt natürlich im Zusammenhang mit vielen Problemen vor, die asymptotics einschließen. Ein prominentes Beispiel ist die Formel von Stirling für den asymptotics der Factorial-Funktion, in der beide die Zahlen und gehen Sie herein:

:

Eine besondere Folge davon ist

:.

in der Rechnung

Die Hauptmotivation, für die Zahl besonders in der Rechnung einzuführen, soll unterschiedliche und Integralrechnung mit Exponentialfunktionen und Logarithmen durchführen. Eine allgemeine Exponentialfunktion ließ Ableitung als die Grenze geben:

:

Die Grenze ist auf der rechten Seite der Variable unabhängig: Es hängt nur von der Basis ab. Wenn die Basis ist, ist diese Grenze einer gleich, und wird so durch die Gleichung symbolisch definiert:

:

Folglich wird der Exponentialfunktion mit der Basis besonders dem Tun der Rechnung angepasst. Die Auswahl, im Vergleich mit einer anderen Zahl, weil die Basis der Exponentialfunktion Berechnungen macht, die mit der viel einfacheren Ableitung verbunden sind.

Eine andere Motivation kommt daraus, die Basis - Logarithmus zu denken. Das Betrachten der Definition der Ableitung als die Grenze:

:

wo der Ersatz im letzten Schritt gemacht wurde. Die letzte Grenze, die in dieser Berechnung erscheint, ist wieder eine unentschiedene Grenze, die nur von der Basis abhängt, und wenn diese Basis ist, ist die Grenze diejenige. So symbolisch,

:

Der Logarithmus in dieser speziellen Basis wird den natürlichen Logarithmus genannt und wird als vertreten; es benimmt sich gut unter der Unterscheidung, da es keine unentschiedene Grenze gibt, um die Berechnungen durchzuführen.

Es gibt so zwei Wege, auf die man eine spezielle Zahl auswählt. Ein Weg ist, die Ableitung der Exponentialfunktion zu setzen zu, und dafür zu lösen. Der andere Weg ist, die Ableitung des Grundlogarithmus zu setzen zu und dafür zu lösen. In jedem Fall kommt man in eine günstige Wahl der Basis an, um Rechnung zu tun. Tatsächlich sind diese zwei Lösungen dafür wirklich dasselbe, die Zahl.

Alternative Charakterisierungen

Andere Charakterisierungen dessen sind auch möglich: Man ist als die Grenze einer Folge, ein anderer ist als die Summe einer unendlichen Reihe, und dennoch verlassen sich andere auf die Integralrechnung. Bis jetzt sind die folgenden zwei (gleichwertigen) Eigenschaften eingeführt worden:

1. Die Zahl ist die einzigartige positive solche reelle Zahl dass

:

2. Die Zahl ist die einzigartige positive solche reelle Zahl dass

:

Die folgenden drei Charakterisierungen können gleichwertig bewiesen werden:

3. Die Zahl ist die Grenze

:

Ähnlich:

:

4. Die Zahl ist die Summe der unendlichen Reihe

:

wo der factorial dessen ist.

5. Die Zahl ist die einzigartige positive solche reelle Zahl dass

:

Eigenschaften

Rechnung

Als in der Motivation ist die Exponentialfunktion teilweise wichtig, weil es die einzigartige nichttriviale Funktion ist (bis zur Multiplikation durch eine Konstante), der seine eigene Ableitung ist

:

und deshalb seine eigene Antiableitung ebenso:

:\begin {richten }\aus

e^x & = \int_ {-\infty} ^x e^t \, dt \\[8pt]

& = \int_ {-\infty} ^0 e^t \, dt + \int_0^x e^t \, dt \\[8pt]

& = 1 + \int_ {0} ^x e^t \, dt.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Exponentialähnliche Funktionen

Das globale Maximum für die Funktion

:

kommt daran vor. Ähnlich ist, wo das globale Minimum für die Funktion vorkommt

:

definiert für den positiven. Mehr allgemein, ist, wo das globale Minimum für die Funktion vorkommt

:

für irgendwelchen. Der unendliche tetration

: oder

läuft wenn und nur wenn (oder ungefähr zwischen 0.0660 und 1.4447) wegen eines Lehrsatzes von Leonhard Euler zusammen.

Zahlentheorie

Die reelle Zahl ist vernunftwidrig. Euler hat das durch die Vertretung bewiesen, dass seine einfache fortlaufende Bruchteil-Vergrößerung unendlich ist. (Siehe auch den Beweis von Fourier, der vernunftwidrig ist.)

Außerdem, durch den Lindemann-Weierstrass Lehrsatz, ist transzendental, bedeutend, dass es nicht eine Lösung jeder nichtunveränderlichen polynomischen Gleichung mit vernünftigen Koeffizienten ist. Es war die erste Zahl, die transzendental zu beweisen ist, ohne für diesen Zweck spezifisch gebaut worden zu sein (vergleichen Sie sich mit der Zahl von Liouville); der Beweis wurde von Charles Hermite 1873 gegeben.

Es wird vermutet, der normal ist, bedeutend, dass, wenn in jeder Basis ausgedrückt wird, die möglichen Ziffern in dieser Basis gleichförmig verteilt werden (kommen Sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit in jeder Folge der gegebenen Länge vor).

Komplexe Zahlen

Die Exponentialfunktion kann als eine Reihe von Taylor geschrieben werden

:

Weil diese Reihe viele wichtige Eigenschaften dafür behält, selbst wenn kompliziert ist, wird sie allgemein verwendet, um die Definition zu den komplexen Zahlen zu erweitern. Das, mit der Reihe von Taylor für die Sünde und weil, erlaubt, die Formel von Euler abzuleiten:

:

der für alle hält. Der spezielle Fall damit ist die Identität von Euler:

:

von der hieraus folgt dass, im Hauptzweig des Logarithmus,

:

Außerdem, mit den Gesetzen für exponentiation,

:

der die Formel von de Moivre ist.

Der Ausdruck

:

wird manchmal genannt.

Differenzialgleichungen

Die allgemeine Funktion

:

ist die Lösung der Differenzialgleichung:

:

Darstellungen

Die Zahl kann als eine reelle Zahl in einer Vielfalt von Wegen vertreten werden: als eine unendliche Reihe, ein unendliches Produkt, ein fortlaufender Bruchteil oder eine Grenze einer Folge. Der Chef unter diesen Darstellungen, besonders in einleitenden Rechnungskursen ist die Grenze

:

gegeben oben, sowie die Reihe

:

gegeben durch das Auswerten der obengenannten Macht-Reihe für daran.

Weniger üblich ist der fortlaufende Bruchteil.

e = \lim_ {n \to \infty} [2; 1, \mathbf 2,1,1, \mathbf 4,1,1, \mathbf 6,1,1, \mathbf 8,1,1..., \mathbf {2n}, 1,1] = [1; \mathbf 0,1,1, \mathbf 2,1,1, \mathbf 4,1,1...]

</Mathematik>

der ausgeschrieben wie aussieht

\cfrac {1}

{1 +\cfrac {1}

{\\mathbf 2 + \cfrac {1}

{1 +\cfrac {1 }\

{1 +\cfrac {1}

{\\mathbf 4 + \cfrac {1}

{1 +\cfrac {1 }\

{1 +\ddots }\

}\

}\

}\

}\

}\

}\

1+

\cfrac {1 }\

{\\mathbf 0 + \cfrac {1 }\

{1 + \cfrac {1 }\

{1 + \cfrac {1 }\

{\\mathbf 2 + \cfrac {1 }\

{1 + \cfrac {1 }\

{1 + \cfrac {1 }\

{\\mathbf 4 + \cfrac {1}

{1 + \cfrac {1 }\

{1 + \ddots }\

}\

}\

}\

}\

}\

}\

}\

}\

</Mathematik>

Viele andere Reihen, Folge, haben Bruchteil fortgesetzt, und unendliche Produktdarstellungen dessen sind entwickelt worden.

Stochastische Darstellungen

Zusätzlich zu genauen analytischen Ausdrücken für die Darstellung gibt es stochastische Techniken für das Schätzen. Eine solche Annäherung beginnt mit einer unendlichen Folge von unabhängigen zufälligen Variablen..., gezogen von der Rechteckverteilung auf [0, 1]. Lassen Sie, zu sein, kleinste numerieren solch, dass die Summe der ersten Proben 1 zu weit geht:

:

Dann ist der erwartete Wert dessen:.

Bekannte Ziffern

Die Zahl bekannter Ziffern dessen hat drastisch während der letzten Jahrzehnte zugenommen. Das ist sowohl zur vergrößerten Leistung von Computern als auch zu algorithmischen Verbesserungen erwartet.

In der Computerkultur

In der zeitgenössischen Internetkultur bezahlen Personen und Organisationen oft Huldigung der Zahl.

Zum Beispiel, im IPO, der für Google, 2004, aber nicht einen typischen Betrag der runden Zahl des Geldes ablegt, hat die Gesellschaft seine Absicht bekannt gegeben, 2,718,281,828 $ zu erheben, der Milliarde Dollar zum nächsten Dollar ist. Google war auch für eine Werbetafel verantwortlich, die im Herzen des Silikontales, und später in Cambridge, Massachusetts erschienen ist; Seattle, Washington; und Austin, Texas. Es hat {zuerst 10-stellige Blüte gelesen, die in Konsekutivziffern}.com gefunden ist. Das Beheben dieses Problems und der Besuch der angekündigten Website (jetzt verstorben) haben zu einem noch schwierigeren Problem geführt zu lösen, der der Reihe nach zu Google Laboratorien geführt hat, wohin der Besucher eingeladen wurde, eine Zusammenfassung vorzulegen. Die erste 10-stellige Blüte darin ist 7427466391, der erst an der 99. Ziffer anfängt.

In einem anderen Beispiel hat der Computerwissenschaftler Donald Knuth die Versionsnummern seines Programms Annäherung von Metafont gelassen. Die Versionen sind 2, 2.7, 2.71, 2.718, und so weiter. Ähnlich die Versionsnummern seiner Programm-Annäherung von TeX.

Referenzen

Weiterführende Literatur

• Maor, Eli;: die Geschichte einer Zahl, internationale Standardbuchnummer 0-691-05854-7
• Kommentar zur Endfußnote 10 des Buches Hauptobsession für eine andere stochastische Darstellung

Links

• Ein Intuitives Handbuch Zu Exponentialfunktionen & für den Nichtmathematiker
• Die Zahl zu 1 Million Plätzen und 2 und 5 Millionen Plätzen

• Annäherungen - Wolfram MathWorld
• Frühster Gebrauch von Symbolen für Konstanten
• "Die Geschichte", durch Robin Wilson in der Gresham Universität, am 28. Februar 2007 (verfügbar für das Audio- und Videodownload)
• Suchen Sie Motor 2 Milliarden auffindbare Ziffern und 2