In der Zahlentheorie ist eine Zahl von Liouville eine reelle Zahl x mit dem Eigentum, dass, für jede positive ganze Zahl n, dort ganze Zahlen p und q mit q> 1 und solch dass bestehen

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Einer Zahl von Liouville kann so "ganz nah" durch eine Folge von rationalen Zahlen näher gekommen werden. 1844 hat Joseph Liouville gezeigt, dass alle Zahlen von Liouville transzendental sind, so die Existenz von transzendenten Zahlen zum ersten Mal gründend.

Elementare Eigenschaften

Eine gleichwertige Definition zu ist ein gegebener oben, dass für jede positive ganze Zahl n, dort eine unendliche Zahl von Paaren von ganzen Zahlen (p, q) das Befolgen der obengenannten Ungleichheit besteht.

Es wird relativ leicht bewiesen, dass, wenn x eine Zahl von Liouville ist, x vernunftwidrig ist. Nehmen Sie sonst an; dann dort bestehen Sie ganze Zahlen c, d mit d> 0 und x = c/d. Lassen Sie n eine positive solche ganze Zahl dass 2 &gt sein; d. Dann, wenn p und q irgendwelche solche ganzen Zahlen dass q> 1 und p/q  c/d, dann sind

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der der Definition der Zahl von Liouville widerspricht.

Unveränderlicher Liouville

Die Zahl

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c = \sum_ {j=1} ^\\infty 10^ {-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots

</Mathematik>

ist als die Konstante von Liouville bekannt. Die Konstante von Liouville ist eine Zahl von Liouville; wenn wir p und q wie folgt definieren:

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dann haben wir für alle positiven ganzen Zahlen n

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Uncountability

Denken Sie zum Beispiel, die Zahl

:3.1400010000000000000000050000....

3.14 (3 Nullen) 1 (17 Nullen) 5 (95 Nullen) 9 (599 Nullen) 2...

wo die Ziffern Null außer in Positionen n sind! wo die Ziffer der n-ten Ziffer im Anschluss an den dezimalen Punkt in der dezimalen Vergrößerung von π gleichkommt.

Diese Zahl, sowie jede andere nichtendende Dezimalzahl mit seinen ähnlich gelegenen Nichtnullziffern, befriedigt die Definition der Zahl von Liouville. Da der Satz aller Folgen von nichtungültigen Ziffern den cardinality des Kontinuums hat, kommt dasselbe Ding mit dem Satz aller Zahlen von Liouville vor. Außerdem bilden die Zahlen von Liouville eine dichte Teilmenge des Satzes von reellen Zahlen.

Zahlen von Liouville und Maß

Aus dem Gesichtswinkel von der Maß-Theorie ist der Satz aller Zahlen von Liouville klein. Genauer ist sein Maß von Lebesgue Null. Der gegebene Beweis folgt einigen Ideen durch John C. Oxtoby.

Für positive ganze Zahlen und Satz:

: - wir haben

Bemerken Sie, dass für jede positive ganze Zahl und wir auch haben

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Seitdem und haben wir

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Jetzt und hieraus folgt dass für jede positive ganze Zahl, Lebesgue Null messen lässt. Folglich.

auch

Im Gegensatz ist das Maß von Lebesgue des Satzes aller echten transzendenten Zahlen unendlich (da die Ergänzung einer Nullmenge ist).

Tatsächlich ist die Dimension von Hausdorff dessen Null, die andeutet, dass das Maß von Hausdorff dessen Null für die ganze Dimension ist. Dimension von Hausdorff unter anderen Dimensionsfunktionen ist auch untersucht worden.

Zahlen von Liouville und Topologie

Für jede positive ganze Zahl n, Satz

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Der Satz aller Zahlen von Liouville kann so als geschrieben werden.

Jeder ist ein offener Satz; da sein Verschluss den ganzen rationals enthält ({p/q} 's von jedem durchstochenen Zwischenraum), ist es auch eine dichte Teilmenge der echten Linie. Da es die Kreuzung von zählbar vielen solchen offenen dichten Sätzen ist, ist comeagre, das heißt, ist es ein dichter G-Satz.

Zusammen mit den obengenannten Bemerkungen über das Maß zeigt es, dass der Satz von Zahlen von Liouville und seiner Ergänzung den reals in zwei Sätze zersetzt, von denen einer, und die andere von der Maß-Null von Lebesgue mager ist.

Unvernunft-Maß

Das Unvernunft-Maß (oder Annäherungshochzahl oder Liouville-Roth unveränderlich) einer reellen Zahl x ist ein Maß dessen, wie "nah" ihm durch rationals näher gekommen werden kann. Wenn wir die Definition von Zahlen von Liouville verallgemeinern, anstatt jeden n in der Macht von q zu erlauben, finden wir das am wenigsten obere gebunden des Satzes von reellen Zahlen μ solch dass

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ist durch eine unendliche Zahl von Paaren der ganzen Zahl (p, q) mit q> 0 zufrieden. Das am wenigsten ober gebunden wird definiert, um das Unvernunft-Maß von x zu sein. Für jeden Wert μ weniger als das ober bestimmt gibt der unendliche Satz des ganzen rationals p/q Zufriedenheit der obengenannten Ungleichheit eine Annäherung von x nach. Umgekehrt, wenn μ größer ist als das gebundene obere, dann gibt es höchstens begrenzt viele (p, q) mit q> 0, die die Ungleichheit befriedigen; so hält die entgegengesetzte Ungleichheit für alle größeren Werte von q. Mit anderen Worten, in Anbetracht der Unvernunft messen μ einer reellen Zahl x, wann auch immer eine vernünftige Annäherung x  p/q, p, q  N n + 1 genaue dezimale Ziffern nachgibt, haben wir

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abgesehen von höchstens einer begrenzten Zahl von "glücklichen" Paaren (p, q).

Für eine rationale Zahl α das Unvernunft-Maß ist μ (α) = 1.

Der Thue-Siegel-Roth Lehrsatz stellt das fest, wenn α eine algebraische Zahl, echt, aber nicht vernünftig, dann μ (α ist) = 2.

Transzendente Zahlen haben Unvernunft-Maß 2 oder größer. Als ein Beispiel hat e μ (e) = 2, wenn auch e transzendental ist.

Die Liouville Zahlen sind genau jene Zahlen, die unendliches Unvernunft-Maß haben.

Zahlen von Liouville und Überlegenheit

Alle Liouville Zahlen sind transzendental, wie unten bewiesen wird. Das Feststellen, dass eine gegebene Zahl eine Zahl von Liouville ist, stellt ein nützliches Werkzeug zur Verfügung für zu beweisen, dass eine gegebene Zahl transzendental ist. Leider ist nicht jede transzendente Zahl eine Zahl von Liouville. Die Begriffe in der fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung jeder Zahl von Liouville sind unbegrenzt; mit einem Zählen-Argument kann man dann zeigen, dass es unzählbar viele transzendente Zahlen geben muss, die nicht Liouville sind. Mit der ausführlichen fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung von e kann man zeigen, dass e ein Beispiel einer transzendenten Zahl ist, die nicht Liouville ist. Mahler hat 1953 bewiesen, dass π ein anderes solches Beispiel ist.

Der Beweis geht durch das erste Herstellen eines Eigentums von vernunftwidrigen algebraischen Zahlen weiter. Dieses Eigentum sagt im Wesentlichen, dass vernunftwidrigen algebraischen Zahlen durch rationale Zahlen nicht gut näher gekommen werden kann. Eine Liouville Zahl ist vernunftwidrig, aber hat dieses Eigentum nicht, so kann es nicht algebraisch sein und muss transzendental sein. Das folgende Lemma ist gewöhnlich als der Lehrsatz von Liouville (auf der diophantine Annäherung) bekannt, dort mehrere als der Lehrsatz von Liouville bekannte Ergebnisse seiend.

Lemma: Wenn α eine irrationale Zahl ist, die die Wurzel eines Polynoms f des Grads n> 0 mit Koeffizienten der ganzen Zahl ist, dann dort besteht eine reelle Zahl A> 0 solches dass, für alle ganzen Zahlen p, q, mit q> 0,

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Beweis des Lemmas: Lassen Sie M der maximale Wert von |f  (x) | (der absolute Wert der Ableitung von f) über den Zwischenraum [α &minus sein; 1, α + 1]. Lassen Sie α, α..., α die verschiedenen Wurzeln von f sein, die sich von α unterscheiden. Wählen Sie einen Wert A> 0 Zufriedenheit aus

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Nehmen Sie jetzt an, dass dort einige ganze Zahlen p, q das Widersprechen dem Lemma besteht. Dann

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Dann ist p/q im Zwischenraum [α &minus; 1, α + 1]; und p/q ist nicht in {α, α..., α}, so ist p/q nicht eine Wurzel von f; und es gibt keine Wurzel von f zwischen α und p/q.

Durch den Mittelwertlehrsatz, dort besteht ein x zwischen p/q und solchem α dass

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Da α eine Wurzel von f ist, aber p/q ist nicht, sehen wir, dass |f  (x) |> 0 und wir umordnen können:

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Jetzt ist f von der Form c x, wo jeder c eine ganze Zahl ist; so können wir |f (p/q) | als ausdrücken

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die letzte Ungleichheit, die hält, weil p/q nicht eine Wurzel von f und dem c ist, ist ganze Zahlen.

So haben wir das |f (p/q) |  1/q. Seitdem |f  (x) |  M durch die Definition der M, und 1/M> durch die Definition von A, wir haben das

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der ein Widerspruch ist; deshalb bestehen keine solche p, q; Beweis des Lemmas.

Beweis der Behauptung: Demzufolge dieses Lemmas, lassen Sie x eine Zahl von Liouville sein; wie bemerkt, im Artikel-Text ist x dann vernunftwidrig. Wenn x algebraisch ist, dann durch das Lemma, dort besteht eine ganze Zahl n und einige positiv echt Ein solcher das für den ganzen p, q

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Lassen Sie r eine positive solche ganze Zahl dass 1 / (2)  A sein. Wenn wir M = r + n lassen, dann da ist x eine Zahl von Liouville, dort besteht ganze Zahlen a, b> 1 solcher dass

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der dem Lemma widerspricht; deshalb ist x nicht algebraisch, und ist so transzendental.

Siehe auch

• Annäherung von Diophantine

Links

• Der Anfang von transzendenten Zahlen
• Die am wenigsten interessante Zahl