In der Maß-Theorie ist das Maß von Lebesgue, genannt nach dem französischen Mathematiker Henri Lebesgue, die Standardweise, ein Maß Teilmengen des n-dimensional Euklidischen Raums zuzuteilen. Für n = 1, 2, oder 3, fällt es mit dem Standardmaß der Länge, des Gebiets oder des Volumens zusammen. Im Allgemeinen wird es auch n-dimensional Volumen', n-volume' oder einfach Volumen genannt. Es wird während der echten Analyse verwendet, um insbesondere Integration von Lebesgue zu definieren. Sätze, die ein Maß von Lebesgue zugeteilt werden können, werden messbaren Lebesgue genannt; das Maß der messbaren Menge von Lebesgue A wird durch λ (A) angezeigt.

Henri Lebesgue hat dieses Maß das Jahr 1901, gefolgt im nächsten Jahr von seiner Beschreibung des integrierten Lebesgues beschrieben. Beide wurden als ein Teil seiner Doktorarbeit 1902 veröffentlicht.

Das Lebesgue-Maß wird häufig dx angezeigt, aber das sollte mit dem verschiedenen Begriff einer Volumen-Form nicht verwirrt sein.

Beispiele

• Jeder geschlossene Zwischenraum [a, b] reeller Zahlen ist Lebesgue messbar, und sein Maß von Lebesgue ist die Länge b−a. Der offene Zwischenraum (a, b) hat dasselbe Maß, da der Unterschied zwischen den zwei Sätzen nur aus dem Ende besteht, spitzt a und b an und hat Maß-Null.
• Jedes Kartesianische Produkt von Zwischenräumen [a, b] und [c, d] ist Lebesgue messbar, und sein Maß von Lebesgue ist (b−a) (d−c), das Gebiet des entsprechenden Rechtecks.
• Das Lebesgue Maß des Satzes von rationalen Zahlen in einem Zwischenraum der Linie ist 0, obwohl der Satz im Zwischenraum dicht ist.
• Der Kantor ist untergegangen ist ein Beispiel eines unzählbaren Satzes, der Lebesgue Null messen lässt.
• Sätze von Vitali sind Beispiele von Sätzen, die in Bezug auf das Maß von Lebesgue nicht messbar sind. Ihre Existenz verlässt sich auf das Axiom der Wahl.

Eigenschaften

Das Lebesgue-Maß auf R hat die folgenden Eigenschaften:

1. Wenn A ein kartesianisches Produkt von Zwischenräumen I &times ist; ich ×... × ich, dann A bin Lebesgue messbar und Hier, ich zeige die Länge des Zwischenraums I an.
2. Wenn A eine zusammenhanglose Vereinigung von zählbar vielen zusammenhanglosen messbaren Mengen von Lebesgue ist, dann ist A selbst messbarer Lebesgue, und λ ist (A) der Summe (oder unendliche Reihe) von den Maßnahmen der beteiligten messbaren Mengen gleich.
3. Wenn A messbarer Lebesgue ist, dann so ist seine Ergänzung.
4. λ (A)  0 für jede messbare Menge von Lebesgue A.
5. Wenn A und B messbarer Lebesgue sind und A eine Teilmenge von B, dann λ (A)  λ (B) ist. (Eine Folge 2, 3 und 4.)
6. Zählbare Vereinigungen und Kreuzungen von messbaren Mengen von Lebesgue sind messbarer Lebesgue. (Nicht eine Folge 2 und 3, weil eine Familie von Sätzen, die unter Ergänzungen und zusammenhanglosen zählbaren Vereinigungen geschlossen wird, unter zählbaren Vereinigungen nicht geschlossen zu werden braucht:.)
7. Wenn A eine offene oder geschlossene Teilmenge von R ist (oder sogar Satz von Borel, sieh metrischen Raum), dann ist A messbarer Lebesgue.
8. Wenn A eine messbare Menge von Lebesgue ist, dann ist es "ungefähr offen" und" im Sinne des Maßes von Lebesgue "ungefähr geschlossen (sieh den Regelmäßigkeitslehrsatz für das Maß von Lebesgue).
9. Maß von Lebesgue ist sowohl lokal begrenzter als auch innerer Stammkunde, und so ist es ein Maß von Radon.
10. Maß von Lebesgue ist auf nichtleeren offenen Sätzen ausschließlich positiv, und so ist seine Unterstützung ganzer R.
11. Wenn A eine messbare Menge von Lebesgue mit λ (A) = 0 ist (eine Nullmenge), dann ist jede Teilmenge von A auch eine Nullmenge. Ein fortiori, jede Teilmenge von A ist messbar.
12. Wenn A messbarer Lebesgue ist und x ein Element von R, dann die Übersetzung durch x ist, der durch + x = {+ x definiert ist: Ein  A\, ist auch Lebesgue messbar und hat dasselbe Maß wie A.
13. Wenn A Lebesgue messbar ist und, dann ist die Ausdehnung durch den definierten dadurch auch Lebesgue messbar und hat Maß
14. Mehr allgemein, wenn T eine geradlinige Transformation ist und A eine messbare Teilmenge von R ist, dann ist T (A) auch Lebesgue messbar und hat das Maß.

Der ganze obengenannte kann wie folgt kurz und bündig zusammengefasst werden:

: Die Lebesgue messbaren Mengen bilden einen σ-algebra, der alle Produkte von Zwischenräumen, und &lambda enthält; ist das einzigartige ganze Maß der Übersetzung-invariant darauf σ-algebra mit

Das Lebesgue-Maß hat auch das Eigentum, σ-finite zu sein.

Nullmengen

Eine Teilmenge von R ist eine Nullmenge wenn, für jeden ε > 0 kann es mit zählbar vielen Produkten von n Zwischenräumen bedeckt werden, deren Gesamtvolumen am grössten Teil von ε ist. Alle zählbaren Sätze sind Nullmengen.

Wenn eine Teilmenge von R Dimension von Hausdorff weniger hat als n dann, ist es eine Nullmenge in Bezug auf das n-dimensional Maß von Lebesgue. Hier ist Hausdorff Dimension hinsichtlich des Euklidischen metrischen auf R (oder jeder metrische Lipschitz, der dazu gleichwertig ist). Andererseits kann ein Satz topologische Dimension weniger haben als n und positiven n-dimensional Lebesgue messen lassen. Ein Beispiel davon ist der Satz von Smith-Volterra-Cantor, der topologische Dimension 0 hat, noch lässt positiven 1-dimensionalen Lebesgue messen.

Um zu zeigen, dass ein gegebener untergegangen ist, ist A messbarer Lebesgue, man versucht gewöhnlich, einen "netteren" Satz B zu finden, der sich von Einem einzigen durch eine Nullmenge (im Sinn dass der symmetrische Unterschied unterscheidet (− B) (B − A) ist eine Nullmenge), und dann zeigen Sie, dass B mit zählbaren Vereinigungen und Kreuzungen von offenen oder geschlossenen Sätzen erzeugt werden kann.

Aufbau des Maßes von Lebesgue

Der moderne Aufbau des Maßes von Lebesgue ist eine Anwendung des Erweiterungslehrsatzes von Carathéodory. Es geht wie folgt weiter.

Üble Lage. Ein Kasten in R ist eine Reihe die Form

wo, und das Produktsymbol hier ein Kartesianisches Produkt vertritt. Das Volumen vol (B) dieses Kastens wird definiert, um zu sein

Für jede Teilmenge R können wir sein Außenmaß λ * (A) definieren durch:

Wir definieren dann den Satz, um messbarer Lebesgue wenn für jede Teilmenge S von R, zu sein

Diese Lebesgue messbaren Mengen bilden einen σ-algebra, und das Maß von Lebesgue wird durch für jede messbare Menge von Lebesgue A definiert.

Die Existenz von Sätzen, die nicht messbarer Lebesgue sind, ist eine Folge eines bestimmten mit dem Satz theoretischen Axioms, des Axioms der Wahl, die von vielen der herkömmlichen Systeme von Axiomen für die Mengenlehre unabhängig ist. Der Lehrsatz von Vitali, der aus dem Axiom folgt, stellt fest, dass dort Teilmengen von R bestehen, die nicht messbarer Lebesgue sind. Das Axiom der Wahl annehmend, sind nichtmessbare Mengen mit vielen überraschenden Eigenschaften, wie diejenigen des Paradoxes von Banach-Tarski demonstriert worden.

1970 hat Robert M. Solovay gezeigt, dass die Existenz von Sätzen, die nicht messbarer Lebesgue sind, innerhalb des Fachwerks der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre ohne das Axiom der Wahl nicht nachweisbar ist (sieh das Modell von Solovay).

Beziehung zu anderen Maßnahmen

Das Maß von Borel stimmt mit dem Maß von Lebesgue in jenen Sätzen überein, für die es definiert wird; jedoch gibt es noch viele Lebesgue-messbare-Mengen als es gibt messbare Mengen von Borel. Das Maß von Borel ist Übersetzung-invariant, aber nicht abgeschlossen.

Das Maß von Haar kann auf jeder lokal kompakten Gruppe definiert werden und ist eine Generalisation des Maßes von Lebesgue (R mit der Hinzufügung ist eine lokal kompakte Gruppe).

Das Hausdorff-Maß ist eine Generalisation des Maßes von Lebesgue, das nützlich ist, für die Teilmengen von R von niedrigeren Dimensionen zu messen, als n, wie Subsammelleitungen, zum Beispiel, Oberflächen oder Kurven in R ³ und Fractal-Sätze. Das Hausdorff-Maß soll mit dem Begriff der Dimension von Hausdorff nicht verwirrt sein.

Es kann gezeigt werden, dass es keine unendlich-dimensionale Entsprechung des Maßes von Lebesgue gibt.

Siehe auch

• Der Dichte-Lehrsatz von Lebesgue