In der Mathematik ist ein ganzes Maß (oder, genauer, ein ganzer Maß-Raum) ein Maß-Raum, in dem jede Teilmenge jeder Nullmenge messbar ist (Maß-Null habend). Mehr formell, (X, Σ, μ) ist wenn und nur wenn abgeschlossen

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Motivation

Das Bedürfnis, Fragen der Vollständigkeit zu denken, kann durch das Betrachten des Problems von Produkträumen illustriert werden.

Nehmen Sie an, dass wir bereits Maß von Lebesgue auf der echten Linie gebaut haben: Zeigen Sie diesen Maß-Raum durch (R, B, λ) an. Wir möchten jetzt ein zweidimensionales Maß von Lebesgue λ auf dem Flugzeug R als ein Produktmaß bauen. Naiv würden wir σ-algebra auf R nehmen, um B  B, der kleinste σ-algebra zu sein, der alle messbaren "Rechtecke" &times enthält; für Einen  B.

Während diese Annäherung wirklich einen Maß-Raum definiert, hat sie einen Fehler. Da jeder Singleton-Satz eindimensionalen Lebesgue Null, messen

für "jede" Teilmenge R. Nehmen Sie jedoch an, dass A eine nichtmessbare Teilmenge der echten Linie wie der Satz von Vitali ist. Dann der λ-measure {0} × A wird nicht definiert, aber

und dieser größere Satz hat wirklich λmeasure Null. Also, dieses "zweidimensionale Maß von Lebesgue", ist wie gerade definiert, nicht abgeschlossen, und eine Art Vollziehungsverfahren ist erforderlich.

Aufbau eines ganzen Maßes

Gegeben (vielleicht unvollständig) messen Raum (X, Σ, μ), es gibt eine Erweiterung (X, Σ, μ) von diesem Maß-Raum, der abgeschlossen ist. Das kleinste solche Erweiterung (d. h. der kleinste σ-algebra Σ) wird die Vollziehung des Maß-Raums genannt.

Die Vollziehung kann wie folgt gebaut werden:

• lassen Sie Z der Satz aller Teilmengen von μ-measure Nullteilmengen X sein (intuitiv, jene Elemente von Z, die nicht bereits in Σ sind, sind diejenigen, Vollständigkeit davon abhaltend, für wahr zu halten);
• lassen Sie Σ der σ-algebra sein, der durch Σ und Z erzeugt ist (d. h. der kleinste σ-algebra, der jedes Element von Σ und von Z enthält);
• es gibt eine einzigartige Erweiterung μ von μ zu Σ, der durch den infimum gegeben ist

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Dann (X, Σ, μ) ist ein ganzer Maß-Raum, und ist die Vollziehung (X, Σ, μ).

Im obengenannten Aufbau kann es gezeigt werden, dass jedes Mitglied von Σ von der Form Ein  B für einige Ein  Σ und ein B  Z, und ist

Beispiele

• Maß von Borel, wie definiert, auf dem Borel σ-algebra erzeugt durch die offenen Zwischenräume der echten Linie ist nicht abgeschlossen, und so muss das obengenannte Vollziehungsverfahren verwendet werden, um das ganze Maß von Lebesgue zu definieren.
• n-dimensional Maß von Lebesgue ist die Vollziehung des n-fold Produktes des eindimensionalen Raums von Lebesgue mit sich. Es ist auch die Vollziehung des Maßes von Borel, als im eindimensionalen Fall.