In der Mathematik ist ein (echter) Zwischenraum eine Reihe von reellen Zahlen mit dem Eigentum, dass jede Zahl, die zwischen zwei Zahlen im Satz liegt, auch in den Satz eingeschlossen wird. Zum Beispiel ist der Satz der ganzen Zahl-Zufriedenheit ein Zwischenraum, der enthält und, sowie alle Zahlen zwischen ihnen. Andere Beispiele von Zwischenräumen sind der Satz aller reellen Zahlen, der Satz aller negativen reellen Zahlen und der leere Satz.

Echte Zwischenräume spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der Integration, weil sie die einfachsten Sätze sind, deren "Größe" oder "Maß" oder "Länge" leicht sind zu definieren. Das Konzept des Maßes kann dann zu mehr komplizierten Sätzen von reellen Zahlen erweitert werden, zum Maß von Borel und schließlich zum Maß von Lebesgue führend.

Zwischenräume sind zur Zwischenraum-Arithmetik, eine allgemeine numerische Rechentechnik zentral, die automatisch versicherte Einschließungen für willkürliche Formeln, sogar in Gegenwart von Unklarheiten, mathematischen Annäherungen und Arithmetik roundoff zur Verfügung stellt.

Zwischenräume werden auf einem willkürlichen völlig bestellten Satz, wie ganze Zahlen oder rationale Zahlen ebenfalls definiert. Die Notation von Zwischenräumen der ganzen Zahl wird in der speziellen Abteilung unten betrachtet.

Notationen für Zwischenräume

Der Zwischenraum von Zahlen zwischen und, einschließlich und, wird häufig angezeigt. Die zwei Zahlen werden die Endpunkte des Zwischenraums genannt. In Ländern, wo Zahlen mit einem dezimalen Komma geschrieben werden, kann ein Strichpunkt als ein Separator verwendet werden, um Zweideutigkeit zu vermeiden.

Das Ausschließen der Endpunkte

Um anzuzeigen, dass einer der Endpunkte vom Satz ausgeschlossen werden soll, kann die entsprechende eckige Klammer entweder durch eine Parenthese ersetzt oder umgekehrt werden. Beide Notationen werden in Internationalem normalem ISO 31-11 beschrieben. So, in der Satz-Baumeister-Notation,

:

(a, b) &= &] a, b [&= \{x\in\R \, | \, a

Bemerken Sie, dass, und den leeren Satz vertreten, wohingegen den Satz anzeigt. Wenn, wie man gewöhnlich annimmt, alle vier Notationen den leeren Satz vertreten.

Sowohl Notationen können mit anderem Gebrauch von Parenthesen als auch Klammern in der Mathematik überlappen. Zum Beispiel wird die Notation häufig verwendet, um ein befohlenes Paar in der Mengenlehre, den Koordinaten eines Punkts oder Vektoren in der analytischen Geometrie und geradlinigen Algebra, oder (manchmal) einer komplexen Zahl in der Algebra anzuzeigen. Die Notation wird gelegentlich auch für befohlene Paare besonders in der Informatik verwendet.

Einige Autoren verwenden, um die Ergänzung des Zwischenraums anzuzeigen; nämlich, der Satz aller reellen Zahlen, die entweder weniger sind als oder gleich, oder größer oder gleich.

Unendliche Endpunkte

In beiden Stilen der Notation kann man einen unendlichen Endpunkt verwenden, um anzuzeigen, dass dort nicht in dieser Richtung gebunden ist. Spezifisch kann man verwenden oder (oder beide). Zum Beispiel, ist der Satz aller positiven reellen Zahlen, und ist der Satz von reellen Zahlen.

Die Notationen , , , und sind zweideutig. Für Autoren, die Zwischenräume als Teilmengen der reellen Zahlen definieren, sind jene Notationen entweder sinnlos, oder zu den offenen Varianten gleichwertig. Im letzten Fall ist der Zwischenraum, der alle reellen Zahlen umfasst, sowohl offen als auch, = = =  geschlossen.

Auf der verlängerten Linie der reellen Zahl sind die Zwischenräume alle verschieden, weil das einschließt und Elemente. Zum Beispiel bedeutet die verlängerten reellen Zahlen, nur ausschließend.

Zwischenräume der ganzen Zahl

Die Notation, wenn und ganze Zahlen sind, oder, oder manchmal gerade verwendet wird, um den Zwischenraum aller ganzen Zahlen zwischen und, einschließlich beider anzuzeigen. Diese Notation wird auf einigen Programmiersprachen verwendet; in Pascal, zum Beispiel, wird es verwendet, um den Satz von gültigen Indizes eines Vektoren zu definieren.

Ein Zwischenraum der ganzen Zahl, der einen begrenzten niedrigeren oder oberen Endpunkt immer hat, schließt diesen Endpunkt ein. Deshalb kann der Ausschluss von Endpunkten durch das Schreiben ,  ausführlich angezeigt werden, oder. Notationen der abwechselnden Klammer wie oder werden für Zwischenräume der ganzen Zahl selten verwendet.

Fachsprache

Ein offener Zwischenraum schließt seine Endpunkte nicht ein, und wird mit Parenthesen angezeigt. Zum Beispiel Mittel, die größer sind als und weniger als. Ein geschlossener Zwischenraum schließt seine Endpunkte ein, und wird mit eckigen Klammern angezeigt. Zum Beispiel Mittel größer oder gleich und weniger als oder gleich dem.

Ein degenerierter Zwischenraum ist jeder Satz, der aus einer einzelnen reellen Zahl besteht. Einige Autoren schließen den leeren Satz in diese Definition ein. Wie man sagt, ist ein echter Zwischenraum, der weder leer ist noch degenerierter, richtig, und hat ungeheuer viele Elemente.

Wie man

sagt, wird ein Zwischenraum nach links begrenzt oder Recht-begrenzt, wenn es eine reelle Zahl d. h. beziehungsweise, kleiner gibt als oder größer als alle seine Elemente. Wie man sagt, wird ein Zwischenraum begrenzt, wenn es sowohl nach links als auch Recht-begrenzt ist; und wird gesagt, sonst unbegrenzt zu sein. Wie man sagt, werden Zwischenräume, die an nur einem Ende begrenzt werden, halbbegrenzt. Der leere Satz wird begrenzt, und der Satz des ganzen reals ist der einzige Zwischenraum, der an beiden Enden unbegrenzt ist. Begrenzte Zwischenräume sind auch als begrenzte Zwischenräume allgemein bekannt.

Begrenzte Zwischenräume werden Sätze im Sinn begrenzt, dass ihr Diameter (der dem absoluten Unterschied zwischen den Endpunkten gleich ist) begrenzt ist. Das Diameter kann die Länge, die Breite, das Maß oder die Größe des Zwischenraums genannt werden. Die Größe von unbegrenzten Zwischenräumen wird gewöhnlich als definiert, und die Größe des leeren Zwischenraums kann als definiert oder unbestimmt verlassen werden.

Das Zentrum (Mittelpunkt) des begrenzten Zwischenraums mit Endpunkten und ist, und sein Radius ist der Brust-. Diese Konzepte sind für leere oder unbegrenzte Zwischenräume unbestimmt.

Wie man

sagt, ist ein Zwischenraum nach links offen, wenn, und nur wenn er kein Minimum hat (ein Element, das kleiner ist als alle anderen Elemente); richtig-offen, wenn es kein Maximum hat; und offen, wenn es beide Eigenschaften hat. Der Zwischenraum = wird zum Beispiel nach links geschlossen und richtig-offen. Der leere Satz und der Satz des ganzen reals sind offene Zwischenräume, während der Satz von nichtnegativem reals zum Beispiel ein richtig-offener, aber nicht nach links offener Zwischenraum ist. Die offenen Zwischenräume fallen mit den offenen Sätzen der echten Linie in seiner Standardtopologie zusammen.

Wie man

sagt, wird ein Zwischenraum nach links geschlossen, wenn er ein minimales Element, Recht-geschlossen hat, wenn er ein Maximum, und einfach geschlossen hat, wenn er beide hat. Diese Definitionen werden gewöhnlich erweitert, um den leeren Satz und zu (nach links oder richtig-) unbegrenzte Zwischenräume einzuschließen, so dass die geschlossenen Zwischenräume mit geschlossenen Sätzen in dieser Topologie zusammenfallen.

Das Interieur eines Zwischenraums ist der größte offene Zwischenraum, der darin enthalten wird; es ist auch der Satz von Punkten, in denen nicht Endpunkte dessen sind. Der Verschluss dessen ist der kleinste geschlossene Zwischenraum, der enthält; der auch der mit seinen begrenzten Endpunkten vermehrte Satz ist.

Für jeden Satz von reellen Zahlen, der Zwischenraum-Einschließung oder Zwischenraum-Spanne dessen ist der einzigartige Zwischenraum, der enthält und keinen anderen Zwischenraum richtig enthält, der auch enthält.

Klassifikation von Zwischenräumen

Die Zwischenräume von reellen Zahlen können in elf verschiedene Typen eingeteilt werden, die unten verzeichnet sind; wo und reelle Zahlen, damit sind

: leer:

: degeneriert:

: richtig und begrenzt:

:: offen:

:: geschlossen:

:: nach links geschlossen, richtig-offen:

:: nach links offen, Recht-geschlossen:

: nach links begrenzt und richtig-unbegrenzt:

:: nach links offen:

:: nach links geschlossen:

: nach links unbegrenzt und Recht-begrenzt:

:: richtig-offen:

:: Recht-geschlossen:

: unbegrenzt an beiden Enden:

Zwischenräume der verlängerten echten Linie

In einigen Zusammenhängen kann ein Zwischenraum als eine Teilmenge der verlängerten reellen Zahlen, der Satz aller reellen Zahlen definiert werden, die mit vermehrt sind und.

In dieser Interpretation sind die Notationen , , , und alle bedeutungsvoll und verschieden. Insbesondere zeigt den Satz aller gewöhnlichen reellen Zahlen an, während den verlängerten reals anzeigt.

Diese Wahl betrifft einige der obengenannten Definitionen und Fachsprache. Zum Beispiel wird der Zwischenraum = im Bereich von gewöhnlichem reals, aber nicht im Bereich des verlängerten reals geschlossen.

Eigenschaften von Zwischenräumen

Die Zwischenräume sind genau die verbundenen Teilmengen dessen. Hieraus folgt dass das Image eines Zwischenraums nach jeder dauernden Funktion auch ein Zwischenraum ist. Das ist eine Formulierung des Zwischenwertlehrsatzes.

Die Zwischenräume sind auch die konvexen Teilmengen dessen. Die Zwischenraum-Einschließung einer Teilmenge ist auch der konvexe Rumpf dessen.

Die Kreuzung jeder Sammlung von Zwischenräumen ist immer ein Zwischenraum. Die Vereinigung von zwei Zwischenräumen ist ein Zwischenraum, wenn, und nur wenn sie eine nichtleere Kreuzung oder einen offenen Endpunkt eines Zwischenraums haben, ein geschlossener Endpunkt vom anderen (z.B,) ist.

Wenn als ein metrischer Raum angesehen wird, sind seine offenen Bälle die offenen begrenzten Sätze, und seine geschlossenen Bälle sind die geschlossenen begrenzten Sätze.

Jedes Element eines Zwischenraums definiert eine Teilung in drei zusammenhanglose Zwischenräume, , : Beziehungsweise sind die Elemente davon weniger als, der Singleton und die Elemente, die größer sind als. Die Teile und sind sowohl nichtleer (als auch haben Sie nichtleeres Innere), wenn, und nur wenn im Interieur dessen ist. Das ist eine Zwischenraum-Version des trichotomy Grundsatzes.

Dyadische Zwischenräume

Ein dyadischer Zwischenraum ist ein begrenzter echter Zwischenraum, dessen Endpunkte sind und, wo und ganze Zahlen sind. Abhängig vom Zusammenhang kann entweder Endpunkt oder darf in den Zwischenraum nicht eingeschlossen werden.

Dyadische Zwischenräume haben einige nette Eigenschaften wie der folgende:

• Die Länge eines dyadischen Zwischenraums ist immer eine Macht der ganzen Zahl zwei.
• Jeder dyadische Zwischenraum wird in genau einem dyadischem "Elternteil"-Zwischenraum zweimal der Länge enthalten.
• Jeder dyadische Zwischenraum wird von zwei "Kind" dyadische Zwischenräume der Hälfte der Länge abgemessen.
• Wenn zwei dyadische Zwischenräume überlappen, dann muss einer von ihnen eine Teilmenge vom anderen sein.

Die dyadischen Zwischenräume haben so eine einem unendlichen binären Baum sehr ähnliche Struktur.

Dyadische Zwischenräume sind für mehrere Gebiete der numerischen Analyse, einschließlich der anpassungsfähigen Ineinandergreifen-Verbesserung, Mehrbratrost-Methoden und Elementarwelle-Analyse wichtig. Eine andere Weise, solch eine Struktur zu vertreten, ist p-adic Analyse (für =2).

Generalisationen

Mehrdimensionale Zwischenräume

In vielen Zusammenhängen - wird dimensionaler Zwischenraum als eine Teilmenge davon definiert ist das Kartesianische Produkt von Zwischenräumen, ein auf jeder Koordinatenachse.

Da das allgemein ein Rechteck definiert, dessen Seiten zu den Koordinatenäxten parallel sind; für definiert es einen Achse-ausgerichteten rechteckigen Kasten.

Eine Seite solch eines Zwischenraums ist das Ergebnis, jeden nichtdegenerierten Zwischenraum-Faktor durch einen degenerierten Zwischenraum zu ersetzen, der aus einem begrenzten Endpunkt dessen besteht. Die Gesichter dessen umfassen sich und alle Gesichter seiner Seiten. Die Ecken dessen sind die Gesichter, die aus einem einzelnen Punkt dessen bestehen.

Komplizierte Zwischenräume

Zwischenräume von komplexen Zahlen können als Gebiete des komplizierten Flugzeugs definiert, entweder rechteckig oder kreisförmig werden.

Siehe auch

• Ungleichheit
• Zwischenraum-Arithmetik
• Zwischenraum-Graph
• Zwischenraum begrenztes Element
• T. Sunaga, "Theorie der Zwischenraum-Algebra und seine Anwendung auf die numerische Analyse", In: Forschungsvereinigung der Angewandten Geometrie (RAAG) Lebenserinnerungen, Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Tokio, Japan, 1958, Vol. 2, Seiten 29-46 (547-564); nachgedruckt in der Zeitschrift von Japan auf der Industriellen und Angewandten Mathematik, 2009, Vol. 26, Nr. 2-3, Seiten 126-143.

Links

• Ein Klarer Zwischenraum durch Brian Hayes: Ein amerikanischer Artikel Scientist stellt eine Einführung zur Verfügung.
• Zwischenraum-Notationsgrundlagen
• Zwischenraum-Berechnungswebsite
• Zwischenraum-Berechnungsforschungszentren
• Zwischenraum-Notation von George Beck, Wolfram-Demonstrationsprojekt.