Analytische Geometrie oder analytische Geometrie hat zwei verschiedene Bedeutungen in der Mathematik. Die moderne und fortgeschrittene Bedeutung bezieht sich auf die Geometrie von analytischen Varianten. Dieser Artikel konzentriert sich auf die klassische und elementare Bedeutung.

In klassischer Mathematik, analytischer Geometrie, auch bekannt als Koordinatengeometrie, oder Kartesianischer Geometrie, ist die Studie der Geometrie mit einem Koordinatensystem und den Grundsätzen der Algebra und Analyse. Das hebt sich von der synthetischen Annäherung der Euklidischen Geometrie ab, die bestimmte geometrische Begriffe als primitiv behandelt, und das deduktive Denken verwendet, das auf Axiomen und Lehrsätzen gestützt ist, um Wahrheit abzuleiten. Analytische Geometrie wird in der Physik und Technik weit verwendet, und ist das Fundament von den meisten modernen Feldern der Geometrie einschließlich der algebraischen, unterschiedlichen, getrennten und rechenbetonten Geometrie.

Gewöhnlich wird das Kartesianische Koordinatensystem angewandt, um Gleichungen für Flugzeuge, Geraden und Quadrate, häufig in zwei und manchmal in drei Dimensionen zu manipulieren. Geometrisch studiert man das Euklidische Flugzeug (2 Dimensionen) und Euklidischer Raum (3 Dimensionen). Wie unterrichtet, in Schulbüchern kann analytische Geometrie einfacher erklärt werden: Es ist mit dem Definieren und Darstellen geometrischer Gestalten auf eine numerische Weise und das Extrahieren numerischer Information aus den numerischen Definitionen und Darstellungen von Gestalten beschäftigt. Die numerische Produktion könnte auch jedoch ein Vektor oder eine Gestalt sein. Dass die Algebra der reellen Zahlen verwendet werden kann, um zu tragen, Ergebnisse über das geradlinige Kontinuum der Geometrie verlässt sich auf das Axiom des Kantoren-Dedekind.

Geschichte

Der griechische Mathematiker Menaechmus hat Probleme behoben und hat Lehrsätze bewiesen, indem er eine Methode verwendet hat, die eine starke Ähnlichkeit mit dem Gebrauch von Koordinaten hatte und es manchmal aufrechterhalten worden ist, dass er analytische Geometrie eingeführt hatte. Apollonius von Perga, in Auf der Bestimmten Abteilung, hat sich mit Problemen gewissermaßen befasst, die eine analytische Geometrie einer Dimension genannt werden können; mit der Frage, Punkte auf einer Linie zu finden, die in einem Verhältnis zu anderen waren. Apollonius in Conics hat weiter eine Methode entwickelt, die der analytischen Geometrie so ähnlich ist, dass, wie man manchmal denkt, seine Arbeit die Arbeit von Descartes — um ungefähr 1800 Jahre vorausgesehen hat. Seine Anwendung von Bezugslinien, einem Diameter und einer Tangente ist im Wesentlichen nicht verschieden als unser moderner Gebrauch eines Koordinatenrahmens, wo die Entfernungen, die entlang dem Diameter vom Punkt von tangency gemessen sind, die Abszissen sind, und die Segment-Parallele zur Tangente und abgefangen zwischen der Achse und der Kurve die Ordinaten ist. Er hat weiter Beziehungen zwischen den Abszissen und den entsprechenden Ordinaten entwickelt, die zu rhetorischen Gleichungen von Kurven gleichwertig sind. Jedoch, obwohl Apollonius in der Nähe vom Entwickeln analytischer Geometrie gekommen ist, hat er nicht geschafft, so zu tun, seitdem er negative Umfänge nicht in Betracht gezogen hat und in jedem Fall das Koordinatensystem auf eine gegebene Kurve a posteriori statt a priori überlagert war. D. h. Gleichungen wurden durch Kurven bestimmt, aber Kurven wurden durch Gleichungen nicht bestimmt. Koordinaten, Variablen und Gleichungen waren auf eine spezifische geometrische Situation angewandte Unterstützungsbegriffe.

Der persische Mathematiker des elften Jahrhunderts Omar Khayyám hat eine starke Beziehung zwischen Geometrie und Algebra gesehen, und bewegte sich in der richtigen Richtung, als er geholfen hat, die Lücke zwischen der numerischen und geometrischen Algebra mit seiner geometrischen Lösung der allgemeinen kubischen Gleichungen zu schließen, aber der entscheidende Schritt ist später mit Descartes gekommen.

Analytische Geometrie ist gemachten bedeutenden Fortschritten von René Descartes Descartes mit den Methoden in einem Aufsatz genannt La Geometrie (Geometrie), einer der drei Begleitaufsätze (Anhänge) veröffentlicht 1637 zusammen mit seinem Gespräch über die Methode für die richtige Richtung von Jemandes Grund und das Suchen nach Wahrheit in den Wissenschaften, allgemein gekennzeichnet als Gespräch über die Methode traditionell zugeschrieben worden. Diese Arbeit, die in seiner heimischen französischen Zunge und seinen philosophischen Grundsätzen geschrieben ist, hat ein Fundament für die Unendlich kleine Rechnung in Europa zur Verfügung gestellt. Am Anfang wurde die Arbeit nicht gut erhalten, teilweise, zu den vielen Lücken in Argumenten und komplizierten Gleichungen erwartet. Nur nachdem die Übersetzung in Latein und die Hinzufügung des Kommentars von van Schooten 1649 (und weitere Arbeit danach) das Meisterwerk von Descarte getan hat, erhalten erwartete Anerkennung.

Pierre Fermat hat auch für die Entwicklung der analytischen Geometrie den Weg gebahnt. Obwohl nicht veröffentlicht in seiner Lebenszeit, einer Manuskript-Form von Loks von Ad planos und solidos isagoge (Einführung ins Flugzeug und die Festen Geometrischen Orte) in Paris 1637 gerade vor der Veröffentlichung des Gesprächs von Descartes zirkulierte. Klar schriftlich und gut erhalten hat die Einführung auch den Grundstein für die analytische Geometrie gelegt. Der Schlüsselunterschied zwischen den Behandlungen von Fermat und Descartes ist eine Sache des Gesichtspunkts. Fermat hat immer mit einer algebraischen Gleichung angefangen und hat dann die geometrische Kurve beschrieben, die sie befriedigt hat, während Descartes mit geometrischen Kurven anfängt und ihre Gleichungen als einer von mehreren Eigenschaften der Kurven erzeugt. Demzufolge dieser Annäherung musste sich Descartes mit mehr komplizierten Gleichungen befassen, und er musste die Methoden entwickeln, mit polynomischen Gleichungen des höheren Grads zu arbeiten.

Kernprinzipien

Koordinaten

In der analytischen Geometrie wird das Flugzeug ein Koordinatensystem gegeben, durch das jeder Punkt ein Paar von Koordinaten der reellen Zahl hat. Das allgemeinste Koordinatensystem, um zu verwenden, ist das Kartesianische Koordinatensystem, wo jeder Punkt eine X-Koordinate hat, die seine horizontale Position und eine Y-Koordinate vertritt, die seine vertikale Position vertritt. Diese werden normalerweise als ein befohlenes Paar (x, y) geschrieben. Dieses System kann auch für die dreidimensionale Geometrie verwendet werden, wo jeder Punkt im Euklidischen Raum durch eine bestellte dreifache von Koordinaten (x, y, z) vertreten wird.

Andere Koordinatensysteme sind möglich. Auf dem Flugzeug ist die allgemeinste Alternative Polarkoordinaten, wo jeder Punkt durch seinen Radius r vom Ursprung und seinem Winkel θ vertreten wird. In drei Dimensionen schließen allgemeine alternative Koordinatensysteme zylindrische Koordinaten und kugelförmige Koordinaten ein.

Gleichungen von Kurven

In der analytischen Geometrie gibt jede Gleichung, die die Koordinaten einschließt, eine Teilmenge des Flugzeugs, nämlich der Lösungssatz für die Gleichung an. Zum Beispiel entspricht die Gleichung y = x dem Satz aller Punkte auf dem Flugzeug, dessen X-Koordinate und Y-Koordinate gleich sind. Diese Punkte bilden eine Linie, und, wie man sagt, ist y = x die Gleichung für diese Linie. Im Allgemeinen geben geradlinige Gleichungen, die x einschließen, und y Linien an, quadratische Gleichungen geben konische Abteilungen an, und mehr komplizierte Gleichungen beschreiben mehr komplizierte Zahlen.

Gewöhnlich entspricht eine einzelne Gleichung einer Kurve auf dem Flugzeug. Das ist nicht immer der Fall: Die triviale Gleichung x = x gibt das komplette Flugzeug an, und die Gleichung x + y = 0 gibt nur den einzelnen Punkt (0, 0) an. In drei Dimensionen gibt eine einzelne Gleichung gewöhnlich eine Oberfläche, und eine Kurve muss als die Kreuzung von zwei Oberflächen (sieh unten), oder als ein System von parametrischen Gleichungen angegeben werden. Die Gleichung x + y = r ist die Gleichung für jeden Kreis mit einem Radius von r.

Entfernung und Winkel

In der analytischen Geometrie werden geometrische Begriffe wie Entfernung und Winkelmaß mit Formeln definiert. Diese Definitionen werden entworfen, um mit der zu Grunde liegenden Euklidischen Geometrie im Einklang stehend zu sein. Zum Beispiel, mit Kartesianischen Koordinaten auf dem Flugzeug, wird die Entfernung zwischen zwei Punkten (x, y) und (x, y) durch die Formel definiert

:

der als eine Version des Pythagoreischen Lehrsatzes angesehen werden kann. Ähnlich kann der Winkel, den eine Linie mit dem horizontalen macht, durch die Formel definiert werden

:

wo M der Hang der Linie ist.

Abteilung einer Linie

In der Analytischen Geometrie kann eine Abteilung einer Linie durch die Formel gegeben werden, wo (c, d) & (e, f) die Endpunkte der Linie sind & m:n das Verhältnis der Abteilung ist

S (a, b) = (nc+me/m+n, nd+mf/m+n)

Transformationen

Transformationen werden auf Elternteilfunktionen angewandt, es in eine neue Funktion mit ähnlichen Eigenschaften zu verwandeln. Zum Beispiel hat die Elternteilfunktion y=1/x einen horizontalen und eine vertikale Asymptote, und besetzt den ersten und dritten Quadranten, und alle seine umgestalteten Formen haben eine horizontale und vertikale Asymptote, und besetzt entweder den 1. und 3. oder 2. und 4. Quadranten. Im Allgemeinen, wenn y = f (x), dann kann es in y = Niederfrequenz (b umgestaltet werden (x − k)) + h. In der neuen umgestalteten Funktion des Faktors zu sein, der vertikal die Funktion streckt, wenn es größer ist als 1 oder vertikal die Funktion zusammenpresst, wenn es weniger als 1, und für die Verneinung Werte ist, wird die Funktion in der X-Achse widerspiegelt. Der B-Wert presst den Graphen der Funktion, horizontal wenn größer, zusammen als 1 und streckt die Funktion horizontal, wenn weniger als 1, und wie a, die Funktion in der Y-Achse widerspiegelt, wenn es negativ ist. Der k und die H-Werte führen Übersetzungen, h, vertikal, und k horizontal ein. Positiver h und K-Werte bedeuten, dass die Funktion zum positiven Ende seiner Achse und negativer Bedeutungsübersetzung zum negativen Ende übersetzt wird.

Transformationen können auf jede geometrische Gleichung angewandt werden, ob die Gleichung eine Funktion vertritt.

Transformationen können als individuelle Transaktionen oder in Kombinationen betrachtet werden.

Nehmen Sie an, dass R (x, y) eine Beziehung im xy Flugzeug ist. Zum Beispiel

x + y-1 = 0

ist die Beziehung, die den Einheitskreis beschreibt.

Der Graph von R (x, y) wird durch Standardtransformationen wie folgt geändert:

Das Ändern x zu x-h bewegt den Graphen nach rechts h Einheiten.

Das Ändern y zu y-k bringt den Graphen k Einheiten heran.

Das Ändern x zu x/b streckt den Graphen horizontal durch einen Faktor von b. (denken Sie an den x, der als wird verdünnt)

Das Ändern y zu y/a streckt den Graphen vertikal.

Wenn er

sich x zu xcosA + ysinA ändert und sich y zu-xsinA + ändert, lässt ycosA den Graphen durch einen Winkel A rotieren.

Es gibt andere Standardtransformation, die nicht normalerweise in der elementaren analytischen Geometrie studiert ist, weil die Transformationen die Gestalt von Gegenständen auf Weisen nicht gewöhnlich betrachtet ändern. Das Verdrehen ist ein Beispiel einer Transformation nicht gewöhnlich betrachtet.

Für mehr Information, befragen Sie den Artikel Wikipedia über affine Transformationen.

Kreuzungen

Während diese Diskussion auf den xy-plane beschränkt wird, kann sie zu höheren Dimensionen leicht erweitert werden. Für zwei geometrische Gegenstände P und Q, der durch die Beziehungen P (x, y) und Q (x, y) vertreten ist, ist die Kreuzung die Sammlung aller Punkte (x, y), die in beiden Beziehungen sind.

Zum Beispiel könnte P der Kreis mit dem Radius 1 und Zentrum (0,0) sein: P = {(x, y) | x+y=1} und Q könnte der Kreis mit dem Radius 1 und Zentrum (1,0) sein: Q = {(x, y) | (x-1) +y=1}. Die Kreuzung dieser zwei Kreise ist die Sammlung von Punkten, die beide Gleichungen wahr machen. Der Punkt (0,0) machen beide Gleichungen wahr? Mit (0,0) für (x, y), wird die Gleichung für Q (0-1) +0=1 oder (-1) =1, der wahr ist, so (0,0) ist in der Beziehung Q. Andererseits, noch mit (0,0) für (x, y) wird die Gleichung für P (0) +0=1 oder 0=1, der falsch ist. (0,0) ist nicht in P, so ist es nicht in der Kreuzung.

Die Kreuzung von P und Q kann durch das Lösen der gleichzeitigen Gleichungen gefunden werden:

x+y = 1

(x-1) +y = 1

Traditionelle Methoden schließen Ersatz und Beseitigung ein.

Ersatz: Lösen Sie die erste Gleichung für y in Bezug auf x und dann wechseln Sie gegen den Ausdruck y in die zweite Gleichung aus.

x+y = 1

y=1-x

Wir wechseln dann gegen diesen Wert y in die andere Gleichung aus:

(x-1) + (1-x) =1 und fahren fort, für x zu lösen:

x - 2x +1 +1-x =1

- 2x =-1

x = ½\

Wir legen als nächstes diesen Wert von x in jeder der ursprünglichen Gleichungen und lösen für y:

½ + y = 1

y = ¾\

:

So dass unsere Kreuzung zwei Punkte hat:

:

Beseitigung: Tragen Sie Bei (oder machen Sie Abstriche), ein Vielfache einer Gleichung zur anderen Gleichung, so dass eine der Variablen beseitigt wird.

Für unser aktuelles Beispiel, Wenn wir die erste Gleichung vom zweiten abziehen, kommen wir:

(x-1)-x=0

Der y in der ersten Gleichung wird vom y in der zweiten Gleichung abgezogen, keinen Y-Begriff verlassend. y ist beseitigt worden.

Wir lösen dann die restliche Gleichung für x, ebenso als in der Ersatz-Methode.

x - 2x +1 +1-x =1- 2x =-1x = ½\Wir legen als nächstes diesen Wert von x in jeder der ursprünglichen Gleichungen und lösen für y:½ + y = 1y = ¾\:So dass unsere Kreuzung zwei Punkte hat::

Für konische Abteilungen nicht weniger als könnten 4 Punkte in der Kreuzung sein.

Abschnitte

Ein Typ der Kreuzung, die weit studiert wird, ist die Kreuzung eines geometrischen Gegenstands mit dem x und den Y-Koordinatenäxten.

Die Kreuzung eines geometrischen Gegenstands und der Y-Achse wird den Y-Abschnitt des Gegenstands genannt.

Die Kreuzung eines geometrischen Gegenstands und der X-Achse wird den X-Abschnitt des Gegenstands genannt.

Für die Linie y=mx+b gibt der Parameter b den Punkt an, wo die Linie die y Achse durchquert. Abhängig vom Zusammenhang werden entweder b oder der Punkt (0, b) den Y-Abschnitt genannt.

Themen

Wichtige Themen der analytischen Geometrie sind

• Vektorraum
• Definition des Flugzeugs
• Entfernungsprobleme
• das Punktprodukt, um den Winkel von zwei Vektoren zu bekommen
• das Kreuzprodukt, um einen rechtwinkligen Vektoren von zwei bekannten Vektoren (und auch ihr Raumvolumen) zu bekommen
• Kreuzungsprobleme
• konische Abteilungen abhängig von der Klasse, das kann Folge von Koordinaten und den allgemeinen quadratischen Problemen einschließen

:: Axt + Bxy + Cy +Dx + Ey + F = 0. Wenn der Begriff von Bxy betrachtet wird, werden Folgen allgemein verwendet.

Viele dieser Probleme schließen geradlinige Algebra ein.

Beispiel

Hier ein Beispiel eines Problems von den Vereinigten Staaten von Amerika Mathematische Talent-Suche, die über die analytische Geometrie gelöst werden kann:

Problem: In einem konvexen Pentagon haben die Seiten Längen, und, obwohl nicht notwendigerweise in

diese Ordnung. Lassen Sie, und seien Sie die Mittelpunkte der Seiten, und beziehungsweise.

Lassen Sie, der Mittelpunkt des Segmentes zu sein, und der Mittelpunkt des Segmentes zu sein. Die Länge von

Segment ist eine ganze Zahl. Finden Sie alle möglichen Werte für die Länge der Seite.

Lösung: Ohne Verlust der Allgemeinheit, lassen Sie, und werden Sie an gelegen, und.

Das Verwenden der Mittelpunkt-Formel, der Punkte, und wird an gelegen

:, und

Mit der Entfernungsformel,

:

und

:

Seitdem muss eine ganze Zahl, sein

:

(sieh Modularithmetik) so.

Moderne analytische Geometrie

Eine analytische Vielfalt wird lokal als der Satz von allgemeinen Lösungen mehrerer Gleichungen definiert, die analytische Funktionen einschließen. Es ist dem eingeschlossenen Konzept der echten oder komplizierten algebraischen Vielfalt analog. Jede komplizierte Sammelleitung ist eine analytische Vielfalt. Da analytische Varianten einzigartige Punkte, nicht haben können, sind alle analytischen Varianten Sammelleitungen.

Analytische Geometrie ist zur echten und komplizierten Algebraischen Geometrie im Wesentlichen gleichwertig, wie von Jean-Pierre Serre in seinem Papier-IRREN gezeigt worden ist, dessen Name für die Algebraische Geometrie und analytische Geometrie französisch ist. Dennoch bleiben die zwei Felder verschieden, weil die Methoden des Beweises ziemlich verschieden sind und algebraische Geometrie auch Geometrie in die begrenzte Eigenschaft einschließt.

Referenzen

Links

• Koordinatengeometrie-Themen mit interaktiven Zeichentrickfilmen