In der Mathematik, spezifisch in der Topologie, ist eine Oberfläche eine zweidimensionale topologische Sammelleitung. Die vertrautesten Beispiele sind diejenigen, die als die Grenzen von festen Gegenständen im gewöhnlichen dreidimensionalen Euklidischen Raum R - zum Beispiel, die Oberfläche eines Balls entstehen. Andererseits gibt es Oberflächen wie die Flasche von Klein, die im dreidimensionalen Euklidischen Raum nicht eingebettet werden kann, ohne Eigenartigkeiten oder Selbstkreuzungen einzuführen.

Zu sagen, dass eine Oberfläche "zweidimensional" ist, bedeutet, dass, über jeden Punkt, es einen Koordinatenfleck gibt, auf dem ein zweidimensionales Koordinatensystem definiert wird. Zum Beispiel ist die Oberfläche der Erde (ideal) ein zweidimensionaler Bereich, und Breite und Länge stellen zweidimensionale Koordinaten darauf (außer an den Polen und entlang dem 180. Meridian) zur Verfügung.

Das Konzept der Oberfläche findet Anwendung in Physik, Technik, Computergrafik und vielen anderen Disziplinen, in erster Linie im Darstellen der Oberflächen von physischen Gegenständen. Zum Beispiel, im Analysieren der aerodynamischen Eigenschaften eines Flugzeuges, ist die Hauptrücksicht der Fluss von Luft entlang seiner Oberfläche.

Definitionen und die ersten Beispiele

Eine (topologische) Oberfläche ist nichtleerer zweiter zählbarer Hausdorff topologischer Raum, in dem jeder Punkt eine offene Nachbarschaft homeomorphic zu einer offenen Teilmenge des Euklidischen Flugzeugs E hat. Solch eine Nachbarschaft, zusammen mit dem entsprechenden homeomorphism, ist als eine (koordinierte) Karte bekannt. Es ist durch diese Karte, dass die Nachbarschaft die Standardkoordinaten auf dem Euklidischen Flugzeug erbt. Diese Koordinaten sind als lokale Koordinaten bekannt, und diese homeomorphisms bringen uns dazu, Oberflächen zu beschreiben, als, lokal Euklidisch zu sein.

Mehr allgemein ist eine (topologische) Oberfläche mit der Grenze Hausdorff topologischer Raum, in dem jeder Punkt eine offene Nachbarschaft homeomorphic zu einer offenen Teilmenge des oberen Halbflugzeugs H hat. Diese homeomorphisms sind auch bekannt als (koordinaten)-Karten. Die Grenze des oberen Halbflugzeugs ist die X-Achse. Ein Punkt auf der Oberfläche, die über eine Karte zur X-Achse kartografisch dargestellt ist, wird ein Grenzpunkt genannt. Die Sammlung solcher Punkte ist als die Grenze der Oberfläche bekannt, die notwendigerweise eine eine Sammelleitung, d. h. die Vereinigung von geschlossenen Kurven ist. Andererseits ist ein Punkt, der zu über der X-Achse kartografisch dargestellt ist, ein Innenpunkt. Die Sammlung von Innenpunkten ist das Interieur der Oberfläche, die immer nichtleer ist. Die geschlossene Platte ist ein einfaches Beispiel einer Oberfläche mit der Grenze. Die Grenze der Scheibe ist ein Kreis.

Der Begriff ohne Qualifikation verwendete Oberfläche bezieht sich auf Oberflächen ohne Grenze. Insbesondere eine Oberfläche mit der leeren Grenze ist eine Oberfläche im üblichen Sinn. Eine Oberfläche mit der leeren Grenze, die kompakt ist, ist als eine 'geschlossene' Oberfläche bekannt. Der zweidimensionale Bereich, der zweidimensionale Ring und das echte projektive Flugzeug sind Beispiele von geschlossenen Oberflächen.

Der Möbius-Streifen ist eine Oberfläche mit nur einer "Seite". Im Allgemeinen, wie man sagt, ist eine Oberfläche orientable, wenn es keine homeomorphic Kopie des Streifens von Möbius enthält; intuitiv hat es zwei verschiedene "Seiten". Zum Beispiel sind der Bereich und Ring orientable, während das echte projektive Flugzeug ist nicht (weil das Löschen eines Punkts oder Platte vom echten projektiven Flugzeug den Streifen von Möbius erzeugt).

In der unterschiedlichen und algebraischen Geometrie wird Extrastruktur auf die Topologie der Oberfläche hinzugefügt. Das hat hinzugefügt, dass Strukturen Eigenartigkeiten, wie Selbstkreuzungen und Spitzen entdecken, die allein in Bezug auf die zu Grunde liegende Topologie nicht beschrieben werden können.

Unwesentlich definierte Oberflächen und embeddings

y = r sündigen θ Sünde φ, z = r weil θ), oder implizit (dadurch).]]

Historisch wurden Oberflächen als Subräume von Euklidischen Räumen am Anfang definiert. Häufig waren diese Oberflächen der geometrische Ort von Nullen von bestimmten Funktionen, gewöhnlich polynomischen Funktionen. Solch eine Definition hat die Oberfläche als ein Teil eines größeren (Euklidischen) Raums betrachtet, und weil solcher unwesentlich genannt wurde.

In der vorherigen Abteilung wird eine Oberfläche als ein topologischer Raum mit dem bestimmten Eigentum, nämlich Hausdorff und lokal Euklidisch definiert. Dieser topologische Raum wird als seiend ein Subraum eines anderen Raums nicht betrachtet. In diesem Sinn ist die Definition, die oben gegeben ist, der die Definition ist, die Mathematiker zurzeit verwenden, inner.

Eine Oberfläche definiert als inner ist nicht erforderlich, die zusätzliche Einschränkung zu befriedigen, ein Subraum des Euklidischen Raums zu sein. Es scheint möglich auf den ersten Blick, dass es Oberflächen definiert wirklich gibt, die nicht Oberflächen im unwesentlichen Sinn sind. Jedoch behauptet der Whitney, der Lehrsatz einbettet, dass jede Oberfläche tatsächlich homeomorphically in den Euklidischen Raum tatsächlich in E eingebettet werden kann. Deshalb erweisen sich die unwesentlichen und inneren Annäherungen, gleichwertig zu sein.

Tatsächlich kann jede Kompaktoberfläche, die entweder orientable ist oder eine Grenze hat, in E ³ eingebettet werden; andererseits kann das echte projektive Flugzeug, das, non-orientable und ohne Grenze kompakt ist, nicht in E ³ eingebettet werden (sieh Gramain). Oberflächen von Steiner, einschließlich der Oberfläche des Jungen, der römischen Oberfläche und der Quer-Kappe, sind Immersionen des echten projektiven Flugzeugs in E ³. Diese Oberflächen sind einzigartig, wo die Immersionen sich durchschneiden.

Der Alexander gehörnter Bereich ist ein wohl bekanntes pathologisches Einbetten des zwei-Bereiche-in den drei-Bereiche-.

Das gewählte Einbetten (wenn irgendwelcher) einer Oberfläche in einen anderen Raum wird als unwesentliche Information betrachtet; es ist für die Oberfläche selbst nicht notwendig. Zum Beispiel kann ein Ring in E ³ auf die "Standard"-Weise eingebettet werden (der wie ein ringförmiges Brötchen aussieht), oder auf eine verknotete Weise (sieh Zahl). Die zwei eingebetteten Ringe sind homeomorphic, aber nicht isotopic; sie sind topologisch gleichwertig, aber ihre embeddings sind nicht.

Wie man

sagt, ist das Image eines dauernden, injective Funktion von R bis hoch-dimensionalen R eine parametrische Oberfläche. Solch ein Image ist so genannt, weil der x- und die y-Richtungen des Gebiets R 2 Variablen sind, die das Image parametrisieren. Seien Sie sorgfältig, dass ein parametrisches Oberflächenbedürfnis nicht eine topologische Oberfläche ist. Eine Oberfläche der Revolution kann als eine spezielle Art der parametrischen Oberfläche angesehen werden.

Wenn f eine glatte Funktion von R ³ zu R ist, dessen Anstieg nirgends Null ist, Dann definiert der geometrische Ort von Nullen von f wirklich eine Oberfläche, die als eine implizite Oberfläche bekannt ist. Wenn die Bedingung des nichtverschwindenden Anstiegs dann fallen gelassen ist, kann der geometrische Nullort Eigenartigkeiten entwickeln.

Aufbau von Vielecken

Jede geschlossene Oberfläche kann von einem orientierten Vieleck mit einer geraden Zahl von Seiten, genannt ein grundsätzliches Vieleck der Oberfläche durch die pairwise Identifizierung seiner Ränder gebaut werden. Zum Beispiel, in jedem Vieleck unten, die Seiten mit dem Zusammenbringen von Etiketten (Mit A, B mit B), so dass der Pfeil-Punkt in derselben Richtung beifügend, gibt die angezeigte Oberfläche nach.

Image:SphereAsSquare.svg|sphere

Image:ProjectivePlaneAsSquare.svg|real projektives Flugzeug

Image:TorusAsSquare.svg|torus

Image:KleinBottleAsSquare.svg|Klein Flasche

</Galerie>

Jedes grundsätzliche Vieleck kann symbolisch wie folgt geschrieben werden. Beginnen Sie an jedem Scheitelpunkt, und gehen Sie um den Umfang des Vielecks in jeder Richtung bis zum Zurückbringen in den Startscheitelpunkt weiter. Während dieses Traversals, registrieren Sie das Etikett an jedem Rand in der Ordnung, mit einer Hochzahl-1, wenn der Rand gegenüber der Richtung des Traversals hinweist. Die vier Modelle oben, wenn überquert, im Uhrzeigersinn am oberen linken anfangend, geben nach

• Bereich:
• echtes projektives Flugzeug:
• Ring:
• Flasche von Klein:.

Bemerken Sie, dass der Bereich und das projektive Flugzeug als Quotienten des 2-gon sowohl begriffen werden können, während der Ring und die Flasche von Klein einen 4-gon (Quadrat) verlangen.

Der Ausdruck ist so auf ein grundsätzliches Vieleck einer Oberfläche zurückzuführen gewesen erweist sich, die alleinige Beziehung in einer Präsentation der grundsätzlichen Gruppe der Oberfläche mit den Vieleck-Rand-Etiketten als Generatoren zu sein. Das ist eine Folge des Seifert-van Kampen Lehrsatzes.

Das Kleben von Rändern von Vielecken ist eine spezielle Art des Quotient-Raumprozesses. Das Quotient-Konzept kann in der größeren Allgemeinheit angewandt werden, um neue oder alternative Aufbauten von Oberflächen zu erzeugen. Zum Beispiel kann das echte projektive Flugzeug als der Quotient des Bereichs erhalten werden, indem es alle Paare von entgegengesetzten Punkten auf dem Bereich erkannt wird. Ein anderes Beispiel eines Quotienten ist die verbundene Summe.

Verbundene Summen

Die verbundene Summe von zwei Oberflächen M und N, angezeigte M # N, wird durch das Entfernen einer Platte von jedem von ihnen und das Kleben von ihnen entlang den Grenzbestandteilen dieses Ergebnis erhalten. Die Grenze einer Platte ist ein Kreis, so sind diese Grenzbestandteile Kreise. Die Euler Eigenschaft dessen ist die Summe der Eigenschaften von Euler des summands, minus zwei:

:

Der Bereich S ist ein Identitätselement für die verbundene Summe, das meinend. Das ist, weil das Löschen einer Platte vom Bereich eine Platte verlässt, die einfach die Platte ersetzt, die von der M nach dem Kleben gelöscht ist.

Die verbundene Summierung mit dem Ring T wird auch als Befestigung eines "Griffs" zur anderen summand M beschrieben, Wenn M orientable ist, dann so ist. Die verbundene Summe ist assoziativ, so ist die verbundene Summe einer begrenzten Sammlung von Oberflächen bestimmt.

Die verbundene Summe von zwei echten projektiven Flugzeugen ist die Flasche von Klein K. Die verbundene Summe des echten projektiven Flugzeugs und der Flasche von Klein ist homeomorphic zur verbundenen Summe des echten projektiven Flugzeugs mit dem Ring; in einer Formel. So ist die verbundene Summe von drei echten projektiven Flugzeugen homeomorphic zur verbundenen Summe des echten projektiven Flugzeugs mit dem Ring. Jede verbundene Summe, die ein echtes projektives Flugzeug einschließt, ist nonorientable.

Geschlossene Oberflächen

Eine geschlossene Oberfläche ist eine Oberfläche, die kompakt ist und ohne Grenze. Beispiele sind Räume wie der Bereich, der Ring und die Flasche von Klein. Beispiele von nichtgeschlossenen Oberflächen sind: Eine offene Platte, die ein Bereich mit einem Einstich ist; ein Zylinder, der ein Bereich mit zwei Einstichen ist; und der Streifen von Möbius.

Klassifikation von geschlossenen Oberflächen

Der Klassifikationslehrsatz von geschlossenen Oberflächen stellt fest, dass jede verbundene geschlossene Oberfläche homeomorphic einem Mitglied von einer dieser drei Familien ist:

1. der Bereich;
2. die verbundene Summe von g Ringen, dafür;
3. die verbundene Summe von k echten projektiven Flugzeugen, dafür.

Die Oberflächen in den ersten zwei Familien sind orientable. Es ist günstig, die zwei Familien durch die Bewertung des Bereichs als die verbundene Summe von 0 Ringen zu verbinden. Die Nummer g von beteiligten Ringen wird die Klasse der Oberfläche genannt. Der Bereich und der Ring haben Eigenschaften 2 und 0 von Euler beziehungsweise, und im Allgemeinen ist die Eigenschaft von Euler der verbundenen Summe von g Ringen.

Die Oberflächen in der dritten Familie sind nonorientable. Die Euler Eigenschaft des echten projektiven Flugzeugs ist 1, und im Allgemeinen ist die Eigenschaft von Euler der verbundenen Summe von k von ihnen.

Hieraus folgt dass eine geschlossene Oberfläche bis zu homeomorphism durch zwei Information bestimmt wird: Seine Eigenschaft von Euler, und ob es orientable ist oder nicht. Mit anderen Worten klassifizieren Eigenschaft von Euler und orientability völlig geschlossene Oberflächen bis zu homeomorphism.

Für geschlossene Oberflächen mit vielfachen verbundenen Bestandteilen werden sie durch die Klasse von jedem ihrer verbundenen Bestandteile klassifiziert, und so nimmt man allgemein an, dass die Oberfläche verbunden wird.

Struktur von Monoid

Diese Klassifikation mit verbundenen Summen verbindend, bilden die geschlossenen Oberflächen bis zu homeomorphism einen monoid in Bezug auf die verbundene Summe, weil tatsächlich Sammelleitungen jeder festen Dimension tun. Die Identität ist der Bereich, während das echte projektive Flugzeug und der Ring diesen monoid mit einer einzelnen Beziehung erzeugen, die auch seitdem geschrieben werden kann. Diese Beziehung ist manchmal als nach Walther von Dyck bekannt, der es in bewiesen hat, und die dreifache böse Oberfläche entsprechend genannt wird.

Geometrisch fügt die Verbinden-Summe mit einem Ring einen Griff mit beiden derselben Seite der Oberfläche beigefügten Enden hinzu, während die Verbinden-Summe mit einer Flasche von Klein einen Griff mit den zwei Gegenseiten der Oberfläche beigefügten Enden hinzufügt; in Gegenwart von einem projektiven Flugzeug ist die Oberfläche nicht orientable (es gibt keinen Begriff der Seite), also gibt es keinen Unterschied zwischen Befestigung eines Rings und Befestigung einer Flasche von Klein, die die Beziehung erklärt.

Oberflächen mit der Grenze

Kompaktoberflächen, vielleicht mit der Grenze, werden einfach Oberflächen mit mehreren Löchern geschlossen (offene Scheiben, die entfernt worden sind). So wird eine verbundene Kompaktoberfläche durch die Zahl von Grenzbestandteilen und die Klasse der entsprechenden geschlossenen Oberfläche - gleichwertig, durch die Zahl von Grenzbestandteilen, dem orientability und der Eigenschaft von Euler klassifiziert. Die Klasse einer Kompaktoberfläche wird als die Klasse der entsprechenden geschlossenen Oberfläche definiert.

Diese Klassifikation folgt fast sofort von der Klassifikation von geschlossenen Oberflächen: Das Entfernen einer offenen Scheibe von einer geschlossenen Oberfläche gibt eine Kompaktoberfläche mit einem Kreis für den Grenzbestandteil nach, und das Entfernen k offene Scheiben gibt eine Kompaktoberfläche mit k zusammenhanglose Kreise für Grenzbestandteile nach. Die genauen Positionen der Löcher sind irrelevant, weil die homeomorphism Gruppe k-transitively auf jeder verbundenen Sammelleitung der Dimension mindestens 2 handelt.

Umgekehrt ist die Grenze einer Kompaktoberfläche eine geschlossene 1 Sammelleitung, und ist deshalb die zusammenhanglose Vereinigung einer begrenzten Zahl von Kreisen; die Füllung dieser Kreise mit Platten (formell, die Einnahme des Kegels) geben eine geschlossene Oberfläche nach.

Die einzigartige orientable Kompaktoberfläche der Klasse g und mit k Grenzbestandteilen wird häufig zum Beispiel in der Studie der kartografisch darstellenden Klassengruppe angezeigt.

Oberflächen von Riemann

Ein nah zusammenhängendes Beispiel zur Klassifikation von kompakten 2 Sammelleitungen ist die Klassifikation von Kompaktoberflächen von Riemann, d. h., kompakten komplizierten 1 Sammelleitungen. (Bemerken Sie, dass der 2-Bereiche- und der Ring beide komplizierte Sammelleitungen, tatsächlich algebraische Varianten sind.), Da jede komplizierte Sammelleitung orientable ist, sind die verbundenen Summen von projektiven Flugzeugen nicht komplizierte Sammelleitungen. So werden Kompaktoberflächen von Riemann topologisch einfach durch ihre Klasse charakterisiert. Die Klasse zählt die Zahl von Löchern in der Sammelleitung auf: Der Bereich hat Klasse 0, die eine durchlöcherte Ring-Klasse 1, usw.

Nichtkompaktoberflächen

Nichtkompaktoberflächen sind schwieriger zu klassifizieren. Als ein einfaches Beispiel kann eine Nichtkompaktoberfläche durch das Durchstechen (das Entfernen eines begrenzten Satzes von Punkten von) einer geschlossenen Sammelleitung erhalten werden. Andererseits ist jede offene Teilmenge einer Kompaktoberfläche selbst eine Nichtkompaktoberfläche; denken Sie zum Beispiel, die Ergänzung eines Kantor-Satzes im Bereich, der sonst als die Kantor-Baumoberfläche bekannt ist. Jedoch ist nicht jede Nichtkompaktoberfläche eine Teilmenge einer Kompaktoberfläche; zwei kanonische Gegenbeispiele sind die Leiter von Jacob und das Ungeheuer von Loch Ness, die Nichtkompaktoberflächen mit der unendlichen Klasse sind.

Beweis

Die Klassifikation von geschlossenen Oberflächen ist bekannt gewesen seit den 1860er Jahren, und heute bestehen mehrere Beweise.

Topologische und kombinatorische Beweise verlassen sich im Allgemeinen auf das schwierige Ergebnis, dass jeder Kompakt-2-Sammelleitungen-homeomorphic zu einem simplicial Komplex ist, der von Interesse in seinem eigenen Recht ist. Der allgemeinste Beweis der Klassifikation ist, der jede triangulierte Oberfläche zu einer Standardform bringt. Ein vereinfachter Beweis, der eine Standardform vermeidet, wurde von John H. Conway um 1992 entdeckt, den er den "Nullbelanglosigkeitsbeweis" oder "SCHWIRREN-Beweis" genannt hat und darin präsentiert wird.

Ein geometrischer Beweis, der ein stärkeres geometrisches Ergebnis nachgibt, ist der uniformization Lehrsatz. Das wurde nur für Oberflächen von Riemann in den 1880er Jahren und 1900er Jahren von Felix Klein, Paul Koebe und Henri Poincaré ursprünglich bewiesen.

Oberflächen in der Geometrie

Polyeder, wie die Grenze eines Würfels, sind unter den ersten in der Geometrie gestoßenen Oberflächen. Es ist auch möglich, glatte Oberflächen zu definieren, in denen jeder Punkt eine Nachbarschaft diffeomorphic zu einem offenen Satz in E ² hat. Diese Weiterentwicklung erlaubt Rechnung, auf Oberflächen angewandt zu werden, um viele Ergebnisse zu beweisen.

Zwei glatte Oberflächen sind diffeomorphic, wenn, und nur wenn sie homeomorphic sind. (Das analoge Ergebnis hält für hoch-dimensionale Sammelleitungen nicht.) So werden geschlossene Oberflächen bis zu diffeomorphism durch ihre Eigenschaft von Euler und orientability klassifiziert.

Glatte mit der Metrik von Riemannian ausgestattete Oberflächen sind von fundational Wichtigkeit in der Differenzialgeometrie. Ein Riemannian metrischer dotiert eine Oberfläche mit Begriffen von geodätischen, Entfernung, Winkel und Gebiet. Es verursacht auch Krümmung von Gaussian, die beschreibt, wie sich gekrümmt oder gebogen hat, ist die Oberfläche an jedem Punkt. Krümmung ist ein starres, geometrisches Eigentum, in dem sie durch allgemeinen diffeomorphisms der Oberfläche nicht bewahrt wird. Jedoch stellt der berühmte Gauss-Häubchen-Lehrsatz für geschlossene Oberflächen fest, dass das Integral der Krümmung von Gaussian K über die komplette Oberfläche S durch die Eigenschaft von Euler bestimmt wird:

:

Dieses Ergebnis veranschaulicht die tiefe Beziehung zwischen der Geometrie und Topologie von Oberflächen (und, in einem kleineren Ausmaß, hoch-dimensionalen Sammelleitungen).

Ein anderer Weg, auf den Oberflächen in der Geometrie entstehen, ist durch den Übergang ins komplizierte Gebiet. Eine komplizierte eine Sammelleitung ist eine glatte orientierte Oberfläche, auch genannt eine Oberfläche von Riemann. Jede komplizierte nichtsinguläre algebraische als eine komplizierte Sammelleitung angesehene Kurve ist eine Oberfläche von Riemann.

Jede geschlossene Orientable-Oberfläche lässt eine komplizierte Struktur zu. Komplizierte Strukturen auf einer geschlossenen orientierten Oberfläche entsprechen conformal Gleichwertigkeitsklassen der Metrik von Riemannian auf der Oberfläche. Eine Version des uniformization Lehrsatzes (wegen Poincaré) stellt fest, dass jeder auf einer orientierten, geschlossenen Oberfläche metrische Riemannian conformally Entsprechung zu einer im Wesentlichen einzigartigen metrischen von der unveränderlichen Krümmung ist. Das stellt einen Startpunkt für eine der Annäherungen an die Theorie von Teichmüller zur Verfügung, die eine feinere Klassifikation von Oberflächen von Riemann zur Verfügung stellt als die topologische durch die Eigenschaft von Euler allein.

Eine komplizierte Oberfläche ist ein Komplex zwei-Sammelleitungen- und so ein echter vier-Sammelleitungen-; es ist nicht eine Oberfläche im Sinne dieses Artikels. Keiner ist algebraische Kurven, die über Felder definiert sind, außer den komplexen Zahlen,

noch algebraische Oberflächen werden über Felder außer den reellen Zahlen definiert.

Siehe auch

• Volumen-Form, für Volumina von Oberflächen in E
• Poincaré metrisch, für metrische Eigenschaften von Riemann erscheint
• Bereichselement, das Gebiet eines Differenzialelements einer Oberfläche
• Römische Oberfläche
• Die Oberfläche des Jungen
• Tetrahemihexahedron

Referenzen

• (Ursprünglicher 1969-70 Kurs von Orsay bemerkt in Französisch für "Topologie des Surfaces")

Links

• Die Klassifikation von Oberflächen und dem Kurve-Lehrsatz von Jordan in der Hausseite von Andrew Ranicki
• Die Galerie Math Surfaces, mit 60 ~surfaces und Java Applet für die lebende Folge, die ansieht
• Matheoberflächenzeichentrickfilm, mit JavaScript (Leinwand-HTML) für die Zehnen-Oberflächenfolge, die ansieht
• Die Klassifikation von Oberflächenvortrag-Zeichen durch Z.Fiedorowicz
• Geschichte und Kunst von Oberflächen und ihren Mathematischen Modellen