Ein Bereich (von Griechisch  — sphaira, "Erdball, Ball") ist ein vollkommen runder geometrischer Gegenstand im dreidimensionalen Raum wie die Gestalt eines runden Balls. Wie ein Kreis, der in zwei Dimensionen ist, ist ein vollkommener Bereich um sein Zentrum mit allen Punkten auf der Oberfläche völlig symmetrisch, die dieselbe Entfernung r vom Zentrum-Punkt liegt. Diese Entfernung r ist als der "Radius" des Bereichs bekannt. Die maximale gerade Entfernung durch den Bereich ist als das "Diameter" des Bereichs bekannt. Es führt das Zentrum durch und ist so zweimal der Radius.

In der Mathematik wird eine sorgfältige Unterscheidung zwischen dem Bereich (eine zweidimensionale kugelförmige Oberfläche gemacht, die im dreidimensionalen Euklidischen Raum eingebettet ist) und dem Ball (die dreidimensionale Gestalt, die aus einem Bereich und seinem Interieur besteht).

Volumen eines Bereichs

In 3 Dimensionen werden das Volumen innerhalb eines Bereichs (d. h. das Volumen eines Balls) durch die Formel gegeben

:

wo r der Radius des Bereichs ist und π das unveränderliche Pi ist. Diese Formel wurde zuerst von Archimedes abgeleitet, der gezeigt hat, dass das Volumen eines Bereichs 2/3 dieser eines umschriebenen Zylinders ist. (Diese Behauptung folgt aus dem Grundsatz von Cavalieri.) In der modernen Mathematik kann diese Formel mit der Integralrechnung abgeleitet werden, d. h. Plattenintegration, um die Volumina einer unendlichen Zahl von kreisförmigen Platten der unendlich klein kleinen Dicke zu summieren, hat in den Mittelpunkt gestellt nebeneinander entlang der x Achse davon aufgeschobert, wo die Platte Radius r hat (d. h.). zu wo die Platte Radius 0 hat (d. h.)..

An irgendwelchem gegeben x wird das zusätzliche Volumen (δV) durch das Produkt der Querschnittsfläche der Platte an x und seiner Dicke (δx) gegeben:

:

Das Gesamtvolumen ist die Summierung aller zusätzlichen Volumina:

:

In der Grenze weil nähert sich δx Null, die das wird:

:

An irgendwelchem gegeben x verbindet ein rechtwinkliges Dreieck x, y und r zum Ursprung, folglich folgt es aus dem Pythagoreischen Lehrsatz dass:

:

So gibt das Ersetzen y mit einer Funktion von x:

:

Das kann jetzt bewertet werden:

:

Deshalb ist das Volumen eines Bereichs:

:

Wechselweise wird diese Formel mit kugelförmigen Koordinaten, mit dem Volumen-Element gefunden

:

In höheren Dimensionen werden der Bereich (oder Hyperbereich) gewöhnlich einen N-Ball genannt. Allgemeine rekursive Formeln bestehen, für das Volumen eines N-Balls abzuleiten.

Zu den meisten praktischen Zwecken kann dem Volumen eines in einem Würfel eingeschriebenen Bereichs als 52.4 % des Volumens des Würfels seitdem näher gekommen werden. Zum Beispiel seit einem Würfel mit der Rand-Länge hat 1 M ein Volumen von 1 M, einen Bereich mit dem Diameter 1 M hat ein Volumen von ungefähr 0.524 M.

Fläche eines Bereichs

Die Fläche eines Bereichs wird durch die folgende Formel gegeben:

:

Diese Formel wurde zuerst von Archimedes abgeleitet, der auf der Tatsache gestützt ist, dass der Vorsprung zur seitlichen Oberfläche eines umschriebenen Zylinders (d. h. der Lambert zylindrischer Vorsprung des gleichen Gebiets) Bereichsbewahrung ist. Es ist auch die Ableitung der Formel für das Volumen in Bezug auf r, weil vom Gesamtvolumen eines Bereichs des Radius r als die Summierung der Fläche einer unendlichen Zahl von kugelförmigen Schalen der unendlich kleinen Dicke gedacht werden kann, die konzentrisch in einander vom Radius 0 zum Radius r aufgeschobert ist. An der unendlich kleinen Dicke ist die Diskrepanz zwischen der inneren und Außenfläche jeder gegebenen Schale unendlich klein, und das elementare Volumen am Radius ist r einfach das Produkt der Fläche am Radius r und der unendlich kleinen Dicke.

An jedem gegebenen Radius r wird das zusätzliche Volumen (δV) durch das Produkt der Fläche am Radius r (A(r)) und die Dicke einer Schale (δr) gegeben:

:

Das Gesamtvolumen ist die Summierung aller Schale-Volumina:

:

In der Grenze weil nähert sich δr Null, die das wird:

:

Seitdem wir bereits bewiesen haben, wie das Volumen ist, können wir V vertreten:

:

Das Unterscheiden beider Seiten dieser Gleichung in Bezug auf r trägt als eine Funktion von r:

:

Der allgemein als abgekürzt wird:

:

Wechselweise wird das Bereichselement auf dem Bereich in kugelförmigen Koordinaten dadurch gegeben. Mit Kartesianischen Koordinaten, dem Bereichselement. Sieh mehr allgemein Bereichselement.

Das Gesamtgebiet kann so durch die Integration erhalten werden:

:

Gleichungen in R

In der analytischen Geometrie ist ein Bereich mit dem Zentrum (x, y, z) und Radius r der geometrische Ort aller Punkte (x, y, z) solch dass

:

Die Punkte auf dem Bereich mit dem Radius r können über parametrisiert werden

:::

(sieh auch trigonometrische Funktionen und kugelförmige Koordinaten).

Ein Bereich jedes an der Null in den Mittelpunkt gestellten Radius ist eine integrierte Oberfläche der folgenden Differenzialform:

:

Diese Gleichung widerspiegelt die Tatsache, dass die Position und Geschwindigkeitsvektoren eines Punkts, der auf dem Bereich reist, immer zu einander orthogonal sind.

Der Bereich hat die kleinste Fläche unter allen Oberflächen, die ein gegebenes Volumen einschließen, und es schließt das größte Volumen unter allen geschlossenen Oberflächen mit einer gegebenen Fläche ein. Deshalb erscheint der Bereich in der Natur: Zum Beispiel sind Luftblasen und kleine Wasserfälle grob kugelförmig, weil die Oberflächenspannung lokal Fläche minimiert. Die Fläche in Bezug auf die Masse eines Bereichs wird die spezifische Fläche genannt. Von den obengenannten festgesetzten Gleichungen kann es wie folgt ausgedrückt werden:

:

Ein Bereich kann auch als die gebildete Oberfläche definiert werden, indem er einen Kreis über jedes Diameter rotieren lässt. Wenn der Kreis durch eine Ellipse ersetzt, und über die Hauptachse rotieren gelassen wird, wird die Gestalt ein pro-spätes Sphäroid, das über die geringe Achse, ein an den Polen abgeplattetes Sphäroid rotieren gelassen ist.

Fachsprache

Paare von Punkten auf einem Bereich, die auf einer Gerade durch sein Zentrum liegen, werden antipodische Punkte genannt. Ein großer Kreis ist ein Kreis auf dem Bereich, der dasselbe Zentrum und Radius wie der Bereich hat, und ihn folglich in zwei gleiche Teile teilt. Die kürzeste Entfernung zwischen zwei verschiedenen nichtantipodischen Punkten auf der Oberfläche und gemessen entlang der Oberfläche, ist auf dem einzigartigen großen Kreis, der die zwei Punkte durchführt. Ausgestattet mit der Entfernung des großen Kreises wird ein großer Kreis der Kreis von Riemannian.

Wenn ein besonderer Punkt auf einem Bereich als sein Nordpol (willkürlich) benannt wird, dann wird der entsprechende antipodische Punkt den Südpolen genannt, und der Äquator ist der große Kreis, der zu ihnen gleich weit entfernt ist. Große Kreise durch die zwei Pole werden Linien (oder Meridiane) der Länge genannt, und die Linie, die die zwei Pole verbindet, wird die Achse der Folge genannt. Kreise auf dem Bereich, die zum Äquator parallel sind, sind Linien der Breite. Diese Fachsprache wird auch für astronomische Körper wie der Erdball verwendet, wenn auch es nicht kugelförmig und nur ungefähr sphäroidisch ist (sieh geoid).

Halbkugel

Ein Bereich wird in zwei gleiche "Halbkugeln" durch jedes Flugzeug geteilt, das sein Zentrum durchführt. Wenn zwei sich schneidende Flugzeuge sein Zentrum durchführen, dann werden sie den Bereich in vier lunes oder biangles unterteilen, dessen Scheitelpunkte alle mit den antipodischen Punkten zusammenfallen, die auf der Linie der Kreuzung der Flugzeuge liegen.

Der antipodische Quotient des Bereichs ist die Oberfläche genannt das echte projektive Flugzeug, von dem auch als die Nordhemisphäre mit antipodischen Punkten des identifizierten Äquators gedacht werden kann.

Die runde Halbkugel wird vermutet, um das optimale (kleinstes Gebiet) Füllung des Kreises von Riemannian zu sein.

Wenn die Flugzeuge das Zentrum des Bereichs nicht durchführen, dann wird die Kreuzung himmlische Abteilung genannt.

Generalisation zu anderen Dimensionen

Bereiche können zu Räumen jeder Dimension verallgemeinert werden. Für jede natürliche Zahl n ist ein "N-Bereich", häufig schriftlich als S, der Satz von Punkten in - dimensionaler Euklidischer Raum, die in einer festen Entfernung r von einem Mittelpunkt dieses Raums sind, wo r, wie zuvor, eine positive reelle Zahl ist. Insbesondere:

• ein 0-Bereiche-ist ein Paar von Endpunkten eines Zwischenraums (r, r) von der echten Linie
• ein 1 Bereich ist ein Kreis des Radius r
• ein 2-Bereiche-ist ein gewöhnlicher Bereich
• ein 3-Bereiche-ist ein Bereich im 4-dimensionalen Euklidischen Raum.

Bereiche für n> 2 werden manchmal Hyperbereiche genannt.

Der N-Bereich des am Ursprung in den Mittelpunkt gestellten Einheitsradius wird S angezeigt und wird häufig "den" N-Bereich genannt. Bemerken Sie, dass der gewöhnliche Bereich ein 2-Bereiche-ist, weil es eine 2-dimensionale Oberfläche ist (der im 3-dimensionalen Raum eingebettet wird).

Die Fläche - Bereich des Radius 1 ist

:

wo Γ (z) die Gammafunktion von Euler ist.

Ein anderer Ausdruck für die Fläche ist

:

\begin {Fälle }\

\displaystyle \frac {(2\pi) ^ {n/2 }\\, R^ {n-1}} {2 \cdot 4 \cdots (n-2)}, & \text {wenn} n \text {sogar} ist; \\\\

\displaystyle \frac {2 (2\pi) ^ {(n-1)/2 }\\, R^ {n-1}} {1 \cdot 3 \cdots (n-2)}, & \text {wenn} n \text {} seltsam ist.

\end {Fälle} </Mathematik>

und das Volumen ist die Fläche-Zeiten oder

der: \begin {Fälle }\

\displaystyle \frac {(2\pi) ^ {n/2 }\\, r^n} {2 \cdot 4 \cdots n}, & \text {wenn} n \text {sogar} ist; \\\\

\displaystyle \frac {2 (2\pi) ^ {(n-1)/2 }\\, r^n} {1 \cdot 3 \cdots n}, & \text {wenn} n \text {} seltsam ist.

\end {Fälle} </Mathematik>

Generalisation zu metrischen Räumen

Mehr allgemein, in einem metrischen Raum (E, d), ist der Bereich des Zentrums x und Radius der Satz von Punkten y solch dass.

Wenn das Zentrum ein ausgezeichneter Punkt betrachtet als Ursprung von E, als in einem normed Raum ist, wird es in der Definition und Notation nicht erwähnt. Dasselbe bewirbt sich um den Radius, wenn es ins gleiche, als im Fall von einem Einheitsbereich gebracht wird.

Im Gegensatz zu einem Ball kann ein Bereich ein leerer Satz sogar für einen großen Radius sein. Zum Beispiel, in Z mit dem metrischen Euklidischen, ist ein Bereich des Radius r nur nichtleer, wenn r als Summe von n Quadraten von ganzen Zahlen geschrieben werden kann.

Topologie

In der Topologie wird ein N-Bereich als ein Raum homeomorphic zur Grenze (n+1) - Ball definiert; so ist es homeomorphic zum Euklidischen N-Bereich, aber vielleicht das Ermangeln an seinem metrischen.

• ein 0-Bereiche-ist ein Paar von Punkten mit der getrennten Topologie
• ein 1 Bereich ist ein Kreis (bis zu homeomorphism); so, zum Beispiel, (das Image) ist jeder Knoten ein 1 Bereich
• ein 2-Bereiche-ist ein gewöhnlicher Bereich (bis zu homeomorphism); so, zum Beispiel, ist jedes Sphäroid ein 2-Bereiche-

Der N-Bereich wird S angezeigt. Es ist ein Beispiel einer topologischen Kompaktsammelleitung ohne Grenze. Ein Bereich braucht nicht glatt zu sein; wenn es glatt ist, braucht es nicht diffeomorphic zum Euklidischen Bereich zu sein.

Der Lehrsatz von Heine-Borel deutet an, dass ein Euklidischer N-Bereich kompakt ist. Der Bereich ist das umgekehrte Image eines Ein-Punkt-Satzes unter der dauernden Funktion || x. Deshalb wird der Bereich geschlossen. S wird auch begrenzt; deshalb ist es kompakt.

Sphärische Geometrie

Die Grundelemente der Euklidischen Flugzeug-Geometrie sind Punkte und Linien. Auf dem Bereich werden Punkte im üblichen Sinn definiert, aber die Entsprechung "der Linie" kann nicht sofort offenbar sein. Wenn man durch die Kreisbogen-Länge misst, findet man, dass der kürzeste Pfad, der zwei Punkte verbindet, die völlig im Bereich liegen, ein Segment des großen Kreises ist, der die Punkte enthält; sieh geodätisch. Viele Lehrsätze von der klassischen Geometrie halten für diese sphärische Geometrie ebenso für wahr, aber viele tun nicht (sieh paralleles Postulat). In der kugelförmigen Trigonometrie werden Winkel zwischen großen Kreisen definiert. So ist kugelförmige Trigonometrie von der gewöhnlichen Trigonometrie in vieler Hinsicht verschieden. Zum Beispiel überschreitet die Summe der Innenwinkel eines kugelförmigen Dreiecks 180 Grade. Außerdem sind irgendwelche zwei ähnlichen kugelförmigen Dreiecke kongruent.

Elf Eigenschaften des Bereichs

In ihrem Buch Geometrie und die Einbildungskraft beschreiben David Hilbert und Stephan Cohn-Vossen elf Eigenschaften des Bereichs und besprechen, ob diese Eigenschaften einzigartig den Bereich bestimmen. Mehrere Eigenschaften halten für das Flugzeug, von dem als ein Bereich mit dem unendlichen Radius gedacht werden kann. Diese Eigenschaften sind:

1. Die Punkte auf dem Bereich sind Entfernung von einem festen Punkt alle gleich. Außerdem ist das Verhältnis der Entfernung seiner Punkte von zwei festen Punkten unveränderlich.
2. :The ist der erste Teil die übliche Definition des Bereichs und bestimmt es einzigartig. Der zweite Teil kann leicht abgeleitet werden und folgt einem ähnlichen Ergebnis von Apollonius von Perga für den Kreis. Dieser zweite Teil hält auch für das Flugzeug.
3. Die Konturen und Flugzeug-Abteilungen des Bereichs sind Kreise.
4. :This-Eigentum definiert den Bereich einzigartig.
5. Der Bereich hat unveränderliche Breite und unveränderlichen Umfang.
6. Die:The-Breite einer Oberfläche ist die Entfernung zwischen Paaren von parallelen Tangentialebenen. Es gibt viele andere geschlossene konvexe Oberflächen, die unveränderliche Breite, zum Beispiel der Körper von Meissner haben. Der Umfang einer Oberfläche ist der Kreisumfang der Grenze seines orthogonalen Vorsprungs auf einem Flugzeug. Es kann bewiesen werden, dass jeder dieser Eigenschaften den anderen einbezieht.
7. Alle Punkte eines Bereichs sind umbilics.
8. :At jeder Punkt auf einer Oberfläche wir können eine normale Richtung finden, die rechtwinklig zur Oberfläche für den Bereich ist, sind das die Linien, die aus dem Zentrum des Bereichs ausstrahlen. Die Kreuzung eines Flugzeugs, das das normale mit der Oberfläche enthält, wird sich formen eine Kurve hat eine normale Abteilung genannt, und die Krümmung dieser Kurve ist die Schnittkrümmung. Für die meisten Punkte auf den meisten Oberflächen werden verschiedene Abteilungen verschiedene Krümmungen haben; die maximalen und minimalen Werte von diesen werden die Hauptkrümmungen genannt. Es kann bewiesen werden, dass jede geschlossene Oberfläche genannte Nabelpunkte von mindestens vier Punkten haben wird. An einem umbilic sind alle Schnittkrümmungen gleich; insbesondere sind die Hauptkrümmungen gleich. Von Nabelpunkten kann als die Punkte gedacht werden, wo der Oberfläche von einem Bereich nah näher gekommen wird.
9. :For der Bereich die Krümmungen aller normalen Abteilungen sind gleich, so ist jeder Punkt ein umbilic. Der Bereich und das Flugzeug sind die einzigen Oberflächen mit diesem Eigentum.
10. Der Bereich hat keine Oberfläche von Zentren.
11. :For eine gegebene normale Abteilung dort ist ein Kreis, dessen Krümmung dasselbe als die Schnittkrümmung ist, ist Tangente zur Oberfläche und dessen Zentrum-Linien vorwärts auf der normalen Linie. Nehmen Sie die zwei Zentren entsprechend den maximalen und minimalen Schnittkrümmungen: Diese werden die Brennpunkte genannt, und der Satz aller dieser Zentren bildet die im Brennpunkt stehende Oberfläche.
12. :For die meisten Oberflächen die im Brennpunkt stehende Oberfläche bildet zwei Platten, von denen jede eine Oberfläche ist, und die zusammen an Nabelpunkten kommen. Es gibt mehrere spezielle Fälle. Für Kanaloberflächen bildet eine Platte eine Kurve, und die andere Platte ist eine Oberfläche; für Kegel, Zylinder, Ringe und cyclides bilden beide Platten Kurven. Für den Bereich ist das Zentrum jedes oskulierenden Kreises am Zentrum des Bereichs, und die im Brennpunkt stehende Oberfläche bildet einen einzelnen Punkt. Das ist ein einzigartiges Eigentum des Bereichs.
13. Alle geodesics des Bereichs werden Kurven geschlossen.
14. :Geodesics sind Kurven auf einer Oberfläche, die die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten geben. Sie sind eine Generalisation des Konzepts einer Gerade im Flugzeug. Für den Bereich sind die geodesics große Kreise. Es gibt viele andere Oberflächen mit diesem Eigentum.
15. Aller Festkörper, die ein gegebenes Volumen haben, ist der Bereich derjenige mit der kleinsten Fläche; aller Festkörper, die eine gegebene Fläche haben, ist der Bereich derjenige, der das größte Volumen hat.
16. :These-Eigenschaften definieren den Bereich einzigartig. Diese Eigenschaften können durch das Beobachten von Seifenblasen gesehen werden. Eine Seifenblase wird ein festes Volumen und erwartet einschließen, Spannung zu erscheinen, seine Fläche ist für dieses Volumen minimal. Das ist, warum eine freie Schwimmseifenblase einem Bereich näher kommt (obwohl Außenkräfte wie Ernst die Gestalt der Luftblase ein bisschen verdrehen werden).
17. Der Bereich hat die kleinste Gesamtmittelkrümmung unter allen konvexen Festkörpern mit einer gegebenen Fläche.
18. :The Mittelkrümmung ist der Durchschnitt der zwei Hauptkrümmungen und weil sind diese an allen Punkten des Bereichs dann unveränderlich so ist die Mittelkrümmung.
19. Der Bereich hat unveränderliche Mittelkrümmung.
20. :The-Bereich ist die einzige eingebettete Oberfläche ohne Grenze oder Eigenartigkeiten mit der unveränderlichen positiven Mittelkrümmung. Es gibt andere versunkene Oberflächen mit der unveränderlichen Mittelkrümmung. Die minimalen Oberflächen haben Nullmittelkrümmung.
21. Der Bereich hat unveränderliche positive Krümmung von Gaussian.
22. :Gaussian-Krümmung ist das Produkt der zwei Hauptkrümmungen. Es ist ein inneres Eigentum, das durch das Messen der Länge und Winkel bestimmt werden kann und unterwegs nicht abhängt, wird die Oberfläche im Raum eingebettet. Folglich wird das Verbiegen einer Oberfläche die Krümmung von Gaussian nicht verändern, und andere Oberflächen mit der unveränderlichen positiven Krümmung von Gaussian können durch den Ausschnitt eines kleinen Schlitzes im Bereich und das Verbiegen davon erhalten werden. Alle diese anderen Oberflächen würden Grenzen haben, und der Bereich ist die einzige Oberfläche ohne Grenze mit der unveränderlichen positiven Krümmung von Gaussian. Der Pseudobereich ist ein Beispiel einer Oberfläche mit der unveränderlichen negativen Krümmung von Gaussian.
23. Der Bereich wird in sich von einer Drei-Parameter-Familie von starren Bewegungen umgestaltet.
24. :Consider ein Einheitsbereich, der am Ursprung, einer Folge um den x, y oder die z Achse gelegt ist, wird den Bereich auf sich, tatsächlich jede Folge über eine Linie durch den Ursprung kartografisch darstellen, kann als eine Kombination von Folgen um die Drei-Koordinaten-Achse ausgedrückt werden, Winkel von Euler zu sehen. So gibt es eine Drei-Parameter-Familie von Folgen, die den Bereich auf sich umgestalten, ist das die Folge-Gruppe SO (3). Das Flugzeug ist die einzige weitere Oberfläche mit einer Drei-Parameter-Familie von Transformationen (Übersetzungen entlang dem x und der y Achse und den Folgen um den Ursprung). Kreisförmige Zylinder sind die einzigen Oberflächen mit Zwei-Parameter-Familien von starren Bewegungen und die Oberflächen der Revolution, und helicoids sind die einzigen Oberflächen mit einer Ein-Parameter-Familie.

Würfel in Bezug auf Bereiche

Für jeden Bereich gibt es vielfachen cuboids, der innerhalb des Bereichs eingeschrieben werden kann. Wenn kurz betrachtet, wird es offenbar, dass der größte vom vielfachen cuboids, der eingeschrieben werden kann, ein Würfel ist.

Siehe auch

• 3-Bereiche-
• Bereich von Affine
• Alexander gehörnter Bereich
• Ball (Mathematik)
• Paradox von Banach-Tarski
• Würfel
• Cuboid
• Krümmung
• Richtungsstatistik
• Kuppel (Mathematik)
• Bereich von Dyson
• Bereich von Hoberman
• Homologie-Bereich
• Gruppen von Homotopy von Bereichen
• Bereich von Homotopy
• Hyperbereich
• Metrischer Raum
• Serviettenring-Problem
• Pseudobereich
• Bereich von Riemann
• Das Paradox von Smale
• Raumwinkel
• Bereich, der sich verpacken lässt
• Kugelförmige Kappe
• Kugelförmige Spirale, Tangente indicatrix einer Kurve der unveränderlichen Vorzession
• Kugelsektor
• Kugelabschnitt
• Kugelförmige Schale
• Kugelförmiger Keil
• Kugelförmige Zone
• Kugelförmige Koordinaten
• Kugelförmige Erde
• Bereich von Zoll
• William Dunham. "Seiten 28, 226", Das Mathematische Weltall: Eine Alphabetische Reise Durch die Großen Beweise, Probleme und Anzüglichkeiten, internationale Standardbuchnummer 0-471-17661-3.

Links

• Berechnen Sie Volumen des Bereichs
• Mathematica/Uniform Kugelförmiger Vertrieb
• (Computerzeichentrickfilm, der sich zeigt, wie sich das Innere eines Bereichs draußen drehen kann.)
• Programm in C ++, um einen Bereich anzuziehen, der parametrische Gleichung verwendet
• Fläche des Bereich-Beweises.