In der Physik und Mathematik wird die Dimension eines Raums oder Gegenstands als die minimale Zahl von Koordinaten informell definiert musste jeden Punkt innerhalb seiner angeben. So hat eine Linie eine Dimension von derjenigen, weil nur eine Koordinate erforderlich ist, um einen Punkt darauf (zum Beispiel, den Punkt an 5 auf einem Zahlenstrahl) anzugeben. Eine Oberfläche wie ein Flugzeug oder die Oberfläche eines Zylinders oder Bereichs hat eine Dimension zwei, weil zwei Koordinaten erforderlich sind, um einen Punkt darauf anzugeben (zum Beispiel, um einen Punkt auf der Oberfläche eines Bereichs ausfindig zu machen, brauchen Sie sowohl seine Breite als auch seine Länge). Das Innere eines Würfels, eines Zylinders oder eines Bereichs ist dreidimensional, weil drei Koordinaten erforderlich sind, um einen Punkt innerhalb dieser Räume ausfindig zu machen.

In physischen Begriffen bezieht sich Dimension auf die konstituierende Struktur des ganzen Raums (vgl Volumen) und seine Position rechtzeitig (wahrgenommen als eine Skalardimension entlang den Taxis), sowie die Raumverfassung von Gegenständen innerhalb - Strukturen, die Korrelationen sowohl mit der Partikel als auch mit den Feldvorstellungen haben, wirken gemäß Verhältniseigenschaften der Masse aufeinander, und die in der Beschreibung im Wesentlichen mathematisch sind. In diesen oder anderen Äxten kann Verweise angebracht werden, um einen Punkt oder Struktur in seiner Einstellung und Beziehung zu anderen Gegenständen und Ereignissen einzigartig zu identifizieren. Physische Theorien dass amtlich eingetragene Zeit, wie allgemeine Relativität, werden gesagt, in der 4-dimensionalen "Raum-Zeit", (definiert als ein Raum von Minkowski) zu arbeiten. Moderne Theorien neigen dazu, einschließlich des Quant-Feldes und der Schnur-Theorien "hoch-dimensional" zu sein. Der Zustandraum der Quant-Mechanik ist ein unendlich-dimensionaler Funktionsraum.

Das Konzept der Dimension wird auf physische Gegenstände nicht eingeschränkt. Hoch-dimensionale Räume kommen in der Mathematik und den Wissenschaften aus vielen Gründen, oft als Konfigurationsräume solcher als in der Mechanik von Lagrangian oder Hamiltonian vor; das sind abstrakte Räume, die des physischen Raums unabhängig sind, in dem wir leben.

In der Mathematik

In der Mathematik ist die Dimension eines Gegenstands ein inneres Eigentum, das des Raums unabhängig ist, in dem der Gegenstand zufällig eingebettet werden kann. Zum Beispiel: Ein Punkt auf dem Einheitskreis im Flugzeug kann durch zwei Kartesianische Koordinaten angegeben werden, aber man kann machen tun mit einer einzelnen Koordinate (der Polarkoordinate-Winkel), so ist der Kreis 1-dimensional, wenn auch es im 2-dimensionalen Flugzeug besteht. Dieser innere Begriff der Dimension ist einer der Hauptwege, auf die sich der mathematische Begriff der Dimension von seinem allgemeinen Gebrauch unterscheidet.

Die Dimension von Euklidischen - Raum ist. Wenn man versucht, zu anderen Typen von Räumen zu verallgemeinern, konfrontiert man mit der Frage "was macht - dimensional?" Eine Antwort ist, dass, um einen festen Ball in durch kleine Bälle des Radius zu bedecken, man auf der Ordnung solcher kleinen Bälle braucht. Diese Beobachtung führt zur Definition der Dimension von Minkowski und seiner hoch entwickelteren Variante, der Dimension von Hausdorff. Aber es gibt auch andere Antworten auf diese Frage. Zum Beispiel kann man bemerken, dass die Grenze eines Balls in Blicken lokal wie und das zum Begriff der induktiven Dimension führt. Während sich diese Begriffe einigen, erweisen sie sich, verschieden zu sein, wenn man auf allgemeinere Räume schaut.

Ein tesseract ist ein Beispiel eines vierdimensionalen Gegenstands. Wohingegen außerhalb der Mathematik der Gebrauch des Begriffes "Dimension" als ist in: "Ein tesseract hat vier Dimensionen" drücken Mathematiker gewöhnlich das als aus: "Der tesseract hat Dimension 4", oder: "Die Dimension des tesseract ist 4".

Obwohl der Begriff von höheren Dimensionen René Descartes zurückgeht, hat die wesentliche Entwicklung einer hoch-dimensionalen Geometrie nur im 19. Jahrhundert, über die Arbeit von Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, Ludwig Schläfli und Bernhard Riemann begonnen. 1854 Habilitationsschrift von Riemann, der 1852-Theorie der vielfachen Kontinuität von Schlafi, die 1843-Entdeckung von Hamilton des quaternions und der Aufbau der Algebra von Cayley haben den Anfang der hoch-dimensionalen Geometrie gekennzeichnet.

Der Rest dieser Abteilung untersucht einige der wichtigeren mathematischen Definitionen der Dimensionen.

Dimension eines Vektorraums

Die Dimension eines Vektorraums ist die Zahl von Vektoren in jeder Basis für den Raum, d. h. die Zahl von Koordinaten, die notwendig sind, um jeden Vektoren anzugeben. Dieser Begriff der Dimension (der cardinality einer Basis) wird häufig die Dimension von Hamel oder algebraische Dimension genannt, um es von anderen Begriffen der Dimension zu unterscheiden.

Sammelleitungen

Eine verbundene topologische Sammelleitung ist lokal homeomorphic zum Euklidischen - Raum, und die Zahl wird die Dimension der Sammelleitung genannt. Man kann zeigen, dass das eine einzigartig definierte Dimension für jede verbundene topologische Sammelleitung nachgibt.

Weil verbundene Differenzialsammelleitungen die Dimension auch die Dimension des Tangente-Vektorraums an jedem Punkt sind

Die Theorie von Sammelleitungen, im Feld der geometrischen Topologie, wird durch die Weise charakterisiert, wie Dimensionen 1 und 2 relativ elementar sind, werden die hoch-dimensionalen Fälle vereinfacht, indem sie Extraraum gehabt wird, in dem man "arbeitet"; und die Fälle und sind in einigen Sinnen das schwierigste. Diese Lage der Dinge wurde in den verschiedenen Fällen der Vermutung von Poincaré hoch gekennzeichnet, wo vier verschiedene Probemethoden angewandt werden.

Varianten

Die Dimension einer algebraischen Vielfalt kann auf verschiedene gleichwertige Weisen definiert werden. Der intuitivste Weg ist wahrscheinlich die Dimension des Tangente-Raums an jedem regelmäßigen Punkt.

Ein algebraischer Satz, der eine begrenzte Vereinigung von algebraischen Varianten, es Dimension ist, ist das Maximum der Dimensionen seiner Bestandteile. Es ist der maximalen Länge der Ketten von U-Boot-Varianten gleich (die Länge solch einer Kette ist die Zahl dessen.

Dimension von Krull

Die Krull Dimension eines Ersatzrings ist die maximale Länge von Hauptidealen darin. Es hat sich stark auf die Dimension einer algebraischen Vielfalt, wegen einer natürlichen Ähnlichkeit zwischen U-Boot-Varianten und Hauptidealen des Rings der Polynome auf der Vielfalt bezogen.

Für eine Algebra über ein Feld die Dimension weil ist Vektorraum begrenzt, wenn, und nur wenn seine Dimension von Krull 0 ist.

Lebesgue, der Dimension bedeckt

Für jeden normalen topologischen Raum wird Lebesgue, der Dimension dessen bedeckt, definiert, um n zu sein, wenn n die kleinste ganze Zahl ist, für die der folgende hält: Jeder offene Deckel hat eine offene Verbesserung (ein zweiter offener Deckel, wo jedes Element eine Teilmenge eines Elements im ersten Deckel ist) solch, dass nichts in mehr eingeschlossen wird als Elemente. In diesem Fall dunkel. Für eine Sammelleitung fällt das mit der Dimension zusammen, die oben erwähnt ist. Wenn keine solche ganze Zahl besteht, dann, wie man sagt, ist die Dimension unendlich, und man schreibt dunkel. Außerdem, hat Dimension −1, d. h. dunkel, wenn, und nur wenn leer ist. Diese Definition, Dimension zu bedecken, kann von der Klasse von normalen Räumen zu allen Räumen von Tychonoff bloß durch das Ersetzen des Begriffes "offener" in der Definition durch den Begriff "funktionell offener" erweitert werden.

Induktive Dimension

Eine induktive Definition der Dimension kann wie folgt geschaffen werden. Denken Sie, dass ein getrennter Satz von Punkten (wie eine begrenzte Sammlung von Punkten) 0-dimensional ist. Indem man einen 0-dimensionalen Gegenstand in einer Richtung schleppt, erhält man einen 1-dimensionalen Gegenstand. Indem man einen 1-dimensionalen Gegenstand in einer neuen Richtung schleppt, erhält man einen 2-dimensionalen Gegenstand. Im allgemeinen herrscht - dimensionaler Gegenstand durch das Schleppen eines dimensionalen Gegenstands in einer neuen Richtung vor.

Die induktive Dimension eines topologischen Raums kann sich auf die kleine induktive Dimension oder die große induktive Dimension beziehen, und basiert auf der Analogie, dass Bälle dimensionale Grenzen haben, eine induktive Definition erlaubend, die auf der Dimension der Grenzen von offenen Sätzen gestützt ist.

Dimension von Hausdorff

Für Sätze, die von einer komplizierten Struktur, besonders fractals sind, ist die Dimension von Hausdorff nützlich. Die Hausdorff Dimension wird für alle metrischen Räume und verschieden von der Dimension von Hamel definiert, kann auch nichtganze Zahl echte Werte erreichen. Die Kasten-Dimension oder Dimension von Minkowski sind eine Variante derselben Idee. Im Allgemeinen dort bestehen Sie mehr Definitionen von fractal Dimensionen, die für hoch unregelmäßige Sätze arbeiten und nichtganze Zahl positive echte Werte erreichen. Fractals sind nützlich gefunden worden, um viele natürliche Gegenstände und Phänomene zu beschreiben.

Räume von Hilbert

Jeder Hilbert Raum lässt eine orthonormale Basis zu, und irgendwelche zwei solche Basen für einen besonderen Raum haben denselben cardinality. Dieser cardinality wird die Dimension des Raums von Hilbert genannt. Diese Dimension ist begrenzt, wenn, und nur wenn die Dimension von Hamel des Raums, und in diesem Fall begrenzt ist, die obengenannten Dimensionen zusammenfallen.

In der Physik

Raumdimensionen

Klassische Physik-Theorien beschreiben drei physische Dimensionen: Von einem besonderen Punkt im Raum sind die grundlegenden Richtungen, in denen wir uns bewegen können,/unten, link/richtig, und vorwärts/rückwärts. Die Bewegung in jeder anderen Richtung kann in Bezug auf gerade diese drei ausgedrückt werden. Das Heruntersteigen ist dasselbe als heranbringend eine negative Entfernung. Das Bewegen diagonal aufwärts und besteht vorwärts darin, gerade als der Name der Richtung einbezieht; d. h., sich in einer geradlinigen Kombination und vorwärts bewegend. In seiner einfachsten Form: Eine Linie beschreibt eine Dimension, ein Flugzeug beschreibt zwei Dimensionen, und ein Würfel beschreibt drei Dimensionen. (Sieh Kartesianisches und Raumkoordinatensystem.)

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Zeit

Eine zeitliche Dimension ist eine Dimension der Zeit. Zeit wird häufig die "vierte Dimension" aus diesem Grund genannt, aber das soll nicht andeuten, dass es eine Raumdimension ist. Eine zeitliche Dimension ist eine Weise, physische Änderung zu messen. Es wird verschieden von den drei Raumdimensionen wahrgenommen, in denen es nur ein davon gibt, und dass wir uns frei rechtzeitig nicht bewegen, aber uns subjektiv in einer Richtung bewegen können.

Die Gleichungen, die in der Physik an die Musterwirklichkeit verwendet sind, behandeln Zeit ebenso nicht, dass Menschen es allgemein wahrnehmen. Die Gleichungen der klassischen Mechanik sind in Bezug auf die Zeit symmetrisch, und Gleichungen der Quant-Mechanik sind normalerweise symmetrisch, wenn sowohl Zeit als auch andere Mengen (wie Anklage und Gleichheit) umgekehrt werden. In diesen Modellen ist die Wahrnehmung der Zeit, in einer Richtung fließend, ein Kunsterzeugnis der Gesetze der Thermodynamik (wir nehmen Zeit als das Fließen in der Richtung auf das zunehmende Wärmegewicht wahr).

Die am besten bekannte Behandlung der Zeit als eine Dimension ist Poincarés spezielle Relativität und Einsteins (und erweitert zur allgemeinen Relativität), der wahrgenommene Zeit und Raum als Bestandteile einer vierdimensionalen Sammelleitung behandelt, die als Raum-Zeit, und im speziellen, flachen Fall als Raum von Minkowski bekannt ist.

Zusätzliche Dimensionen

Theorien wie Schnur-Theorie und M Theorie postulieren diesen physischen Raum hat 10 und 11 Dimensionen beziehungsweise. Wie man sagt, sind diese Extradimensionen räumlich. Jedoch nehmen wir nur drei Raumdimensionen und bis heute wahr, keine experimentellen oder Beobachtungsbeweise sind verfügbar, um die Existenz dieser Extradimensionen zu bestätigen. Eine mögliche Erklärung, die angedeutet worden ist, besteht darin, dass Raum handelt, als ob er in den Extradimensionen auf einer subatomaren Skala vielleicht am Niveau des Quarks/Schnur der Skala oder unten "zusammengerollt" wurde.

Eine Analyse von Ergebnissen vom Großen Hadron Collider beschränkt im Dezember 2010 streng Theorien mit großen Extradimensionen.

Netze und Dimension

Einige komplizierte Netze werden durch fractal Dimensionen charakterisiert. Das Konzept der Dimension kann verallgemeinert werden, um im Raum eingebettete Netze einzuschließen. Die Dimension charakterisiert ihre Raumeinschränkungen.

Literatur

Vielleicht ist der grundlegendste Weg, auf den die Wortdimension in der Literatur verwendet wird, als ein Hyperbelsynonym für Eigenschaft, Attribut, Aspekt oder Umfang. Oft ist die Übertreibung als darin ziemlich wörtlich ihm ist so 2-dimensional, vorhabend, dass man mit einem flüchtigen Blick sehen kann, wie er ist. Das hebt sich von 3-dimensionalen Gegenständen ab, die ein Interieur haben, das vor der Ansicht und einem Rücken verborgen wird, der nur mit der weiteren Überprüfung gesehen werden kann.

Sciencefictionstexte erwähnen häufig das Konzept der Dimension, wenn sie sich wirklich beziehen, um Weltall anzupassen, lassen Weltall oder andere Flugzeuge der Existenz abwechseln. Dieser Gebrauch wird aus der Idee abgeleitet, dass, um zu reisen, um Weltall/Flugzeugen der Existenz anzupassen/abwechseln zu lassen, man in einer Richtung/Dimension außer den normalen reisen muss. Tatsächlich ist das andere Weltall/Flugzeuge gerade eine kleine Entfernung weg von unserem eigenen, aber die Entfernung ist in einem Viertel (oder höher) räumlich (oder nichträumlich) Dimension, nicht die normalen.

Eine der am meisten verkündeten Sciencefictionsnovellen bezüglich wahren geometrischen dimensionality, und häufig empfohlen als ein Startpunkt für diejenigen, die gerade anfangen, solche Sachen zu untersuchen, ist der 1884-Roman Flatland durch Edwin A. Abbott. Isaac Asimov, in seinem Vorwort zur Siegel-Klassiker-1984-Ausgabe, hat Flatland als "Die beste Einführung beschrieben, die man in die Weise finden kann, Dimensionen wahrzunehmen."

Die Idee von anderen Dimensionen wurde in viele frühe Sciencefictionsgeschichten vereinigt, prominent, zum Beispiel, in Miles J. Breuer Der Anhang und die Brillen (1928) und Murray Leinster Der Katapult der Fünften Dimension (1931) erscheinend; und ist unregelmäßig in der Sciencefiction vor den 1940er Jahren erschienen. Einige der klassischen Geschichten, die andere Dimensionen einschließen, schließen 1941 von Robert A. Heinlein ein — Und Er hat ein Gekrümmtes Haus Gebaut, in dem ein Architekt von Kalifornien ein Haus entwirft, das auf einem dreidimensionalen Vorsprung eines tesseract und dem Tiger von Alan E. Nourse durch den Schwanz und Das Weltall Zwischen, beide von 1951 gestützt ist. Eine andere Verweisung würde der Roman von Madeleine L'Engle Eine Runzel Rechtzeitig (1962) sein, der die 5. Dimension als ein Weg für "tesseracting das Weltall", oder in einem besseren Sinn verwendet, Raum entzwei "faltend", um es schnell zu bewältigen.

Die vierten und fünften Dimensionen waren auch ein Schlüsselbestandteil des Buches Der Junge, Der Sich durch William Sleator Umgekehrt hat.

Philosophie

1783 hat Kant geschrieben: "Dass überall Raum (der nicht selbst die Grenze eines anderen Raums ist) drei Dimensionen hat, und dass Raum im Allgemeinen mehr Dimensionen nicht haben kann, basiert auf dem Vorschlag, dass sich nicht mehr als drei Linien rechtwinklig in einem Punkt schneiden können. Dieser Vorschlag kann nicht überhaupt, von Konzepten gezeigt werden, aber ruht sich sofort auf der Intuition und tatsächlich auf der reinen Intuition a priori aus, weil es (beweisbar) sicherer apodictically ist."

Mehr Dimensionen

• Grade der Freiheit (Mechanik)
• Grade der Freiheit (Physik und Chemie)
• Grade der Freiheit (Statistik)
• Dimension einer algebraischen Vielfalt
• Außendimension
• Forst-Hochzahl
• Dimension von Isoperimetric
• Dimension von Kaplan-Yorke
• Lebesgue, der Dimension bedeckt
• Dimension von Lyapunov
• Metrische Dimension
• Dimension von Pointwise
• Dimension von Poset
• Q-Dimension; besonders:
• Informationsdimension (entsprechend q = 1)
• Korrelationsdimension (entsprechend q = 2)
• Vektorraum-Dimension / Dimension von Hamel

Siehe auch

• Dimension (Datenlager) und Dimensionstische
• Dimensionale Analyse
• Dimension von Fractal
• Hyperraum (Begriffserklärungsseite)
• Raumfüllende Kurve
• Innere Dimension

Eine Liste von Themen durch die Dimension mit einem Inhaltsverzeichnis versehen

• Nulldimensionen:
• Punkt
• Nulldimensionaler Raum
• Ganze Zahl
• Eine Dimension:
• Linie
• Graph (combinatorics)
• Reelle Zahl
• Zwei Dimensionen:
• Komplexe Zahl
• Kartesianisches Koordinatensystem
• Liste der Uniform tilings
• Oberfläche
• Drei Dimensionen
• Platonischer fester
• Stereoscopy (3. Bildaufbereitung)
• Euler biegt um
• 3-Sammelleitungen-
• Knoten (Mathematik)
• Vier Dimensionen:
• Raum-Zeit
• Die vierte Raumdimension
• Konvexer regelmäßiger 4-polytope
• Quaternion
• 4-Sammelleitungen-
• Hoch-dimensionale Themen von der Mathematik:
• Octonion
• Vektorraum
• Sammelleitung
• Räume von Calabi-Yau
• Hoch-dimensionale Themen von der Physik:
• Theorie von Kaluza-Klein
• Schnur-Theorie
• M Theorie
• Ungeheuer viele Dimensionen:
• Raum von Hilbert
• Funktionsraum

Weiterführende Literatur

• Edwin A. Abbott, (1884) Flatland: Eine romanische von Vielen Dimensionen, Öffentlichem Gebiet. Online-Version mit der ASCII Annäherung von Illustrationen an Projektgutenberg.
• Thomas Banchoff, (1996) außer der dritten Dimension: Geometrie, Computergrafik, und höhere Dimensionen, die zweite Ausgabe, der Ehrenbürger.
• Clifford A. Pickover, (1999) das Surfen durch den Hyperraum: Höheres Weltall in sechs leichten Lehren, Presse der Universität Oxford verstehend.
• Rudy Rucker, (1984) die vierte Dimension, Houghton-Mifflin.
• Michio Kaku, (1994) Hyperraum, eine Wissenschaftliche Odyssee Durch die 10. Dimension, Presse der Universität Oxford.