: Basisvektor adressiert hier um. Für den Basisvektoren im Zusammenhang von Kristallen, sieh Kristallstruktur. Für ein mehr Gesamtkonzept in der Physik, sieh Bezugssystem.

In der geradlinigen Algebra ist eine Basis eine Reihe linear unabhängiger Vektoren, die, in einer geradlinigen Kombination, jeden Vektoren in einem gegebenen Vektorraum oder freiem Modul vertreten, oder, einfacher stellen können, die ein "Koordinatensystem" definieren (als lange, weil die Basis eine bestimmte Ordnung gegeben wird). Allgemein betrachtet ist eine Basis ein linear unabhängiger Überspannen-Satz.

In Anbetracht einer Basis eines Vektorraums kann jedes Element des Vektorraums einzigartig als eine begrenzte geradlinige Kombination von Basisvektoren ausgedrückt werden. Jeder Vektorraum hat eine Basis, und alle Basen eines Vektorraums haben dieselbe Zahl der Elemente, genannt die Dimension des Vektorraums.

Definition

Eine Basis B eines Vektorraums V über Feld F ist eine linear unabhängige Teilmenge V, der abmisst (oder erzeugt) V.

Nehmen Sie ausführlicher an, dass B = {v, …, v} eine begrenzte Teilmenge eines Vektorraums V über Feld F (wie die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen R oder der C) ist. Dann ist B eine Basis, wenn er die folgenden Bedingungen befriedigt:

• das geradlinige Unabhängigkeitseigentum,

:: für den ganzen a, …, ein  F, wenn av + … + av = 0, dann notwendigerweise = … = = 0; und

• das Überspannen-Eigentum,

:: für jeden x in V ist es möglich, a, …, ein  F solch dass x = av + … + av zu wählen.

Die Zahlen a werden die Koordinaten des Vektoren x in Bezug auf die Basis B genannt, und durch das erste Eigentum werden sie einzigartig bestimmt.

Ein Vektorraum, der eine begrenzte Basis hat, wird endlich-dimensional genannt. Um uns mit unendlich-dimensionalen Räumen zu befassen, müssen wir die obengenannte Definition verallgemeinern, um unendliche Basissätze einzuschließen. Wir sagen deshalb, dass ein Satz (begrenzt oder unendlich) B  V eine Basis, wenn ist

• jede begrenzte Teilmenge B  B folgt dem Unabhängigkeitseigentum, das oben gezeigt ist; und
• für jeden x in V ist es möglich, a, …, ein  F und v, …, v  B solch dass x = av + … + av zu wählen.

Die Summen in der obengenannten Definition sind alle begrenzt, weil ohne zusätzliche Struktur die Axiome eines Vektorraums uns nicht erlauben, über eine unendliche Summe von Vektoren bedeutungsvoll zu sprechen. Einstellungen, die unendliche geradlinige Kombinationen erlauben, erlauben alternative Definitionen des Basiskonzepts: Sieh Zusammenhängende Begriffe unten.

Es ist häufig günstig, die Basisvektoren in einer spezifischen Ordnung zum Beispiel zu verzeichnen, wenn man die Transformationsmatrix einer geradlinigen Karte in Bezug auf eine Basis denkt. Wir sprechen dann von einer bestellten Basis, die wir definieren, um eine Folge (aber nicht ein Satz) linear unabhängiger Vektoren zu sein, die V abmessen: Sieh Bestellte Basen und Koordinaten unten.

Ausdruck einer Basis

Es gibt mehrere Weisen, eine Basis für den Raum zu beschreiben. Einige werden ad hoc für eine spezifische Dimension gemacht. Zum Beispiel gibt es mehrere Weisen, eine Basis in dunklen 3 wie Winkel von Euler zu geben.

Der allgemeine Fall soll eine Matrix mit den Bestandteilen der neuen Basisvektoren in Säulen geben. Das ist auch die allgemeinere Methode, weil sie jeden möglichen Satz von Vektoren ausdrücken kann, selbst wenn es nicht eine Basis ist. Diese Matrix kann als drei Dinge gesehen werden:

Basismatrix: Ist eine Matrix, die die Basis vertritt, weil seine Säulen die Bestandteile von Vektoren der Basis sind. Diese Matrix vertritt jeden Vektoren der neuen Basis als geradlinige Kombination der aktuellen Basis.

Folge-Maschinenbediener: Wenn orthonormale Basen verwendet werden, kann jede andere orthonormale Basis durch eine Folge-Matrix definiert werden. Diese Matrix vertritt den Folge-Maschinenbediener, der die Vektoren der Basis zur neuen rotieren lässt. Es ist genau dieselbe Matrix wie zuvor, weil die mit der Identitätsmatrix multiplizierte Folge-Matrix ich die neue Basismatrix sein muss.

Änderung der Basismatrix: Diese Matrix kann verwendet werden, um verschiedene Gegenstände des Raums zur neuen Basis zu ändern. Deshalb wird "Änderung der Basis" Matrix genannt. Es ist wichtig zu bemerken, dass einige Gegenstände ihre Bestandteile mit dieser Matrix und einigen anderen wie Vektoren mit seinem Gegenteil ändern.

Eigenschaften

Wieder zeigt B eine Teilmenge eines Vektorraums V an. Dann ist B eine Basis, wenn, und nur wenn einige der folgenden gleichwertigen Bedingungen entsprochen wird:

• B ist ein minimaler Erzeugen-Satz V, d. h. es ist ein Erzeugen-Satz, und keine richtige Teilmenge von B ist auch ein Erzeugen-Satz.
• B ist ein maximaler Satz von linear unabhängigen Vektoren, d. h. es ist ein linear unabhängiger Satz, aber kein anderer linear unabhängiger Satz enthält es als eine richtige Teilmenge.
• Jeder Vektor in V kann als eine geradlinige Kombination von Vektoren in B auf eine einzigartige Weise ausgedrückt werden. Wenn die Basis bestellt wird (sieh Bestellte Basen und Koordinaten unten) dann stellen die Koeffizienten in dieser geradlinigen Kombination Koordinaten des Vektoren hinsichtlich der Basis zur Verfügung.

Jeder Vektorraum hat eine Basis. Der Beweis davon verlangt das Axiom der Wahl. Alle Basen eines Vektorraums haben denselben cardinality (Zahl der Elemente), genannt die Dimension des Vektorraums. Dieses Ergebnis ist als der Dimensionslehrsatz bekannt, und verlangt das Ultrafilterlemma, eine ausschließlich schwächere Form des Axioms der Wahl.

Auch viele Vektor-Sätze können eine Standardbasis zugeschrieben werden, die sowohl das Überspannen als auch die linear unabhängigen Vektoren umfasst.

Standard stützt zum Beispiel:

In R {E1..., En}, wo En die n-te Säule der Identitätsmatrix ist, die aus allen in der Hauptdiagonale und den Nullen überall sonst besteht. Das ist, weil die Säulen der Identitätsmatrix linear unabhängig sind, kann immer einen gesetzten Vektoren durch das Ausdrücken davon als eine geradlinige Kombination abmessen.

In P, wo P der Satz aller Polynome des Grads höchstens 2 {1, x, x} ist, ist die Standardbasis.

In der M {sind M, M, M, M}, wo M der Satz von allen 2x2 matrices. und M ist, 2x2 Matrix mit 1 in der M, n Position und Nullen überall sonst. Das ist wieder eine Standardbasis, da es linear unabhängig und abmessend ist.

Beispiele

• Denken Sie R, den Vektorraum aller Koordinaten (a, b), wo sowohl a als auch b reelle Zahlen sind. Dann ist eine sehr natürliche und einfache Basis einfach die Vektoren e = (1,0) und e = (0,1): Nehmen Sie an, dass v = (a, b) ein Vektor in R, dann v = (1,0) + b (0,1) ist. Aber irgendwelche zwei linear unabhängigen Vektoren, wie (1,1) und (1,2), werden auch eine Basis von R bilden.
• Mehr allgemein sind die Vektoren e, e..., e linear unabhängig und erzeugen R. Deshalb bilden sie eine Basis für R, und die Dimension von R ist n. Diese Basis wird die Standardbasis genannt.
• Lassen Sie V der echte Vektorraum sein, der durch die Funktionen e und e erzeugt ist. Diese zwei Funktionen sind linear unabhängig, so bilden sie eine Basis für V.
• Lassen Sie R [x] zeigen den Vektorraum von echten Polynomen an; dann (1, x, x...) ist eine Basis von R [x]. Die Dimension von R [x] ist deshalb aleph-0 gleich.

Das Verlängern zu einer Basis

Lassen Sie S eine Teilmenge eines Vektorraums V sein. S zu einer Basis zu erweitern, bedeutet, eine Basis B zu finden, der S als eine Teilmenge enthält. Das kann getan werden, wenn, und nur wenn S linear unabhängig ist. Fast immer gibt es mehr als einen solchen B, außer in ziemlich speziellen Verhältnissen (d. h. L ist bereits eine Basis, oder L ist leer, und V hat zwei Elemente).

Eine ähnliche Frage besteht darin, wenn eine Teilmenge S tut, enthalten eine Basis. Das kommt vor, wenn, und nur wenn S V abmisst. In diesem Fall wird S gewöhnlich mehrere verschiedene Basen enthalten.

Beispiel von alternativen Beweisen

Häufig kann ein mathematisches Ergebnis auf mehr als eine Weise bewiesen werden.

Hier, mit drei verschiedenen Beweisen, zeigen wir, dass die Vektoren (1,1) und (1,2) eine Basis für R bilden.

Aus der Definition der Basis

Wir müssen beweisen, dass diese zwei Vektoren linear unabhängig sind, und dass sie R erzeugen.

Erster Teil: Wenn zwei Vektoren v, w linear unabhängig sind, dann (a und b Skalare) bezieht ein

Um zu beweisen, dass sie linear unabhängig sind, nehmen Sie an, dass es Zahlen a, b solch dass gibt:

:

(d. h. sie sind linear abhängig). Dann:

:

(a-b, a+2b) = (0,0) \, </Mathematik> und

a-b=0 \; </Mathematik> und

a+2b=0. \, </Mathematik>

Die erste Gleichung vom zweiten abziehend, herrschen wir vor:

:

3b=0 \; </Mathematik> so

b=0. \, </Mathematik>

Diese Gleichung von der ersten Gleichung dann abziehend:

:

Folglich haben wir geradlinige Unabhängigkeit.

Zweiter Teil: Um zu beweisen, dass diese zwei Vektoren R erzeugen, müssen wir (a, b) lassen, ein willkürliches Element von R zu sein und zu zeigen, dass dort Nummern r, s  R solch dass bestehen:

:

Dann müssen wir die Gleichungen lösen:

::

Die erste Gleichung vom zweiten abziehend, kommen wir:

:

3s=b-a, \, </Mathematik> und dann

:

s = (b-a)/3, \, </Mathematik> und schließlich

:

Durch den Dimensionslehrsatz

Seitdem (1,2) ist klar nicht ein Vielfache (1,1) und seitdem (1,1) ist nicht der Nullvektor, diese zwei Vektoren sind linear unabhängig. Da die Dimension von R 2 ist, bilden die zwei Vektoren bereits eine Basis von R, ohne jede Erweiterung zu brauchen.

Durch den invertible Matrixlehrsatz

Schätzen Sie einfach die Determinante

:

Da die obengenannte Matrix eine Nichtnulldeterminante hat, bilden seine Säulen eine Basis von R. Sieh: Invertible-Matrix.

Bestellte Basen und Koordinaten

Eine Basis ist gerade eine Reihe von Vektoren ohne gegebene Einrichtung. Zu vielen Zwecken ist es günstig, mit einer bestellten Basis zu arbeiten. Zum Beispiel, wenn man mit einer Koordinatendarstellung eines Vektoren arbeitet, ist es üblich, um von der "ersten" oder "zweiten" Koordinate zu sprechen, die Sinn nur hat, wenn eine Einrichtung für die Basis angegeben wird. Für endlich-dimensionale Vektorräume ein versieht normalerweise eine Basis {v} durch die ersten n ganzen Zahlen mit einem Inhaltsverzeichnis. Eine bestellte Basis wird auch einen Rahmen genannt.

Denken Sie V ist ein n-dimensional Vektorraum über Feld F. Eine Wahl einer bestellten Basis für V ist zu einer Wahl eines geradlinigen Isomorphismus φ vom Koordinatenraum F zu V gleichwertig.

Beweis. Der Beweis macht von der Tatsache Gebrauch, dass die Standardbasis von F eine bestellte Basis ist.

Nehmen Sie zuerst das an

:&phi;: F  V

ist ein geradliniger Isomorphismus. Definieren Sie eine bestellte Basis {v} für V durch

: v = &phi; (e) für 1  i  n

wo {e} die Standardbasis für F ist.

Umgekehrt, in Anbetracht einer bestellten Basis, betrachten Sie die Karte als definiert durch

: &phi; (x) = xv + xv +... + xv,

wo x = xe + xe +... + xe ein Element von F ist. Es ist nicht hart zu überprüfen, dass φ ein geradliniger Isomorphismus ist.

Diese zwei Aufbauten sind zu einander klar umgekehrt. So sind bestellte Basen für V in 1-1 Ähnlichkeit mit dem geradlinigen Isomorphismus F  V.

Das Gegenteil des geradlinigen Isomorphismus φ bestimmt durch eine bestellte Basis {v} stattet V mit Koordinaten aus: Wenn, für einen Vektoren v  V, φ (v) = (a, a..., a)  F, dann sind die Bestandteile = (v) die Koordinaten von v im Sinn dass v = (v) v + (v) v +... + (v) v.

Die Karten, die einen Vektoren v zu den Bestandteilen (v) senden, sind geradlinige Karten von V bis F, wegen φ ist geradlinig. Folglich sind sie geradliniger functionals. Sie bilden eine Basis für den Doppelraum V, genannt die Doppelbasis.

Zusammenhängende Begriffe

Analyse

Im Zusammenhang von unendlich-dimensionalen Vektorräumen über die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen der Begriff können Basis von Hamel (genannt nach Georg Hamel) oder algebraische Basis verwendet werden, um sich auf eine Basis, wie definiert, in diesem Artikel zu beziehen. Das soll eine Unterscheidung mit anderen Begriffen "der Basis" machen, die bestehen, wenn unendlich-dimensionale Vektorräume mit der Extrastruktur ausgestattet sind. Die wichtigsten Alternativen sind orthogonale Basen auf Räumen von Hilbert, Basen von Schauder und Basen von Markushevich auf normed geradlinigen Räumen.

Das gemeinsame Merkmal der anderen Begriffe ist, dass sie die Einnahme von unendlichen geradlinigen Kombinationen der grundlegenden Vektoren erlauben, um den Raum zu erzeugen. Das verlangt natürlich, dass unendliche Summen auf diesen Räumen bedeutungsvoll definiert werden, wie für topologische Vektorräume - eine große Klasse von Vektorräumen einschließlich z.B der Fall ist. Räume von Hilbert, Banach spaces oder Räume von Fréchet.

Die Vorliebe anderer Typen von Basen für unendliche dimensionale Räume wird durch die Tatsache gerechtfertigt, dass die Basis von Hamel "zu groß" in Banachräumen wird: Wenn X ein unendlicher dimensionaler normed Vektorraum ist, der abgeschlossen ist (d. h. X ist ein Banachraum), dann ist jede Basis von Hamel X notwendigerweise unzählbar. Das ist eine Folge des Kategorie-Lehrsatzes von Baire. Die Vollständigkeit sowie unendliche Dimension ist entscheidende Annahmen im vorherigen Anspruch. Tatsächlich haben begrenzte dimensionale Räume definitionsgemäß begrenzte Basis, und es gibt unendliche dimensionale (nichtganze) normed Räume, die zählbare Basis von Hamel haben., Ziehen Sie der Raum der Folgen von reellen Zahlen in Betracht, die nur begrenzt viele Nichtnullkoordinaten mit der Norm haben, ist Die Standardbasis seine zählbare Basis von Hamel.

Beispiel

In der Studie der Reihe von Fourier erfährt man dass die Funktionen {1}  {Sünde (nx), weil (nx): n = 1, 2, 3...} sind eine "orthogonale Basis" (echt oder kompliziert) Vektorraum von allen (echt oder Komplex geschätzt) Funktionen auf dem Zwischenraum [0, 2π], die Quadrat-Integrable auf diesem Zwischenraum, d. h., Funktionen f sind, befriedigend

:

Die Funktionen {1}  {Sünde (nx), weil (nx): n = 1, 2, 3...}, sind und jede Funktion f linear unabhängig, der Quadrat-Integrable auf [0 ist, 2π] ist eine "unendliche geradlinige Kombination" von ihnen, im Sinn das

:

für den passenden (echt oder kompliziert) Koeffizienten a, b. Aber die meisten Quadrat-Integrable-Funktionen können als begrenzte geradlinige Kombinationen dieser Basisfunktionen nicht vertreten werden, die deshalb keine Basis von Hamel umfassen. Jede Hamel Basis dieses Raums ist viel größer als dieser bloß zählbar unendliche Satz von Funktionen. Basen von Hamel von Räumen dieser Art sind normalerweise nicht nützlich, wohingegen orthonormale Basen dieser Räume in der Analyse von Fourier notwendig sind.

Geometrie von Affine

Die zusammenhängenden Begriffe eines affine Raums, projektiven Raums, konvexen Satzes und Kegels haben Begriffe dessen verbunden (eine Basis für einen n-dimensional affine Raum ist Punkte in der allgemeinen geradlinigen Position), (im Wesentlichen dasselbe als eine affine Basis, das ist Punkte in der allgemeinen geradlinigen Position, hier im projektiven Raum), (die Scheitelpunkte eines polytope), und (Punkte an den Rändern eines polygonalen Kegels); sieh auch eine Basis von Hilbert (geradlinige Programmierung).

Siehe auch

• Änderung der Basis

Referenzen

Allgemeine Verweisungen

Historische Verweisungen

• Nachdruck:

Links

• Unterrichtsvideos von der Khan-Akademie
• Einführung in Basen von Subräumen
• Beweis, dass jede Subraumbasis dieselbe Zahl der Elemente hat