In der Mathematik hat jeder Vektorraum, V, einen entsprechenden Doppelvektorraum (oder gerade Doppelraum für den kurzen), aus dem ganzen geradlinigen functionals auf V bestehend. Auf endlich-dimensionalen Vektorräumen definierte Doppelvektorräume können verwendet werden, um Tensor zu definieren. Wenn angewandt, auf Vektorräume von Funktionen (die normalerweise unendlich-dimensional sind) werden Doppelräume verwendet, um Konzepte wie Maßnahmen, Vertrieb und Räume von Hilbert zu definieren und zu studieren. Folglich ist der Doppelraum ein wichtiges Konzept in der Studie der Funktionsanalyse.

Es gibt zwei Typen von Doppelräumen: der algebraische Doppelraum und der dauernde Doppelraum. Der algebraische Doppelraum wird für alle Vektorräume definiert. Wenn definiert, für einen topologischen Vektorraum gibt es einen Subraum dieses Doppelraums entsprechend dauerndem geradlinigem functionals, der einen dauernden Doppelraum einsetzt.

Algebraischer Doppelraum

In Anbetracht jedes Vektorraums V über Feld F wird DoppelraumV* als der Satz aller geradlinigen Karten (geradliniger functionals) definiert. DoppelraumV* selbst wird ein Vektorraum über F, wenn ausgestattet, mit der folgenden Hinzufügung und Skalarmultiplikation:

:

& (\varphi + \psi) (x) = \varphi (x) + \psi (x) \\

& (ein \varphi) (x) = ein \left (\varphi (x) \right)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

für den ganzen φ, ψ  V *, x  V und ein  F. Elemente algebraischen DoppelraumV* werden manchmal covectors oder eine Formen genannt.

Die Paarung eines funktionellen φ in DoppelraumV* und einem Element x V wird manchmal durch eine Klammer angezeigt:

oder. Die Paarung definiert nichtdegeneriert bilinear kartografisch darzustellen.

Endlich-dimensionaler Fall

Wenn V endlich-dimensional ist, dann hat V* dieselbe Dimension wie V. In Anbetracht einer Basis} in V ist es möglich, eine spezifische Basis in V *, genannt die Doppelbasis zu bauen. Diese Doppelbasis ist ein Satz} geradlinigen functionals auf V, definiert durch die Beziehung

:

\mathbf {e} ^i (c_1 \mathbf {e} _1 +\cdots+c_n\mathbf {e} _n) = c_i, \quad i=1, \ldots, n

</Mathematik>

für jede Wahl von Koeffizienten. Wenn man der Reihe nach jeden jener Koeffizienten einem und der anderen mitwirkenden Null gleich sein lässt, gibt das Gleichungssystem

:

\mathbf {e} ^i (\mathbf {e} _j) = \delta_ {ij }\

= \begin {Fälle }\

1, & \text {wenn} ich = j \\

0, & \text {wenn} ich \ne j

\end {Fälle }\

</Mathematik>

wo δ das Delta-Symbol von Kronecker ist. Zum Beispiel, wenn V R und seine Basis ist, die gewählt ist, um} zu sein, dann sind e und e eine Formen (Funktionen, die einen Vektoren zu einem Skalar kartografisch darstellen) solch dass, und. (Bemerken Sie: Der Exponent hier ist der Index, nicht eine Hochzahl).

Insbesondere wenn wir R als der Raum von Säulen von n reellen Zahlen interpretieren, wird sein Doppelraum normalerweise als der Raum von Reihen von n reellen Zahlen geschrieben. Solch eine Reihe folgt R als ein geradliniger funktioneller durch die gewöhnliche Matrixmultiplikation.

Wenn V aus dem Raum von geometrischen Vektoren (Pfeile) im Flugzeug besteht, dann bilden die Niveau-Kurven eines Elements von V* eine Familie von parallelen Linien in V. So kann von einem Element von V* als eine besondere Familie von parallelen Linien intuitiv gedacht werden, die das Flugzeug bedecken. Um den Wert eines funktionellen auf einem gegebenen Vektoren zu schätzen, muss man nur bestimmen, auf welcher von den Linien der Vektor liegt. Oder, informell, "zählt" man, wie viele Linien sich der Vektor trifft. Mehr allgemein, wenn V ein Vektorraum einer Dimension ist, dann sind die Niveau-Sätze eines geradlinigen funktionellen in V* parallele Hyperflugzeuge in V, und die Handlung eines geradlinigen funktionellen auf einem Vektoren kann in Bezug auf diese Hyperflugzeuge vergegenwärtigt werden.

Unendlich-dimensionaler Fall

Wenn V nicht endlich-dimensional ist, aber eine Basis e mit einem Inhaltsverzeichnis versehen durch einen unendlichen Satz A hat, dann gibt derselbe Aufbau wie im endlich-dimensionalen Fall linear unabhängige Elemente e vom Doppelraum nach, aber sie werden keine Basis bilden.

Denken Sie zum Beispiel, den Raum R, dessen Elemente jene Folgen von reellen Zahlen sind, die nur begrenzt viele Nichtnulleinträge haben, der eine Basis durch die natürlichen Zahlen N mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ließ: Für ist e die Folge, die Null abgesondert vom Ith-Begriff ist, der derjenige ist. Der Doppelraum von R ist R, der Raum aller Folgen von reellen Zahlen: Solch eine Folge (a) wird auf ein Element (x) von R angewandt, um die Zahl ax zu geben, der eine begrenzte Summe ist, weil es nur begrenzt viele Nichtnull x gibt. Die Dimension von R ist zählbar unendlich, wohingegen R keine zählbare Basis hat.

Diese Beobachtung verallgemeinert zu jedem unendlich-dimensionalen Vektorraum V über jedes Feld F: Eine Wahl der Basis} identifiziert sich V mit dem Raum (F) solcher Funktionen, der Nichtnull für nur begrenzt viele ist, wo solch ein Funktions-ƒ mit dem Vektoren identifiziert wird

:

\sum_ {\\alpha\in A\f_\alpha\mathbf {e} _ \alpha

</Mathematik>

in V (ist die Summe durch die Annahme auf dem ƒ begrenzt, und kann irgendwelcher auf diese Weise durch die Definition der Basis geschrieben werden).

Der Doppelraum V kann dann mit dem Raum F von allen Funktionen von bis F identifiziert werden: Ein geradliniger funktioneller T auf V wird durch die Werte einzigartig bestimmt, die er auf der Grundlage von V nimmt, und jede Funktion (damit) einen geradlinigen funktionellen T auf V durch definiert

:

T\biggl (\sum_ {\\alpha\in} f_\alpha \mathbf {e} _ \alpha\biggr) = \sum_ {\\alpha\in A\\theta_\alpha f_\alpha.

</Mathematik>

Wieder ist die Summe begrenzt, weil ƒ Nichtnull für nur begrenzt viele α ist.

Bemerken Sie, dass (F) (im Wesentlichen definitionsgemäß) mit der direkten Summe identifiziert werden kann

ungeheuer vieler Kopien von F (angesehen als ein 1-dimensionaler Vektorraum über sich) mit einem Inhaltsverzeichnis versehen durch A, d. h. gibt es geradlinigen Isomorphismus

:

V\cong (F^A) _0\cong\bigoplus_ {\\alpha\in A\{F}.

</Mathematik>

Andererseits ist F (wieder definitionsgemäß), das direkte Produkt von ungeheuer vielen Kopien von F, der durch A, und so die Identifizierung mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ist

:

V^* \cong

\biggl (\bigoplus_ {\\alpha\in} F\biggr) ^* \cong

\prod_ {\\alpha\in A\F^* \cong

\prod_ {\\alpha\in A\F \cong

F^A

</Mathematik>

ist ein spezieller Fall einer allgemeinen Ergebnis-Verbindung direkte Summen (von Modulen) zu direkten Produkten.

So, wenn die Basis unendlich ist, dann gibt es immer mehr Vektoren im Doppelraum als im ursprünglichen Vektorraum. Das ist in der gekennzeichneten Unähnlichkeit zum Fall des dauernden Doppelraums, der unten besprochen ist, der zum ursprünglichen Vektorraum isomorph sein kann, selbst wenn der Letztere unendlich-dimensional ist.

Bilineare Produkte und Doppelräume

Wenn V endlich-dimensional ist, dann V ist zu V* isomorph. Aber es gibt im Allgemeinen keinen natürlichen Isomorphismus zwischen diesen zwei Räumen. Jede bilineare Form  · ·  auf V gibt V in seinen Doppelraum über kartografisch darzustellen

:

wo die rechte Seite als das funktionelle auf V Einnahme von jedem dazu definiert wird

:

definiert durch

:

Wenn, wie man annimmt, die bilineare Form nichtdegeneriert ist, dann ist das ein Isomorphismus auf einen Subraum von V*. Wenn V endlich-dimensional ist, dann ist das ein Isomorphismus auf den ganzen V*. Umgekehrt, jeder Isomorphismus Φ von V bis einen Subraum von V* (resp. alle V *) definiert eine einzigartige nichtdegenerierte bilineare Form  · ·  auf V durch

:

So gibt es eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen dem Isomorphismus V zu Subräumen dessen (resp. ganzer) V* und nichtdegenerierte bilineare Formen auf V.

Wenn der Vektorraum V über das komplizierte Feld ist, dann manchmal ist es natürlicher, Sesquilinear-Formen statt bilinearer Formen zu denken. In diesem Fall bildet ein gegebener sesquilinear  · ·  bestimmt einen Isomorphismus V mit dem Komplex, der des Doppelraums verbunden

ist:

\Phi_ {\\langle\cdot, \cdot\rangle}: V\to \overline {V} ^*.

</Mathematik>

Der verbundene Raum * kann mit dem Satz des ganzen Zusatzes Komplex-geschätzter solcher functionals dass identifiziert werden

:

f (\alpha v) = \overline {\\Alpha} f (v).

</Mathematik>

Einspritzung in den Doppelt-Doppel-

Es gibt einen natürlichen Homomorphismus Ψ von V in den doppelten Doppel-V **, definiert durch für alle. Diese Karte Ψ ist immer injective; es ist ein Isomorphismus, wenn, und nur wenn V endlich-dimensional ist. Tatsächlich ist der Isomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums mit seinem doppelten Doppel-ein archetypisches Beispiel eines natürlichen Isomorphismus. Bemerken Sie, dass unendlich-dimensionale Räume von Hilbert nicht ein Gegenbeispiel dazu sind, weil sie zu ihrem dauernden duals isomorph sind, nicht zu ihrem algebraischen duals.

Stellen Sie von einer geradlinigen Karte um

Wenn eine geradlinige Karte ist, dann wird das Umstellen (oder Doppel-) durch definiert

:

f^ * (\varphi) = \varphi \circ f \,

</Mathematik>

für jeden. Der resultierende funktionelle ƒ * (φ) ist in V *, und wird das Hemmnis von φ entlang dem ƒ genannt.

Die folgende Identität hält für alle und:

:

[f^ * (\varphi), \, v] = [\varphi, \, f (v)],

</Mathematik>

wo die Klammer [· ·] ist links die Dualitätspaarung V mit seinem Doppelraum, und das ist rechts die Dualitätspaarung von W mit seinem Doppel-. Diese Identität charakterisiert das Umstellen, und ist der Definition des adjoint formell ähnlich.

Die Anweisung erzeugt eine injective geradlinige Karte zwischen dem Raum von geradlinigen Maschinenbedienern von V bis W und dem Raum von geradlinigen Maschinenbedienern von W* bis V *; dieser Homomorphismus ist ein Isomorphismus, wenn, und nur wenn W endlich-dimensional ist. Wenn dann der Raum von geradlinigen Karten wirklich eine Algebra unter der Zusammensetzung von Karten ist, und die Anweisung dann ein Antihomomorphismus von Algebra ist, das bedeutend. Auf der Sprache der Kategorie-Theorie, die Doppel-von Vektorräumen und das Umstellen von geradlinigen Karten nehmend, ist deshalb eine Kontravariante functor von der Kategorie von Vektorräumen über F zu sich. Bemerken Sie, dass man sich (ƒ *) * mit dem ƒ mit der natürlichen Einspritzung in den doppelten Doppel-identifizieren kann.

Wenn der geradlinige Karte-ƒ durch die Matrix in Bezug auf zwei Basen V und W vertreten wird, dann wird ƒ * durch die umstellen Matrix in Bezug auf die Doppelbasen von W* und V *, folglich der Name vertreten. Wechselweise, weil ƒ durch A vertreten wird, der links auf Spaltenvektoren handelt, wird ƒ * durch dieselbe Matrix vertreten, die rechts auf Zeilenvektoren handelt. Diese Gesichtspunkte sind durch das kanonische Skalarprodukt auf R verbunden, der den Raum von Spaltenvektoren mit dem Doppelraum von Zeilenvektoren identifiziert.

Quotient-Räume und Vernichter

Lassen Sie S eine Teilmenge V sein. Der Vernichter von S in V *, angezeigt hier S, ist die Sammlung von geradlinigem functionals solch das für alle. D. h. S besteht aus dem ganzen geradlinigen solchem functionals, dass die Beschränkung zu S verschwindet:.

Der Vernichter einer Teilmenge ist selbst ein Vektorraum. Insbesondere ist der ganze V* (ausdruckslos), wohingegen der Nullsubraum ist. Außerdem, die Anweisung eines Vernichters zu einer Teilmenge von V Rückeinschließungen, so dass wenn, dann

:

0 \subset T^o \subset S^o \subset V^*.

</Mathematik>

Außerdem, wenn A und B zwei Teilmengen V, dann sind

:

(Ein \cap B) ^o \supseteq A^o + B^o,

</Mathematik>

und Gleichheit hält, vorausgesetzt dass V endlich-dimensional ist. Wenn A eine Familie von Teilmengen V mit einem Inhaltsverzeichnis versehen davon ist, gehe mich, einem Index gehörend, I, dann unter

:

\left (\bigcup_ {i\in I} A_i\right) ^o = \bigcap_ {i\in I} A_i^o.

</Mathematik>

Insbesondere, wenn A und B Subräume V, hieraus folgt dass sind

:

(+ B) ^o = A^o \cap B^o. \,

</Mathematik>

Wenn V endlich-dimensional ist, und W ein Vektor-Subraum, dann ist

:

W^ {oo} = W \,

</Mathematik>

nach dem Identifizieren W mit seinem Image im zweiten Doppelraum unter dem doppelten Dualitätsisomorphismus. So, insbesondere ist das Formen des Vernichters eine Verbindung von Galois auf dem Gitter von Teilmengen eines endlich-dimensionalen Vektorraums.

Wenn W ein Subraum V dann der Quotient-Raum ist, ist V/W ein Vektorraum in seinem eigenen Recht, und ein Doppel-auch. Durch den ersten Isomorphismus-Lehrsatz, funktionelle Faktoren durch V/W wenn, und nur wenn W im Kern von ƒ ist. Es gibt so einen Isomorphismus

:

(V/W) ^* \cong W^o.

</Mathematik>

Als eine besondere Folge, wenn V eine direkte Summe von zwei Subräumen A und B ist, dann ist V* eine direkte Summe von A und B.

Dauernder Doppelraum

Wenn, sich mit topologischen Vektorräumen befassend, man sich normalerweise nur für den dauernden geradlinigen functionals vom Raum ins Grundfeld interessiert. Das verursacht den Begriff des "dauernden Doppelraums", der ein geradliniger Subraum des algebraischen Doppelraums V *, angezeigt ist. Für jeden endlich-dimensionalen normed Vektorraum oder topologischen Vektorraum, wie Euklidischer N-Raum, fallen der dauernde Doppel- und der algebraische Doppel-zusammen. Das ist jedoch für jeden unendlich-dimensionalen normed Raum, wie gezeigt, durch das Beispiel von diskontinuierlichen geradlinigen Karten falsch.

Der dauernde Doppel-von einem normed Vektorraum V (z.B, ein Banachraum oder ein Raum von Hilbert) bildet einen normed Vektorraum. Eine Norm ||φ eines dauernden geradlinigen funktionellen auf V wird durch definiert

:

\| \varphi \| = \sup \{| \varphi (x) |: \|x \| \le 1 \}.

</Mathematik>

Das dreht den dauernden Doppel-in einen normed Vektorraum tatsächlich in einen Banachraum, so lange das zu Grunde liegende Feld abgeschlossen ist, der häufig in die Definition des normed Vektorraums eingeschlossen wird. Mit anderen Worten ist das, das eines normed Raums über ein ganzes Feld Doppel-ist, notwendigerweise abgeschlossen.

Der dauernde Doppel-kann verwendet, um eine neue Topologie auf V zu definieren, die schwache Topologie genannt werden.

Beispiele

Lassen Sie 1]] von allen Folgen für der

:

\| \mathbf {ein }\\| _p = \left (\sum_ {n=0} ^\\infty |a_n |^p \right) ^ {1/p }\

</Mathematik>ist

begrenzt. Definieren Sie die Nummer q dadurch. Dann wird der dauernde Doppel-von  mit  natürlich identifiziert: In Anbetracht eines Elements ist das entsprechende Element dessen die Folge (φ (e)), wo e die Folge anzeigt, deren n-ter Begriff 1 und alles ist, was andere Null sind. Umgekehrt, in Anbetracht eines Elements, wird der entsprechende dauernde geradlinige funktionelle φ darauf durch für alle definiert (sieh die Ungleichheit von Hölder).

Auf eine ähnliche Weise wird der dauernde Doppel-davon mit (der Raum von begrenzten Folgen) natürlich identifiziert. Außerdem werden die dauernden duals der Banachräume c (aus allen konvergenten Folgen mit der Supremum-Norm bestehend), und c (die Folgen, die zur Null zusammenlaufen), beide damit natürlich identifiziert.

Durch den Darstellungslehrsatz von Riesz ist der dauernde Doppel-von einem Raum von Hilbert wieder ein Raum von Hilbert, der zum ursprünglichen Raum antiisomorph ist. Das verursacht die Notation des Büstenhalters-ket, die von Physikern in der mathematischen Formulierung der Quant-Mechanik verwendet ist.

Stellen Sie von einer dauernden geradlinigen Karte um

Wenn eine dauernde geradlinige Karte zwischen zwei topologischen Vektorräumen ist, dann (dauernd) stellen um wird durch dieselbe Formel wie zuvor definiert:

:

T' (\varphi) = \varphi \circ T, \quad \varphi \in W'. \,

</Mathematik>

Das resultierende funktionelle ist darin. Die Anweisung erzeugt eine geradlinige Karte zwischen dem Raum von dauernden geradlinigen Karten von V bis W und dem Raum von geradlinigen Karten von dazu. Wenn T und U composable dauernde geradlinige Karten, dann sind

:

(U \circ T)' = T' \circ U'. \,

</Mathematik>

Wenn V und W normed Räume sind, ist die Norm des Umstellens darin diesem von T darin gleich. Mehrere Eigenschaften der Umstellung hängen vom Hahn-Banach Lehrsatz ab. Zum Beispiel hat die begrenzte geradlinige Karte T dichte Reihe, wenn, und nur wenn das Umstellen injective ist.

Wenn T eine geradlinige Kompaktkarte zwischen zwei Banachräumen V und W ist, dann ist das Umstellen kompakt. Das kann verwendend des Arzelà-Ascoli Lehrsatzes bewiesen werden.

Wenn V ein Raum von Hilbert ist, gibt es einen antigeradlinigen Isomorphismus i von V auf seinen dauernden Doppel-. Für jede begrenzte geradlinige Karte T auf V werden das Umstellen und die adjoint Maschinenbediener durch verbunden

:

i_V \circ T^* = T' \circ i_V. \,

</Mathematik>

Wenn T eine dauernde geradlinige Karte zwischen zwei topologischen Vektorräumen V und W ist, dann ist das Umstellen dauernd, wenn und mit "vereinbaren" Topologien ausgestattet werden: Zum Beispiel, wenn, für und, beide duals die starke Topologie der gleichförmigen Konvergenz auf begrenzten Sätzen X haben, oder beide das schwache -  Topologie der pointwise Konvergenz auf X haben. Das Umstellen ist von zu, oder von dazu dauernd.

Vernichter

Nehmen Sie an, dass W ein geschlossener geradliniger Subraum eines normed Raums V ist, und denken Sie den Vernichter von W in,

:

W^\\perp = \{\varphi \in V': W \subset \ker \varphi\}. \,

</Mathematik>

Dann kann der Doppel-vom Quotienten mit W identifiziert werden, und der Doppel-von W kann mit dem Quotienten identifiziert werden. Lassen Sie tatsächlich P die kanonische Surjektion von V auf den Quotienten anzeigen; dann ist das Umstellen ein isometrischer Isomorphismus von in mit der W gleichen Reihe. Wenn j die Spritzenkarte von W in V anzeigt, dann ist der Kern des Umstellens der Vernichter von W:

:

und es folgt aus dem Hahn-Banach Lehrsatz, der einen isometrischen Isomorphismus veranlasst

.

Weitere Eigenschaften

Wenn der Doppel-von einem normed Raum V trennbar ist, dann auch ist der Raum V selbst. Das gegenteilige ist nicht wahr: Zum Beispiel ist der Raum trennbar, aber sein Doppel-ist ist nicht.

Doppelt Doppel-

In der Analogie mit dem Fall des algebraischen doppelten Doppel-gibt es immer einen natürlich definierten dauernden geradlinigen Maschinenbediener von einem normed Raum V in seinen dauernden doppelten Doppel-, definiertes durch

:

\Psi (x) (\varphi) = \varphi (x), \quad x \in V, \\varphi \in V'. \,

</Mathematik>

Demzufolge des Hahn-Banach Lehrsatzes ist diese Karte tatsächlich eine Isometrie, für den ganzen x in Räumen von V. Normed bedeutend, für die die Karte Ψ eine Bijektion ist, werden reflexiv genannt.

Wenn V ein topologischer Vektorraum ist, kann man noch Ψ (x) durch dieselbe Formel, für jeden definieren, jedoch entstehen mehrere Schwierigkeiten. Erstens, wenn V nicht lokal konvex ist, kann der dauernde Doppel-{0} und die Karte Ψ trivial gleich sein. Jedoch, wenn V Hausdorff und lokal konvex ist, ist die Karte Ψ injective von V bis die algebraischen Doppel-von den dauernden Doppel-wieder demzufolge des Hahn-Banach Lehrsatzes.

Zweitens, sogar in der lokal konvexen Einstellung, können mehrere natürliche Vektorraum-Topologien auf dem dauernden Doppel-definiert werden, so dass der dauernde doppelte Doppel-als ein Satz nicht einzigartig definiert wird. Der Ausspruch, dass Ψ von V bis, oder mit anderen Worten kartografisch darstellt, dass Ψ (x) auf für jeden dauernd ist, ist eine angemessene minimale Voraussetzung an die Topologie, nämlich dass die Einschätzung mappings

:

\varphi \in V' \mapsto \varphi (x), \quad x \in V, \,

</Mathematik>seien Sie

für die gewählte Topologie darauf dauernd. Weiter gibt es noch eine Wahl einer Topologie auf, und die Kontinuität von Ψ hängt von dieser Wahl ab. Demzufolge wird das Definieren reflexivity in diesem Fachwerk mehr beteiligt als im normed Fall.

Siehe auch

• Dualität (Mathematik)
• Dualität (projektive Geometrie)
• Dualität von Pontryagin
• Gegenseitiges Gitter - Doppelraumbasis, in der Kristallographie
• Kovarianz und Kontravarianz von Vektoren

Zeichen

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