In der elementaren Mathematik, Physik und Technik, ist ein Euklidischer Vektor (hat manchmal einen geometrischen oder räumlichen Vektoren, oder - als hier - einfach ein Vektor genannt), ein geometrischer Gegenstand, der einen Umfang (oder Länge) und Richtung hat und gemäß dem Parallelogramm-Gesetz der Hinzufügung hinzugefügt werden kann. Ein Euklidischer Vektor wird oft durch ein Liniensegment mit einer bestimmten Richtung, oder grafisch als ein Pfeil vertreten, einen anfänglichen Punkt mit einem Endpunkt B verbindend, und durch angezeigt

Ein Vektor ist, was erforderlich ist, um das Ziel zum Punkt B "zu erreichen"; der lateinische Wortvektor bedeutet "Transportunternehmen". Der Umfang des Vektoren ist die Entfernung zwischen den zwei Punkten, und die Richtung bezieht sich auf die Richtung der Versetzung von bis B. Viele algebraische Operationen auf reellen Zahlen wie Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Ablehnung haben nahe Entsprechungen für Vektoren, Operationen, die den vertrauten algebraischen Gesetzen von commutativity, associativity, und distributivity folgen. Diese Operationen und vereinigte Gesetze qualifizieren Euklidische Vektoren als ein Beispiel des mehr verallgemeinerten Konzepts von Vektoren definiert einfach als Elemente eines Vektorraums.

Vektoren spielen eine wichtige Rolle in der Physik: Geschwindigkeit und Beschleunigung eines bewegenden Gegenstands und Kräfte, die ihm folgen, werden alle durch Vektoren beschrieben. Von vielen anderen physischen Mengen kann als Vektoren nützlich gedacht werden. Obwohl die meisten von ihnen Entfernungen nicht vertreten (außer, zum Beispiel, Position oder Versetzung), können ihr Umfang und Richtung noch durch die Länge und Richtung eines Pfeils vertreten werden. Die mathematische Darstellung eines physischen Vektoren hängt vom Koordinatensystem ab, das verwendet ist, um es zu beschreiben. Andere einem Vektoren ähnliche Gegenstände, die physische Mengen beschreiben und sich auf eine ähnliche Weise unter Änderungen des Koordinatensystems verwandeln, schließen Pseudovektoren und Tensor ein.

Es ist wichtig, Euklidische Vektoren aus dem mehr Gesamtkonzept in der geradlinigen Algebra von Vektoren als Elemente eines Vektorraums zu unterscheiden. Allgemeine Vektoren in diesem Sinn sind feste Größe, bestellte Sammlungen von Sachen als im Fall von Euklidischen Vektoren, aber die individuellen Sachen können nicht reelle Zahlen sein, und die normalen Euklidischen Konzepte der Länge, der Entfernung und des Winkels können nicht anwendbar sein. (Ein Vektorraum mit einer Definition dieser Konzepte wird einen Skalarprodukt-Raum genannt.) Der Reihe nach sollten beide dieser Definitionen des Vektoren vom statistischen Konzept eines zufälligen Vektoren bemerkenswert sein. Die individuellen Sachen in einem zufälligen Vektoren sind individuelle reellwertige zufällige Variablen, und werden häufig mit derselben Sorte des mathematischen Vektoren und der Matrixoperationen manipuliert, die für die anderen Typen von Vektoren gelten, aber sich sonst gewöhnlich mehr wie Sammlungen von individuellen Werten benehmen. Konzepte der Länge, der Entfernung und des Winkels gelten für diese Vektoren auch nicht normalerweise; eher, was sich verbindet, die Werte ist zusammen die potenziellen Korrelationen unter ihnen.

Übersicht

Ein Vektor ist eine geometrische Entität, die durch einen Umfang (in der Mathematik eine Zahl, in der Physik eine Zahl Zeiten eine Einheit) und eine Richtung charakterisiert ist. In strengen mathematischen Behandlungen wird ein Vektor als ein geleitetes Liniensegment oder Pfeil in einem Euklidischen Raum definiert. Wenn es notwendig wird, es von Vektoren, wie definiert, anderswohin zu unterscheiden, wird das manchmal einen geometrischen, räumlichen oder Euklidischen Vektoren genannt.

Als ein Pfeil im Euklidischen Raum besitzt ein Vektor einen bestimmten anfänglichen Punkt und Endpunkt. Solch ein Vektor wird einen bestimmten Vektoren genannt. Wenn nur der Umfang und die Richtung der Vektor-Sache dann der besondere anfängliche Punkt von keiner Wichtigkeit ist, und der Vektor einen freien Vektoren genannt wird. So vertreten zwei Pfeile und im Raum denselben freien Vektoren, wenn sie denselben Umfang und Richtung haben: D. h. sie sind gleichwertig, wenn das Vierseit ABBA  ein Parallelogramm ist. Wenn der Euklidische Raum mit einer Wahl des Ursprungs ausgestattet wird, dann ist ein freier Vektor zum bestimmten Vektoren desselben Umfangs und Richtung gleichwertig, deren anfänglicher Punkt der Ursprung ist.

Der Begriff Vektor hat auch Generalisationen zu höheren Dimensionen und zu mehr formellen Annäherungen mit viel breiteren Anwendungen.

Beispiele in einer Dimension

Da das Konzept des Physikers der Kraft eine Richtung und einen Umfang hat, kann es als ein Vektor gesehen werden. Als ein Beispiel, denken Sie eine nach rechts Kraft F 15 Newton. Wenn die positive Achse auch nach rechts geleitet wird, dann wird F durch den Vektoren 15 N vertreten, und wenn positive Punkte nach links, dann ist der Vektor für F 15 N. In jedem Fall ist der Umfang des Vektoren 15 N. Ebenfalls würde die Vektor-Darstellung einer Versetzung Δs 4 Meter nach rechts 4 M oder 4 M sein, und sein Umfang würde 4 M trotzdem sein.

In der Physik und Technik

Vektoren sind in den physischen Wissenschaften grundsätzlich. Sie können verwendet werden, um jede Menge zu vertreten, die sowohl einen Umfang als auch Richtung wie Geschwindigkeit hat, deren Umfang Geschwindigkeit ist. Zum Beispiel konnte die Geschwindigkeit 5 Meter pro Sekunde aufwärts durch den Vektoren (0,5) (in 2 Dimensionen mit der positiven y Achse als) vertreten werden. Eine andere durch einen Vektoren vertretene Menge ist Kraft, da es einen Umfang und Richtung hat. Vektoren beschreiben auch viele andere physische Mengen, wie Versetzung, Beschleunigung, Schwung und winkeliger Schwung. Andere physische Vektoren, wie das elektrische und magnetische Feld, werden als ein System von Vektoren an jedem Punkt eines physischen Raums vertreten; d. h. ein Vektorfeld.

Im Kartesianischen Raum

Im Kartesianischen Koordinatensystem kann ein Vektor vertreten werden, indem er die Koordinaten seines anfänglichen und letzten Punkts identifiziert wird. Zum Beispiel bestimmen die Punkte = (1,0,0) und B = (0,1,0) im Raum den freien Vektoren, der vom Punkt x=1 auf der X-Achse zum Punkt y=1 auf der Y-Achse hinweist.

Normalerweise in Kartesianischen Koordinaten denkt man in erster Linie gebundene Vektoren. Ein bestimmter Vektor wird durch die Koordinaten des Endpunkts, sein anfänglicher Punkt bestimmt, der immer die Koordinaten des Ursprungs O = (0,0,0) hat. So ist der bestimmte Vektor, der durch (1,0,0) vertreten ist, ein Vektor der Einheitslänge, die vom Ursprung die positive X-Achse hinweist.

Die Koordinatendarstellung von Vektoren erlaubt den algebraischen Eigenschaften von Vektoren, auf eine günstige numerische Mode ausgedrückt zu werden. Zum Beispiel ist die Summe der Vektoren (1,2,3) und (2,0,4) der Vektor

: (1, 2, 3) + (2, 0, 4) = (1  2, 2 + 0, 3 + 4) = (1, 2, 7).

Euklidische und affine Vektoren

In den geometrischen und physischen Einstellungen manchmal ist es möglich, auf eine natürliche Weise, eine Länge oder Umfang und eine Richtung zu Vektoren zu verkehren. Der Reihe nach wird der Begriff der Richtung mit dem Begriff eines Winkels zwischen zwei Vektoren ausschließlich vereinigt. Wenn die Länge von Vektoren definiert wird, ist es möglich, auch ein Punktprodukt — ein skalargeschätztes Produkt von zwei Vektoren zu definieren —, der eine günstige algebraische Charakterisierung von beider Länge (die Quadratwurzel des Punktproduktes eines Vektoren allein) und Winkel (eine Funktion des Punktproduktes zwischen irgendwelchen zwei Vektoren) gibt. In drei Dimensionen ist es möglich weiter, ein Kreuzprodukt zu definieren, das eine algebraische Charakterisierung des Gebiets und Orientierung im Raum des Parallelogramms liefert, das durch zwei Vektoren definiert ist (verwendet als Seiten des Parallelogramms).

Jedoch ist es nicht immer möglich oder wünschenswert, die Länge eines Vektoren auf eine natürliche Weise zu definieren. Dieser allgemeinere Typ des Raumvektoren ist das Thema von Vektorräumen (für bestimmte Vektoren) und affine Räume (für freie Vektoren). Ein wichtiges Beispiel ist Raum von Minkowski, der für unser Verstehen der speziellen Relativität wichtig ist, wo es eine Generalisation der Länge gibt, die Nichtnullvektoren erlaubt, Nulllänge zu haben. Andere physische Beispiele kommen aus der Thermodynamik, wo viele der Mengen von Interesse als Vektoren in einem Raum ohne Begriff der Länge oder des Winkels betrachtet werden können.

Generalisationen

In der Physik, sowie Mathematik wird ein Vektor häufig mit einem Tupel oder Liste von Zahlen identifiziert, die von einem Hilfskoordinatensystem oder Bezugsrahmen abhängen. Wenn die Koordinaten, zum Beispiel durch die Folge oder das Ausdehnen umgestaltet werden, dann verwandeln sich die Bestandteile des Vektoren auch. Der Vektor selbst hat sich nicht geändert, aber der Bezugsrahmen hat, so müssen sich die Bestandteile des Vektoren (oder Maße, die in Bezug auf den Bezugsrahmen genommen sind), ändern, um zu ersetzen. Der Vektor wird kovariant oder kontravariant je nachdem genannt, wie die Transformation der Bestandteile des Vektoren mit der Transformation von Koordinaten verbunden ist. Im Allgemeinen sind kontravariante Vektoren "regelmäßige Vektoren" mit Einheiten der Entfernung (wie eine Versetzung) oder Entfernungszeiten eine andere Einheit (wie Geschwindigkeit oder Beschleunigung); kovariante Vektoren haben andererseits Einheiten von ein über Entfernung wie Anstieg. Wenn Sie Einheiten (ein spezieller Fall einer Änderung von Koordinaten) von Metern bis milimeters, einen Einteilungsfaktor von 1/1000 ändern, wird eine Versetzung von 1 M kontravariante Änderung von 1000 Mm-a im numerischen Wert. Im Gegensatz wird ein Anstieg von 1 K/m 0.001 K/mm-a kovariante Wertänderung. Sieh Kovarianz und Kontravarianz von Vektoren. Tensor ist ein anderer Typ der Menge, die sich auf diese Weise benehmen; tatsächlich ist ein Vektor ein spezieller Typ des Tensor.

In der reinen Mathematik ist ein Vektor jedes Element eines Vektorraums über ein Feld und wird häufig als ein Koordinatenvektor vertreten. Die in diesem Artikel beschriebenen Vektoren sind ein ganz besonderer Fall dieser allgemeinen Definition, weil sie Kontravariante in Bezug auf den umgebenden Raum sind. Kontravarianz gewinnt die physische Intuition hinter der Idee, dass ein Vektor "Umfang und Richtung" hat.

Geschichte

Das Konzept des Vektoren, weil wir es heute, entwickelt allmählich über eine Zeitdauer von mehr als 200 Jahren wissen. Ungefähr ein Dutzend Menschen haben bedeutende Beiträge geleistet. Der unmittelbare Vorgänger von Vektoren war quaternions, der von William Rowan Hamilton 1843 als eine Generalisation von komplexen Zahlen ausgedacht ist. Seine Suche war für einen Formalismus, um die Analyse des dreidimensionalen Raums ebenso zu ermöglichen, dass komplexe Zahlen Analyse des zweidimensionalen Raums ermöglicht hatten. 1846 hat Hamilton seinen quaternions in die Summe von echten und imaginären Teilen geteilt, dass er beziehungsweise "Skalar" und "Vektoren" genannt hat:

Wohingegen komplexe Zahlen eine Zahl haben, deren Quadrat negatives ist, haben quaternions drei unabhängige solche Zahlen. Die Multiplikation dieser Zahlen durch einander ist z.B nicht auswechselbar. Die Multiplikation von zwei quaternions gibt ein Drittel quaternion nach, dessen Skalarteil die Verneinung des modernen Punktproduktes ist, und dessen Vektor-Teil das moderne Kreuzprodukt ist.

Peter Guthrie Tait hat den quaternion Standard nach Hamilton getragen. Sein 1867 hat die Elementare Abhandlung von Quaternions umfassende Behandlung des nabla oder del Maschinenbedieners eingeschlossen und ist sehr moderner Vektor-Analyse nah.

Josiah Willard Gibbs, der zu quaternions durch die Abhandlung von James Clerk Maxwell auf der Elektrizität und dem Magnetismus ausgestellt wurde, hat sich von ihrem Vektor-Teil für die unabhängige Behandlung getrennt. Die erste Hälfte der Elemente von Gibbs der Vektor-Analyse, veröffentlicht 1881, Geschenke, was im Wesentlichen das moderne System der Vektor-Analyse ist.

Darstellungen

Vektoren werden gewöhnlich in der Kleinfettschrift, als a oder kursiven Kleinfettschrift, als a angezeigt. (Großbuchstaben werden normalerweise verwendet, um matrices zu vertreten.) Andere Vereinbarung schließt ein oder besonders in der Handschrift. Wechselweise, etwas Gebrauch eine Tilde (~) oder eine wellige Unterstreichung, die unter dem Symbol gezogen ist, das eine Tagung ist, um fetten Typ anzuzeigen. Wenn der Vektor eine geleitete Entfernung oder Versetzung von einem Punkt zu einem Punkt B vertritt (sieh Zahl), es kann auch als angezeigt werden oder.

Vektoren werden gewöhnlich in Graphen oder anderen Diagrammen als Pfeile (geleitete Liniensegmente), wie illustriert, in der Zahl gezeigt. Hier wird der Punkt A den Ursprung, den Schwanz, die Basis oder den anfänglichen Punkt genannt; Punkt B wird den Leiter, Tipp, Endpunkt, Endpunkt oder Endpunkt genannt. Die Länge des Pfeils ist zum Umfang des Vektoren proportional, während die Richtung, in der die Pfeil-Punkte die Richtung des Vektoren anzeigt.

Auf einem zweidimensionalen Diagramm manchmal wird eine Vektor-Senkrechte zum Flugzeug des Diagramms gewünscht. Diese Vektoren werden als kleine Kreise allgemein gezeigt. Ein Kreis mit einem Punkt an seinem Zentrum (Unicode U+2299 ) zeigt einen Vektoren an, der aus der Vorderseite des Diagramms zum Zuschauer hinweist. Ein Kreis mit einem Kreuz, das darin (Unicode U+2297 ) eingeschrieben ist, zeigt einen Vektoren an, der in und hinter dem Diagramm hinweist. Von diesen kann als Betrachtung des Tipps einer Pfeilspitze auf und Betrachtung der Schaufeln eines Pfeils vom Rücken gedacht werden.

Um mit Vektoren zu rechnen, kann die grafische Darstellung zu beschwerlich sein. Vektoren in einem n-dimensional Euklidischen Raum können als Koordinatenvektoren in einem Kartesianischen Koordinatensystem vertreten werden. Der Endpunkt eines Vektoren kann mit einer geordneten Liste von n reellen Zahlen (N-Tupel) identifiziert werden. Diese Zahlen sind die Koordinaten des Endpunkts des Vektoren in Bezug auf ein gegebenes Kartesianisches Koordinatensystem, und werden normalerweise die Skalarbestandteile (oder Skalarvorsprünge) des Vektoren auf den Äxten des Koordinatensystems genannt.

Als ein Beispiel in zwei Dimensionen (sieh Zahl), wird der Vektor vom Ursprung O = (0,0) zum Punkt = (2,3) einfach als geschrieben

:

Der Begriff, dass der Schwanz des Vektoren mit dem Ursprung zusammenfällt, ist implizit und leicht verstanden. So wird die ausführlichere Notation gewöhnlich notwendig und sehr selten verwendet nicht gehalten.

Im dreidimensionalen Euklidischen Raum (oder) werden Vektoren damit identifiziert verdreifacht sich von Skalarbestandteilen:

:

:also schriftlicher

:

Diese Zahlen werden häufig in einen Spaltenvektor oder Zeilenvektoren, besonders wenn eingeordnet, sich matrices wie folgt befassend:

:

a_1 \\

a_2 \\

a_3 \\

\end {bmatrix }\

</Mathematik>:

Eine andere Weise, einen Vektoren in N-Dimensionen zu vertreten, soll die Standardbasisvektoren einführen. Zum Beispiel, in drei Dimensionen, gibt es drei von ihnen:

:

Diese haben die intuitive Interpretation als Vektoren der Einheitslänge, die den x, y, und die z Achse eines Kartesianischen Koordinatensystems beziehungsweise anspitzt, und sie werden manchmal versors von jenen Äxten genannt. In Bezug auf diese kann jeder Vektor darin in der Form ausgedrückt werden:

:

oder

:

wo a, a, zu sein, die Vektor-Bestandteile (oder Vektor-Vorsprünge) von auf den Basisvektoren oder, gleichwertig, auf den entsprechenden Kartesianischen Äxten x, y, und z genannt hat (sieh Zahl), während a, a, der jeweiligen Skalarbestandteile (oder Skalarvorsprünge) zu sein.

In einleitenden Physik-Lehrbüchern werden die Standardbasisvektoren häufig stattdessen angezeigt (oder, in dem das Hut-Symbol ^ normalerweise Einheitsvektoren anzeigt). In diesem Fall werden der Skalar und die Vektor-Bestandteile a, a, a und a, a, a angezeigt. So,

:

Die Notation e ist mit der Index-Notation und der Summierungstagung vereinbar, die allgemein in der höheren Niveau-Mathematik, Physik und Technik verwendet ist.

Zergliederung

Wie erklärt, über einem Vektoren wird häufig durch eine Reihe von Vektor-Bestandteilen beschrieben, die gegenseitig rechtwinklig sind und stimmen, um den gegebenen Vektoren zu bilden. Gewöhnlich sind diese Bestandteile die Vorsprünge des Vektoren auf einer Reihe von Bezugsäxten (oder der Basisvektoren). Wie man sagt, wird der Vektor zersetzt oder in Bezug auf diesen Satz aufgelöst.

Jedoch ist die Zergliederung eines Vektoren in Bestandteile nicht einzigartig, weil sie von der Wahl der Äxte abhängt, auf denen der Vektor geplant wird.

Außerdem wird der Gebrauch von Kartesianischem versors solcher als wie eine Basis, in der man einen Vektoren vertritt, nicht beauftragt. Vektoren können auch in Bezug auf den versors eines Zylindrischen Koordinatensystems oder Kugelförmigen Koordinatensystems ausgedrückt werden. Die letzten zwei Wahlen sind günstiger, um Probleme zu beheben, die zylindrische oder kugelförmige Symmetrie beziehungsweise besitzen.

Die Wahl eines Koordinatensystems betrifft die Eigenschaften eines Vektoren oder seines Verhaltens unter Transformationen nicht.

Ein Vektor kann auch in Bezug auf "nichtfeste" Äxte zersetzt werden, die ihre Orientierung als eine Funktion der Zeit oder des Raums ändern. Zum Beispiel kann ein Vektor im dreidimensionalen Raum in Bezug auf zwei Äxte zersetzt, beziehungsweise, und Tangente zu einer Oberfläche normal werden (sieh Zahl).

Außerdem beziehen sich die radialen und tangentialen Bestandteile eines Vektoren auf den Radius der Folge eines Gegenstands. Der erstere ist zum Radius parallel, und der Letztere ist dazu orthogonal.

In diesen Fällen kann jeder der Bestandteile der Reihe nach in Bezug auf ein festes Koordinatensystem oder Basissatz (z.B, ein globales Koordinatensystem oder Trägheitsbezugsrahmen) zersetzt werden.

Grundlegende Eigenschaften

Die folgende Abteilung verwendet das Kartesianische Koordinatensystem mit Basisvektoren

:

und nimmt an, dass alle Vektoren den Ursprung als ein allgemeiner Grundpunkt haben. Ein Vektor ein Wille, als geschrieben werden

:

Gleichheit

Wie man

sagt, sind zwei Vektoren gleich, wenn sie denselben Umfang und Richtung haben. Gleichwertig werden sie gleich sein, wenn ihre Koordinaten gleich sind. So zwei Vektoren

:

und

:sind

wenn gleich

:

Hinzufügung und Subtraktion

Nehmen Sie an, jetzt wo a und b nicht notwendigerweise gleiche Vektoren sind, aber dass sie verschiedene Umfänge und Richtungen haben können. Die Summe von a und b ist

:

(a_1+b_1) \mathbf {e_1 }\

+ (a_2+b_2) \mathbf {e_2 }\

+ (a_3+b_3) \mathbf {e_3}. </Mathematik>

Die Hinzufügung kann grafisch durch das Stellen des Anfangs des Pfeils b am Tipp des Pfeils a, und dann die Zeichnung eines Pfeils vom Anfang zum Tipp von b vertreten werden. Der neue gezogene Pfeil vertritt den Vektoren + b, wie illustriert, unten:

Diese Hinzufügungsmethode wird manchmal die Parallelogramm-Regel genannt, weil a und b die Seiten eines Parallelogramms bilden und + b eine der Diagonalen ist. Wenn a und b gebundene Vektoren sind, die denselben Grundpunkt haben, wird es auch der Grundpunkt + b sein. Man kann geometrisch dass + b = b + a und (+ b) + c = + (b + c) überprüfen.

Der Unterschied von a und b ist

:

(a_1-b_1) \mathbf {e_1 }\

+ (A_2-b_2) \mathbf {e_2 }\

+ (A_3-b_3) \mathbf {e_3}. </Mathematik>

Die Subtraktion von zwei Vektoren kann wie folgt geometrisch definiert werden: Um b von a abzuziehen, legen Sie die Endpunkte von a und b an demselben Punkt, und dann ziehen Sie einen Pfeil vom Tipp von b zum Tipp von a. Dieser Pfeil vertritt den Vektoren ein  b, wie illustriert, unten:

Skalarmultiplikation

Ein Vektor kann auch multipliziert, oder, durch eine reelle Zahl r wiedererklettert werden. Im Zusammenhang der herkömmlichen Vektor-Algebra werden diese reellen Zahlen häufig Skalare (von der Skala) genannt, um sie von Vektoren zu unterscheiden. Die Operation, einen Vektoren mit einem Skalar zu multiplizieren, wird Skalarmultiplikation genannt. Der resultierende Vektor ist

:

+ (ra_2) \mathbf {e_2 }\

+ (ra_3) \mathbf {e_3}. </Mathematik>

Intuitiv durch einen Skalar multiplizierend, streckt r einen Vektoren durch einen Faktor von r aus. Geometrisch kann das vergegenwärtigt werden (mindestens im Fall, wenn r eine ganze Zahl ist) als legend r Kopien des Vektoren in einer Linie, wo der Endpunkt eines Vektoren der anfängliche Punkt des folgenden Vektoren ist.

Wenn r, dann die Vektor-Änderungsrichtung negativ ist: Es schnipst ringsherum durch einen Winkel von 180 °. Zwei Beispiele (r = 1 und r = 2) werden unten angeführt:

Skalarmultiplikation ist über die Vektor-Hinzufügung im folgenden Sinn verteilend: r (+ b) = ra + rb für alle Vektoren a und b und alle Skalare r. Man kann auch dass ein  b = + (1) b zeigen.

Länge

Die Länge oder der Umfang oder die Norm des Vektoren angezeigt durch || a oder, weniger allgemein, |a zu sein, der mit dem absoluten Wert (eine Skalar"Norm") nicht verwirrt sein soll.

Die Länge des Vektoren eine Dose, mit der Euklidischen Norm geschätzt werden

: