In der Mathematik sind die quaternions ein Zahl-System, das die komplexen Zahlen erweitert. Sie wurden zuerst vom irischen Mathematiker Herr William Rowan Hamilton 1843 beschrieben und haben sich für die Mechanik im dreidimensionalen Raum gewandt. Eine Eigenschaft von quaternions ist, dass das Produkt von zwei quaternions nichtauswechselbar ist. Hamilton hat einen quaternion als der Quotient von zwei geleiteten Linien in einem dreidimensionalen Raum oder gleichwertig als der Quotient von zwei Vektoren definiert.

Quaternions kann auch als die Summe eines Skalars und eines Vektoren vertreten werden.

Quaternions finden Gebrauch sowohl in der theoretischen als auch in angewandten Mathematik insbesondere für Berechnungen, die mit dreidimensionalen Folgen solcher als in der dreidimensionalen Computergrafik und Computervision verbunden sind. Sie können neben anderen Methoden, wie Winkel von Euler und Folge matrices, oder als eine Alternative zu ihnen abhängig von der Anwendung verwendet werden.

Auf der modernen mathematischen Sprache bilden quaternions eine vierdimensionale assoziative normed Abteilungsalgebra über die reellen Zahlen, und bilden so auch ein Gebiet. Tatsächlich waren die quaternions die erste zu entdeckende Nichtersatzabteilungsalgebra. Die Algebra von quaternions wird häufig durch H (für Hamilton), oder in der Wandtafel angezeigt, die durch (Unicode U+210D,) kühn ist. Es kann auch durch die Algebra-Klassifikationen von Clifford gegeben werden. Die Algebra H hält einen speziellen Platz in der Analyse seitdem gemäß dem Lehrsatz von Frobenius, es ist einer von nur zwei endlich-dimensionalen Abteilungsringen, die die reellen Zahlen als ein richtiger Subring, der andere enthalten, die komplexen Zahlen seiend.

Von der Einheit quaternions kann deshalb als eine Wahl einer Gruppenstruktur auf dem 3-Bereiche-gedacht werden, der die Gruppendrehung (3) gibt, der zu SU (2) und auch zum universalen Deckel SO (3) isomorph ist.

Geschichte

Algebra von Quaternion wurde vom irischen Mathematiker Herr William Rowan Hamilton 1843 eingeführt. Wichtige Vorgänger zu dieser Arbeit haben die quadratische Identität von Euler (1748) und den parameterization von Olinde Rodrigues von allgemeinen Folgen durch vier Rahmen (1840) eingeschlossen, aber keiner dieser Schriftsteller hat die Vier-Parameter-Folgen als eine Algebra behandelt. Carl Friedrich Gauss hatte auch quaternions 1819 entdeckt, aber diese Arbeit wurde nur 1900 veröffentlicht.

Hamilton hat gewusst, dass die komplexen Zahlen als Punkte in einem Flugzeug interpretiert werden konnten, und er nach einer Weise suchte, für Punkte im dreidimensionalen Raum dasselbe zu machen. Punkte im Raum können durch ihre Koordinaten vertreten werden, die sind, verdreifacht sich Zahlen, und viele Jahre lang hatte Hamilton gewusst, wie man beiträgt und Abstriche macht, verdreifacht sich Zahlen. Jedoch war Hamilton auf dem Problem der Multiplikation und Abteilung seit langem durchstochen worden. Er konnte sich nicht belaufen, wie man den Quotienten der Koordinaten von zwei Punkten im Raum berechnet.

Der große Durchbruch in quaternions ist schließlich am Montag, dem 16. Oktober 1843 in Dublin gekommen, als Hamilton auf seinem Weg zur Königlichen irischen Akademie war, wohin er dabei war, bei einer Ratssitzung den Vorsitz zu haben. Während sie entlang dem Leinpfad des Königlichen Kanals mit seiner Frau spazieren gegangen sind, nahmen die Konzepte hinter quaternions Gestalt in seiner Meinung. Als die Antwort auf ihm gedämmert hat, konnte Hamilton nicht dem Drang widerstehen, die Formel für den quaternions zu schnitzen

:

in den Stein der Brougham Bridge weil hat er dabei Pause gemacht.

Am folgenden Tag hat Hamilton einen Brief seinem Freund- und Mitmathematiker, John T. Graves geschrieben, den Gedankenfaden beschreibend, der zu seiner Entdeckung geführt hat. Dieser Brief wurde später in London, Edinburgh und Dublin Philosophische Zeitschrift und Zeitschrift der Wissenschaft, vol. xxv (1844), Seiten 489-95 veröffentlicht. Auf dem Brief setzt Hamilton, fest

Und hier dort hat auf mir der Begriff gedämmert, dass wir in einem Sinn zugeben müssen, verdreifacht sich eine vierte Dimension des Raums zum Zweck, damit zu rechnen... Ein elektrischer Stromkreis ist geschienen, und ein Funken aufblitzen lassen hervor zu schließen.

Hamilton hat ein Vierfaches mit diesen Regeln der Multiplikation einen quaternion genannt, und er hat den grössten Teil des Rests seines Lebens zum Studieren und Unterrichten von ihnen gewidmet. Er hat eine Schule von "quaternionists" gegründet, und er hat versucht, quaternions in mehreren Büchern zu verbreiten. Das letzte und längstes von seinen Büchern, Elemente von Quaternions, waren 800 Seiten lang und wurden kurz nach seinem Tod veröffentlicht.

Nach dem Tod von Hamilton hat sein Student Peter Tait fortgesetzt, quaternions zu fördern. In dieser Zeit waren quaternions ein obligatorisches Überprüfungsthema in Dublin. Themen in der Physik und Geometrie, die jetzt mit Vektoren, wie kinematics im Raum und den Gleichungen von Maxwell beschrieben würde, wurden völlig in Bezug auf quaternions beschrieben. Es gab sogar eine Berufsforschungsvereinigung, die Quaternion Gesellschaft, die der Studie von quaternions und anderen Systemen der hyperkomplexen Zahl gewidmet ist.

Von der Mitte der 1880er Jahre hat quaternions begonnen, durch die Vektor-Analyse versetzt zu werden, die von Josiah Willard Gibbs, Oliver Heaviside und Hermann von Helmholtz entwickelt worden war. Vektor-Analyse hat dieselben Phänomene als quaternions beschrieben, so hat sie einige Ideen und Fachsprache liberal von der Literatur von quaternions geliehen. Jedoch war Vektor-Analyse begrifflich einfacheres und notationally Reinigungsmittel, und schließlich wurden quaternions zu einer geringen Rolle in der Mathematik und Physik verbannt. Eine Nebenwirkung dieses Übergangs besteht darin, dass die Arbeit von Hamilton schwierig ist, für viele moderne Leser umzufassen. Die ursprünglichen Definitionen von Hamilton sind fremd, und sein Schreiben-Stil war weitschweifig und undurchsichtig.

Jedoch haben quaternions ein Wiederaufleben seit dem Ende des 20. Jahrhunderts, in erster Linie wegen ihres Dienstprogrammes im Beschreiben von Raumfolgen gehabt. Die Darstellungen von Folgen durch quaternions sind kompakter und schneller, um zu rechnen, als die Darstellungen durch matrices. Außerdem, verschieden von Euler angelt sie sind gegen das Tragrahmen-Schloss nicht empfindlich. Deshalb werden quaternions in Computergrafik, Computervision, Robotertechnik, Steuerungstheorie, Signalverarbeitung, Einstellungskontrolle, Physik, bioinformatics, molekularer Dynamik, Computersimulationen und Augenhöhlenmechanik verwendet. Zum Beispiel ist es für die Einstellungsregelsysteme des Raumfahrzeugs üblich, in Bezug auf quaternions befohlen zu werden. Quaternions haben eine andere Zunahme von der Zahlentheorie wegen ihrer Beziehungen mit den quadratischen Formen erhalten.

Seit 1989, die Abteilung der Mathematik der Nationalen Universität Irlands, hat Maynooth eine Pilgerfahrt organisiert, wo Wissenschaftler (einschließlich der Physiker Murray Gell-Mann 2002, Steven Weinbergs 2005 und des Mathematikers Andrew Wiles 2003) von der Dunsink Sternwarte bis die Royal Canal Bridge spazieren gehen, wo keine Spur des Schnitzens von Hamilton bleibt.

Definition

Als ein Satz sind die quaternions H R, einem vierdimensionalen Vektorraum über die reellen Zahlen gleich. H hat drei Operationen: Hinzufügung, Skalarmultiplikation und quaternion Multiplikation. Die Summe von zwei Elementen von H wird definiert, um ihre Summe als Elemente von R zu sein. Ähnlich wird das Produkt eines Elements von H durch eine reelle Zahl definiert, um dasselbe als das Produkt in R zu sein. Das Produkt von zwei Elementen in H zu definieren, verlangt eine Wahl der Basis für R. Die Elemente dieser Basis werden gewöhnlich als 1, ich, j, und k angezeigt. Jedes Element von H kann als eine geradlinige Kombination dieser Basiselemente, d. h. als a1 + bi + cj + dk einzigartig geschrieben werden, wo a, b, c, und d reelle Zahlen sind. Das Basiselement 1 wird das Identitätselement von H sein, bedeutend, dass Multiplikation durch 1 nichts, und aus diesem Grund tut, werden Elemente von H gewöhnlich + bi + cj + dk geschrieben, das Basiselement 1 unterdrückend. In Anbetracht dieser Basis wird assoziative quaternion Multiplikation durch das erste Definieren der Produkte von Basiselementen und dann dem Definieren aller anderen Produkte mit dem verteilenden Gesetz definiert.

Multiplikation von Basiselementen

Die Gleichungen

:

wo ich, j, und k Basiselemente von H sind, alle möglichen Produkte von mir, j, und k bestimmen. Zum Beispiel, seitdem

:

Recht-Multiplizieren beide Seiten durch k gibt

:

\begin {richten }\aus

- k & = ich j k k = ich j (k^2) = ich j (-1), \\

k & = ich j.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Alle anderen möglichen Produkte können durch ähnliche Methoden bestimmt werden, hinauslaufend

:

ij & = k, & \qquad ji & =-k, \\

jk & = ich, & kj & =-i, \\

ki & = j, & ik & =-j,

\end {alignat} </Mathematik>

der als ein Tisch ausgedrückt werden kann, dessen Reihen den linken Faktor des Produktes vertreten, und dessen Säulen den richtigen Faktor, wie gezeigt, an der Oberseite von diesem Artikel vertreten.

Produkt von Hamilton

Für zwei Elemente + bi + cj + dk und + bi + cj + dk wird ihr Produkt von Hamilton (+ bi + cj + dk) (+ bi + cj + dk) durch die Produkte der Basiselemente und des verteilenden Gesetzes bestimmt. Das verteilende Gesetz macht es möglich, das Produkt auszubreiten, so dass es eine Summe von Produkten von Basiselementen ist. Das gibt den folgenden Ausdruck:

::::

Jetzt können die Basiselemente mit den Regeln multipliziert werden, die oben gegeben sind, um zu kommen:

::::

Form der geordneten Liste

Mit der Basis 1 mache ich, j, k H es möglich, H als eine Reihe von Vierfachen zu schreiben:

:

Dann sind die Basiselemente:

:\begin {richten }\aus

1 & = (1, 0, 0, 0), \\

ich & = (0, 1, 0, 0), \\

j & = (0, 0, 1, 0), \\

k & = (0, 0, 0, 1),

\end {richten }\aus</Mathematik>

und die Formeln für die Hinzufügung und Multiplikation sind:

:\begin {richten }\aus

(a_1, \b_1, \c_1, \d_1) + (a_2, \b_2, \c_2, \d_2) \\

(a_1 + a_2, \b_1 + b_2, \c_1 + c_2, \d_1 + d_2).

\end {richten }\aus</Mathematik>

und

:\begin {richten }\aus

& (a_1, \b_1, \c_1, \d_1) (a_2, \b_2, \c_2, \d_2) \\[8pt]

& = (a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2, \\

& {} \qquad a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2, \\

& {} \qquad a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2, \\

& {} \qquad a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Skalar und Vektor-Teile

Mehrere formen sich + 0i + 0j + 0k, wo einer reellen Zahl zu sein, echt, und mehrere Form 0 + bi + cj + dk genannt wird, wo b, c, und d reelle Zahlen sind, und mindestens ein von b, c oder d Nichtnull sind, wird rein imaginär genannt. Wenn + bi + cj + dk ein quaternion ist, dann zu sein, hat seinen Skalarteil genannt, und bi + cj + wird dk seinen Vektor-Teil genannt. Der Skalarteil eines quaternion ist immer echt, und der Vektor-Teil ist immer imaginär rein. Wenn auch jeder quaternion ein Vektor in einem vierdimensionalen Vektorraum ist, ist es üblich, einen Vektoren zu definieren, um einen reinen imaginären quaternion zu bedeuten. Mit dieser Tagung ist ein Vektor dasselbe als ein Element des Vektorraums R.

Hamilton hat reines imaginäres quaternions Recht quaternions und reelle Zahlen (betrachtet als quaternions mit dem Nullvektor-Teil) Skalar quaternions genannt.

Wenn ein quaternion in einen Skalarteil und einen Vektor-Teil zerteilt wird, d. h.

:

dann sind die Formeln für die Hinzufügung und Multiplikation:

:

(r_1, \\vec {v} _1) + (r_2, \\vec {v} _2) \\

(r_1 + r_2, \\vec {v} _1 +\vec {v} _2)

\end {richten }\aus</Mathematik>und:

(r_1, \\vec {v} _1) (r_2, \\vec {v} _2) \\[8pt]

\begin {richten }\aus

& = (r_1 r_2 - \vec {v} _1\cdot\vec {v} _2, \\

& {} \qquad r_1\vec {v} _2+r_2\vec {v} _1 + \vec {v} _1\times\vec {v} _2)

\end {richten }\aus

\end {ordnen }\

</Mathematik>

wo "" das Punktprodukt ist und "" das Kreuzprodukt ist.

Bemerkungen

Noncommutativity der Multiplikation

Verschieden von der Multiplikation von reellen Zahlen oder komplexen Zahlen ist die Multiplikation von quaternions nicht auswechselbar: Zum Beispiel, während. Der noncommutativity der Multiplikation hat einige unerwartete Folgen, unter ihnen, dass polynomische Gleichungen über den quaternions verschiedenere Lösungen haben können als der Grad des Polynoms. Die Gleichung hat zum Beispiel ungeheuer viele quaternion Lösungen damit, so dass diese Lösungen auf der zweidimensionalen Oberfläche eines Bereichs liegen, der auf die Null im dreidimensionalen Subraum von quaternions mit dem echten Nullteil in den Mittelpunkt gestellt ist. Dieser Bereich schneidet das komplizierte Flugzeug an zwei Punkten und  durch.

Die Tatsache, dass quaternion Multiplikation nicht auswechselbar ist, macht den quaternions ein häufig zitiertes Beispiel dessen verdreht ausschließlich Feld.

Historischer Einfluss auf Physik

Der Aufsatz von P.R. Girard Die quaternion Gruppe und moderne Physik bespricht einige Rollen von quaternions in der Physik. Es "zeigt sich wie verschiedene physische Kovarianz-Gruppen: SO (3), die Gruppe von Lorentz, die allgemeine Relativitätsgruppe, die Algebra von Clifford kann SU (2), und die conformal Gruppe sogleich mit der quaternion Gruppe" in der modernen Algebra verbunden sein. Girard hat begonnen, indem er Gruppendarstellungen besprochen hat, und indem er einige Raumgruppen der Kristallographie vertreten hat. Er ist zu kinematics der starren Körperbewegung weitergegangen. Als nächstes hat er Komplex quaternions (biquaternions) verwendet, um die Gruppe von Lorentz der speziellen Relativität einschließlich der Vorzession von Thomas zu vertreten. Er hat fünf Autoren zitiert, mit Ludwik Silberstein beginnend, die eine potenzielle Funktion einer quaternion Variable verwenden, die Gleichungen von Maxwell in einer einzelnen Differenzialgleichung auszudrücken. Bezüglich der allgemeinen Relativität hat er den Runge-Lenz Vektoren ausgedrückt. Er hat den Clifford biquaternions (Spalt-biquaternions) als ein Beispiel der Algebra von Clifford erwähnt. Schließlich, das Gegenstück eines biquaternion anrufend, hat Girard Conformal-Karten auf der Raum-Zeit beschrieben. Unter den fünfzig Verweisungen hat Girard Alexander Macfarlane und seine Meldung der Quaternion Gesellschaft eingeschlossen. 1999 hat er gezeigt, wie die Gleichungen von Einstein der allgemeinen Relativität innerhalb einer Algebra von Clifford formuliert werden konnten, die mit quaternions direkt verbunden wird.

Eine persönlichere Ansicht von quaternions wurde von Joachim Lambek 1995 geschrieben. Er hat in seinem Aufsatz geschrieben, Wenn Hamilton vorgeherrscht hatte: quaternions in der Physik: "Mein eigenes Interesse als ein Student im Aufbaustudium wurde durch das anregende Buch von Silberstein erhoben". Er hat aufgehört, indem er festgestellt hat, dass "Ich fest glaube, dass quaternions eine Abkürzung für reine Mathematiker liefern kann, die sich mit bestimmten Aspekten der theoretischen Physik vertraut machen möchten."

2007 haben Alexander P. Yefremov und Mitarbeiter gezeigt, dass quaternion Raumgeometrie mit dem Yang-Mühle-Feld nah verbunden wird und auf Verbindungen zur Duffin-Kemmer-Petiau Gleichung und der Gleichung von Klein-Gordon hingewiesen hat.

Summen von vier Quadraten

Quaternions werden auch in einem der Beweise des quadratischen Lehrsatzes von Lagrange in der Zahlentheorie verwendet, die feststellt, dass jede natürliche Zahl die Summe von vier Quadraten der ganzen Zahl ist. Sowie ein eleganter Lehrsatz in seinem eigenen Recht seiend, hat der vier Quadratlehrsatz von Lagrange nützliche Anwendungen in Gebieten der Mathematik außerhalb der Zahlentheorie wie kombinatorische Designtheorie. Der mit Sitz in quaternion Beweis verwendet Hurwitz quaternions, einen Subring des Rings des ganzen quaternions, für den es ein Analogon des Euklidischen Algorithmus gibt.

Konjugation, die Norm, und gegenseitig

Die Konjugation von quaternions ist der Konjugation von komplexen Zahlen und der Umstellung (auch bekannt als Umkehrung) von Elementen von Algebra von Clifford analog. Um es zu definieren, lassen Sie q = ein +bi +cj + dk ein quaternion sein. Der verbundene von q ist der quaternion &minus; bi &minus; cj &minus; dk. Es wird durch q, q angezeigt, oder. Konjugation ist eine Involution, bedeutend, dass es sein eigenes Gegenteil ist, so gibt das Konjugieren eines Elements zweimal das ursprüngliche Element zurück. Das verbundene von einem Produkt von zwei quaternions ist das Produkt des Konjugierens in der Rückordnung. D. h. wenn p und q quaternions, dann (pq) = qp, nicht pq sind.

Verschieden von der Situation im komplizierten Flugzeug,

die Konjugation eines quaternion kann völlig mit der Multiplikation und Hinzufügung ausgedrückt werden:

:

Konjugation kann verwendet werden, um den Skalar und die Vektor-Teile eines quaternion herauszuziehen. Der Skalarteil von p ist (p + p *)/2, und der Vektor-Teil von p ist (p &minus; p *)/2.

Die Quadratwurzel des Produktes eines quaternion mit seinem verbundenen wird seine Norm genannt und wird || q angezeigt. (Hamilton hat diese Menge den Tensor von q genannt, aber das kollidiert den modernen Gebrauch. Sieh Tensor.) Es hat die Formel

:

Das ist immer eine nichtnegative reelle Zahl, und es ist dasselbe als die Euklidische Norm auf H betrachtet als der Vektorraum R. Das Multiplizieren eines quaternion durch eine reelle Zahl erklettert seine Norm durch den absoluten Wert der Zahl. D. h. wenn α, dann echt

ist:

Das ist ein spezieller Fall der Tatsache, dass die Norm multiplicative ist, das bedeutend

:

für irgendwelche zwei quaternions p und q. Multiplicativity ist eine Folge der Formel für das verbundene von einem Produkt.

Wechselweise folgt multiplicativity direkt vom entsprechenden Eigentum von Determinanten

des Quadrats matrices und der Formel

:

\Bigl (\begin {Reihe} {Cc} ordnen a+ib & id+c \\id-c & a-ib \end {}\\Bigr), </Mathematik>

wo ich die übliche imaginäre Einheit anzeige.

Diese Norm macht es möglich, die Entfernung d (p, q) zwischen p und q als die Norm ihres Unterschieds zu definieren:

:

Das macht H in einen metrischen Raum. Hinzufügung und Multiplikation sind in der metrischen Topologie dauernd.

Eine Einheit quaternion ist ein quaternion der Norm ein. Das Teilen einer Nichtnull quaternion q durch seine Norm erzeugt eine Einheit quaternion Uq hat den versor von q genannt:

:

Jeder quaternion hat eine polare Zergliederung q = || q Uq.

Das Verwenden der Konjugation und der Norm macht es möglich, das Gegenstück eines quaternion zu definieren. Das Produkt eines quaternion mit seinem Gegenstück sollte 1 gleich sein, und die Rücksichten deuten oben an, dass das Produkt und (in jeder Ordnung) 1 ist. So wird das Gegenstück von q definiert, um zu sein

:

Das macht es möglich, zwei quaternions p und q auf zwei verschiedene Weisen zu teilen. D. h. ihr Quotient kann entweder pq oder qp sein. Die Notation ist zweideutig, weil sie nicht angibt, ob sich q links oder das Recht teilt.

Algebraische Eigenschaften

Der Satz H des ganzen quaternions ist ein Vektorraum über die reellen Zahlen mit der Dimension 4. (Im Vergleich haben die reellen Zahlen Dimension 1, die komplexen Zahlen haben Dimension 2, und die octonions haben Dimension 8.) Haben die quaternions eine Multiplikation, die assoziativ ist und das über die Vektor-Hinzufügung verteilt, aber der nicht auswechselbar ist. Deshalb sind die quaternions H eine assoziative Nichtersatzalgebra über die reellen Zahlen. Wenn auch H Kopien der komplexen Zahlen enthält, ist es nicht eine assoziative Algebra über die komplexen Zahlen.

Weil es möglich ist, quaternions zu teilen, bilden sie eine Abteilungsalgebra. Das ist eine Struktur, die einem Feld abgesehen vom commutativity der Multiplikation ähnlich ist. Endlich-dimensionale assoziative Abteilungsalgebra über die reellen Zahlen sind sehr selten. Der Frobenius Lehrsatz stellt fest, dass es genau drei gibt: R, C, und H.

Die Norm macht den quaternions in eine normed Algebra, und normed Abteilungsalgebra über den reals sind auch sehr selten: Der Lehrsatz von Hurwitz sagt, dass es nur vier gibt: R, C, H, und O (der octonions). Die quaternions sind auch ein Beispiel einer Zusammensetzungsalgebra und einer unital Algebra von Banach.

Weil das Produkt irgendwelcher zwei Basisvektoren plus oder minus ein anderer Basisvektor ist, bildet der Satz {±1, ±i, ±j, ±k} eine Gruppe unter der Multiplikation. Diese Gruppe wird die quaternion Gruppe genannt und wird Q angezeigt. Der echte Gruppenring von Q ist ein Ring RQ, der auch ein achtdimensionaler Vektorraum über R ist. Es hat einen Basisvektoren für jedes Element von Q. Die quaternions sind der Quotient-Ring von RQ durch das Ideal, das durch die Elemente 1 + (&minus;1), ich + (&minus;i), j + (&minus;j), und k + (&minus;k) erzeugt ist. Hier ist der erste Begriff in jedem der Unterschiede eines der Basiselemente 1, ich, j, und k, und der zweite Begriff ist eines von Basiselementen &minus;1, &minus;i, &minus;j, und &minus;k, nicht die zusätzlichen Gegenteile 1, ich, j, und k.

Quaternions und die Geometrie von R

Weil der Vektor-Teil eines quaternion ein Vektor in R ist, wird die Geometrie von R in der algebraischen Struktur des quaternions widerspiegelt. Viele Operationen auf Vektoren können in Bezug auf quaternions definiert werden, und das macht es möglich, quaternion Techniken anzuwenden, wo auch immer Raumvektoren entstehen. Zum Beispiel ist das in der Elektrodynamik und 3D-Computergrafik wahr.

Für den Rest dieser Abteilung werden ich, j, und k sowohl imaginäre Basisvektoren von H als auch eine Basis für R anzeigen. Bemerken Sie, dass, i durch &minus;i j durch &minus;j ersetzend, und k durch &minus;k einen Vektoren an sein zusätzliches Gegenteil sendet, so ist das zusätzliche Gegenteil eines Vektoren dasselbe als sein verbundenes als ein quaternion. Deshalb wird Konjugation manchmal das Raumgegenteil genannt.

Wählen Sie zwei imaginäre quaternions p = bi + cj + dk und q = bi + cj + dk. Ihr Punktprodukt ist

:

Das ist den Skalarteilen von pq, qp, pq, und qp gleich. (Bemerken Sie, dass die Vektor-Teile dieser vier Produkte verschieden sind.) Es hat auch die Formeln

:

Das Kreuzprodukt von p und q hinsichtlich der Orientierung, die durch die bestellte Basis i, j, und k bestimmt ist, ist

:

(Rufen Sie zurück, dass die Orientierung notwendig ist, um das Zeichen zu bestimmen.) Das ist dem Vektor-Teil des Produktes pq (als quaternions), sowie dem Vektor-Teil &minus;qp gleich. Es hat auch die Formel

:

Lassen Sie im Allgemeinen p und q quaternions (vielleicht nichtimaginär) sein, und zu schreiben

::

wo p und q die Skalarteile von p und q sind und und die Vektor-Teile von p und q sind. Dann haben wir die Formel

:

Das zeigt, dass der noncommutativity der quaternion Multiplikation aus der Multiplikation von reinem imaginärem quaternions kommt. Es zeigt auch, dass zwei quaternions pendeln, wenn, und nur wenn ihre Vektor-Teile collinear sind.

Für die weitere Weiterentwicklung beim Modellieren von dreidimensionalen Vektoren mit quaternions, sieh quaternions und Raumfolge.

Matrixdarstellungen

Da komplexe Zahlen als matrices vertreten werden können, quaternions auch.

Es gibt mindestens zwei Weisen, quaternions als matrices auf solche Art und Weise zu vertreten, dass quaternion Hinzufügung und Multiplikation Matrixhinzufügung und Matrixmultiplikation entsprechen. Man soll 2&times;2 verwenden Komplex matrices und der andere sollen 4&times;4 echter matrices verwenden. In jedem Fall ist die gegebene Darstellung eine einer Familie linear zusammenhängender Darstellungen. In der Fachsprache der abstrakten Algebra ist das injective Homomorphismus von H bis die MatrixringM (C) und M(R) beziehungsweise.

Mit 2&times;2 Komplex matrices kann der quaternion + bi + cj + dk als vertreten werden

:

Diese Darstellung hat die folgenden Eigenschaften:

• Komplexe Zahlen (c = d = 0) entsprechen Diagonalmatrizen.
• Die Norm eines quaternion (die Quadratwurzel eines Produktes mit seinem verbundenen, als mit komplexen Zahlen) ist die Quadratwurzel der Determinante der entsprechenden Matrix.
• Der verbundene von einem quaternion entspricht dem verbundenen stellen von der Matrix um.
• Eingeschränkt auf die Einheit quaternions stellt diese Darstellung einen Isomorphismus zwischen S und SU (2) zur Verfügung. Die letzte Gruppe ist wichtig, um Drehung in der Quant-Mechanik zu beschreiben; sieh Pauli matrices.

Das Verwenden 4&times;4 echter matrices, dass derselbe quaternion wie geschrieben werden kann

:

a & b & c & d \\

- b & a &-d & c \\

- c & d & a &-b \\

- d &-c & b & ein

\end {bmatrix} </Mathematik>

:

\begin {bmatrix }\

1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end {bmatrix }\

+ b

\begin {bmatrix }\

0 & 1 & 0 & 0 \\

- 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 &-1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end {bmatrix }\

+ c

\begin {bmatrix }\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

- 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 &-1 & 0 & 0

\end {bmatrix }\

+ d

\begin {bmatrix }\

0 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 &-1 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

- 1 & 0 & 0 & 0

\end {bmatrix}.

</Mathematik>

In dieser Darstellung entspricht der verbundene von einem quaternion dem Umstellen der Matrix. Die vierte Macht der Norm eines quaternion ist die Determinante der entsprechenden Matrix. Komplexe Zahlen sind Block-Diagonalmatrizen mit zwei 2×2 Blöcke.

Quaternions als Paare von komplexen Zahlen

Quaternions kann als Paare von komplexen Zahlen vertreten werden. Von dieser Perspektive sind quaternions das Ergebnis, den Aufbau von Cayley-Dickson auf die komplexen Zahlen anzuwenden. Das ist eine Generalisation des Aufbaus der komplexen Zahlen als Paare von reellen Zahlen.

Lassen Sie C ein zweidimensionaler Vektorraum über die komplexen Zahlen sein. Wählen Sie eine Basis, die aus zwei Elementen 1 und j besteht. Ein Vektor in C kann in Bezug auf die Basiselemente 1 und j als geschrieben werden

:

Wenn wir j = &minus;1 und ij = &minus;ji definieren, dann können wir zwei Vektoren mit dem verteilenden Gesetz multiplizieren. Wenn er k im Platz des Produktes schreibt, führt ij zu denselben Regeln für die Multiplikation wie der übliche quaternions. Deshalb entspricht der obengenannte Vektor von komplexen Zahlen dem quaternion + bi + cj + dk. Wenn wir die Elemente von C als befohlene Paare und quaternions als Vierfache schreiben, dann ist die Ähnlichkeit

:

Quadratwurzeln &minus;1

In den komplexen Zahlen gibt es gerade zwei Zahlen, mich und &minus;i, wessen Quadrat &minus;1 ist. In H gibt es ungeheuer viele Quadratwurzeln minus eine: Die quaternion Lösung für die Quadratwurzel &minus;1 ist die Oberfläche des Einheitsbereichs im 3-Räume-. Um das zu sehen, lassen Sie q = + bi + cj + dk ein quaternion sein und anzunehmen, dass sein Quadrat &minus;1 ist. In Bezug auf a, b, c, und d, bedeutet das

::::

Um die letzten drei Gleichungen, entweder = 0 oder b zu befriedigen, sind c, und d der ganze 0. Der Letztere ist unmöglich, weil einer reellen Zahl und der ersten Gleichung zu sein, dass = &minus;1 andeuten würde. Deshalb = 0 und b + c + d = 1. Mit anderen Worten, quaternion Quadrate zu &minus;1 wenn, und nur wenn es ein Vektor (d. h. rein imaginär) mit der Norm 1 ist. Definitionsgemäß bildet der Satz aller dieser Vektoren den Einheitsbereich.

Nur negative echte quaternions haben eine unendliche Zahl von Quadratwurzeln. Alles haben andere gerade zwei (oder ein im Fall von 0).

Die Identifizierung der Quadratwurzeln minus eine in H wurde von Hamilton gegeben, aber wurde oft in anderen Texten weggelassen. Vor 1971 wurde der Bereich von Sam Perlis in seiner Drei-Seite-Ausstellung eingeschlossen, die in Historische Themen in der Algebra (Seite 39) eingeschlossen ist, die vom Nationalen Rat von Lehrern der Mathematik veröffentlicht ist. Mehr kürzlich der Bereich von Quadratwurzeln minus wird einer im Buch von Ian R. Porteous Clifford Algebras und Classical Groups (Cambridge, 1995) im Vorschlag 8.13 auf der Seite 60 beschrieben. Auch in Conway (2003) Auf Quaternions und Octonions lesen wir auf der Seite 40: "Jede imaginäre Einheit kann mich und Senkrechte ein j und ihr Produkt k", eine andere Behauptung des Bereichs genannt werden.

H als eine Vereinigung von komplizierten Flugzeugen

Jedes Paar von Quadratwurzeln 1 schafft eine verschiedene Kopie der komplexen Zahlen innerhalb des quaternions. Wenn, dann wird die Kopie durch die Funktion bestimmt

:

Auf der Sprache der abstrakten Algebra ist jeder ein Injective-Ringhomomorphismus von C bis H. Die Images des embeddings entsprechend und sind identisch.

Jeder nichtechte quaternion liegt in einem Subraum von zu C isomorphem H. Schreiben Sie als die Summe seines Skalarteils und seines Vektor-Teils:

:

Zersetzen Sie den Vektor-Teil weiter als das Produkt seiner Norm und seines versor:

:

(Bemerken Sie, dass das nicht dasselbe als ist.) Ist der versor des Vektor-Teils dessen eine reine imaginäre Einheit quaternion, so ist sein Quadrat &minus;1. Deshalb bestimmt es eine Kopie der komplexen Zahlen nach der Funktion

:

Unter dieser Funktion, ist das Image der komplexen Zahl.

So ist H die Vereinigung von komplizierten Flugzeugen, die sich in einer allgemeinen echten Linie schneiden, wo die Vereinigung der Bereich von Quadratwurzeln minus eine übernommen wird, denkend, dass dasselbe Flugzeug mit den antipodischen Punkten des Bereichs vereinigt wird.

Ersatzsubringe

Die Beziehung von quaternions zu einander innerhalb der komplizierten Subflugzeuge von H kann auch identifiziert und in Bezug auf Ersatzsubringe ausgedrückt werden. Spezifisch, seit zwei quaternions und pendeln () nur, wenn sie in demselben komplizierten Subflugzeug von H, dem Profil von H liegen, wie eine Vereinigung von komplizierten Flugzeugen entsteht, wenn man sich bemüht, alle Ersatzsubringe des Quaternion-Rings zu finden. Diese Methode von Ersatzsubringen wird auch verwendet, um den coquaternions und die 2 × 2 echte matrices im Profil darzustellen.

Funktionen einer quaternion Variable

Wie Funktionen einer komplizierten Variable deuten Funktionen einer quaternion Variable nützliche physische Modelle an. Zum Beispiel waren die ursprünglichen elektrischen und magnetischen von Maxwell beschriebenen Felder Funktionen einer quaternion Variable.

Exponential-, Logarithmus und Macht

Der Exponential- und Logarithmus eines quaternion sind relativ billig, um, besonders im Vergleich zu den Kosten jener Operationen wegen anderer Karten auf SO (3) wie Folge matrices zu rechnen, die Computerwissenschaft des Matrix-Exponential- und Matrixlogarithmus beziehungsweise verlangen.

In Anbetracht eines quaternion,

:

der Exponential-wird als geschätzt

:und:.

Hieraus folgt dass die polare Zergliederung eines quaternion geschrieben werden kann

:

wo der Winkel und der Einheitsvektor definiert werden durch:

:und:

Jede Einheit quaternion kann in der polaren Form als ausgedrückt werden.

Durch die Macht eines zu einer willkürlichen (echten) Hochzahl erhobenen quaternion wird gegeben:

:

Dreidimensionale und vierdimensionale Folge-Gruppen

Der Begriff "Konjugation", außer der Bedeutung, die oben gegeben ist, kann auch bedeuten, ein Element zu r ein r zu nehmen, wo r ein Nichtnullelement (quaternion) ist. Alle Elemente, die zu einem gegebenen Element verbunden sind (in dieser Bedeutung des Wortes verbunden) haben denselben echten Teil und dieselbe Norm des Vektor-Teils. (So ist das verbundene im anderen Sinn eines des Konjugierens in diesem Sinn.)

So handelt die multiplicative Gruppe der Nichtnull quaternions auf die Konjugation auf der Kopie von R ³, aus quaternions mit dem echten der Null gleichen Teil bestehend. Die Konjugation durch eine Einheit quaternion (ein quaternion des absoluten Werts 1) mit dem echten Teil, weil (θ) eine Folge durch einen Winkel 2θ, die Achse der Folge ist, die die Richtung des imaginären Teils ist. Die Vorteile von quaternions sind:

1. Nicht einzigartige Darstellung (im Vergleich zu Euler angelt zum Beispiel).
2. Kompakter (und schneller) als matrices.
3. Paare der Einheit quaternions vertreten eine Folge in 4D Raum (sieh Folgen im 4-dimensionalen Euklidischen Raum: Algebra 4D Folgen).

Der Satz der ganzen Einheit quaternions (versors) bildet einen 3-dimensionalen Bereich S ³ und eine Gruppe (eine Lüge-Gruppe) unter der Multiplikation, doppelten Bedeckung der Gruppe SO (3, R) von echten orthogonal 3&times;3 matrices von der Determinante 1, da zwei Einheit quaternions jeder Folge unter der obengenannten Ähnlichkeit entspricht.

Das Image einer Untergruppe von versors ist eine Punkt-Gruppe, und umgekehrt, das Vorimage einer Punkt-Gruppe ist eine Untergruppe von versors. Das Vorimage einer begrenzten Punkt-Gruppe wird durch denselben Namen mit dem binären Präfix genannt. Zum Beispiel ist das Vorimage der icosahedral Gruppe die binäre icosahedral Gruppe.

Die Gruppe der versor ist zu SU (2), die Gruppe des Komplexes einheitlich 2&times;2 matrices von der Determinante 1 isomorph.

Lassen Sie A der Satz von quaternions der Form + bi + cj + dk sein, wo a, b, c, und d entweder alle ganzen Zahlen oder alle rationalen Zahlen mit dem sonderbaren Zähler und Nenner 2 sind. Der Satz A ist ein Ring (tatsächlich ein Gebiet) und ein Gitter und wird den Ring von Hurwitz quaternions genannt. Es gibt 24 Einheit quaternions in diesem Ring, und sie sind die Scheitelpunkte eines regelmäßigen 24-Zellen-polytope mit dem Symbol von Schläfli {3,4,3}.

Generalisationen

Wenn F ein Feld mit der Eigenschaft ist, die von 2 verschieden ist, und a und b Elemente von F sind, kann man eine vierdimensionale einheitliche assoziative Algebra über F mit der Basis 1, ich, j, und ij, wo ich = a, j = b und ij = ji (so (ij) = ab) definieren. Diese Algebra werden quaternion Algebra genannt und sind zur Algebra 2&times;2 matrices über F oder Form-Abteilungsalgebra über F, je nachdem isomorph

die Wahl von a und b.

Quaternions als der gleiche Teil von C  (R)

Die Nützlichkeit von quaternions für die geometrische Berechnung kann zu anderen Dimensionen verallgemeinert werden, indem sie den quaternions als der gleiche Teil C  (R) von der Algebra von Clifford C  (R) identifiziert wird. Das ist eine assoziative Mehrvektor-Algebra, die von grundsätzlichen Basiselementen σ, σ aufgebaut ist, σ das Verwenden des Produktes herrscht

über::

Wenn diese grundsätzlichen Basiselemente genommen werden, um Vektoren im 3D-Raum zu vertreten, dann stellt es sich heraus, dass das Nachdenken eines Vektoren r in einer Flugzeug-Senkrechte zu einem Einheitsvektor w geschrieben werden kann:

:

Zwei Nachdenken macht eine Folge durch einen Winkel zweimal den Winkel zwischen den zwei Nachdenken-Flugzeugen, so

:

entspricht einer Folge von 180 ° im Flugzeug, das σ und σ enthält. Das ist der entsprechenden quaternion Formel, sehr ähnlich

:

Tatsächlich sind die zwei identisch, wenn wir die Identifizierung machen

:

und es ist aufrichtig, um zu bestätigen, dass das die Beziehungen von Hamilton bewahrt

:

In diesem Bild entsprechen quaternions nicht zu Vektoren, aber zu bivectors, Mengen mit dem Umfang und den Orientierungen, die mit besonderen 2. Flugzeugen aber nicht 1D Richtungen vereinigt sind. Die Beziehung zu komplexen Zahlen wird klarer auch: Im 2., mit zwei Vektor-Richtungen σ und σ, gibt es nur ein bivector Basiselement σσ, so nur ein imaginär. Aber im 3D, mit drei Vektor-Richtungen, gibt es drei bivector Basiselemente σσ, σσ, σσ, so drei imaginaries.

Dieses Denken streckt sich weiter aus. In der Algebra von Clifford C  (R) gibt es sechs bivector Basiselemente, seitdem mit vier verschiedenen grundlegenden Vektor-Richtungen, sechs verschiedenen Paaren, und deshalb können sechs verschiedene linear unabhängige Flugzeuge definiert werden. Folgen in solchen Räumen mit diesen Verallgemeinerungen von quaternions, genannt Rotoren, können für Anwendungen sehr nützlich sein, die homogene Koordinaten einschließen. Aber es ist nur im 3D, dass die Zahl der Basis bivectors der Zahl von Basisvektoren gleichkommt, und jeder bivector als ein Pseudovektor identifiziert werden kann.

Dorst u. a. identifizieren Sie die folgenden Vorteile, um quaternions in diese breitere Einstellung zu legen:

• Rotoren sind natürlich und in der geometrischen Algebra nichtmysteriös und als die Verschlüsselung eines doppelten Nachdenkens leicht verstanden.
• In der geometrischen Algebra, einem Rotor und den Gegenständen folgt es lebend in demselben Raum. Das beseitigt das Bedürfnis, Darstellungen zu ändern und neue Datenstrukturen und Methoden zu verschlüsseln (der erforderlich ist, wenn man geradlinige Algebra mit quaternions vermehrt).
• Ein Rotor ist auf jedes Element der Algebra, nicht nur Vektoren und anderer quaternions, sondern auch Linien, Flugzeuge, Kreise, Bereiche, Strahlen und so weiter allgemein anwendbar.
• Im conformal Modell der Euklidischen Geometrie erlauben Rotoren die Verschlüsselung der Folge, der Übersetzung und des Schuppens in einem einzelnen Element der Algebra, allgemein jedem Element folgend. Insbesondere das bedeutet, dass Rotoren Folgen um eine willkürliche Achse vertreten können, wohingegen quaternions auf eine Achse durch den Ursprung beschränkt werden.
• Rotor-verschlüsselte Transformationen machen Interpolation besonders aufrichtig.

Für das weitere Detail über den geometrischen Gebrauch von Algebra von Clifford, sieh Geometrische Algebra.

Gruppe von Brauer

Die quaternions sind "im Wesentlichen" die einzige (nichttriviale) einfache Hauptalgebra (CSA) über die reellen Zahlen im Sinn, dass jeder CSA über den reals Brauer ist, der entweder zum reals oder zum quaternions gleichwertig ist. Ausführlich besteht die Gruppe von Brauer des reals aus zwei Klassen, die durch den reals und den quaternions vertreten sind, wo die Gruppe von Brauer der Satz des ganzen CSAs bis zur Gleichwertigkeitsbeziehung eines CSA ist ein Matrixring über einen anderen zu sein. Durch den Artin-Wedderburn Lehrsatz (spezifisch, der Teil von Wedderburn), sind CSAs alle Matrixalgebra über eine Abteilungsalgebra, und so sind die quaternions die einzige nichttriviale Abteilungsalgebra über den reals.

CSAs - klingelt über ein Feld, die einfache Algebra sind (haben Sie keine nichttrivialen 2-seitigen Ideale, ebenso mit Feldern), wessen Zentrum genau das Feld ist - sind ein Nichtersatzanalogon von Erweiterungsfeldern und sind einschränkender als allgemeine Ringerweiterungen. Die Tatsache, dass die quaternions der einzige nichttriviale CSA über den reals sind (bis zur Gleichwertigkeit) kann im Vergleich zur Tatsache sein, dass die komplexen Zahlen die einzige nichttriviale Felderweiterung des reals sind.

Notierungen

• "Ich betrachte es als eine Geschmacklosigkeit oder Schönheitsfehler, in quaternions, oder eher im Staat, zu dem es bisher entfaltet worden ist, wann auch immer es wird oder scheint, notwendig zu werden, um Zuflucht zu x, y, z, usw." - William Rowan Hamilton (Hrsg. zu haben, die in einem Brief von Tait zu Cayley zitiert ist).
• "Wie man sagt, hat Zeit nur eine Dimension und Raum, um drei Dimensionen zu haben. […] Der mathematische quaternion nimmt an beiden diesen Elementen teil; auf der Fachsprache, wie man sagen kann, ist es "Zeit plus der Raum", oder "Raum plus die Zeit": Und in diesem Sinn hat es, oder schließt mindestens eine Verweisung auf, vier Dimensionen ein. Und wie Derjenige der Zeit, des Raums die Drei, in der Kette von Symbolen girdled Könnte sein." - William Rowan Hamilton (Angesetzt in R.P. Graves, "Leben von Herrn William Rowan Hamilton").
• "Quaternions ist aus Hamilton gekommen, nachdem seine wirklich gute Arbeit getan worden war; und, obwohl schön genial, sind ein unvermischtes Übel zu denjenigen gewesen, die sie in jedem Fall einschließlich des Büroangestellten Maxwell berührt haben." - Herr Kelvin, 1892.
• "Weder matrices noch quaternions und gewöhnliche Vektoren wurden aus diesen zehn [zusätzlichen] Kapiteln verbannt. Da trotz der unbestrittenen Macht der modernen Tensor-Rechnung jene älteren mathematischen Sprachen nach meiner Meinung fortsetzen, auffallende Vorteile im eingeschränkten Feld der speziellen Relativität anzubieten. Außerdem, in der Wissenschaft sowie im täglichen Leben, ist die Beherrschung von mehr als einer Sprache auch wertvoll, weil es unsere Ansichten verbreitert, der Kritik hinsichtlich förderlich ist, und vor hypostasy [schwaches Fundament], die Sache schützt, die durch Wörter oder mathematische Symbole ausgedrückt ist." - Ludwik Silberstein, die zweite Ausgabe seiner Relativitätstheorie 1924 vorbereitend.
• " … scheinen quaternions, eine Luft des Zerfalls des neunzehnten Jahrhunderts als eine ziemlich erfolglose Art im Kampf um das Leben von mathematischen Ideen auszuschwitzen. Mathematiker behalten zugegebenermaßen noch einen warmen Platz in ihren Herzen für die bemerkenswerten algebraischen Eigenschaften von quaternions, aber, leider, bedeutet solche Begeisterung wenig dem härter angeführten physischen Wissenschaftler." - Simon L. Altmann, 1986.
• "... das Ding über Quaternion 'ist' ist, dass wir verpflichtet sind, darauf in mehr als einer Gestalt zu stoßen. Als ein Vektor-Quotient. Als eine Weise, komplexe Zahlen entlang drei Äxten statt zwei zu planen. Als eine Liste von Instruktionen, um einen Vektoren in einen anderen zu verwandeln..... Und betrachtet subjektiv, als eine Tat, länger oder kürzer zu werden, während man sich zur gleichen Zeit unter Äxten dreht, deren Einheitsvektor nicht der vertraute und beruhigende, aber die zusammen beunruhigende Quadratwurzel minus eine ist. Wenn Sie ein Vektor, Fräulein wären, würden Sie in der 'echten' Welt beginnen, Ihre Länge ändern, in ein 'imaginäres' Bezugssystem eingehen, bis zu drei verschiedene Wege rotieren lassen, und in 'die Wirklichkeit' eine neue Person zurückgeben. Oder Vektor..." - Thomas Pynchon, Gegen den Tag, 2006.

Siehe auch

• 3-Bereiche-
• Assoziative Algebra
• Biquaternion
• Algebra von Clifford
• Komplexe Zahl
• Die Konvertierung zwischen quaternions und Euler biegt um
• Abteilungsalgebra
• Doppelquaternion
• Euler biegt um
• Außenalgebra
• Geometrische Algebra
• Hurwitz quaternion
• Hurwitz quaternion bestellen
• Hyperbolischer quaternion
• Hyperkomplexe Zahl
• Octonion
• Gruppe von Quaternion
• Matrix von Quaternionic
• Quaternions und Raumfolge
• Folge-Maschinenbediener (Vektorraum)
• Folgen im 4-dimensionalen Euklidischen Raum
• Slerp
• Spalt-quaternion
• Tesseract

Referenzen

Außenartikel und Mittel

Bücher und Veröffentlichungen

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Verbindungen und Monografien

• Matrix und Quaternion häufig gestellte Fragen v1.21 Häufig gestellte Fragen
• "Geometrische Werkzeug-Dokumentation" (Rahmen; Körper) schließt mehrere Papiere ein, die sich auf Computergrafik-Anwendungen von quaternions konzentrieren. Bedeckt nützliche Techniken wie kugelförmige geradlinige Interpolation.
• Patrick-Gilles Maillot Provides freie Quelle von Fortran und C codiert, um quaternions und Folgen / Position im Raum zu manipulieren. Auch schließt mathematischen Hintergrund auf quaternions ein.
• "Geometrische Werkzeug-Quelle codiert" (Rahmen; Körper) schließt freien C ++ Quellcode für eine ganze quaternion Klasse ein, die für die Computergrafik-Arbeit laut einer sehr liberalen Lizenz passend ist.
• Doug Sweetser, das Tun der Physik mit Quaternions
• Quaternions für die Computergrafik und Mechanik (Gernot Hoffman)
• Das physische Erbe von Herrn W. R. Hamilton (PDF)
• D. R. Wilkins, die Forschung von Hamilton über Quaternions
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• Neugieriger Quaternions durch Helen Joyce von John Baez veranstaltet.
• Luis Ibanez "Tutorenkurs auf Quaternions" zweiter Teil des ersten Teils (PDF)

Software

• Quaternion Rechenmaschine [javascript], bluetulip.org
• Quaternion Rechenmaschine [Java], theworld.com
• Quaternion Werkzeugkasten für Matlab, http://sourceforge.net/projects/qtfm /
• Zunahme-Bibliothek unterstützt für Quaternions in C ++, boost.org
• Mathematik der Flugsimulation> Software von Turbo-Pascal für quaternions, Euler angelt und Verlängerte Euler-Winkel, xs4all.nl